第02講解直角三角形課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①直角三角形的性質(zhì)及其解直角三角形③解直角三角形的實際應(yīng)用掌握直角三角形的性質(zhì)，并能夠熟練的應(yīng)用直角三角形的性質(zhì)解直角三角形。掌握解直角三角形的基本類型。掌握解直角三角形的實際應(yīng)用問題，仰角俯角問題，方向角問題，坡度問題。知識點01直角三角形的性質(zhì)直角三角形的性質(zhì)：①直角三角形角的性質(zhì)：兩銳角。②直角三角形邊的性質(zhì)：直角三角形的三邊滿足。③直角三角形的邊角關(guān)系：三種銳角三角形函數(shù)。；；。解直角三角形的定義：利用直角三角形的性質(zhì)，根據(jù)直角三角形的已知量求未知量的過程。題型考點：①解直角三角形?！炯磳W(xué)即練1】1．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝，b＝．解這個直角三角形．【即學(xué)即練2】2．在△ABC中，已知∠C＝90°，b+c＝30，∠A﹣∠B＝30°．解這個直角三角形．【即學(xué)即練3】3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，根據(jù)下列條件解直角三角形；（1）a＝8，b＝8；（2）∠B＝45°，c＝14．【即學(xué)即練4】4．如圖，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，sinC＝，AC＝8，BD平分∠CBA交AC邊于點D．求：（1）線段AB的長；（2）tan∠DBA的值．【即學(xué)即練5】5．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，D為AC上一點，DE⊥AB于點E，AC＝12，BC＝5．（1）求cos∠ADE的值；（2）當(dāng)DE＝DC時，求AD的長．知識點02解直角三角形的應(yīng)用—仰角俯角問題仰角與俯角的認(rèn)識：向上看物體的視線與水平線的夾角叫；向下看物體的視線與水平線的夾角叫。解決此類問題要了解角之間的關(guān)系，找到與已知和未知相關(guān)聯(lián)的直角三角形，當(dāng)圖形中沒有直角三角形時，要通過作高或垂線構(gòu)造直角三角形，另當(dāng)問題以一個實際問題的形式給出時，要善于讀懂題意，把實際問題劃歸為直角三角形中邊角關(guān)系問題加以解決。題型考點：①解直角三角形在仰角俯角中的應(yīng)用?！炯磳W(xué)即練1】6．如圖，從A處觀測C處的仰角∠CAD＝30°，從B處觀測C處的仰角∠CBD＝45°，從C處觀測A，B兩處的視角∠ACB是多少度？【即學(xué)即練2】7．在一次數(shù)學(xué)綜合實踐活動中，小明計劃測量城門大樓的高度，在點B處測得樓頂A的仰角為22°，他正對著城樓前進(jìn)21米到達(dá)C處，再登上3米高的樓臺D處，并測得此時樓頂A的仰角為45°．（1）求城門大樓的高度；（2）每逢重大節(jié)日，城門大樓管理處都要在A，B之間拉上繩子，并在繩子上掛一些彩旗，請你求出A，B之間所掛彩旗的長度（結(jié)果保留整數(shù)）．（參考數(shù)據(jù)：sin22°≈，cos22°≈，tan22°≈）【即學(xué)即練3】8．如圖，為了測量山坡上一棵樹PQ的高度，小明在點A處利用測角儀測得樹頂P的仰角為45°，然后他沿著正對樹PQ的方向前進(jìn)6m到達(dá)點B處，此時測得樹頂P和樹底Q的仰角分別是60°和30°，設(shè)PQ垂直于AB，且垂足為C．（1）求∠BPQ的度數(shù)；（2）求樹PQ的高度（結(jié)果精確到0.1m，≈1.732）．知識點03解直角三角形的應(yīng)用—方向角問題方向角的定義：方向角一般是以南北方向為起始，向東西方向進(jìn)行轉(zhuǎn)動形成的夾角。通常表示為方向加上角度。在解決有關(guān)方向角的問題中，一般要根據(jù)題意理清圖形中各角的關(guān)系，有時所給的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到兩直線平行內(nèi)錯角相等或一個角的余角等知識轉(zhuǎn)化為所需要的角。題型考點：①解直角三角形在方向角問題中的應(yīng)用?！炯磳W(xué)即練1】如圖所示，某風(fēng)景區(qū)的湖心島有一涼亭A，其正東方向有一棵大樹B，小明從湖邊的C處測得A在北偏西45°方向上，測量B在北偏東32°方向上，且量得B，C之間的距離是100m，則A、B之間的距離為m．（結(jié)果精確到1m，參考數(shù)據(jù)：sin32°＝0.5299，cos32°＝0.8480）【即學(xué)即練2】10．如圖，在一次軍事演習(xí)中，藍(lán)方在一條東西走向的公路上的A處朝正南方向撤退，紅方在公路上的B處沿南偏西60°方向前進(jìn)實施攔截，紅方行駛1000米到達(dá)C處后，因前方無法通行，紅方?jīng)Q定調(diào)整方向，再朝南偏西45°方向前進(jìn)了相同的距離，剛好在D處成功攔截藍(lán)方，求攔截點D處到公路的距離（結(jié)果不取近似值）．【即學(xué)即練3】11．為了維護(hù)國家主權(quán)和海洋權(quán)利，海監(jiān)部門對我國領(lǐng)海實現(xiàn)了常態(tài)化巡航管理，如圖，正在執(zhí)行巡航任務(wù)的海監(jiān)船以每小時50海里的速度向正東方航行，在A處測得燈塔P在北偏東60°方向上，繼續(xù)航行1小時到達(dá)B處，此時測得燈塔P在北偏東30°方向上．（1）求∠APB的度數(shù)；（2）已知在燈塔P的周圍25海里內(nèi)有暗礁，問海監(jiān)船繼續(xù)向正東方向航行是否安全？知識點04解直角三角形的應(yīng)用—坡度問題坡角的概念：斜坡與的夾角叫做坡角。坡度（或坡比）：斜坡的與的比值，叫做坡度或者叫做坡比。它是一個比值，用字母i來表示，常寫成i＝的形式。坡度或者坡比等于坡角的。在解決坡度的有關(guān)問題中，一般通過作高構(gòu)成直角三角形，坡角即是一銳角，坡度實際就是一銳角的正切值，水平寬度或鉛直高度都是直角邊，實質(zhì)也是解直角三角形問題。題型考點：①解直角三角形【即學(xué)即練1】12．如圖，已知梯形ABCD是一水庫攔水壩的橫斷面示意圖，壩頂寬AD＝6米．壩高18米，迎水坡CD的坡度i1＝1：1，背水坡AB的坡度i2＝1：，求壩底寬BC．【即學(xué)即練2】13．如圖是一座人行天橋引橋部分的示意圖，上橋通道由兩段互相平行且與地面成30°角的樓梯AD、CE和一段水平平臺DE構(gòu)成．已知水平平臺DE＝3m，引橋水平跨度AB＝12m．若與地面垂直的平臺立柱MN的高度為3.5m，求AD、CE的長度．（結(jié)果保留根號）【即學(xué)即練3】14．如圖是一座人行天橋的示意圖，已知天橋的高度CD＝6米，坡面BC的傾斜角∠CBD＝45°，距B點8米處有一建筑物NM，為了方便行人推自行車過天橋，市政府決定降低坡面BC的坡度，把傾斜角由45°減至30°，即使得新坡面AC的傾斜角為∠CAD＝30°．（1）求新坡面AC的長度；（2）試求新坡面底部點A到建筑物MN的距離．題型01解直角三角形【典例1】在△ABC中，∠A＝30°，∠C＝90°，BC＝2，則AB的長為（）A．2 B．4 C．6 D．2【典例2】如圖，在△ABC中，AD⊥BC于點D，E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點，G為邊BC上一點，∠EGB＝∠FDC，連結(jié)EF．若，tanC＝2，BC＝14，則GD的長為．【典例3】根據(jù)下列條件解直角三角形：（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝8，∠A＝60°；（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝3，b＝9．【典例4】如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，O是AB的中點，CO＝6.5，BC＝5．（1）求AC的長；（2）求cos∠OCA與tan∠B的值．【典例5】如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，D是邊AC的中點，聯(lián)結(jié)BD．（1）已知BC＝，求AB的長；（2）求cot∠ABD的值．題型02仰角俯角問題【典例1】小明利用所學(xué)三角函數(shù)知識對小區(qū)樓房的高度進(jìn)行測量．他們在地面的A點處用測角儀測得樓房頂端D點的仰角為30°，向樓房前行30m在B點處測得樓房頂端D點的仰角為60°，已知測角儀的高度是1.5m（點A，B，C在同一條直線上），根據(jù)以上數(shù)據(jù)求樓房CD的高度．（，結(jié)果保留一位小數(shù)）【典例2】如圖，無人機在塔樹上方Q處懸停，測得塔頂A的俯角為37°，樹頂D的俯角為60°，樹高CD為12米，無人機豎直高度PQ為60米，B、P、C在一條直線上，且P點到塔底B的距離比到樹底C的距離多8米，求塔高AB的值．（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）【典例3】隨著5G技術(shù)的進(jìn)步與發(fā)展，中國大疆無人機享譽世界，生活中的測量技術(shù)也與時俱進(jìn)，某天，數(shù)學(xué)小達(dá)人小婉利用無人機來測量神農(nóng)湖上A，B兩點之間的距離（A．B位于同一水平地面上），如圖所示，小婉站在A處遙控空中C處的無人機，此時她的仰角為α，無人機的飛行高度為41.6m，并且無人機C測得湖岸邊B處的俯角為60°，若小婉的身高AD＝1.6m，CD＝50m（點A，B，C，D在同一平面內(nèi)）．（1）求仰角α的正切值；（2）求A，B兩點之間的距離．（結(jié)果精確到1m，）【典例4】如圖，某校無人機興趣小組為測量教學(xué)樓的高度，在操場上展開活動．此時無人機在離地面30m的D處，操控者從A處觀測無人機D的仰角為30°，無人機D測得教學(xué)樓BC頂端點C處的俯角為37°，又經(jīng)過人工測量測得操控者A和教學(xué)樓BC之間的距離AB為60m，點A，B，C，D都在同一平面上．（1）求此時無人機D與教學(xué)樓BC之間的水平距離BE的長度（結(jié)果保留根號）；（2）求教學(xué)樓BC的高度（結(jié)果取整數(shù)）（參考數(shù)據(jù)：≈1.73，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）．【典例5】隨著科技的發(fā)展，無人機已廣泛應(yīng)用于生產(chǎn)生活，如代替人們在高空測量距離和高度，圓圓要測量教學(xué)樓AB的高度，借助無人機設(shè)計了如下測量方案：如圖，圓圓在離教學(xué)樓底部24米的C處，遙控?zé)o人機旋停在點C的正上方的點D處，測得教學(xué)樓AB的頂部B處的俯角為30°，CD長為49.6米．已知目高CE為1.6米．（1）求教學(xué)樓AB的高度．（2）若無人機保持現(xiàn)有高度沿平行于CA的方向，以4米/秒的速度繼續(xù)向前勻速飛行．求經(jīng)過多少秒時，無人機剛好離開圓圓的視線EB．題型03方向角問題【典例1】如圖，上午8時，一條船從A處測得燈塔C在北偏西30°，該船以30海里時的速度向正北航行，9時30分到達(dá)B處，測得燈塔C在北偏西60°，若船繼續(xù)向正北方向航行，求輪船何時到達(dá)燈塔C的正東方向D處．【典例2】如圖所示，一輪船由西向東航行，在A處測得小島P在北偏東75°的方向上，輪船行駛40海里后到達(dá)B處，此時測得小島P在北偏東60°的方向上．（1）求BP的距離；（2）已知小島周圍22海里內(nèi)有暗礁，若輪船仍向前航行，有無觸礁的危險．【典例3】某地修建了一座以“講好家鄉(xiāng)故事，厚植種子情懷”為主題的半徑為900m的圓形紀(jì)念園．如圖，紀(jì)念園中心A位于C村西南方向和B村南偏東61°方向上．C村在B村的正東方向且兩村相距2.8km．有關(guān)部門計劃在B，C兩村之間修一條筆直的公路來連接兩村．問該公路是否穿越紀(jì)念園？試通過計算加以說明．（參考數(shù)據(jù)：sin61°≈0.87，cos61°≈0.48，tan61°≈1.80，）【典例4】如圖為某體育公園部分示意圖，C為公園大門，A、B、D分別為公園廣場、健身器材區(qū)域、兒童樂園．經(jīng)測量：A、B、C在同一直線上，且A、B在C的正北方向，AB＝240米，點D在點B的南偏東75°方向，在點A的東南方向．（1）求B、D兩地的距離；（結(jié)果精確到0.1m）（2）大門C在兒童樂園D的南偏西60°方向，由于安全需要，現(xiàn)準(zhǔn)備從兒童樂園D牽一條筆直的數(shù)據(jù)線到大門C的控制室，請通過計算說明公園管理部門采購的380米數(shù)據(jù)線是否夠用（接頭忽略不計）．（參考數(shù)據(jù)：≈1.414，≈1.732）【典例5】如圖，五邊形ABCDE是一個公園沿湖的健身步道（步道可以騎行），BD是僅能步行的跨湖小橋．經(jīng)勘測，點B在點A的正北方935米處，點E在點A的正東方，點D在點B的北偏東74°，且在點E的正北方，∠C＝90°，BC＝800米，CD＝600米．（參考數(shù)據(jù)：sin74°≈0.96，cos74°≈0.27，tan74°≈3.55）（1）求AE的長度（結(jié)果精確到1米）；（2）小明和爸爸在健身步道鍛煉，小明以200米/分的速度從點A出發(fā)沿路線A→B→C→D→E→A的方向騎行，爸爸以150米/分的速度從點B出發(fā)沿路線B→D→E→A的方向跑步前行．兩人約定同時出發(fā)，那么小明和爸爸誰先到達(dá)A點？請說明理由．題型04坡度問題【典例1】北大壺滑雪場是我國重要的滑雪基地，擁有國際標(biāo)準(zhǔn)雪道19條，其中青云大道某段坡長AB為800米，坡角∠BAC＝25°，求垂直落差BC的高度．（結(jié)果保留整數(shù)：參考數(shù)據(jù)：sin25°≈0.423，cos25°≈0.906，tan25°＝0.466）【典例2】如圖是一防洪堤背水坡的橫截面，斜坡AB的長為12m，它的坡角度數(shù)為45°．為了提高該堤的防洪能力，現(xiàn)將背水坡改造成坡度為的斜坡AD，在CB方向距點B6m處有一座房屋．（參考數(shù)據(jù)：，．）（1）求∠DAB的度數(shù)；（2）在改造背水坡的施工過程中，此房屋是否需要拆除？并說明理由．【典例3】如圖，長500米的水庫大壩的橫斷面是梯形，壩頂寬3m，壩高，斜坡AB的坡比i1＝1：2，斜坡CD的坡比i2＝1：3．（1）求壩底寬AD的長；（2）修筑這個堤壩需要土方多少立方米？【典例4】科技改變生活，科技服務(wù)生活．如圖為一新型可調(diào)節(jié)洗手裝置側(cè)面示意圖，可滿足不同人的洗手習(xí)慣，AM為豎直的連接水管，當(dāng)出水裝置在A處且水流AC與水平面夾角為63°時，水流落點正好為水盆的邊緣C處；將出水裝置水平移動10cm至B處且水流與水平面夾角為30°時，水流落點正好為水盆的邊緣D處，MC＝AB．（1）求連接水管AM的長．（結(jié)果保留整數(shù)）（2）求水盆兩邊緣C，D之間的距離．（結(jié)果保留一位小數(shù)）（參考數(shù)據(jù)：sin63°≈0.9，cos63°≈0.5，tan63°≈2.0，≈1.73）1．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝m，∠A＝α，則AB的長為（）A．msinα B．mcosa C． D．2．已知△ABC三邊AC，BC，AB的長度分別5，12，13，現(xiàn)將每條邊的長度都擴大為原來的3倍，則銳角A的余弦值（）A．不變 B．縮小為原來的 C．?dāng)U大為原來的3倍 D．不能確定3．小明沿著坡比為的山坡向上走了300m，則他升高了（）A．m B．150m C．m D．100m4．在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，CD是AB邊上的中線，BC＝6，CD＝5，則cos∠ACD＝（）A． B． C． D．5．如圖，滑雪場有一坡角20°的滑雪道，滑雪道AC長為200米，則滑雪道的坡頂?shù)狡碌椎呢Q直高度AB的長為（）米．A． B． C．200cos20° D．200sin20°6．如圖，某購物廣場要修建一個地下停車場，停車場的入口設(shè)計示意圖如圖所示，其中斜坡AD與水平方向的夾角為α（0°＜α＜90°），地下停車場層高CD＝3米，則在停車場的入口處，可通過汽車的最大高度是（）A．3 B． C．3sinα D．3cosa7．如圖源于我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖，它是由四個全等直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形．若小正方形的面積為1，大正方形的面積為25，直角三角形中較小的銳角為α，則cosα的值為（）A． B． C． D．8．閱讀理解：為計算tan15°三角函數(shù)值，我們可以構(gòu)建Rt△ACB（如圖），使得∠C＝90°，∠ABC＝30°，延長CB使BD＝AB，連接AD，可得到∠D＝15°，所以tan15°＝＝＝＝2﹣．類比這種方法，請你計算tan22.5°的值為（）A．+1 B．﹣1 C． D．9．在Rt△ABC中，∠C＝90°，CB＝8，點D是AB邊上一點，BD＝5，，則AC＝．10．如圖，在邊長為1的小正方形網(wǎng)格中，點A、B、C、D都在格點上，AB、CD相交于點O，則sin∠BOC為．11．如圖1是第七屆國際數(shù)學(xué)教育大會（ICME）的會徽，在其主體圖案中選擇兩個相鄰的直角三角形，恰好能夠組合得到如圖2所示的四邊形OABC．若AB＝1，∠ADB＝30°，，則BC的長為．12．“淄博燒烤”火了，許多游客紛紛從外地來到淄博吃燒烤．如圖，濟南的小李乘坐高鐵由濟南來淄博吃燒烤時，在距離鐵軌200米的B處，觀察他所乘坐的由濟南經(jīng)過淄博開往青島的“和諧號”動車．他觀察到，當(dāng)“和諧號”動車車頭在A處時，恰好位于B處的北偏東60°方向上；10秒鐘后，動車車頭到達(dá)C處，恰好位于B處的西北方向上．小李根據(jù)所學(xué)知識求得，這時段動車的平均速度是