第10講圓錐曲線中定值問題的七種類型

考法呈現(xiàn)

和線段有關的最值

弘題型一：和斜率有關的定值問題

例題分析

【例1】

已知4B是橢圓C上的兩點，4(2,1),力、B關于原點。對稱，M是橢圓C上異于48的一點，直線MA和MB的斜

,

率滿足媼4kMB=—

(1)求橢圓C的標準方程；

(2)若斜率存在且不經(jīng)過原點的直線Z交橢圓C于P,Q兩點(P,Q異于橢圓C的上、下頂點)，當小OPQ的面積最大

時，求kop/.Q的值.

求定值問題常見類型以及解題策略：

(1)常見類型：

①證明代數(shù)式為定值：依據(jù)題設條件，得出與代數(shù)式中參數(shù)有關的等式，代入代數(shù)式后再化

簡，即可得出定值；

②證明點到直線的距離為定值：利用點到直線的距離公式得出距離解析式，再利用條件化簡，

即可證明；

③證明線段長度、面積、斜率(或以上量的和、差、積、商)等為定值，寫出各量的目標函數(shù)

解析式，再做消參處理即可.

(2)常用策略：

①從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關；

②直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值.

0變式訓練

【變式1-1】橢圓。:5+《=1(￡1>8>0)的離心率6=巳，過點(0,⑹.

(1)求橢圓的標準方程；

(2)過點(go)且斜率不為0的直線I與橢圓交于M,N兩點，橢圓的左頂點為4求直線4M與直線力N的斜率之

積.

2-

【變式1-2］如圖，橢圓后v宏+儼=i(a>1)的左、右頂點分別為4B,Q(—a,a),N為橢圓上的動點且在第

一象限內(nèi)，線段QN與橢圓E交于點M(異于點N),直線0Q與直線交于點P,。為坐標原點，連接M4M4,AP,

且直線力M與BP的斜率之積為-七.

⑴求橢圓E的方程.

(2)設直線力N,4P的斜率分別為右,卜2,證明：a/2為定值?

【變式1-3］在平面直角坐標系xOy中，已知定點F(l,0),定直線1:久=4,動點P在/上的射影為Q,且滿足

\PQ\=2\PF\.

(1)記點P的運動軌跡為E,求E的方程；

(2)過點F作斜率不為0的直線與E交于M,N兩點，/與x軸的交點為“，記直線MH和直線NH的斜率分別為

klfk2f求證：fci+fc2=0.

弘題型二：和面積有關的定值問題

22

【例2】已知橢圓C：S+a=l(a>6>0)的左、右頂點分別為4B,長軸長為短軸長的2倍，點P在C上運

動,且AABP面積的最大值為8.

⑴求C的方程；

⑵若直線I經(jīng)過點Q(l,0),交C于M,N兩點，直線力MBN分別交直線久=4于D,E兩點，試問AABD與△力QE

的面積之比是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說明理由.

變式訓練

【變式2-1】已知雙曲線C:《—9=l(a〉0,b>。)，漸近線方程為y±；=0,點4(2,0)在C上;

(1)求雙曲線C的方程；

⑵過點4的兩條直線4P,4Q分別與雙曲線C交于P,Q兩點(不與4點重合)，且兩條直線的斜率的，伍滿足自+

卜2=1，直線PQ與直線工=2,y軸分別交于M,N兩點，求證：△4MN的面積為定值.

222

【變式2-2】已知橢圓Ci：+y2=1(a>1)與橢圓C?：=1(0<&<2V3)的離心率相同，且

橢圓。2的焦距是橢圓Ci的焦距的百倍.

⑴求實數(shù)。和6的值；

(2)若梯形力BCD的頂點都在橢圓的上，AB//CD,CD=24B,直線3c與直線4D相交于點尸.且點尸在橢

圓。2上，試探究梯形力BCD的面積是否為定值，若是，請求出該定值；若不是，請說明理由.

222

【變式2-3】已知橢圓的:宏+方=l(a>%>0),橢圓的：亍+儼=1.點P為橢圓。2上的動點，直線。P與

橢圓A交于力，B兩點，且a=2而.

⑴求橢圓的的標準方程；

(2)以點P為切點作橢圓。2的切線I，/與橢圓的交于C,。兩點，問：四邊形力CBD的面積是否為定值？若是，

求出該定值；若不是，求出面積的取值范圍.

為題型三：和周長有關的定值問題

【例3】已知尸為圓C：久2+'2一2久一15=0上一動點，點N(-1,O),線段PN的垂直平分線交線段PC

于點

⑴求點Q的軌跡方程；

⑵點M在圓/+產(chǎn)=3上，且M在第一象限，過點“作圓/+產(chǎn)=3的切線交。點軌跡于4,2兩點,

問AABC的周長是否為定值？若是，求出定值；若不是，說明理由.

【變式3-1】已知橢圓「：《+/=l(a>6>0)的左焦點為F,左、右頂點分別為4B,上頂點為P.

(1)若APF8為直角三角形，求r的離心率；

⑵若a=2,b=1,點Q,Q'是橢圓「上不同兩點，試判斷"|PQ|=|PQ「是"Q,Q'關于y軸對稱”的什么條件?

并說明理由；

(3)若a=2,b=點T為直線％=4上的動點，直線747B分別交橢圓「于C,D兩點，試問AFCD的周

長是否為定值？請說明理由.

22

【變式3-2】已知橢圓。京+力=l(a>6>0)的長軸長為4,A,8是其左、右頂點，M是橢圓上異于/,

3

B的動點，且左此4，=~7,

4

(1)求橢圓。的方程；

(2)若尸為直線x=4上一點，PA,網(wǎng)分別與橢圓交于C,。兩點.

①證明：直線CD過橢圓右焦點電；

②橢圓的左焦點為F1，求AC%。的周長是否為定值，若是，求出該定值，若不是，請說明理由.

【變式3-3］在平面直角坐標系％Oy中，動圓尸與圓Q:(久++y2=；內(nèi)切，且與圓。2：(%-1)2+y2=：

44

外切，記動圓圓心P的軌跡為曲線C.

(1)求曲線C的方程；

(2)設曲線C的左、右兩個頂點分別為公、&，7為直線1：%=4上的動點，且T不在久軸上，直線T%與C的另

一個交點為M,直線T42與C的另一個交點為N,F為曲線C的左焦點，求證：AFMN的周長為定值.

弘題型四：和線段有關的定值問題

例題分析

22

【例4】如圖，已知橢圓的:%+方=l(a>6>0)的左右焦點分別為%,尸2，點4為Ci上的一個動點(非左

右頂點)，連接力Fi并延長交的于點B,且△力的周長為8,面積的最大值為2.

⑴求橢圓Ci的標準方程；

(2)若橢圓。2的長軸端點為尸1，尸2，且。2與Q的離心率相等，P為與。2異于Fi的交點，直線PFZ交加于M,N

兩點，證明：|4B|+|MN|為定值.

【變式4-1】已知橢圓C：5+，=l(a>b>0)的焦距為4,左右頂點分別為公,42，橢圓上異于41，42

的任意一點尸，都滿足直線P4,P42的斜率之積為-去

(1)若橢圓上存在兩點BQ&關于直線y=%+m對稱，求實數(shù)冽的取值范圍;

(2)過右焦點4的直線交橢圓于M,N兩點，過原點。作直線兒W的垂線并延長交橢圓于點2那么，是否

存在實數(shù)上使得高+春為定值？若存在，請求出左的值；若不存在，請說明理由.

【變式4-2］在平面直角坐標系xOy中，圓％：(x+2)2+y2=4,F2(2,0),P是圓鼻上的一個動點，線段

PF2的垂直平分線I與直線PFi交于點M.記點M的軌跡為曲線C.

(1)求曲線。的方程;

(2)過點尸2作與x軸不垂直的任意直線交曲線C于，，B兩點，線段N3的垂直平分線交x軸于點“，求證:

黑為定值.

仍2”1

【變式4-3】已知橢圓C：?+捺=19>8>0)過點。(0,-1),且有兩個頂點所在直線的斜率為右過橢圓

左頂點2的直線I與橢圓C交于點M,與y軸交于點N.

⑴若的面積為也求直線/的方程;

(2)設過原點。且與直線(平行的直線/‘交橢圓于點P,求證：端等為定值.

為題型五：和參數(shù)有關的定值問題

【例5】已知雙曲線C:，，=l(a>0,b>0)的左、右焦點分別為鼻,尸2，且1%加=4,C的一條漸近線

與直線l：y=-/x垂直.

(1)求C的標準方程；

(2)點M為C上一動點，直線M%,MF2分別交C于不同的兩點力，隊均異于點M),且麗=蘇",哂=

問：4+〃是否為定值？若為定值，求出該定值；若不為定值，請說明理由.

【變式5-1]已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F,圓D:(x-I)2+(y-2)2=4恰與C的準線相切.

(1)求C的方程及點F與圓。上點的距離的最大值；

(2)。為坐標原點，過點M(0,l)的直線/與C相交于4,3兩點,直線4。,8。分別與37軸相交于點2,0,麗=祖麗,

MQ-nMO,求證：以為定值.

【變式5-2】已知圓錐曲線E上有兩個定點M(VX1)、N(——1),P為曲線E上不同于M,N的動點，

且當直線PM和直線PN的斜率麗，題都存在時，有kpM,kpN=—[.

(1)求圓錐曲線￡的標準方程；

⑵若直線/：%=爪'+魚與圓錐曲線后交于/、8兩點，交x軸于點尸，點/,F,3在直線1：x=2V2±

的射影依次為點。，K,G

①若直線/交y軸于點7,且a=%q，TB=A2BF,當加變化時，探究%+乙的值是否為定值？若是，

求出％+4的值；否則，說明理由；

②連接/G,BD,試探究當機變化時，直線/G與2。是否相交于定點？若是，請求出定點的坐標，并給予

證明；否則，說明理由.

【變式5-3】已知橢圓捺+5=1（。＞6＞0）的離心率為手，四個頂點構成的四邊形面積為2a.

⑴求橢圓方程；

（2）若直線y=kx+m交橢圓于力Oi，%），3（無2，丫2），且SAAOB=苧，求證/+虐為定值.

弘題型六：和距離有關的定值問題

,*&例題分析

：=_

【例6】如圖，已知直線=百%,Z2yV3x,M是平面內(nèi)一個動點，%4〃%且MZ與匕相交于點A（A位

于第一象限），MB〃h，且MB與"相交于點B（B位于第四象限），若四邊形（MMB（。為原點）的面積為日.

（1）求動點M的軌跡C的方程；

⑵過點（2,0）的直線I與C相交于P,Q兩點，是否存在定直線Lx=t,使以PQ為直徑的圓與直線］相交于E,F

兩點，且盥為定值，若存在，求出/'的方程，若不存在，請說明理由.

【變式6-1】已知雙曲線C:?—5=1（。＞0,匕＞0）的離心率為亨，且經(jīng)過點M（2,0）.

（1）求雙曲線C的標準方程及其漸近線方程；

（2）已知過點G（%i，yi）的直線+4yly=4與過點”（%2，y2）（%2豐的直線+4y2y=4的交點N

在雙曲線。上，直線GH與雙曲線。的兩條漸近線分別交于P,。兩點，證明4|。川2-|。尸|2一|0（2|2為定

值，并求出定值.

【變式6-2】已知雙曲線。9一*=1,直線/過C的右焦點F且與C交于MN兩點.

(1)若M,N兩點均在雙曲線C的右支上，求證：焉+亳為定值；

\Mr\\DJr|

(2)試判斷以MN為直徑的圓是否過定點？若經(jīng)過定點，求出定點坐標；若不過定點，請說明理由.

【變式6-3】已知雙曲線。捻-9=l(a>0,b>0)的漸近線方程為y=±屆，過其右焦點廠且垂直于x

軸的直線與C交于4,2兩點，且|4B|=6.

(1)求C的方程.

(2)設P(&,yo)為C上的動點，直線I：貴—翠:=1與直線48交于點與直線x=t(與直線4B不重合)交

于點N.是否存在/,使得黑為定值？若存在，求才的值，若不存在，請說明理由.

弘題型七：和向量有關的定值問題

?函例題分析

【例7】已知雙曲線C:/—3=l(b>0)的左、右焦點分別為Fi，尸2,4是C的左頂點，C的離心率為2.設

過尸2的直線，交C的右支于P、Q兩點，其中P在第一象限.

(1)求c的標準方程；

(2)若直線4P、4Q分別交直線x=T于"、N兩點，證明：麗?福為定值；

(3)是否存在常數(shù)人使得=%”力?2恒成立？若存在，求出％的值；否則，說明理由.

【變式7-1】已知橢圓M:5+，=l(a>b>0)的左、右焦點分別為Fi、F2,斜率不為0的直線I過點Fd

與橢圓交于4B兩點，當直線2垂直于x軸時，\AB\=3,橢圓的離心率e=1.

(1)求橢圓M的方程；

(2)在x軸上是否存在點P,使得方?而為定值？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.

【變式7-2］如圖橢圓C：5+3=1((1>6〉0)的離心率為爭點(一1,里)在橢圓0上.過橢圓的左焦點產(chǎn)

的直線/與橢圓C交于C,。兩點，并與了軸交于點M,A,3分別為橢圓的上、下頂點，直線4D與直線

8c交于點N.

(1)求橢圓C的標準方程；

(2)已知。為坐標原點，當點M異于/,3兩點時，求證：加?而為定值.

【變式7-3】圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓E5+3=l(a>6>0)過點(1,今，且橢圓的離心率為當

直線Z:y=x+t與橢圓E相交于48兩點，線段的中垂線交橢圓E于C、D兩點.

(1)求E的標準方程;

(2)求線段CD長的最大值;

(3)證明：尼?同為定值，并求此定值.

變式訓練

國真題專練

v2.-1

1.設A,B,C為橢圓及金+產(chǎn)=舊>1)上的三點，且點4c關于原點對稱，kAB-kBC=-1.

(1)求橢圓E的方程；

(2)若點2關于原點的對稱點為。，且的c?MD=-最證明：四邊形48co的面積為定值.

2.已知拋物線E:y2=2px(p>0),雙曲線C:/一。=1,點力(右,乃)在C的左支上，過力作久軸的平行線交E

于點M,過M作E的切線匕，過4作直線G交"于點P，交E于點N,且而=前.

(1)證明：%與E相切；

(2)過N作x軸的平行線交C的左支于點8(久2，、2)，過P的直線￡平分4MPN，記b的斜率為k2MPN=心若

COS0=一卜2,證明：—+!恒為定值.

XlX2

22

3.已知雙曲線C:%-3=1((1>0,6>0)的離心率為2,焦點到一條漸近線的距離為舊.

(1)求雙曲線C的方程.

(2)若過雙曲線的左焦點F的直線/交雙曲線于4B兩點，交y軸于P,設方=4而=〃麗.試判斷4+〃是否

為定值，若為定值，求出定值；若不為定值，說明理由.

4.已知雙曲線。捺-段=l(a>0)的虛軸長為2必，左焦點為下.

(1)設O為坐標原點，若過尸的直線/與C的兩條漸近線分別交于/,8兩點，當11。8時，求A40B的面

積；

(2)設過尸的直線/與C交于"，N兩點，若x軸上存在一點P,使得|而『-(忸花『+|麗。為定值，求

出點P的坐標及該定值.

22—

5.已知橢圓C:%+3=l(a>6>0)的右焦點為F,點P,Q在橢圓C上運動，且|PF|的最小值為逐一百；

當點P不在久軸上時點P與橢圓C的左、右頂點連線的斜率之積為-

(1)求橢圓C的方程；

(2)已知直線2y=0與橢圓C在第一象限交于點A,若NPAQ的內(nèi)角平分線的斜率不存在.探究：直線PQ

的斜率是否為定值，若是，求出該定值；若不是.請說明理由.

6.以等邊三角形的每個頂點為圓心，以其邊長為半徑，在另兩個頂點間作一段圓弧，三段圓弧圍成的曲邊

三角形被稱為勒洛三角形.如圖，在極坐標系Ox中，曲邊三角形。尸。為勒洛三角形，且P(2,§,。在極

軸上，C為舁的中點.以極點。為直角坐標原點，極軸。x為x軸正半軸建立平面直角坐標系xOy.

(1)求宛所在圓P的直角坐標方程與直線CQ的極坐標方程；

⑵過。引一條射線，分別交圓尸，直線C。于4,2兩點，證明：|。川-lOBl為定值.

7.已知橢圓C：[+S=l(a>b>0)的左、右焦點分別為尸療2,離心率為]尸為橢圓C上一點(除左、

ab2

右頂點)，直線尸￡,PF2與橢圓C的另一個交點分別為4B,且西=小無?，配=n取，當加=1

時，|P川=3.

(1)求橢圓。標準方程；

(2)試判斷機+n是否為定值，若是求出定值，若不是說明理由.

8.在非RtAABC中，已知sin/lsinBsin(C—8)=后也?。，其中tan。=■!(()<8<■!)?

⑴若tanC=2,A=l,求高+熹的值;

⑵是否存在2使得++熹+意為定值？若存在，求a的值，并求出該定值為多少；若不存在，請說明理由.

9.已知圓。的方程為/+y2=4,尸為圓上動點，點/坐標為(1,0),連OP,FP.過點P作直線燈的垂

線/,線段尸尸的中垂線交。尸于點直線松交/于點N.

⑴求點/的軌跡方程；

(2)記點/的軌跡為曲線C,過點G(4,0)作斜率不為0的直線〃交曲線。于不同兩點S,R,直線x=l與直

線〃交于點“，記4=1^〃=＞受，問：九〃是否為定值?若是，求出該定值；若不是，請說明理由.

HFSGFR

v2,,2

10.已知橢圓E:%+患=1,。＞6＞0)的離心率為墨短軸長為2.

(1)求橢圓￡的方程；

(2)如圖，已知4B,C為橢圓E上三個不同的點，原點。為△ABC的重心；

①如果直線AB,0C的斜率都存在，求證：為定值；

②試判斷△ABC的面積是否為定值，如果是，求出這個定值；如果不是，請說明理由.

11.已知橢圓E：捻+]=l(a>b>0)的離心率為乎,短軸長為4.

(1)求橢圓￡的方程；

(2)設直線y=k久-l(keR)與橢圓E交于C,D兩點,在y軸上是否存在定點0,使得對任意實數(shù)左，直線

QC,。。的斜率乘積為定值？若存在，求出點0的坐標；若不存在，說明理由.

_-.2.,2-I

12.已知橢圓E:云+與=16>6>0)的離心率為右其左、右頂點分別為4B,左、右焦點為鼻,52，點

P為橢圓上異于4B的動點，且APF1F2的面積最大值為百.

⑴求橢圓E的方程；

⑵設過定點7(-1,0)的直線交橢圓E于M,N兩點(與4B不重合)證明：直線AM與直線BN的交點的橫坐

標為定值.

?2.,2、/7

13.已知橢圓C展+與=l(a>b>0)的離心率為苧橢圓C的左、右頂點分別為4,42,上頂點為。，點41

到直線42。的距離為亨

(1)求橢圓C的標準方程;

(2)過點(2,1)的直線I交橢圓C于P,Q兩點，過點P作x軸的垂線交直線42(2于點M,點N為PM的中點，證明:

直線4N的斜率為定值.

14.已知橢圓氏5+3=1(口>6>。)的離心率為苧，且過點(1,日).

(1)求橢圓E的方程；

(2)設直線/:%=1與無軸交于點M,過時作直線/1/2/1交￡于43兩點，％交后于&。兩點.已知直線AC交，于點G,

直線BD交2于點H.試探究黑是否為定值，若為定值，求出定值；若不為定值，說明理由.

\MH\

15.已知橢圓出5+，=19>6>0)的離心率為0,且過(2,0),(l,e)兩點.

(1)求橢圓E的方程；

(2)若經(jīng)過M(l,0)有兩條直線",%，它們的斜率互為倒數(shù)，人與橢圓￡交于43兩點，%與橢圓￡交于C，

。兩點，P,。分別是力B,CD的中點.試探究：AOPQ與AMPQ的面積之比是否為定值？若是，請求出此定

值；若不是，請說明理由.

16.已知雙曲線7一方=1,C2：^2-^2=l(a>