第十章計數(shù)原理與概率、隨機變量及其分布列

10.1.1排列組合(題型戰(zhàn)法)

知識梳理

一分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理

1.分類加法計數(shù)原理：完成一件事有幾類辦法，各類辦法相互獨立，每類辦法中又有多種不同的辦

法，則完成這件事的不同辦法數(shù)是各類不同方法種數(shù)的和。

2.分步乘法計數(shù)原理：完成一件事，需要分成幾個步驟，每一步的完成有多種不同的方法，則完成

這件事的不同方法種數(shù)是各種不同的方法數(shù)的乘積。

原則：先分類后分步；由特殊點入手。

二排列與排列數(shù)

L排列：從〃個不同元素中取出加(加4〃)個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從〃個不同元素

中取出m個元素的一個排列.

2.排列數(shù)：從〃個不同元素中取出山(租4〃)個元素的所有不同排列的個數(shù)，叫做從〃個不同元素中

取出機個元素的排列數(shù)，記作A：'

三組合與組合數(shù)

1.組合：從〃個不同元素中取出皿相<〃)個元素組成一個組，叫做從〃個不同元素中取出沉個元素

的一個組合.

2.組合數(shù)：從“個不同元素中取出砥利4")個元素的所有不同組合的個數(shù)，叫做從〃個不同元素中

取出機個元素的組合數(shù)，記作C：.

公式：(1)—n(n—l)(w—2)???(M—m+1)=—————

(2)C">=小一1)5-2)…("根+1)=加且巾〃).特別地，C>1

世m(xù)lm\{n—m)l

性質(zhì)：(1)①O!=l;②4=〃!.(2)①G=C“.②C,M=C“+C?

題型戰(zhàn)法

題型戰(zhàn)法一數(shù)字排列問題

典例1.用0,1,2,3,4可以組成沒有重復數(shù)字的四位偶數(shù)的個數(shù)為（）

A.36B.48C.60D.72

變式1-1.在1,2,3,4,5,6這六個數(shù)字組成的沒有重復數(shù)字的三位數(shù)中，各位數(shù)字之和為奇

數(shù)的共有（）

A.36個B.48個C.54個D.60個

變式1-2.用04,2,3,4這五個數(shù)字能組成無重復數(shù)字且1與3不相鄰的五位數(shù)的個數(shù)有（）

A.36B.48C.60D.72

變式1一3.用L2,3,4四個數(shù)字組成無重復數(shù)字的四位數(shù)，其中比2000大的偶數(shù)共有（）

A.16個B.12個C.9個D.8個

變式1-4.用0,2,4,5,6,8組成無重復數(shù)字的四位數(shù)，則這樣的四位數(shù)中偶數(shù)共有（）

A.120個B.192個C.252個D.300個

題型戰(zhàn)法二染色問題

典例2.用4種不同顏色給如圖所示的地圖上色，要求相鄰兩塊涂不同的顏色，不同的涂色方法共

A.24種B.36種C.48種D.72種

變式2-1.如圖，有A、B、C、。四塊區(qū)域需要植入花卉，現(xiàn)有4種不同花卉可供選擇，要求相

鄰區(qū)域植入不同花卉，不同的植入方法有（）

C.48種D.72種

變式2-2.用4種不同顏色給圖中的5個區(qū)域涂色，要求相鄰的區(qū)域不能涂同一種顏色，則不同的

C.36D.24

變式2-3.給圖中A,B,C,D,E五個區(qū)域染色，每個區(qū)域只染一種顏色，且相鄰的區(qū)域不同色.若

有四種顏色可供選擇，則不同的染色方案共有（）

A.24種B.36種C.48種D.72種

變式2-4.現(xiàn)有紅、黃、藍三種顏色，對如圖所示的正五角星的內(nèi)部涂色（分割成六個不同區(qū)域）,

要求每個區(qū)域涂一種顏色且相鄰部分（有公共邊的兩個區(qū)域）的顏色不同，則不同涂色方法有（）

C.96種D.144種

題型戰(zhàn)法三位置（元素）有限的排列問題（優(yōu)先法）

典例3.將五輛車停在5個車位上，其中A車不能停在1號車位上，則不同的停車方案有（）

A.24種B.78種C.96種D.120種

變式3-1.4人隨機排成一排，甲不在排頭且乙不在排尾的排法有多少種（）

A.14種B.16種C.10種D.13種

變式3-2.甲，乙，丙，丁，戊共5名同學進行勞動技能比賽，決出第1名到第5名的名次.已知甲

和乙都不是第1名，且乙不是最后1名，則5人的名次排列的所有可能情況共有（）

A.30種B.54種C.84種D.120種

變式3-3.甲、乙、丙、丁4名同學站成一排參加文藝匯演，若甲、、乙不能同時站在兩端，則不同

排列方式共有()

A.4種B.8種C.16種D.20種

變式3-4.某中學舉行的秋季運動會中，有甲、乙、丙、丁四位同學參加100米短跑決賽，現(xiàn)將四位

同學安排在1,2,3,4這4個跑道上，每個跑道安排一名同學，則甲不在2跑道，乙不在4跑道

的不同安排方法種數(shù)為（）

A.12B.14C.16D.18

題型戰(zhàn)法四相鄰問題的排列問題（捆綁法）

典例4.為弘揚我國古代的“六藝”文化，某小學開設(shè)“禮”“樂”“射”“御”“書”“數(shù)”六門體驗課程，每

周一門，連續(xù)開設(shè)六周，課程“樂”“數(shù)”排在相鄰兩周，則不同的安排方案有（）

A.60種B.120種C.240種D.480種

變式4-1.“宮、商、角、徵、羽”起源于春秋時期，是中國古樂的五個基本音階，亦稱五音.如果

把這五個音階全用上，排成一個五個音階的音序，要求宮、商兩音階相鄰且宮音階不在正中間，

則可排成不同的音序共有（）

A.48種B.36種C.32種D.24種

變式4-2.把語文，數(shù)學，英語，物理等7本不同的書放入書架，若數(shù)學書和物理書相鄰，語文書

不放在最左邊，英語書不放在最右邊，則不同的放法共有（）

A.780B.960C.1440D.1008

變式4-3.小明跟父母、爺爺和奶奶一同參加《中國詩詞大會》的現(xiàn)場錄制，5人坐一排.則小明的

父母都與他相鄰的概率為（）

變式4-4.“學習強國”學習平臺設(shè)有“看黨史”“聽原著”等多個欄目.假設(shè)在這些欄目中，周一“看黨

史'欄目更新了3篇文章，“聽原著”欄目更新了4個音頻.一位學習者準備從更新的這7項內(nèi)容中

隨機選取2篇文章和2個音頻進行學習，則這2篇文章學習順序相鄰的學法有（）

A.216種B.108種C.72種D.54種

題型戰(zhàn)法五不相鄰的排列問題（插空法）

典例5.“杭幫菜”山膚水豢，回味無窮.今有人欲以“糟歹會鞭筍”、“冰糖甲魚”、“荷葉粉蒸肉”、“宋

嫂魚羹，，、“龍井蝦仁，，、“叫化童雞，，共六道杭幫菜宴請遠方來客.這六道菜要求依次而上，其中，，冰

糖甲魚”和“叫化章雞”不能接連相鄰上菜，請問不同的上菜順序種數(shù)為（）

A.480B.240C.384D.1440

變式5-1.2022年2月4日，中國北京第24屆奧林匹克冬季運動會開幕式以二十四節(jié)氣的方式開

始倒計時創(chuàng)意新穎，驚艷了全球觀眾.衡陽市某中學為了弘揚我國二十四節(jié)氣文化，特制作出“立

春”、“驚蟄”、“雨水”、“春分”、“清明”、“谷雨”六張知識展板分別放置在六個并排的文化櫥窗里,

要求“立春”和“春分”兩塊展板相鄰，且“清明”與“驚蟄”兩塊展板不相鄰，則不同的放置方式有多少

種？（）

A.24B.48C.144D.244

變式5-2.在2016年“兩會”記者招待會上，主持人要從5名國內(nèi)記者與4名國外記者中選出3名

進行提問，要求3人中既有國內(nèi)記者又有國外記者，且國內(nèi)記者不能連續(xù)提問，則不同的提問方

式有（）

A.420種B.260種C.180種D.80種

變式5-3.2022年北京冬奧會吉祥物“冰墩墩”和冬殘奧會吉祥物“雪容融”，有著可愛的外表和豐富

的寓意，深受各國人民的喜愛.某商店有4個不同造型的吉祥物“冰墩墩”和3個不同造型的吉祥物

“雪容融”展示在柜臺上，要求“冰墩墩”和“雪容融”彼此間隔排列，則不同排法的種數(shù)是（）

A.A；B.C；A；A：C.A：A；D.A：A；A；

變式5-4.某電視臺曾在某時間段連續(xù)播放5個不同的商業(yè)廣告，現(xiàn)在要在該時間段新增播一個商

業(yè)廣告與兩個不同的公益宣傳廣告，且要求兩個公益宣傳廣告既不能連續(xù)播放也不能在首尾播放,

則在不改變原有5個不同的商業(yè)廣告的相對播放順序的前提下，不同的播放順序共有（）

A.60種B.120種C.144種D.300種

題型戰(zhàn)法六部分定序問題的排列問題（縮倍法）

典例6.5本書編號為a,b,c,力e,其中。必須排放在b的左邊，則一共有多少種排放方法（）

A.42B.60C.30D.36

變式6-1.用123,4,5,6,7組成沒有重復數(shù)字的七位數(shù)，若2,4,6的順序一定，則符合條件的七位數(shù)

有（）個

A.840B.210C.640D.410

變式6-2.某公司為慶祝年利潤實現(xiàn)目標，計劃舉行答謝聯(lián)歡會，原定表演6個節(jié)目，已排成節(jié)目

單，開演前又臨時增加了2個互動節(jié)目.如果保持原節(jié)目的順序不變，那么不同排法的種數(shù)為（）.

A.42B.56C.30D.72

變式6-3.習近平總書記在全國教育大會上發(fā)表重要講話，稱教育是國之大計，黨之大計.哈九中

落實講話內(nèi)容，組織研究性學習.在研究性學習成果報告會上，有A、B、C、。、E、產(chǎn)共6項成

果要匯報，如果8成果不能最先匯報，而A、C、。按先后順序匯報（不一定相鄰），那么不同的

匯報安排種數(shù)為（）

A.100B.120C.300D.600

變式6-4.某學校文藝匯演準備從舞蹈、小品、相聲、音樂、魔術(shù)、朗誦6個節(jié)目中選取5個進行

演出.要求舞蹈和小品必須同時參加，且他們的演出順序必須滿足舞蹈在前、小品在后.那么不

同的演出順序種數(shù)有（）

A.240種B.480種C.540種D.720種

題型戰(zhàn)法七分組分配問題

典例7.佳木斯市第一中學校為了做好疫情防控工作，組織了6名教師組成志愿服務(wù)小組，分配到

東門、西門、中門3個樓門進行志愿服務(wù).由于中門學生出入量較大，要求中門志愿者人數(shù)不少于

另兩個門志愿者人數(shù)，若每個樓門至少分配1個志愿服務(wù)小組，每個志愿服務(wù)小組只能在1個樓

門進行服務(wù)，則不同的分配方法種數(shù)為（）

A.240B.180C.690D.150

變式7-1.6名志愿者要到A,B,C三個社區(qū)進行志愿服務(wù)，每個志愿者只去一個社區(qū)，每個社

區(qū)至少安排1名志愿者，若要2名志愿者去A社區(qū)，則不同的安排方法共有（）

A.105種B.144種C.150種D.210種

變式7-2.2022年3月中旬，新冠肺炎疫情突襲南昌，南昌市統(tǒng)一指揮，多方攜手、眾志成城，構(gòu)

筑起抗擊疫情的堅固堡壘.某小區(qū)有小王、小張等5位中學生積極參加社區(qū)志愿者，他們被分派

到測溫和掃碼兩個小組，若小王和小張不同組，且他們所在的兩個組都至少需要2名中學生志愿

者，則不同的分配方案種數(shù)有（）

A.8B.10C.12D.14

變式7-3.甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者去A,B,C三個不同的小區(qū)參加新冠疫情防控志愿服務(wù)，

每個小區(qū)至少去1人，每人只去1個小區(qū)，且甲、乙去同一個小區(qū)，則不同的安排方法有（）

A.28種B.32種C.36種D.42種

變式7-4.某校從8名青年教師中選派4名分別作為四個學生社團的指導教師，每個社團各派去1

名教師，其中教師甲和乙不能同時參加，甲和丙只能都參加或都不參加，則不同的選派方案有（）

A.360種B.480種C.600種D.720種

題型戰(zhàn)法八x+y+z=n整數(shù)解的個數(shù)問題（隔板法）

典例8.學校有8個優(yōu)秀學生名額，要求分配到高一、高二、高三，每個年級至少1個名額，則有

（）種分配方案.

A.45B.210C.21D.120

變式8-1.袋中有十個完全相同的乒乓球，四個小朋友去取球，每個小朋友至少取一個球，所有的

球都被取完，最后四個小朋友手中乒乓球個數(shù)的情況一共有（）

A.84種B.504種C.729種D.39種

變式8-2.將9個志愿者名額全部分配給3個學校，則每校至少一個名額且各校名額互不相同的分

配方法總數(shù)是（）

A.16B.18C.27D.28

變式8-3.7個相同的小球放入A,B,C三個盒子，每個盒子至少放一球，共有（）種不同的

放法.

A.60種B.36種C.30種D.15種

變式8-4.將10本完全相同的科普知識書，全部分給甲、乙、丙3人，每人至少得2本，則不同的

分法數(shù)為（）

A.720種B.420種C.120種D.15種

題型戰(zhàn)法九正難則反的排列組合問題（間接法）

典例9.甲、乙、丙、丁4名同學站成一排參加文藝匯演，若甲、乙不能同時站在兩端，則不同排

列方式共有（）

A.4種B.8種C.16種D.20種

變式9-1.某班周一上午共有四節(jié)課，計劃安排語文、數(shù)學、美術(shù)、體育各一節(jié)，要求體育不排在

第一節(jié)，則該班周一上午不同的排課方案共有（）

A.24種B.18種C.12種D.6種

變式9-2.某社區(qū)擬從6名男生、3名女生這9名志愿者中選出3人到某小區(qū)協(xié)助新冠肺炎防控工作，

要求選出的3人中既有男生又有女生，則不同的選法共有（）

A.48種B.53種C.56種D.63種

變式9-3.某學校開展勞動教育，決定在3月12日植樹節(jié)當天把包含甲、乙兩班在內(nèi)的6個班級

平均分到附近的3個植樹點植樹，則甲、乙兩班不在同一植樹點的分配方案數(shù)為（）

A.72B.90C.84D.18

變式9-4.某大學開設(shè)A類選修課3門，8類選修課4門，一位同學從中選3門課.若要求兩類選

修課至少各選一門，則不同的選法有（）

A.30種B.60種C.12種D.7種

第十章計數(shù)原理與概率、隨機變量及其分布列

10.1.1排列組合(題型戰(zhàn)法)

知識梳理

一分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理

L分類加法計數(shù)原理：完成一件事有幾類辦法，各類辦法相互獨立，每類辦法中又

有多種不同的辦法，則完成這件事的不同辦法數(shù)是各類不同方法種數(shù)的和。

2.分步乘法計數(shù)原理：完成一件事，需要分成幾個步驟，每一步的完成有多種不同

的方法，則完成這件事的不同方法種數(shù)是各種不同的方法數(shù)的乘積。

原則：先分類后分步；由特殊點入手。

二排列與排列數(shù)

L排列：從“個不同元素中取出皿加4”)個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從

〃個不同元素中取出機個元素的一個排列.

2.排列數(shù):從〃個不同元素中取出砥mW")個元素的所有不同排列的個數(shù)，叫做從〃個

不同元素中取出機個元素的排列數(shù)，記作4：

三組合與組合數(shù)

1.組合：從〃個不同元素中取出加M4")個元素組成一個組，叫做從〃個不同元素中

取出加個元素的一個組合.

2.組合數(shù):從〃個不同元素中取出雙mW")個元素的所有不同組合的個數(shù)，叫做從〃個

不同元素中取出m個元素的組合數(shù)，記作C；；1.

公式：(1)=n(n—l)(n-2)???(n-m+1)=:——

(n—m)\

(2)C：JDS一2)…+加(3N*,且機V”).特別地，

勺mlm\(ji—m)l

C；=l

性質(zhì)：⑴①O!=i；②6="(2)①G=G；②c,+i=G+c,

題型戰(zhàn)法

題型戰(zhàn)法一數(shù)字排列問題

典例1.用0,1,2,3,4可以組成沒有重復數(shù)字的四位偶數(shù)的個數(shù)為（）

A.36B.48C.60D.72

【答案】C

【分析】當個位數(shù)為0時，從其他4個數(shù)選3個進行排列，當個位數(shù)為2或4時，

從剩下的非零的3個數(shù)中選一個排在千位，再從剩下的3個數(shù)中選2個排在十位和

百位，最后用分類計數(shù)原理求解.

【詳解】當個位數(shù)為。時，有禺=24個，

當個位數(shù)為2或4時，有2A=36個，

所以無重復數(shù)字的四位偶數(shù)有24+36=60個，

故選：C.

變式1-1.在1,2,3,4,5,6這六個數(shù)字組成的沒有重復數(shù)字的三位數(shù)中，各位

數(shù)字之和為奇數(shù)的共有（）

A.36個B.48個C.54個D.60個

【答案】D

【分析】分這三個數(shù)字是三個奇數(shù)和兩個偶數(shù)，一個奇數(shù)兩種情況計算.

【詳解】解：①這三個數(shù)字為三個奇數(shù)，共H=6（個）；

②這三個數(shù)字為兩個偶數(shù)，一個奇數(shù)，共C；C"；=54（個）.

故各數(shù)位之和為奇數(shù)的共有54+6=60（個）.

故選：D.

變式1-2.用0,1,2,3,4這五個數(shù)字能組成無重復數(shù)字且1與3不相鄰的五位數(shù)的個數(shù)有

（）

A.36B.48C.60D.72

【答案】C

【分析】根據(jù)題意分當1在萬位，當2在萬位，當3在萬位和當4在萬位四種情況分

別求解即可.

【詳解】根據(jù)題意：當1在萬位時，千位不能排3,所以千位有：C；種，再排列剩下

的數(shù)字有：A；,所以當1在萬位時，共有：C；A；=18種；

當2在萬位時，先排0和4,有：A；種，會出現(xiàn)三個空，再將數(shù)字1和3插入三個空，

有A；種,所以當2在萬位時，共有：A；A；=12種；

當3在萬位時，千位不能排1,所以千位有：C；種，再排列剩下的數(shù)字有：A；,所以

當3在萬位時，共有:C；A；=18種；

當4在萬位時，先排0和2,有：A；種，會出現(xiàn)三個空，再將數(shù)字1和3插入三個空，

有A；種，所以當4在萬位時，共有：A；A；=12種；

綜上所述：滿足條件的方法共有：C；A；+A；A；+C；A；+A；A；=60.

故選：C.

變式1一3.用L2,3,4四個數(shù)字組成無重復數(shù)字的四位數(shù)，其中比2000大的偶數(shù)共

有（）

A.16個B.12個C.9個D.8個

【答案】D

【分析】比2000大，故千位為2,3,4,分類討論即可

【詳解】比2000大,故千位為2,3,4,

千位為2,則個位為4,有A；=2種

千位為3,則個位為2或4,有A；.A；=4種

千位為4,則個位為2,有A；=2種

故一共有8種，

故選：D

變式1-4.用0,2,4,5,6,8組成無重復數(shù)字的四位數(shù)，則這樣的四位數(shù)中偶數(shù)

共有（）

A.120個B.192個C.252個D.300個

【答案】C

【分析】根據(jù)個位數(shù)是否為零分類討論即可.

【詳解】若這個偶數(shù)的個位數(shù)是0,則有團=60個；

若這個偶數(shù)的個位數(shù)不是0,則有C：C：A；=192個.

故滿足條件的四位數(shù)中偶數(shù)的總個數(shù)為60+192=252；

故選：C.

題型戰(zhàn)法二染色問題

典例2.用4種不同顏色給如圖所示的地圖上色，要求相鄰兩塊涂不同的顏色，不

同的涂色方法共有（）

C.48種D.72種

【答案】C

【分析】根據(jù)分步乘法計數(shù)原理逐一按①②③和④涂色，即可求解.

【詳解】對于①②③，兩兩相鄰，依次用不同顏色涂，共有4x3x2=24種涂色方法,

對于④，與②③相鄰，但與①相隔，此時可用剩下的一種顏色或者與①同色，共2

種涂色方法，則由分步乘法計數(shù)原理得24x2=48種不同的涂色方法.

故選:C

變式2-1.如圖，有A、B、C、。四塊區(qū)域需要植入花卉,現(xiàn)有4種不同花卉可供

選擇，要求相鄰區(qū)域植入不同花卉，不同的植入方法有（)

24種C.48種D.72種

【分析】依次考慮C、D、A、B區(qū)域，利用分步乘法計數(shù)原理可得結(jié)果.

【詳解】C區(qū)域有4種選擇，D區(qū)域有3種選擇，A區(qū)域有3種選擇，8區(qū)域有2種選

擇,

由分步乘法計數(shù)原理可知，不同的檀入方法共有4x3x3x2=72種.

故選：D.

變式2-2.用4種不同顏色給圖中的5個區(qū)域涂色，要求相鄰的區(qū)域不能涂同一種顏

色，則不同的涂色方法共有多少種（）

A.72B.48C.36D.24

【答案】A

【分析】可以同色的區(qū)域為BD,CE,分類討論結(jié)合排列知識即可求解.

【詳解】由題意，可以同色的區(qū)域為BO,CE；若只有8。同色，則有閻=24種；

若只有CE同色，有蜀=24種；若CE都同色，則團=24種，由分類計數(shù)原理，

共有24x3=72種，

故選：A.

變式2-3.給圖中A,B,C,D,E五個區(qū)域染色，每個區(qū)域只染一種顏色，且相鄰

的區(qū)域不同色.若有四種顏色可供選擇，則不同的染色方案共有（）

A.24種B.36種C.48種D.72種

【答案】D

【分析】先對A，B,C三個區(qū)域染色，再討論8,E是否同色.

【詳解】當B，E同色時，共有4x3*2*2=48種不同的染色方案，

當B,E不同色時，共有4x3x2x1x1=24種不同的染色方案，

所以共有72種不同的染色方案.

故選：D.

變式2-4.現(xiàn)有紅、黃、藍三種顏色，對如圖所示的正五角星的內(nèi)部涂色（分割成六

個不同區(qū)域），要求每個區(qū)域涂一種顏色且相鄰部分（有公共邊的兩個區(qū)域）的顏色

不同，則不同涂色方法有（）

A.48種B.64種C.96種D.144種

【答案】C

【分析】先給中間涂色，再給外邊每個涂色，利用分步乘法計算原理求解即可.

【詳解】根據(jù)題意，假設(shè)正五角星的區(qū)域為A,B,C,D,E,F,如圖所示，

先對A區(qū)域涂色，有3種方法，再對B,C,D,E,尸這5個區(qū)域進行涂色，

因為8,C,D,E,F這5個區(qū)域都與A相鄰，所以每個區(qū)域都有2種涂色方法,

所以共有3x2x2x2x2x2=96種涂色方法.

故選：C.

題型戰(zhàn)法三位置（元素）有限的排列問題（優(yōu)先法）

典例3.將五輛車停在5個車位上，其中A車不能停在1號車位上，則不同的停車

方案有（）

A.24種B.78種C.96種D.120種

【答案】C

【分析】根據(jù)分步計數(shù)原理，先讓A車選車位，再讓剩余車輛選車位，即可得出結(jié)

論.

【詳解】第一步：先讓A車選車位，有C：=4種；

第二步：讓剩余四輛車選車位，有A：=24種，

所以共有：4x24=96種.

故選：C.

變式3-1.4人隨機排成一排，甲不在排頭且乙不在排尾的排法有多少種（）

A.14種B.16種C.10種D.13種

【答案】A

【分析】分兩類：甲在排尾，另一種甲不在排頭也不在排尾，然后利用分類加法原

理求解即可.

【詳解】根據(jù)題意分兩類：

第一類：甲在排尾，其它3人全排列，有A；=6,

第二類：甲不在排頭也不在排尾，則甲排在中間兩個位置中的一個，然后從剩余的

除乙外的2人中選一人排在排尾，最后剩下的2人排在剩余的2個位置，則有

C?A；=8種，

所以由分類加法原理可得共有6+8=14種，

故選：A.

變式3-2.甲，乙，丙，丁，戊共5名同學進行勞動技能比賽，決出第1名到第5

名的名次.已知甲和乙都不是第1名，且乙不是最后1名，則5人的名次排列的所有

可能情況共有（）

A.30種B.54種C.84種D.120種

【答案】B

【分析】根據(jù)題意先排乙，再排甲，再排其他人即可

【詳解】根據(jù)題意先排乙，再排甲，再排其他人，則所有排列的情況有A；A；A；=54

故選：B

變式3-3.甲、乙、丙、丁4名同學站成一排參加文藝匯演，若甲、乙不能同時站在

兩端，則不同排列方式共有（）

A.4種B.8種C.16種D.20種

【答案】D

【分析】在四人全排的排法中，減去甲、乙同時站在兩端的排法，即可得解.

【詳解】利用間接法，將四人全排，共A：=24種不同的排法，

若甲、乙同時站在兩端，此時有A；A；=4種不同的排法.

因此，若甲、乙不能同時站在兩端，則不同排列方式共有24-4=20種.

故選：D.

變式3-4.某中學舉行的秋季運動會中，有甲、乙、丙、丁四位同學參加100米短跑決

賽，現(xiàn)將四位同學安排在1,2,3,4這4個跑道上，每個跑道安排一名同學，則甲

不在2跑道，乙不在4跑道的不同安排方法種數(shù)為（）

A.12B.14C.16D.18

【答案】B

【分析】根據(jù)題意，按甲是否在4道上分2種情況討論，求出每種情況的安排方法

數(shù)目，由加法原理計算可得答案.

【詳解】解：根據(jù)題意，分2種情況討論：

①若甲在4道上，剩下3人任意安排在其他3個跑道上，有A；=6種排法，

②若甲不在4道上，甲的安排方法有2種，乙的安排方法也有2種，剩下2人任意

安排在其他2個跑道上，有2種安排方法，

此時有2x2x2=8種安排方法，

故共有6+8=14種不同的安排方法，

故選：B.

題型戰(zhàn)法四相鄰問題的排列問題（捆綁法）

典例4.為弘揚我國古代的“六藝”文化,某小學開設(shè)“禮”“樂”“射”“御”“書”“數(shù)”六門

體驗課程，每周一門，連續(xù)開設(shè)六周，課程“樂”“數(shù)”排在相鄰兩周，則不同的安排

方案有（）

A.60種B.120種C.240種D.480種

【答案】C

【分析】利用捆綁法即得.

【詳解】因為課程“樂”“數(shù)”排在相鄰兩周，可用捆綁法，把“樂”“數(shù)”捆綁看作一個元

素與其他元素一起排列共M種，再排其內(nèi)部順序號種，

所以不同的安排方案有團120x2=240種.

故選：C.

變式4-1.“宮、商、角、徵、羽”起源于春秋時期，是中國古樂的五個基本音階，亦

稱五音.如果把這五個音階全用上，排成一個五個音階的音序，要求宮、商兩音階

相鄰且宮音階不在正中間，則可排成不同的音序共有（）

A.48種B.36種C.32種D.24種

【答案】B

【分析】根據(jù)題意，先由捆綁法計算宮、商兩音階相鄰的排法，排除其中宮音階在

正中間的排法求解.

【詳解】解：將宮、商兩音階看成一個整體，再與其他3個音階全排列，有&A；=48

種排法，

其宮音階在正中間的排法有2x&=12種，

所以宮、商兩音階相鄰且宮音階不在正中間，則可排成不同的音序共有48-12=36種

的排法，

故選：B.

變式4-2.把語文，數(shù)學，英語，物理等7本不同的書放入書架，若數(shù)學書和物理書

相鄰，語文書不放在最左邊，英語書不放在最右邊，則不同的放法共有（）

A.780B.960C.1440D.1008

【答案】D

【分析】把數(shù)學書和物理書捆綁，從語文書的位置進行分類，結(jié)合排列知識求解.

【詳解】先把數(shù)學書和物理書捆綁看作一個元素，共有用種方法；

當語文書放在最右邊時，英語書和其它書排列，共有團種方法；

當語文書放不在最右邊時，最右邊放置除語文和英語之外的書，有4種方法，最左

邊放置除語文之外的余下的書，有4種方法，其它位置沒有要求，有用種方法；

綜上共有反（6+4x4x4）=1008種方法；

故選：D

變式4-3.小明跟父母、爺爺和奶奶一同參加《中國詩詞大會》的現(xiàn)場錄制，5人坐

一排.則小明的父母都與他相鄰的概率為（）

A.—B.—C.-D.—

2010510

【答案】B

【分析】利用捆綁法求出排列數(shù)，進而可得概率.

【詳解】將小明父母與小明三人進行捆綁，其中小明居于中間，形成一個元素，與

其他兩個元素進行排序，則用N=12,

故所求的概率為1=A,

故選：B.

變式44“學習強國”學習平臺設(shè)有“看黨史”“聽原著”等多個欄目.假設(shè)在這些欄目

中，周一“看黨史”欄目更新了3篇文章，“聽原著”欄目更新了4個音頻.一位學習

者準備從更新的這7項內(nèi)容中隨機選取2篇文章和2個音頻進行學習，則這2篇文

章學習順序相鄰的學法有（）

A.216種B.108種C.72種D.54種

【答案】A

【分析】分三步完成，利用分步乘法計數(shù)原理求解.

【詳解】第一步從3篇文章中選2篇全排列，共有&種方法，第二步從4個音頻中

選2個，共有c；種方法，第三步將2篇文章捆綁，再與已選取的2個音頻進行全排

列，共用種方法，故所求的總方法數(shù)為看=216（種）.

故選：A.

題型戰(zhàn)法五不相鄰的排列問題（插空法）

典例5.“杭幫菜”山膚水豢，回味無窮.今有人欲以“糟燒鞭筍”、“冰糖甲魚”、“荷葉

粉蒸肉”、“宋嫂魚羹”、“龍井蝦仁”、“叫化童雞”共六道杭幫菜宴請遠方來客.這六道

菜要求依次而上，其中“冰糖甲魚”和“叫化章雞”不能接連相鄰上菜，請問不同的上

菜順序種數(shù)為（）

A.480B.240C.384D.1440

【答案】A

【分析】利用插空法求解，先排列“糟燒鞭筍”、“荷葉粉蒸肉”、“宋嫂魚羹”、“龍井

蝦仁”這4道菜，然后用“冰糖甲魚”和“叫化章雞”去插空即可.

【詳解】根據(jù)題意，先排列“糟燃鞭筍”、“荷葉粉蒸肉”、“宋嫂魚羹”、“龍井蝦仁”

這4道菜，共有A：=24種方法，

4道菜排列后，有5個空，然后用“冰糖甲魚”和“叫化章雞”去插空，有A；=20種方

法，

所以由分步計數(shù)原理可知共有24x20=480種不同的上菜順序，

故選：A

變式5-1.2022年2月4日，中國北京第24屆奧林匹克冬季運動會開幕式以二十四

節(jié)氣的方式開始倒計時創(chuàng)意新穎，驚艷了全球觀眾.衡陽市某中學為了弘揚我國二

十四節(jié)氣文化，特制作出“立春”、“驚蟄”、“雨水”、“春分”、“清明”、“谷雨”六張知

識展板分別放置在六個并排的文化櫥窗里，要求“立春”和“春分”兩塊展板相鄰，且

“清明”與“驚蟄”兩塊展板不相鄰，則不同的放置方式有多少種？（）

A.24B.48C.144D.244

【答案】C

【分析】將“立春”和“春分”兩塊展板捆綁在一起，與“雨水”、“谷雨”排列，然后“清

明，，與“驚蟄，，去插空即可

【詳解】根據(jù)題意先將“立春”和“春分”兩塊展板捆綁在一起，與“雨水”、“谷雨”排

列，有4個空，然后“清明”與“驚蟄”去插空，

所以不同的放置方式有A；A；A：=144種.

故選：c

變式5-2.在2016年“兩會”記者招待會上，主持人要從5名國內(nèi)記者與4名國外記

者中選出3名進行提問，要求3人中既有國內(nèi)記者又有國外記者，且國內(nèi)記者不能

連續(xù)提問，則不同的提問方式有（）

A.420種B.260種C.180種D.80種

【答案】B

【分析】應(yīng)用分類加法計數(shù)，結(jié)合排列、組合數(shù)求不同分類下的提問方式，最后加

總即可.

【詳解】若3人中有2名中國記者和1名國外記者，則不同的提問方式的種數(shù)是

C；C；A；=80,

若3人中有1名中國記者和2名國外記者，則不同的提問方式的種數(shù)是C；C；A；=180,

故所有的不同的提問方式的種數(shù)是80+180=260.

故選：B

變式5-3.2022年北京冬奧會吉祥物“冰墩墩”和冬殘奧會吉祥物“雪容融”，有著可愛

的外表和豐富的寓意，深受各國人民的喜愛.某商店有4個不同造型的吉祥物“冰墩

墩”和3個不同造型的吉祥物“雪容融”展示在柜臺上，要求“冰墩墩”和“雪容融”彼此

間隔排列，則不同排法的種數(shù)是（）

A.A；B.C；A：A；C.A：A；D.A：A；A；

【答案】C

【分析】分兩步，第一步將4個“冰墩墩”全排列，第二步將將3個“雪容融”插進3

個空中，按照分步乘法計數(shù)原理計算可得；

【詳解】解：依題意首先將4個“冰墩墩”全排列，有A：種排法；

再將3個“雪容融”插進3個空中，有A；種排法；

綜上可得一共有A：A；種排法；

故選：C

變式5-4.某電視臺曾在某時間段連續(xù)播放5個不同的商業(yè)廣告，現(xiàn)在要在該時間段

新增播一個商業(yè)廣告與兩個不同的公益宣傳廣告，且要求兩個公益宣傳廣告既不能

連續(xù)播放也不能在首尾播放，則在不改變原有5個不同的商業(yè)廣告的相對播放順序

的前提下，不同的播放順序共有（）

A.60種B.120種C.144種D.300種

【答案】B

【分析】先插入一個商業(yè)廣告，再在中間插入兩個公益廣告，由分步乘法原理可得.

【詳解】安排方法是先插入一個商業(yè)廣告有4種方法，再在6個商業(yè)廣告中間插入

兩個公益廣告，方法數(shù)用，所以不同的播放順序數(shù)為44=120.

故選:B.

題型戰(zhàn)法六部分定序問題的排列問題（縮倍法）

典例6.5本書編號為a,b,c,d,e,其中a必須排放在b的左邊，則一共有多少

種排放方法（）

A.42B.60C.30D.36

【答案】B

【分析】先求得5個編號任意排列的排法，分析可得。在b的左邊和。在6的右邊

是等可能的，計算即可得答案.

【詳解】由題意得5個編號任意排列，有團種排法，

其中。在b的左邊和。在匕的右邊是等可能的，其排法數(shù)目時一樣的，

所以。排放在b的左邊一共有=60種排法

故選：B

變式6-1.用123,4,5,6,7組成沒有重復數(shù)字的七位數(shù)，若2,4,6的順序一定，則符合

條件的七位數(shù)有（）個

A.840B.210C.640D.410

【答案】A

【分析】根據(jù)倍縮法求解定序問題.

【詳解】1,2,3,4,5,6,7組成沒有重復數(shù)字的七位數(shù)，共有A；個，2,4,6的順序有A；個，

所以所求的個數(shù)有*840,

故選：A.

變式6-2.某公司為慶祝年利潤實現(xiàn)目標,計劃舉行答謝聯(lián)歡會,原定表演6個節(jié)目，

已排成節(jié)目單，開演前又臨時增加了2個互動節(jié)目.如果保持原節(jié)目的順序不變，那

么不同排法的種數(shù)為（）.

A.42B.56C.30D.72

【答案】B

【分析】利用倍縮法，先將8個節(jié)目排好，由于原來6個節(jié)目順序不變，則要除以

原有的6個節(jié)目對應(yīng)的不同排法，即可得解.

【詳解】解：增加2個互動節(jié)目后，一共有8個節(jié)目，這8個節(jié)目的不同排法有可

種，

而原有的6個節(jié)目對應(yīng)的不同排法共有曖種，

故選：B.

變式6-3.習近平總書記在全國教育大會上發(fā)表重要講話，稱教育是國之大計，黨之

大計.哈九中落實講話內(nèi)容，組織研究性學習.在研究性學習成果報告會上，有A、

B、C、D、E、產(chǎn)共6項成果要匯報，如果8成果不能最先匯報，而A、C、。按先

后順序匯報（不一定相鄰），那么不同的匯報安排種數(shù)為（）

A.100B.120C.300D.600

【答案】A

【分析】優(yōu)先排3元素，然后根據(jù)A、C、。順序確定用除法可得.

【詳解】先排3元素，有5種排法，然后排剩余5個元素共團=120,由于4C、

。順序確定，所以不同的排法共有豈滬=1。。.

故選：A

變式6-4.某學校文藝匯演準備從舞蹈、小品、相聲、音樂、魔術(shù)、朗誦6個節(jié)目中

選取5個進行演出.要求舞蹈和小品必須同時參加，且他們的演出順序必須滿足舞

蹈在前、小品在后.那么不同的演出順序種數(shù)有（）

A.240種B.480種C.540種D.720種

【答案】A

【分析】先從4個節(jié)目中選3個，再按照定序排列即可求解.

【詳解】先從相聲、音樂、魔術(shù)、朗誦4個節(jié)目中選3個，有優(yōu)=4種，再把5個

節(jié)目排列且滿足舞蹈在前、小品在后，

有冬=60,總共有4x60=240種.

故選：A.

題型戰(zhàn)法七分組分配問題

典例7.佳木斯市第一中學校為了做好疫情防控工作，組織了6名教師組成志愿服

務(wù)小組，分配到東門、西門、中門3個樓門進行志愿服務(wù).由于中門學生出入量較大，

要求中門志愿者人數(shù)不少于另兩個門志愿者人數(shù)，若每個樓門至少分配1個志愿服

務(wù)小組，每個志愿服務(wù)小組只能在1個樓門進行服務(wù)，則不同的分配方法種數(shù)為（）

A.240B.180C.690D.150

【答案】A

【分析】根據(jù)中門志愿者的人數(shù)，分情況討論，再按照分組分配問題，即可求解.

【詳解】第一種情況，當中門的志愿者有3人時，其他兩個門有1個門1人，1個

門2人，有或C；A；=120種,

第二種情況，當中門有2人時，其他兩個門也分別是2人，C；C；C；=90種，

第三種情況，當中門有4人時，其他兩個們分別1人，有或A；=30種，

所以不同的分配方法種數(shù)是120+90+30=240.

故選：A

變式7-1.6名志愿者要到A,B,C三個社區(qū)進行志愿服務(wù)，每個志愿者只去一個

社區(qū)，每個社區(qū)至少安排1名志愿者，若要2名志愿者去A社區(qū)，則不同的安排方

法共有（）

A.105種B.144種C.150種D.210種

【答案】D

【分析】先安排2名志愿者到A社區(qū)，再考慮剩余的4名志愿者，分為兩組，可以

平均分，可以一組1人，一組3人，再對兩組進行分配，從而求出最終答案.

【詳解】先選出2名志愿者安排到A社區(qū)，有C；種方法，

再把剩下的4名志愿者分成兩組，有兩種分法，一種是平均分為兩組，有吟1種分

法，

另一種是1組1人，另一組3人，有C：C：種分法，再分配到其他兩個社區(qū)，

則不同的安排方法共有等+C：A；=210種.

故選：D

變式7-2.2022年3月中旬，新冠肺炎疫情突襲南昌，南昌市統(tǒng)一指揮，多方攜手、

眾志成城，構(gòu)筑起抗擊疫情的堅固堡壘.某小區(qū)有小王、小張等5位中學生積極參

加社區(qū)志愿者，他們被分派到測溫和掃碼兩個小組，若小王和小張不同組，且他們

所在的兩個組都至少需要2名中學生志愿者，則不同的分配方案種數(shù)有（）

A.8B.10C.12D.14

【答案】C

【分析】先