小學(xué)數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)資料

常用的數(shù)量關(guān)系式

1、每份數(shù)X份數(shù)=總數(shù)總數(shù)+每份數(shù)=份數(shù)總數(shù)+份數(shù)=每份數(shù)

2、1倍數(shù)X倍數(shù)=幾倍數(shù)幾倍數(shù)+1倍數(shù)=倍數(shù)幾倍數(shù)+倍數(shù)=1倍數(shù)

3、速度X時間=旅程旅程+速度=時間旅程+時間=速度

4、單價X數(shù)量=總價總價+單價=數(shù)量總價?數(shù)量=單價

5、工作效率X工作時間=工作總量工作總量+工作效率=工作時間

工作總量+工作時間=工作效率

6、加數(shù)+加數(shù)=和和---種加數(shù)=另一種加數(shù)

7、被減數(shù)一減數(shù)=差被減數(shù)一差=減數(shù)差+減數(shù)=被減數(shù)

8、因數(shù)X因數(shù)=積積小一種因數(shù)=另一種因數(shù)

9、被除數(shù)+除數(shù)=商被除數(shù)小商=除數(shù)商X除數(shù)=被除數(shù)

小學(xué)數(shù)學(xué)圖形計(jì)算公式

1、正方形（C：周長S：面積a：邊長)

周長=邊長X4C=4a面積二邊長X邊長S=aXa

2、正方體（V:體積a：棱長）

表面積二棱長X棱長X6S表=aXaX6體積二棱長X棱長X棱長V=aXaXa

3、長方形（C：周長S：面積a：邊長)

周長二（長+寬）X2C=2（a+b）面積二長X寬S=ab

4、長方體（V:體積s:面積a:長b:寬h:高）

（1）表面積（長X寬+長X高+寬X高）X2S=2(ab+ah+bh)(2)體積二長X寬X高V二abh

5、三角形（s：面積a：底h：高）

面積二底X[^j4~2s—ah-F2三角形高二面積X2+底三角形底二面積X2?高

6、平行四邊形（s：面積a：底h：高）面積二底X高s=ah

7、梯形（s：面積a：上底b：下底h：|W］）面積=（上底+下底）X圖+2s=（a+b）Xh+2

8、圓形（S：面積C：周長JId=直徑r=半徑）

⑴周長=直徑義n=2XJIX半徑C=Jid=2Jir（2）面積=半徑X半徑XJI

9、圓柱體（v:體積h:高s：底面積r:底面半徑c:底面周長）

（1）側(cè)面積=底面周長乂高=￡±（2"1'或"d）（2）表面積=側(cè)面積+底面積X2

（3）體積=底面積義高（4）體積=側(cè)面積+2X半徑

10、圓錐體（v:體積h:高s：底面積r:底面半徑）體積=底面積X高+3

11、總數(shù)+總份數(shù)=平均數(shù)

12、和差問題的公式（和+差）+2=大數(shù)（和一差）+2=小數(shù)

13、和倍問題和?。ū稊?shù)-1）=小數(shù)小數(shù)義倍數(shù)=大數(shù)（或者和一小數(shù)=大數(shù)）

14、差倍問題差?。ū稊?shù)一1）=小數(shù)小數(shù)義倍數(shù)=大數(shù)（或小數(shù)+差=大數(shù)）

15相遇問題

相遇旅程=速度和義相遇時間相遇時間=相遇旅程+速度和速度和=相遇旅程+相遇時間

16濃度問題

溶質(zhì)的I重量+溶劑的I重量=溶液的重量溶質(zhì)的I重量+溶液的I重量x100%=濃度

溶液的重量X濃度=溶質(zhì)的重量溶質(zhì)的重量+濃度=溶液的重量

17、利潤與折扣問題

利潤=售出價一成本利潤率=利潤+成本X100%=（售出價+成本—1）X100%

漲跌金額=本金X漲跌比例利息=本金X利率X時間

稅后利息=本金X利率X時間義（1—20%）

常用單位換算

長度單位換算1千米=1000米1米=10分米1分米=10厘米1米=100厘米1厘米=10毫米

面積單位換算1平方千米=100公頃1公頃=10000平方米1平方米=100平方分米

1平方分米=100平方厘米1平方厘米=100平方毫米

體（容）積單位換算1立方米=1000立方分米1立方分米=1000立方厘米1立方分米=1升

1立方厘米=1毫升1立方米=1000升

重量單位換算1噸=1000公斤1公斤=1000克1公斤=1公斤

人民幣單位換算1元=10角1角=10分1元=100分

時間單位換算

1世紀(jì)=123年1年=12月大月（31天）有:1\3\5\7\8\10\12月小月（30天）時有:4\6\9vli月

平年2月28天，閏年2月29天平年整年365天，閏年整年366天1日=24小時

1時=60分1分=60秒1時=3600秒

基本概念

第一章數(shù)和數(shù)的運(yùn)算

一概念

（一）整數(shù)

1整數(shù)的意義自然數(shù)和0都是整數(shù)。

2自然數(shù)我們在數(shù)物體的時候，用來表達(dá)物體個數(shù)的1,2,3……叫做自然數(shù)。

一種物體也沒有，用0表達(dá)。0也是自然數(shù)。

3計(jì)數(shù)單位一（個）、十、百、千、萬、十萬、百萬、千萬、億……都是計(jì)數(shù)單位。

每相鄰兩個計(jì)數(shù)單位之間的進(jìn)率都是10。這樣的計(jì)數(shù)法叫做十進(jìn)制計(jì)數(shù)法。

4數(shù)位計(jì)數(shù)單位按照一定的次序排列起來，它們所占的位置叫做數(shù)位。

5數(shù)的整除

整數(shù)a除以整數(shù)b（bWO）,除得時商是整數(shù)而沒有余數(shù)，我們就說a能被b整除，或者說b能整除a。

假如數(shù)a能被數(shù)b（b=0）整除，a就叫做b的倍數(shù)，b就叫做a的約數(shù)（或a的因數(shù)）。倍數(shù)和約數(shù)是

互相依存的。

由于35能被7整除，因此35是7的倍數(shù)，7是35的約數(shù)。

一種數(shù)的約數(shù)的個數(shù)是有限的，其中最小的約數(shù)是1,最大的約數(shù)是它自身。例如：10的約數(shù)有1、2、

5、10,其中最小的約數(shù)是1,最大的約數(shù)是10。

一種數(shù)的倍數(shù)的個數(shù)是無限的，其中最小的倍數(shù)是它自身。3的倍數(shù)有：3、6、9、12……其中最小時倍

數(shù)是3,沒有最大的倍數(shù)。

個位上是0、2、4、6、8的數(shù)，都能被2整除，例如：202、480、304,都能被2整除。。

個位上是0或5的數(shù)，都能被5整除，例如：5、30、405都能被5整除。。

一種數(shù)的各位上時數(shù)附和能被3整除，這個數(shù)就能被3整除，例如：12、108、204都能被3整除。

一種數(shù)各位數(shù)上附和能被9整除，這個數(shù)就能被9整除。

能被3整除的數(shù)不一定能被9整除，不過能被9整除的數(shù)一定能被3整除。

一種數(shù)的末兩位數(shù)能被4（或25）整除，這個數(shù)就能被4（或25）整除。例如：16、404、1256都能被4

整除，50、325、500、1675都能被25整除。

一種數(shù)的末三位數(shù)能被8（或125）整除，這個數(shù)就能被8（或125）整除。例如：1168、4600、5000、

12344都能被8整除，1125、13375、5000都能被125整除。

能被2整除時數(shù)叫做偶數(shù)。不能被2整除時數(shù)叫做奇數(shù)。

0也是偶數(shù)。自然數(shù)按能否被2整除的特性可分為奇數(shù)和偶數(shù)。

一種數(shù)，假如只有1和它自身兩個約數(shù)，這樣時數(shù)叫做質(zhì)數(shù)（或素?cái)?shù)），100以內(nèi)的質(zhì)數(shù)有：2、3、5、

7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。

一種數(shù)，假如除了1和它自身尚有別的約數(shù)，這樣時數(shù)叫做合數(shù)，例如4、6、8、9、12都是合數(shù)。

1不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)，自然數(shù)除了1外，不是質(zhì)數(shù)就是合數(shù)。假如把自然數(shù)按其約數(shù)的個數(shù)的不一樣分

類，可分為質(zhì)數(shù)、合數(shù)和1。

每個合數(shù)都可以寫成幾種質(zhì)數(shù)相乘的形式。其中每個質(zhì)數(shù)都是這個合數(shù)的因數(shù)，叫做這個合數(shù)的質(zhì)因

數(shù),例如15=3X5,3和5叫做15的質(zhì)因數(shù)。

把一種合數(shù)用質(zhì)因數(shù)相乘的形式表達(dá)出來，叫做分解質(zhì)因數(shù)。

例如把28分解質(zhì)因數(shù)

幾種數(shù)公有的約數(shù)，叫做這幾種數(shù)的公約數(shù)。其中最大的一種，叫做這幾種數(shù)的最大公約數(shù)，例如12日勺

約數(shù)有1、2、3、4、6、12；18的約數(shù)有1、2、3、6、9、18?其中，1、2、3、6是12和18的公約

數(shù)，6是它們的最大公約數(shù)。

公約數(shù)只有1的兩個數(shù)，叫做互質(zhì)數(shù)，成互質(zhì)關(guān)系的兩個數(shù)，有下列幾種狀況：

1和任何自然數(shù)互質(zhì)。相鄰的兩個自然數(shù)互質(zhì)。

兩個不一樣的質(zhì)數(shù)互質(zhì)。當(dāng)合數(shù)不是質(zhì)數(shù)的倍數(shù)時，這個合數(shù)和這個質(zhì)數(shù)互質(zhì)。

兩個合數(shù)的公約數(shù)只有1時，這兩個合數(shù)互質(zhì)，假如幾種數(shù)中任意兩個都互質(zhì)，就說這幾種數(shù)兩兩互

質(zhì)。

假如較小數(shù)是較大數(shù)的約數(shù)，那么較小數(shù)就是這兩個數(shù)的最大公約數(shù)。

假如兩個數(shù)是互質(zhì)數(shù)，它們的最大公約數(shù)就是1。

幾種數(shù)公有日勺倍數(shù)，叫做這幾種數(shù)的公倍數(shù)，其中最小的一種，叫做這幾種數(shù)的最小公倍數(shù)，如2的倍

數(shù)有2、4、6、8、10、12、14、16、18.......

3的倍數(shù)有3、6、9、12、15、18……其中6、12、18……是2、3的公倍數(shù),6是它們的最小公倍數(shù)。。

假如較大數(shù)是較小數(shù)的倍數(shù)，那么較大數(shù)就是這兩個數(shù)的最小公倍數(shù)。

假如兩個數(shù)是互質(zhì)數(shù)，那么這兩個數(shù)的積就是它們的最小公倍數(shù)。

幾種數(shù)的公約數(shù)的個數(shù)是有限的，而幾種數(shù)的公倍數(shù)的個數(shù)是無限的。

（二）小數(shù)

1小數(shù)的意義

把整數(shù)1平均提成10份、100份、1000份……得到的十分之幾、百分之幾、千分之幾……可以用小數(shù)表

達(dá)。

一位小數(shù)表達(dá)十分之幾，兩位小數(shù)表達(dá)百分之幾，三位小數(shù)表達(dá)千分之幾……

一種小數(shù)由整數(shù)部分、小數(shù)部分和小數(shù)點(diǎn)部分構(gòu)成。數(shù)中的圓點(diǎn)叫做小數(shù)點(diǎn)，小數(shù)點(diǎn)左邊時數(shù)叫做整數(shù)

部分，小數(shù)點(diǎn)左邊時數(shù)叫做整數(shù)部分，小數(shù)點(diǎn)右邊時數(shù)叫做小數(shù)部分。

在小數(shù)里，每相鄰兩個計(jì)數(shù)單位之間的進(jìn)率都是10。小數(shù)部分的最高分?jǐn)?shù)單位“十分之一”和整數(shù)部分

的最低單位“一”之間日勺進(jìn)率也是10。

2小數(shù)的分類

純小數(shù)：整數(shù)部分是零的小數(shù)，叫做純小數(shù)。例如：0.25、0.368都是純小數(shù)。

帶小數(shù)：整數(shù)部分不是零的小數(shù)，叫做帶小數(shù)。例如：3.25、5.26都是帶小數(shù)。

有限小數(shù)：小數(shù)部分的數(shù)位是有限的小數(shù)，叫做有限小數(shù)。例如：41.7、25.3、0.23都是有限小數(shù)。

無限小數(shù)：小數(shù)部分的數(shù)位是無限日勺小數(shù)，叫做無限小數(shù)。例如：4.33……3.1415926……

無限不循環(huán)小數(shù)：一種數(shù)的小數(shù)部分，數(shù)字排列無規(guī)律且位數(shù)無限，這樣的小數(shù)叫做無限不循環(huán)小數(shù)。

例如：n

循環(huán)小數(shù)：一種數(shù)的小數(shù)部分，有一種數(shù)字或者幾種數(shù)字依次不停反復(fù)出現(xiàn)，這個數(shù)叫做循環(huán)小數(shù)。例

如：3.555........0.0333.......12.109109.......

一種循環(huán)小數(shù)的小數(shù)部分，依次不停反復(fù)出現(xiàn)的數(shù)字叫做這個循環(huán)小數(shù)的循環(huán)節(jié)。例如：3.99……的循

環(huán)節(jié)是“9”，0.5454……的循環(huán)節(jié)是“54”。

純循環(huán)小數(shù)：循環(huán)節(jié)從小數(shù)部分第一位開始時，叫做純循環(huán)小數(shù)。例如：3.111……0.5656……

混循環(huán)小數(shù)：循環(huán)節(jié)不是從小數(shù)部分第一位開始時，叫做混循環(huán)小數(shù)。3.1222……0.03333……

寫循環(huán)小數(shù)的時候，為了簡便，小數(shù)的循環(huán)部分只需寫出一種循環(huán)節(jié)，并在這個循環(huán)節(jié)的首、末位數(shù)字

上各點(diǎn)一種圓點(diǎn)。假如循環(huán)節(jié)只有一種數(shù)字，就只在它的上面點(diǎn)一種點(diǎn)。例如：3.777……簡寫作

0.5302302.......簡寫作o

（三）分?jǐn)?shù)

1分?jǐn)?shù)的意義

把單位“1”平均提成若干份，表達(dá)這樣的一份或者幾份的數(shù)叫做分?jǐn)?shù)。

在分?jǐn)?shù)里，中間的橫線叫做分?jǐn)?shù)線；分?jǐn)?shù)線下面的數(shù)，叫做分母，表達(dá)把單位“1”平均提成多少份；分

數(shù)線下面的數(shù)叫做分子，表達(dá)有這樣的多少份。

把單位“1”平均提成若干份，表達(dá)其中的一份的數(shù)，叫做分?jǐn)?shù)單位。

2分?jǐn)?shù)的分類

真分?jǐn)?shù)：分子比分母小日勺分?jǐn)?shù)叫做真分?jǐn)?shù)。真分?jǐn)?shù)不不小于1。

假分?jǐn)?shù)：分子比分母大或者分子和分母相等的分?jǐn)?shù)，叫做假分?jǐn)?shù)。假分?jǐn)?shù)不小于或等于1。

帶分?jǐn)?shù)：假分?jǐn)?shù)可以寫成整數(shù)與真分?jǐn)?shù)合成的數(shù)，一般叫做帶分?jǐn)?shù)。

3約分和通分

把一種分?jǐn)?shù)化成同它相等不過分子、分母都比較小的分?jǐn)?shù)，叫做約分。

分子分母是互質(zhì)數(shù)的分?jǐn)?shù)，叫做最簡分?jǐn)?shù)。

把異分母分?jǐn)?shù)分別化成和本來分?jǐn)?shù)相等的同分母分?jǐn)?shù)，叫做通分。

（四）百分?jǐn)?shù)

1表達(dá)一種數(shù)是另一種數(shù)的百分之幾時數(shù)叫做百分?jǐn)?shù),也叫做百分率或比例。百分?jǐn)?shù)一般用“％”來表達(dá)。

百分號是表達(dá)百分?jǐn)?shù)的符號。

二措施

（一）數(shù)的讀法和寫法

1.整數(shù)的讀法：從高位到低位，一級一級地讀。讀億級、萬級時，先按照個級的讀法去讀，再在背面加

一種“億”或“萬”字。每一級末尾的0都不讀出來，其他數(shù)位持續(xù)有幾種0都只讀一種零。

2.整數(shù)的寫法：從高位到低位，一級一級地寫，哪一種數(shù)位上一種單位也沒有，就在那個數(shù)位上寫0。

3.小數(shù)的讀法：讀小數(shù)的時候，整數(shù)部分按照整數(shù)的讀法讀，小數(shù)點(diǎn)讀作“點(diǎn)”，小數(shù)部分從左向右順

次讀出每一位數(shù)位上的數(shù)字。

4.小數(shù)的寫法：寫小數(shù)的時候，整數(shù)部分按照整數(shù)的寫法來寫，小數(shù)點(diǎn)寫在個位右下角，小數(shù)部分順次

寫出每一種數(shù)位上的數(shù)字。

5.分?jǐn)?shù)的讀法：讀分?jǐn)?shù)時，先讀分母再讀“分之”然后讀分子，分子和分母按照整數(shù)的讀法來讀。

6.分?jǐn)?shù)的寫法：先寫分?jǐn)?shù)線，再寫分母，最終寫分子，按照整數(shù)的寫法來寫。

7.百分?jǐn)?shù)的讀法：讀百分?jǐn)?shù)時，先讀百分之，再讀百分號前面的數(shù)，讀數(shù)時按照整數(shù)的讀法來讀。

8.百分?jǐn)?shù)的寫法：百分?jǐn)?shù)一般不寫成分?jǐn)?shù)形式，而在本來的分子背面加上百分號“％”來表達(dá)。

（二）數(shù)的改寫

一種較大的多位數(shù)，為了讀寫以便，常常把它改寫成用“萬”或“億”作單位的數(shù)。有時還可以根據(jù)需

要，省略這個數(shù)某一位背面的數(shù)，寫成近似數(shù)。

1.精確數(shù)：在實(shí)際生活中，為了計(jì)數(shù)的簡便，可以把一種較大時數(shù)改寫成以萬或億為單位時數(shù)。改寫后

時數(shù)是原數(shù)的精確數(shù)。例如把改寫成以萬做單位時數(shù)是125430萬；改寫成以億做單位時數(shù)12.543

億。

2.近似數(shù)：根據(jù)實(shí)際需要，我們還可以把一種較大的數(shù)，省略某一位背面的尾數(shù)，用一種近似數(shù)來表

達(dá)。例如：省略億背面的尾數(shù)是13億。

3.四舍五入法：要省略的尾數(shù)的最高位上的數(shù)是4或者比4小，就把尾數(shù)去掉；假如尾數(shù)的最高位上的

數(shù)是5或者比5大，就把尾數(shù)舍去，并向它的前一位進(jìn)1。例如：省略345900萬背面的尾數(shù)約是35萬。

省略億背面的尾數(shù)約是47億。

4.大小比較

1.比較整數(shù)大?。罕容^整數(shù)的大小，位數(shù)多的那個數(shù)就大，假如位數(shù)相似，就看最高位，最高位上的數(shù)

大，那個數(shù)就大；最高位上的數(shù)相似，就看下一位，哪一位上時數(shù)大那個數(shù)就大。

2.比較小數(shù)的大?。合瓤此鼈兊恼麛?shù)部分，，整數(shù)部分大的那個數(shù)就大；整數(shù)部分相似的，十分位上的

數(shù)大的那個數(shù)就大；十分位上時數(shù)也相似的，百分位上時數(shù)大的那個數(shù)就大……

3.比較分?jǐn)?shù)的大小:分母相似的分?jǐn)?shù)，分子大的分?jǐn)?shù)比較大；分子相似的數(shù)，分母小的分?jǐn)?shù)大。分?jǐn)?shù)的分

母和分子都不相似的，先通分，再比較兩個數(shù)的大小。

（三）數(shù)的互化

1.小數(shù)化成分?jǐn)?shù)：本來有幾位小數(shù)，就在1的背面寫幾種零作分母，把本來的小數(shù)去掉小數(shù)點(diǎn)作分子，

能約分的要約分。

2.分?jǐn)?shù)化成小數(shù)：用分母清除分子。能除盡的就化成有限小數(shù)，有時不能除盡，不能化成有限小數(shù)的，

一般保留三位小數(shù)。

3.一種最簡分?jǐn)?shù)，假如分母中除了2和5以外，不具有其他的質(zhì)因數(shù)，這個分?jǐn)?shù)就能化成有限小數(shù)；假

如分母中具有2和5以外的質(zhì)因數(shù)，這個分?jǐn)?shù)就不能化成有限小數(shù)。

4.小數(shù)化成百分?jǐn)?shù)：只要把小數(shù)點(diǎn)向右移動兩位，同步在背面添上百分號。

5.百分?jǐn)?shù)化成小數(shù)：把百分?jǐn)?shù)化成小數(shù)，只要把百分號去掉，同步把小數(shù)點(diǎn)向左移動兩位。

6.分?jǐn)?shù)化成百分?jǐn)?shù)：一般先把分?jǐn)?shù)化成小數(shù)（除不盡時，一般保留三位小數(shù)），再把小數(shù)化成百分?jǐn)?shù)。

7.百分?jǐn)?shù)化成小數(shù)：先把百分?jǐn)?shù)改寫成分?jǐn)?shù)，能約分的要約成最簡分?jǐn)?shù)。

（四）數(shù)的整除

1.把一種合數(shù)分解質(zhì)因數(shù)，一般用短除法。先用能整除這個合數(shù)的質(zhì)數(shù)清除，一直除到商是質(zhì)數(shù)為止，

再把除數(shù)和商寫成連乘的形式。

2.求幾種數(shù)的最大公約數(shù)的措施是：先用這幾種數(shù)日勺公約數(shù)持續(xù)清除，一直除到所得的商只有公約數(shù)1

為止，然后把所有的除數(shù)連乘求積，這個積就是這幾種數(shù)時的最大公約數(shù)。

3.求幾種數(shù)的最小公倍數(shù)的措施是：先用這幾種數(shù)（或其中的部分?jǐn)?shù)）日勺公約數(shù)清除，一直除到互質(zhì)

（或兩兩互質(zhì)）為止，然后把所有的除數(shù)和商連乘求積，這個積就是這幾種數(shù)日勺最小公倍數(shù)。

4.成為互質(zhì)關(guān)系的兩個數(shù)：1和任何自然數(shù)互質(zhì)；相鄰的兩個自然數(shù)互質(zhì)；當(dāng)合數(shù)不是質(zhì)數(shù)的倍數(shù)時，

這個合數(shù)和這個質(zhì)數(shù)互質(zhì)；兩個合數(shù)的公約數(shù)只有1時，這兩個合數(shù)互質(zhì)。

（五）約分和通分

約分的措施：用分子和分母的公約數(shù)（1除外）清除分子、分母；一般要除到得出最簡分?jǐn)?shù)為止。

通分的措施：先求出本來的幾種分?jǐn)?shù)分母的最小公倍數(shù)，然后把各分?jǐn)?shù)化成用這個最小公倍數(shù)作分母的

分?jǐn)?shù)。

三性質(zhì)和規(guī)律

（一）商不變的規(guī)律商不變的規(guī)律：在除法里，被除數(shù)和除數(shù)同步擴(kuò)大或者同步縮小相似的倍，商不

變。

（二）小數(shù)的性質(zhì)小數(shù)的性質(zhì)：在小數(shù)的末尾添上零或者去掉零小數(shù)的大小不變。

（三）小數(shù)點(diǎn)位置的移動引起小數(shù)大小的變化

1.小數(shù)點(diǎn)向右移動一位，本來時數(shù)就擴(kuò)大10倍；小數(shù)點(diǎn)向右移動兩位，本來時數(shù)就擴(kuò)大100倍；小數(shù)點(diǎn)

向右移動三位，本來時數(shù)就擴(kuò)大1000倍……

2.小數(shù)點(diǎn)向左移動一位，本來時數(shù)就縮小10倍；小數(shù)點(diǎn)向左移動兩位，本來時數(shù)就縮小100倍；小數(shù)點(diǎn)

向左移動三位，本來時數(shù)就縮小1000倍……

3.小數(shù)點(diǎn)向左移或者向右移位數(shù)不夠時，要用“0”補(bǔ)足位。

（四）分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)

分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)：分?jǐn)?shù)的分子和分母都乘以或者除以相似的數(shù)（零除外），分?jǐn)?shù)的大小不變。

（五）分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系

1.被除數(shù)+除數(shù)=被除數(shù)/除數(shù)

2.由于零不能作除數(shù)，因此分?jǐn)?shù)的分母不能為零。

3.被除數(shù)相稱于分子，除數(shù)相稱于分母。

四運(yùn)算日勺意義

（一）整數(shù)四則運(yùn)算

1整數(shù)加法：把兩個數(shù)合并成一種數(shù)的運(yùn)算叫做加法。

在加法里，相加時數(shù)叫做加數(shù)，加得時數(shù)叫做和。加數(shù)是部分?jǐn)?shù)，和是總數(shù)。

加數(shù)+加數(shù)=和一種加數(shù)=和一另一種加數(shù)

2整數(shù)減法：已知兩個加數(shù)時和與其中的一種加數(shù)，求另一種加數(shù)的運(yùn)算叫做減法。

在減法里，己知的和叫做被減數(shù)，已知時加數(shù)叫做減數(shù)，未知的加數(shù)叫做差。被減數(shù)是總數(shù)，減數(shù)和差

分別是部分?jǐn)?shù)。

加法和減法互為逆運(yùn)算。

3整數(shù)乘法：求幾種相似加數(shù)附和的簡便運(yùn)算叫做乘法。

在乘法里，相似日勺加數(shù)和相似加數(shù)日勺個數(shù)都叫做因數(shù)。相似加數(shù)時和叫做積。

在乘法里，。和任何數(shù)相乘都得0.1和任何數(shù)相乘都的任何數(shù)。

一種因數(shù)X一種因數(shù)=積一種因數(shù)=積+另一種因數(shù)

4整數(shù)除法：已知兩個因數(shù)的積與其中一種因數(shù)，求另一種因數(shù)的運(yùn)算叫做除法。

在除法里，已知的積叫做被除數(shù)，已知的一種因數(shù)叫做除數(shù)，所求的因數(shù)叫做商。

乘法和除法互為逆運(yùn)算。

在除法里，0不能做除數(shù)。由于0和任何數(shù)相乘都得0,因此任何一種數(shù)除以0,均得不到一種確定的

商。

被除數(shù)+除數(shù)=商除數(shù)=被除數(shù)+商被除數(shù)=商乂除數(shù)

（二）小數(shù)四則運(yùn)算

1.小數(shù)加法：小數(shù)加法的意義與整數(shù)加法的意義相似。是把兩個數(shù)合并成一種數(shù)的運(yùn)算。

2.小數(shù)減法：

小數(shù)減法的意義與整數(shù)減法的意義相似。已知兩個加數(shù)的和與其中的一種加數(shù)，求另一種加數(shù)的運(yùn)算.

3.小數(shù)乘法：

小數(shù)乘整數(shù)的意義和整數(shù)乘法的意義相似，就是求幾種相似加數(shù)和的簡便運(yùn)算；一種數(shù)乘純小數(shù)的意義

是求這個數(shù)的十分之幾、百分之幾、千分之幾……是多少。

4.小數(shù)除法：

小數(shù)除法的意義與整數(shù)除法的意義相似，就是已知兩個因數(shù)的積與其中一種因數(shù)，求另一種因數(shù)的運(yùn)

算。

5.乘方:求幾種相似因數(shù)時積的運(yùn)算叫做乘方。例如3X3=32

（三）分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算

1.分?jǐn)?shù)加法：分?jǐn)?shù)加法的意義與整數(shù)加法日勺意義相似。是把兩個數(shù)合并成一種數(shù)日勺運(yùn)算。

2.分?jǐn)?shù)減法：

分?jǐn)?shù)減法的意義與整數(shù)減法的意義相似。已知兩個加數(shù)的和與其中的一種加數(shù)，求另一種加數(shù)的運(yùn)算。

3.分?jǐn)?shù)乘法：分?jǐn)?shù)乘法的意義與整數(shù)乘法的意義相似，就是求幾種相似加數(shù)和的簡便運(yùn)算。

4.乘積是1的兩個數(shù)叫做互為倒數(shù)。

5.分?jǐn)?shù)除法：

分?jǐn)?shù)除法的意義與整數(shù)除法的意義相似。就是已知兩個因數(shù)的積與其中一種因數(shù)，求另一種因數(shù)的運(yùn)

算。

（四）運(yùn)算定律

1.加法互換律：兩個數(shù)相加，互換加數(shù)的位置，它們附和不變，即a+b=b+a。

2.加法結(jié)合律：三個數(shù)相加，先把前兩個數(shù)相加，再加上第三個數(shù)；或者先把后兩個數(shù)相加，再和第一

種數(shù)相力口它們的I和不變，即(a+b)+c=a+(b+c)。

3.乘法互換律：兩個數(shù)相乘，互換因數(shù)的I位置它們時積不變，即aXb=bXa。

4.乘法結(jié)合律：三個數(shù)相乘，先把前兩個數(shù)相乘，再乘以第三個數(shù)；或者先把后兩個數(shù)相乘，再和第一

種數(shù)相乘,它們的I積不變,即(aXb)Xc=aX(bXc)。

5.乘法分派律：

兩個數(shù)附和與一種數(shù)相乘，可以把兩個加數(shù)分別與這個數(shù)相乘再把兩個積相加，即(a+b)Xc=aXc+bXc。

6.減法的性質(zhì)：

從一種數(shù)里持續(xù)減去幾種數(shù)，可以從這個數(shù)里減去所有減數(shù)時和，差不變，即a-b-c=a-(b+c)。

(五)運(yùn)算法則

1.整數(shù)加法計(jì)算法則：相似數(shù)位對齊，從低位加起，哪一位上的數(shù)相加滿十，就向前一位進(jìn)一。

2.整數(shù)減法計(jì)算法則：相似數(shù)位對齊，從低位加起，哪一位上時數(shù)不夠減，就從它的前一位退一作十，

和本位上的數(shù)合并在一起，再減。

3.整數(shù)乘法計(jì)算法則：先用一種因數(shù)每一位上時數(shù)分別去乘另一種因數(shù)各個數(shù)位上的數(shù)，用因數(shù)哪一位

上時數(shù)去乘，乘得時數(shù)的末尾就對齊哪一位，然后把各次乘得時數(shù)加起來。

4.整數(shù)除法計(jì)算法則：

先從被除數(shù)的高位除起，除數(shù)是幾位數(shù)，就看被除數(shù)的前幾位；假如不夠除，就多看一位，除到被除數(shù)

日勺哪一位，商就寫在哪一位的上面。假如哪一位上不夠商1,要補(bǔ)“0”占位。每次除得的余數(shù)要不不小

于除數(shù)。

5.小數(shù)乘法法則：先按照整數(shù)乘法的計(jì)算法則算出積，再看因數(shù)中共有幾位小數(shù)，就從積的右邊起數(shù)出

幾位，點(diǎn)上小數(shù)點(diǎn)；假如位數(shù)不夠，就用“0”補(bǔ)足。

6.除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法計(jì)算法則：先按照整數(shù)除法的法則清除，商的小數(shù)點(diǎn)要和被除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)對

齊；假如除到被除數(shù)的末尾仍有余數(shù)，就在余數(shù)背面添“0”，再繼續(xù)除。

7.除數(shù)是小數(shù)的除法計(jì)算法則：先移動除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)，使它變成整數(shù)，除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)也向右移動幾位

（位數(shù)不夠的補(bǔ)“0”），然后按照除數(shù)是整數(shù)的除法法則進(jìn)行計(jì)算。

8.同分母分?jǐn)?shù)加減法計(jì)算措施：同分母分?jǐn)?shù)相加減，只把分子相加減，分母不變。

9.異分母分?jǐn)?shù)加減法計(jì)算措施：先通分，然后按照同分母分?jǐn)?shù)加減法的的法則進(jìn)行計(jì)算。

10.帶分?jǐn)?shù)加減法的計(jì)算措施：整數(shù)部分和分?jǐn)?shù)部分分別相加減，再把所得的數(shù)合并起來。

11.分?jǐn)?shù)乘法的計(jì)算法則：分?jǐn)?shù)乘整數(shù)，用分?jǐn)?shù)的分子和整數(shù)相乘的積作分子，分母不變；分?jǐn)?shù)乘分

數(shù)，用分子相乘的積作分子，分母相乘的積作分母。

12.分?jǐn)?shù)除法的計(jì)算法則：甲數(shù)除以乙數(shù)（0除外），等于甲數(shù)乘乙數(shù)的倒數(shù)。

（六）運(yùn)算次序

1.小數(shù)四則運(yùn)算的運(yùn)算次序和整數(shù)四則運(yùn)算次序相似。

2.分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算的運(yùn)算次序和整數(shù)四則運(yùn)算次序相似。

3.沒有括號的混合運(yùn)算：同級運(yùn)算從左往右依次運(yùn)算；兩級運(yùn)算先算乘、除法，后算加減法。

4.有括號的混合運(yùn)算：先算小括號里面的，再算中括號里面的，最終算括號外面的。

5.第一級運(yùn)算：加法和減法叫做第一級運(yùn)算。

6.第二級運(yùn)算：乘法和除法叫做第二級運(yùn)算。

五應(yīng)用

（一）整數(shù)和小數(shù)的應(yīng)用

1簡樸應(yīng)用題

（1）簡樸應(yīng)用題：只具有一種基本數(shù)量關(guān)系，或用一步運(yùn)算解答時應(yīng)用題，一般叫做簡樸應(yīng)用題。

（2）解題環(huán)節(jié):

a審題理解題意：理解應(yīng)用題的內(nèi)容，懂得應(yīng)用題的條件和問題。讀題時，不丟字不添字邊讀邊思索，弄

明白題中每句話日勺意思。也可以復(fù)述條件和問題，協(xié)助理解題意。

b選擇算法和列式計(jì)算：這是解答應(yīng)用題的中心工作。從題目中告訴什么，規(guī)定什么著手，逐漸根據(jù)所給

的條件和問題，聯(lián)絡(luò)四則運(yùn)算的含義，分析數(shù)量關(guān)系，確定算法，進(jìn)行解答并標(biāo)明對的的單位名稱。

c檢查：就是根據(jù)應(yīng)用題的條件和問題進(jìn)行檢查看所列算式和計(jì)算過程與否對的，與否符合題意。假如發(fā)

現(xiàn)錯誤，立即改正。

2復(fù)合應(yīng)用題

(1)有兩個或兩個以上的基本數(shù)量關(guān)系構(gòu)成的，用兩步或兩步以上運(yùn)算解答時應(yīng)用題，一般叫做復(fù)合應(yīng)

用題。

(2)具有三個已知條件的兩步計(jì)算時應(yīng)用題。

求比兩個數(shù)的和多(少)幾種數(shù)的應(yīng)用題。

比較兩數(shù)差與倍數(shù)關(guān)系日勺應(yīng)用題。

(3)具有兩個已知條件的兩步計(jì)算的應(yīng)用題。

已知兩數(shù)相差多少(或倍數(shù)關(guān)系)與其中一種數(shù)，求兩個數(shù)的和(或差)。

已知兩數(shù)之和與其中一種數(shù)，求兩個數(shù)相差多少(或倍數(shù)關(guān)系)。

(4)解答連乘連除應(yīng)用題。

(5)解答三步計(jì)算的應(yīng)用題。

(6)解答小數(shù)計(jì)算時應(yīng)用題：小數(shù)計(jì)算附加法、減法、乘法和除法時應(yīng)用題，他們的數(shù)量關(guān)系、構(gòu)造、

和解題方式都與正式應(yīng)用題基本相似，只是在已知數(shù)或未知數(shù)中間具有小數(shù)。

d答案：根據(jù)計(jì)算的成果，先口答，逐漸過渡到筆答。

(3)解答加法應(yīng)用題：

a求總數(shù)的應(yīng)用題：已知甲數(shù)是多少，乙數(shù)是多少，求甲乙兩數(shù)附和是多少。

b求比一種數(shù)多幾時數(shù)應(yīng)用題：已知甲數(shù)是多少和乙數(shù)比甲數(shù)多多少，求乙數(shù)是多少。

(4)解答減法應(yīng)用題：

a求剩余時應(yīng)用題：從己知數(shù)中去掉一部分，求剩余的部分。

-b求兩個數(shù)相差日勺多少的應(yīng)用題：已知甲乙兩數(shù)各是多少，求甲數(shù)比乙數(shù)多多少，或乙數(shù)比甲數(shù)少多

少。

c求比一種數(shù)少幾時數(shù)的應(yīng)用題：已知甲數(shù)是多少，，乙數(shù)比甲數(shù)少多少，求乙數(shù)是多少。

(5)解答乘法應(yīng)用題：

a求相似加數(shù)和的應(yīng)用題：已知相似的加數(shù)和相似加數(shù)的個數(shù)，求總數(shù)。

b求一種數(shù)的幾倍是多少的應(yīng)用題：已知一種數(shù)是多少，另一種數(shù)是它的幾倍，求另一種數(shù)是多少。

(6)解答除法應(yīng)用題：

a把一種數(shù)平均提成幾份，求每一份是多少的應(yīng)用題：已知一種數(shù)和把這個數(shù)平均提成幾份的，求每一份

是多少。

b求一種數(shù)里包括幾種另一種數(shù)的應(yīng)用題：已知一種數(shù)和每份是多少，求可以提成幾份。

C求一種數(shù)是另一種數(shù)的的幾倍時應(yīng)用題：已知甲數(shù)乙數(shù)各是多少，求較大數(shù)是較小數(shù)的幾倍。

d已知一種數(shù)日勺幾倍是多少，求這個數(shù)的應(yīng)用題。

(7)常見的數(shù)量關(guān)系：

總價=單價X數(shù)量旅程=速度X時間工作總量=工作時間X工效總產(chǎn)量=單產(chǎn)量X數(shù)量

3經(jīng)典應(yīng)用題

具有獨(dú)特的構(gòu)造特性的和特定的解題規(guī)律的復(fù)合應(yīng)用題，一般叫做經(jīng)典應(yīng)用題。

(1)平均數(shù)問題：平均數(shù)是等分除法的發(fā)展。

解題關(guān)鍵：在于確定總數(shù)量和與之相對應(yīng)的總份數(shù)。

算術(shù)平均數(shù)：已知幾種不相等的同類量和與之相對應(yīng)的份數(shù)，求平均每份是多少。數(shù)量關(guān)系式：數(shù)量之

和+數(shù)量的個數(shù)=算術(shù)平均數(shù)。

加權(quán)平均數(shù)：已知兩個以上若干份的平均數(shù)，求總平均數(shù)是多少。

數(shù)量關(guān)系式(部分平均數(shù)X權(quán)數(shù))的總和+(權(quán)數(shù)附和)=加權(quán)平均數(shù)。

差額平均數(shù)：是把各個不小于或不不小于原則數(shù)的部分之和被總份數(shù)均分，求的是原則數(shù)與各數(shù)相差之

和的平均數(shù)。

數(shù)量關(guān)系式：(大數(shù)一小數(shù))+2=小數(shù)應(yīng)得數(shù)最大數(shù)與各數(shù)之差的和+總份數(shù)=最大數(shù)應(yīng)給數(shù)最大

數(shù)與個數(shù)之差的和小總份數(shù)=最小數(shù)應(yīng)得數(shù)。

例：一輛汽車以每小時100千米的速度從甲地開往乙地，又以每小時60千米的速度從乙地開往甲地。求

這輛車時平均速度。

分析：求汽車的平均速度同樣可以運(yùn)用公式。此題可以把甲地到乙地的旅程設(shè)為“1”，則汽車行駛的

總旅程為“2”，從甲地到乙地的速度為100,所用的時間為，汽車從乙地到甲地速度為60千米，所

用的時間是，汽車共行的時間為+=，汽車的平均速度為2+=75（千米）

（2）歸一問題：已知互相關(guān)聯(lián)的兩個量，其中一種量變化，另一種量也隨之而變化，其變化的規(guī)律是相

似的，這種問題稱之為歸一問題。

根據(jù)求“單一量”的環(huán)節(jié)的多少，歸一問題可以分為一次歸一問題，兩次歸一問題。

根據(jù)球癡單一量之后，解題采用乘法還是除法，歸一問題可以分為正歸一問題，反歸一問題。

一次歸一問題，用一步運(yùn)算就能求出“單一量”的歸一問題。又稱“單歸一?！?/p>

兩次歸一問題，用兩步運(yùn)算就能求出“單一量”的歸一問題。又稱“雙歸一?！?/p>

正歸一問題：用等分除法求出“單一量”之后，再用乘法計(jì)算成果的歸一問題。

反歸一問題：用等分除法求出“單一量”之后，再用除法計(jì)算成果的歸一問題。

解題關(guān)鍵：從己知的一組對應(yīng)量中用等分除法求出一份的數(shù)量（單一量），然后以它為原則，根據(jù)題目

的規(guī)定算出成果。

數(shù)量關(guān)系式：單一量義份數(shù)=總數(shù)量（正歸一）總數(shù)量+單一量=份數(shù)（反歸一）

例一種織布工人，在七月份織布4774米，照這樣計(jì)算，織布6930米，需要多少天？

分析：必須先求出平均每天織布多少米，就是單一量。6930+（4774+31）=45（天）

（3）歸總問題：是已知單位數(shù)量和計(jì)量單位數(shù)量的個數(shù)，以及不一樣的單位數(shù)量（或單位數(shù)量的個

數(shù)），通過求總數(shù)量求得單位數(shù)量日勺個數(shù)（或單位數(shù)量）。

特點(diǎn)：兩種有關(guān)聯(lián)的量，其中一種量變化，另一種量也跟著變化，不過變化的規(guī)律相反，和反比例算法

彼此相通。

數(shù)量關(guān)系式：單位數(shù)量X單位個數(shù)+另一種單位數(shù)量=另一種單位數(shù)量單位數(shù)量X單位個數(shù)+另一

種單位數(shù)量=另一種單位數(shù)量。

例修一條水渠，原計(jì)劃每天修800米，6天修完。實(shí)際4天修完，每天修了多少米?

分析：由于規(guī)定出每天修的長度，就必須先求出水渠的長度。因此也把此類題叫做“歸總問題”。不一

樣之處是“歸一”先求出單一量，再求總量，歸總問題是先求出總量，再求單一量。800義6+4=1200

（米）

（4）和差問題：已知大小兩個數(shù)的和，以及他們的差，求這兩個數(shù)各是多少的應(yīng)用題叫做和差問題。

解題關(guān)鍵：是把大小兩個數(shù)的和轉(zhuǎn)化成兩個大數(shù)的和（或兩個小數(shù)的和），然后再求另一種數(shù)。

解題規(guī)律：（和+差）+2=大數(shù)大數(shù)一差=小數(shù)（和一差）+2=小數(shù)和一小數(shù)=大數(shù)

例某加工廠甲班和乙班共有工人94人，因工作需要臨時從乙班調(diào)46人到甲班工作，這時乙班比甲班人

數(shù)少12人，求本來甲班和乙班各有多少人？

分析：從乙班調(diào)46人到甲班，對于總數(shù)沒有變化，目前把乙數(shù)轉(zhuǎn)化成2個乙班，即94—12,由此得到

目前日勺乙班是（94—12）4-2=41（人），乙班在調(diào)出46人之前應(yīng)當(dāng)為41+46=87（人）,甲班為94

-87=7（人）

（5）和倍問題：己知兩個數(shù)的和及它們之間的倍數(shù)關(guān)系，求兩個數(shù)各是多少的應(yīng)用題，叫做和倍問題。

解題關(guān)鍵：找準(zhǔn)原則數(shù)（即1倍數(shù)）一般說來，題中說是“誰"的幾倍，把誰就確定為原則數(shù)。求出倍

數(shù)和之后，再求出原則的數(shù)量是多少。根據(jù)另一種數(shù)（也也許是幾種數(shù)）與原則數(shù)的倍數(shù)關(guān)系，再去求

另一種數(shù)（或幾種數(shù)）的數(shù)量。

解題規(guī)律：和小倍數(shù)和=原則數(shù)原則數(shù)X倍數(shù)=另一種數(shù)

例:汽車運(yùn)送場有大小貨車115輛，大貨車比小貨車的5倍多7輛，運(yùn)送場有大貨車和小汽車各有多少

輛？

分析：大貨車比小貨車的5倍還多7輛，這7輛也在總數(shù)H5輛內(nèi)，為了使總數(shù)與（5+1）倍對應(yīng)，總

車輛數(shù)應(yīng)（115-7）輛。

列式為（115-7）+（5+1）=18（輛），18X5+7=97（輛）

（6）差倍問題：已知兩個數(shù)的差，及兩個數(shù)的倍數(shù)關(guān)系，求兩個數(shù)各是多少日勺應(yīng)用題。

解題規(guī)律：兩個數(shù)的差?。ū稊?shù)—1）=原則數(shù)原則數(shù)X倍數(shù)=另一種數(shù)。

例甲乙兩根繩子，甲繩長63米，乙繩長29米，兩根繩剪去同樣的長度，成果甲所剩的長度是乙繩長

的3倍，甲乙兩繩所剩長度各多少米？各減去多少米？

分析：兩根繩子剪去相似的一段，長度差沒變，甲繩所剩的長度是乙繩的3倍，實(shí)比乙繩多（3-1）倍，

以乙繩的長度為原則數(shù)。列式（63-29）+（3-1）=17（米）…乙繩剩余的長度，17X3=51（米）…

甲繩剩余的長度，29-17=12（米）…剪去的I長度。

（7）行程問題：有關(guān)走路、行車等問題，一般都是計(jì)算旅程、時間、速度，叫做行程問題。解答此類問

題首先要弄清晰速度、時間、旅程、方向、杜速度和、速度差等概念，理解他們之間的關(guān)系，再根據(jù)此

類問題的規(guī)律解答。

解題關(guān)鍵及規(guī)律：

同步同地相背而行：旅程=速度和X時間。

同步相向而行：相遇時間=速度和X時間

同步同向而行（速度慢時在前，快時在后）：追及時間=旅程速度差。

同步同地同向而行（速度慢的在后，快的在前）：旅程=速度差X時間。

例甲在乙的背面28千米，兩人同步同向而行，甲每小時行16千米，乙每小時行9千米，甲幾小時追

上乙？

分析：甲每小時比乙多行（16-9）千米，也就是甲每小時可以追近乙（16-9）千米，這是速度差。

已知甲在乙的背面28千米（追擊旅程）,28千米里包括著幾種（16-9）千米，也就是追擊所需要的時

間。列式28+（16-9）=4（小時）

（8）流水問題：一般是研究船在“流水”中航行的問題。它是行程問題中比較特殊的一種類型，它也是

一種和差問題。它的特點(diǎn)重要是考慮水速在逆行和順行中的不一樣作用。

船速：船在靜水中航行的速度。水速：水流動的速度。

順?biāo)俣龋捍樍骱叫械乃俣?。逆水速度：船逆流航行的速度?/p>

順?biāo)?船速+水速逆速=船速一水速

解題關(guān)鍵：由于順流速度是船速與水速的和，逆流速度是船速與水速的差，因此流水問題當(dāng)作和差問題

解答。解題時要以水流為線索。

解題規(guī)律：船行速度=（順?biāo)俣?逆流速度）4-2流水速度=（順流速度逆流速度）+2

旅程=順流速度X順流航行所需時間旅程=逆流速度X逆流航行所需時間

例一只輪船從甲地開往乙地順?biāo)?，每小時行28千米，到乙地后，又逆水航行，回到甲地。逆水比

順?biāo)嘈?小時，已知水速每小時4千米。求甲乙兩地相距多少千米？

分析：此題必須先懂得順?biāo)乃俣群晚標(biāo)枰臅r間，或者逆水速度和逆水的時間。已知順?biāo)俣群?/p>

水流速度，因此不難算出逆水的速度，但順?biāo)玫臅r間，逆水所用的時間不懂得，只懂得順?biāo)饶嫠?/p>

少用2小時，抓住這一點(diǎn)，就可以就能算出順?biāo)畯募椎氐揭业氐乃萌丈讜r間，這樣就能算出甲乙兩地的

旅程。列式為284X2=20（千米）20X2=40（千米）40+（4X2）=5（小時）28X5=140（千

米）。

（9）還原問題：已知某未知數(shù)，通過一定的四則運(yùn)算后所得的成果，求這個未知數(shù)的應(yīng)用題，我們叫做

還原問題。

解題關(guān)鍵：要弄清每一步變化與未知數(shù)的關(guān)系。

解題規(guī)律：從最終成果出發(fā)，采用與原題中相反的運(yùn)算（逆運(yùn)算）措施，逐漸推導(dǎo)出原數(shù)。

根據(jù)原題的運(yùn)算次序列出數(shù)量關(guān)系，然后采用逆運(yùn)算的措施計(jì)算推導(dǎo)出原數(shù)。

解答還原問題時注意觀測運(yùn)算的次序。若需要先算加減法，后算乘除法時別忘掉寫括號。

例某小學(xué)三年級四個班共有學(xué)生168人，假如四班調(diào)3人到三班，三班調(diào)6人到二班，二班調(diào)6人到一

班，一班調(diào)2人到四班，則四個班的人數(shù)相等，四個班原有學(xué)生多少人？

分析：當(dāng)四個班人數(shù)相等時，應(yīng)為168?4,以四班為例，它調(diào)給三班3人，又從一班調(diào)入2人，因此

四班原有的人數(shù)減去3再加上2等于平均數(shù)。四班原有人數(shù)列式為168+4-2+3=43（人）

一班原有人數(shù)列式為168+4-6+2=38（人）；二班原有人數(shù)列式為1684-4-6+6=42（人）三班原有人

數(shù)列式為168+4-3+6=45（人）。

（10）植樹問題：此類應(yīng)用題是以“植樹”為內(nèi)容。但凡研究總旅程、株距、段數(shù)、棵樹四種數(shù)量關(guān)系

時應(yīng)用題，叫做植樹問題。

解題關(guān)鍵：解答植樹問題首先要判斷地形，分清與否封閉圖形，從而確定是沿線段植樹還是沿周長植

樹，然后按基本公式進(jìn)行計(jì)算。

解題規(guī)律：沿線段植樹

棵樹=段數(shù)+1棵樹=總旅程+株距+1株距=總旅程+（棵樹-1）總旅程=株距X（棵樹-1）

沿周長植樹

棵樹=總旅程+株距株距=總旅程+棵樹總旅程=株距X棵樹

例沿公路一旁埋電線桿301根，每相鄰的兩根時間距是50米。后來所有改裝，只埋了201根。求改裝

后每相鄰兩根的間距。

分析：本題是沿線段埋電線桿，要把電線桿的根數(shù)減掉一。列式為50X（301-1）+（201-1）=75

（米）

（11）盈虧問題：是在等分除法的基礎(chǔ)上發(fā)展起來日勺。他的特點(diǎn)是把一定數(shù)量的物品，平均分派給一定

數(shù)量的人，在兩次分派中，一次有余，一次局限性（或兩次均有余），或兩次都局限性），已知所余和

局限性的數(shù)量，求物品適量和參與分派人數(shù)的問題，叫做盈虧問題。

解題關(guān)鍵：盈虧問題的解法要點(diǎn)是先求兩次分派中分派者沒份所得物品數(shù)量的差，再求兩次分派中各次

共分物品的差（也稱總差額），用前一種差清除后一種差，就得到分派者的數(shù)，進(jìn)而再求得物品數(shù)。

解題規(guī)律：總差額+每人差額=人數(shù)

總差額的求法可以分為如下四種狀況：

第一次多出，第二次局限性，總差額=多出+局限性

第一次恰好，第二次多出或局限性，總差額=多出或局限性

第一次多出，第二次也多出，總差額=大多出-小多出

第一次局限性，第二次也局限性，總差額=大局限性-小局限性

例參與美術(shù)小組的同學(xué)，每個人分的相似的支數(shù)的色筆，假如小組10人，則多25支，假如小組有12

人，色筆多出5支。求每人分得幾支？共有多少支色鉛筆？

分析：每個同學(xué)分到的色筆相等。這個活動小組有12人，比10人多2人，而色筆多出了（25-5）=20

支，2個人多出20支，一種人分得10支。列式為（25-5）+（12-10）=10（支）10X12+5=125

（支）。

（12）年齡問題：將差為一定值的兩個數(shù)作為題中的一種條件，這種應(yīng)用題被稱為“年齡問題”。

解題關(guān)鍵：年齡問題與和差、和倍、差倍問題類似，重要特點(diǎn)是伴隨時間的變化，年歲不停增長，但大

小兩個不一樣年齡的差是不會變化的，因此，年齡問題是一種“差不變”的問題，解題時，要善于運(yùn)用

差不變的特點(diǎn)。

例父親48歲，兒子21歲。問幾年前父親的年齡是兒子的4倍？

分析：父子的年齡差為48-21=27（歲）。由于幾年前父親年齡是兒子的4倍，可知父子年齡的倍數(shù)差是

（4-1）倍。這樣可以算出幾年前父子的年齡，從而可以求出幾年前父親的年齡是兒子的4倍。列式為：

21（48-21）+（4-1）=12（年）

（13）雞兔問題：己知“雞兔”的總頭數(shù)和總腿數(shù)。求“雞”和“兔”各多少只的一類應(yīng)用題。一般稱

為“雞兔問題”又稱雞兔同籠問題

解題關(guān)鍵：解答雞兔問題一般采用假設(shè)法，假設(shè)全是一種動物（如全是“雞”或全是“兔”，然后根據(jù)

出現(xiàn)的腿數(shù)差，可推算出某一種的頭數(shù)。

解題規(guī)律：（總腿數(shù)一雞腿數(shù)X總頭數(shù)）+一只雞兔腿數(shù)的差=兔子只數(shù)

兔子只數(shù)=（總腿數(shù)-2X總頭數(shù)）4-2

假如假設(shè)全是兔子，可以有下面的式子：

雞的只數(shù)=（4X總頭數(shù)-總腿數(shù)）4-2兔的頭數(shù)=總頭數(shù)-雞的只數(shù)

例雞兔同籠共50個頭，170條腿。問雞兔各有多少只？

兔子只數(shù)（170-2X50）+2=35（只）雞時只數(shù)50-35=15（只）

-（二）分?jǐn)?shù)和百分?jǐn)?shù)的應(yīng)用

1分?jǐn)?shù)加減法應(yīng)用題：分?jǐn)?shù)加減法時應(yīng)用題與整數(shù)加減法的應(yīng)用題的構(gòu)造、數(shù)量關(guān)系和解題措施基本相

似，所不一樣的只是在已知數(shù)或未知數(shù)中具有分?jǐn)?shù)。

2分?jǐn)?shù)乘法應(yīng)用題：是指已知一種數(shù)，求它的幾分之幾是多少的應(yīng)用題。

特性：已知單位“1”的量和分率，求與分率所對應(yīng)的實(shí)際數(shù)量。

解題關(guān)鍵：精確判斷單位“1”的量。找準(zhǔn)規(guī)定問題所對應(yīng)的分率，然后根據(jù)一種數(shù)乘分?jǐn)?shù)的意義對時列

式。

3分?jǐn)?shù)除法應(yīng)用題：

求一種數(shù)是另一種數(shù)的幾分之幾（或百分之幾）是多少。

特性：已知一種數(shù)和另一種數(shù)，求一種數(shù)是另一種數(shù)日勺幾分之幾或百分之幾。“一種數(shù)”是比較勁，

“另一種數(shù)”是原則量。求分率或百分率，也就是求他們的倍數(shù)關(guān)系。

解題關(guān)鍵：從問題入手，弄清把誰看作原則的數(shù)也就是把誰看作了“單位一”，誰和單位一時量作比

較，誰就作被除數(shù)。

甲是乙的幾分之幾（百分之幾）：甲是比較勁，乙是原則量，用甲除以乙。

甲比乙多（或少）幾分之幾（百分之幾）：甲減乙比乙多（或少幾分之幾）或（百分之幾）。關(guān)系式

（甲數(shù)減乙數(shù)）/乙數(shù)或（甲數(shù)減乙數(shù)）/甲數(shù)。

已知一種數(shù)的幾分之幾（或百分之幾），求這個數(shù)。

特性：已知一種實(shí)際數(shù)量和它相對應(yīng)的分率，求單位“1”的量。

解題關(guān)鍵：精確判斷單位“1”的量把單位“1”的量當(dāng)作x根據(jù)分?jǐn)?shù)乘法的意義列方程，或者根據(jù)分?jǐn)?shù)

除法的意義列算式，但必須找準(zhǔn)和分率相對應(yīng)的已知實(shí)際

數(shù)量。

4出勤率

發(fā)芽率=發(fā)芽種子數(shù)/試驗(yàn)種子數(shù)義100%小麥的出粉率=面粉的重量/小麥的重量X100%

產(chǎn)品的合格率=合格的產(chǎn)品數(shù)/產(chǎn)品總數(shù)X100%職工的出勤率=實(shí)際出勤人數(shù)/應(yīng)出勤人數(shù)X100%

5工程問題：

是分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的特例，它與整數(shù)的工作問題有著親密的聯(lián)絡(luò)。它是探討工作總量、工作效率和工作時間

三個數(shù)量之間互相關(guān)系的一種應(yīng)用題。

解題關(guān)鍵：把工作總量看作單位“1”，工作效率就是工作時間的倒數(shù)，然后根據(jù)題目的詳細(xì)狀況，靈活

運(yùn)用公式。

數(shù)量關(guān)系式：

工作總量=工作效率X工作時間工作效率=工作總量+工作時間

工作時間=工作總量+工作效率工作總量+工作效率和=合作時間

6納稅

納稅就是把根據(jù)國家多種稅法的有關(guān)規(guī)定，按照一定的比率把集體或個人收入的一部分繳納給國家。

繳納日勺稅款叫應(yīng)納稅款。

應(yīng)納稅額與多種收入的（銷售額、營業(yè)額、應(yīng)納稅所得額……）的比率叫做稅率。

*利息

存入銀行的錢叫做本金。取款時銀行多支付的錢叫做利息。

利息與本金的比值叫做利率。利息=本金X利率X時間

第二章度量衡

一長度

（一）什么是長度長度是一維空間的度量。

（二）長度常用單位*公里（km）*米（m）*分米（dm）*厘米（cm）*毫米（mm）*微米（um）

（三）單位之間的換算

*1毫米=1000微米*1厘米=10毫米*1分米=10厘米*1米=1000毫米*1千米=1000米

二面積

（一）什么是面積面積，就是物體所占平面的大小。對立體物體的表面的多少aI測量一般稱表面積。

（二）常用的面積單位*平方毫米*平方厘米*平方分米*平方米*平方千米

（三）面積單位的換算*1平方厘米=100平方毫米*1平方分米=100平方厘米*1平方米=100平方

分米*1公傾=10000平方米*1平方公里=100公頃

三體積和容積

（一）什么是體積、容積

體積，就是物體所占空間的大小。

容積，箱子、油桶、倉庫等所能容納物體的體積，一般叫做它們的容積。

（二）常用單位

1體積單位*立方米*立方分米*立方厘米

2容積單位*升*毫升

（三）單位換算

1體積單位*1立方米=1000立方分米*1立方分米=1000立方厘米

2容積單位*1升=1000毫升*1升=1立方米*1毫升=1立方厘米

四質(zhì)量

（一）什么是質(zhì)量質(zhì)量，就是表達(dá)表達(dá)物體有多重。

（二）常用單位*噸t*公斤kg*克g

（三）常用換算*一噸=1000公斤*1千克=1000克

五時間

（一）什么是時間是指有起點(diǎn)和終點(diǎn)的一段時間

（二）常用單位世紀(jì)、年、月、日、時、分、秒

（三）單位換算

*1世紀(jì)=123年*1年=365天平年*一年=366天閏年

*一、三、五、七、八、十、十二是大月大月有31天

*四、六、九、H^一是小月小月小月有30天*平年2月有28天閏年2月有29天

*1天=24小時*1小時=60分*—■分=60秒

六貨幣

（一）什么是貨幣

貨幣是充當(dāng)一切商品的等價物的特殊商品。貨幣是價值的一般代表，可以購置任何別的商品。

（二）常用單位*元*角*分

（三）單位換算*1元=10角*1角=10分

第三章代數(shù)初步知識

一、用字母表達(dá)數(shù)

1用字母表達(dá)數(shù)的意義和作用

*用字母表達(dá)數(shù)，可以把數(shù)量關(guān)系簡要的體現(xiàn)出來，同步也可以表達(dá)運(yùn)算的成果。

2用字母表達(dá)常見的數(shù)量關(guān)系、運(yùn)算定律和性質(zhì)、幾何形體的計(jì)算公式

(1)常見的數(shù)量關(guān)系

旅程用S表達(dá)，速度V用表達(dá)，時間用t表達(dá)，三者之間0tl關(guān)系：s=vtv=s/tt=s/v

總價用a表達(dá)，單價用b表達(dá)，數(shù)量用c表達(dá)，三者之間的I關(guān)系：a=bcb=a/cc=a/b

(2)運(yùn)算定律和性質(zhì)

加法互換律：a+b