重難點突破07不等式恒成立問題目錄1、利用導數(shù)研究不等式恒成立問題的求解策略：（1）通常要構造新函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；（2）利用可分離變量，構造新函數(shù)，直接把問題轉化為函數(shù)的最值問題；（3）根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構造的新函數(shù)能直接求出最值點的情況，進行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別．2、利用參變量分離法求解函數(shù)不等式恒（能）成立，可根據(jù)以下原則進行求解：（1），；（2），；（3），；（4），．3、不等式的恒成立與有解問題，可按如下規(guī)則轉化：一般地，已知函數(shù)，，，．（1）若，，有成立，則；（2）若，，有成立，則；（3）若，，有成立，則；（4）若，，有成立，則的值域是的值域的子集．4、法則1若函數(shù)和滿足下列條件：（1）及；（2）在點的去心HYPERLINK鄰域內(nèi)，與可導且；（3），那么=．法則2若函數(shù)和滿足下列條件：（1）及；（2），和在與上可導，且；（3），那么=．法則3若函數(shù)和滿足下列條件：（1）及；（2）在點的去心HYPERLINK鄰域內(nèi)，與可導且；（3），那么=．注意：利用洛必達法則求未定式的極限是微分學中的重點之一，在解題中應注意：（1）將上面公式中的，，，洛必達法則也成立．（2）洛必達法則可處理，，，，，，型．（3）在著手求極限以前，首先要檢查是否滿足，，，，，，型定式，否則濫用洛必達法則會出錯．當不滿足三個前提條件時，就不能用洛必達法則，這時稱洛必達法則不適用，應從另外途徑求極限．（4）若條件符合，洛必達法則可連續(xù)多次使用，直到求出極限為止．，如滿足條件，可繼續(xù)使用洛必達法則．題型一：直接法例1．（2023·陜西咸陽·武功縣普集高級中學?？寄M預測）已知函數(shù).(1)已知函數(shù)在處的切線與圓相切，求實數(shù)的值.(2)已知時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.例2．（2023·山東·山東省實驗中學校聯(lián)考模擬預測）已知函數(shù)，其中．(1)討論方程實數(shù)解的個數(shù)；(2)當時，不等式恒成立，求的取值范圍．例3．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．(1)當時，討論的單調(diào)性；(2)若，求的取值范圍．變式1．（2023·河南·襄城高中校聯(lián)考三模）已知函數(shù)，．(1)若曲線在處的切線與曲線相交于不同的兩點，，曲線在A，B點處的切線交于點，求的值；(2)當曲線在處的切線與曲線相切時，若，恒成立，求a的取值范圍．題型二：端點恒成立例4．（2023·四川綿陽·四川省綿陽南山中學?？寄M預測）設函數(shù)．(1)求在處的切線方程；(2)若任意，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．例5．（2023·北京海淀·中央民族大學附屬中學?？寄M預測）已知函數(shù)．(1)當時，求函數(shù)在點處的切線方程；(2)若函數(shù)在處取得極值，求實數(shù)的值；(3)若不等式對恒成立，求實數(shù)的取值范圍．例6．（2023·湖南·校聯(lián)考模擬預測）已知函數(shù)與分別是與的導函數(shù).(1)證明:當時,方程在上有且僅有一個實數(shù)根;(2)若對任意的,不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍.變式2．（2023·四川成都·石室中學?？寄M預測）已知函數(shù)，函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)記，對任意的，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.變式3．（2023·寧夏銀川·校聯(lián)考二模）已知函數(shù)．(1)討論在上的單調(diào)性；(2)若對于任意，若函數(shù)恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．變式4．（2023·四川瀘州·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)．(1)若單調(diào)遞增，求a的取值范圍；(2)若，，求a的取值范圍．題型三：端點不成立例7．（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預測）已知函數(shù)．(1)討論函數(shù)的極值；(2)當時，不等式恒成立，求a的取值范圍．例8．（2023·江蘇南京·高二南京市中華中學?？计谀┮阎瘮?shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)若不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．例9．（2023·江西·校聯(lián)考模擬預測）已知函數(shù)．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)若對于任意的，恒成立，求實數(shù)的最小值．變式5．（2023·四川綿陽·四川省綿陽南山中學?？寄M預測）已知函數(shù)，．(1)若，求函數(shù)的最小值及取得最小值時的值；(2)若函數(shù)對恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．變式6．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，其中．(1)當時，討論的單調(diào)性；(2)當時，恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．題型四：分離參數(shù)之全分離，半分離，換元分離例10．（2023·湖北武漢·武漢二中校聯(lián)考模擬預測）已知函數(shù).(1)若的極大值為3，求實數(shù)的值；(2)若，求實數(shù)的取值范圍.例11．（2023·湖北荊門·荊門市龍泉中學?？寄M預測）設函數(shù)，且．(1)求函數(shù)的單調(diào)性；(2)若恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．例12．（2023·河北·模擬預測）已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若存在實數(shù)，使得關于的不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.變式7．（2023·福建三明·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，.(1)求證：在上單調(diào)遞增；(2)當時，恒成立，求的取值范圍.變式8．（2023·甘肅張掖·高臺縣第一中學?？寄M預測）已知函數(shù)，為的導函數(shù)．(1)討論的極值；(2)當時，，求k的取值范圍．變式9．（2023·四川遂寧·射洪中學?？寄M預測）已知，.(1)求的極值；(2)若，求實數(shù)k的取值范圍.變式10．（2023·河北滄州·?？寄M預測）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的極值點個數(shù)；(2)若不等式在上恒成立，求可取的最大整數(shù)值.變式11．（2023·河南開封·?？寄M預測）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)若，求實數(shù)的取值范圍．題型五：洛必達法則例13．已知函數(shù)在處取得極值，且曲線在點處的切線與直線垂直.(1)求實數(shù)的值；(2)若，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.例14．設函數(shù).當時，，求的取值范圍.例15．設函數(shù)．如果對任何，都有，求的取值范圍．題型六：同構法例16．（2023·重慶萬州·高三重慶市萬州第二高級中學?？茧A段練習）已知函數(shù).(1)若，判斷的零點個數(shù)；(2)當時，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.例17．（2023·湖南常德·常德市一中校考一模）已知函數(shù)，.(1)若在點處的切線與在點處的切線互相平行，求實數(shù)a的值；(2)若對，恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.例18．（2023·河南鄭州·高二鄭州市第二高級中學校考階段練習）已知e是自然對數(shù)的底數(shù)．若，成立，則實數(shù)m的最小值是________．變式12．（2023·廣西柳州·統(tǒng)考三模）已知，（），若在上恒成立，則實數(shù)a的最小值為（

）A． B． C． D．變式13．（2023·廣東佛山·統(tǒng)考模擬預測）已知函數(shù)，其中.(1)討論函數(shù)極值點的個數(shù)；(2)對任意的，都有，求實數(shù)的取值范圍.變式14．（2023·海南·?？寄M預測）已知，函數(shù).(1)當時，求曲線在處的切線方程；(2)若恒成立，求實數(shù)的取值范圍.變式15．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)若，求a的取值范圍．變式16．（2023·廣東佛山·校考模擬預測）已知函數(shù)，其中，.(1)當時，求函數(shù)的零點；(2)若函數(shù)恒成立，求的取值范圍.變式17．（2023·貴州畢節(jié)·統(tǒng)考模擬預測）已知函數(shù).(1)當時，求曲線在點處的切線方程；(2)若，求實數(shù)a的取值范圍.題型七：必要性探路例19．（2023·江西九江·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)(1)討論f(x)的單調(diào)性：(2)當時，若，，求實數(shù)m的取值范圍．例20．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)．(1)若函數(shù)在上有且僅有2個零點，求a的取值范圍；(2)若恒成立，求a的取值范圍．例21．（2023·江西九江·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)）在處的切線斜率為.(1)求a的值；(2)若，，求實數(shù)m的取值范圍.變式18．（2023·福建廈門·統(tǒng)考模擬預測）已知函數(shù)．(1)當時，討論在區(qū)間上的單調(diào)性；(2)若，求的值．變式19．（2023·湖南長沙·長郡中學校聯(lián)考模擬預測）已知函數(shù)．(1)若，，求證：有且僅有一個零點；(2)若對任意，恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．題型八：max，min函數(shù)問題例22．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，，其中.(1)證明：當時，；當時，；(2)用表示中的最大值，記.是否存在實數(shù)a，對任意的，恒成立.若存在，求出，若不存在，請說明理由.例23．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，，其中.（1）證明：當時，；當時，；（2）用表示m，n中的最大值，記.是否存在實數(shù)a，對任意的，恒成立.若存在，求出a；若不存在，請說明理由.例24．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，，其中.（1）證明：當時，；當時，；（2）用表示m，n中的最大值，記.是否存在實數(shù)a，對任意的，恒成立.若存在，求出a；若不存在，請說明理由.變式20．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，.（1）證明恒成立；（2）用表示m，n中的最大值.已知函數(shù)，記函數(shù)，若函數(shù)在上恰有2個零點，求實數(shù)a的取值范圍.變式21．（2023·寧夏銀川·高三銀川一中?？茧A段練習）已知是自然對數(shù)的底數(shù)，函數(shù)，直線為曲線的切線，.(1)求的值；(2)①判斷的零點個數(shù)；②定義函數(shù)在上單調(diào)遞增.求實數(shù)的取值范圍.變式22．（2023·全國·高三專題練習）設函數(shù).（1）若，證明：在上存在唯一零點；（2）設函數(shù)，（表示中的較小值），若，求的取值范圍.題型九：構造函數(shù)技巧例25．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若，且關于的不等式在上恒成立，其中是自然對數(shù)的底數(shù)，求實數(shù)的取值范圍．例26．（2023·江蘇·統(tǒng)考高考真題）已知關于x的函數(shù)與在區(qū)間D上恒有．（1）若，求h(x)的表達式；（2）若，求k的取值范圍；（3）若求證：．例27．（2023·湖北·統(tǒng)考模擬預測）已知函數(shù).(1)求函數(shù)在處的切線方程；(2)若不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.變式23．（2023·江蘇南京·高二南京市江寧高級中學校聯(lián)考期末）已知函數(shù).(1)當時，求的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若恒成立，求的取值范圍.變式24．（2023·福建泉州·統(tǒng)考模擬預測）已知函數(shù)．(1)判斷的導函數(shù)的零點個數(shù)；(2)若，求a的取值范圍．變式25．（2023·安徽合肥·合肥市第六中學?？寄M預測）已知函數(shù)，（e為自然對數(shù)的底數(shù)）．(1)若函數(shù)的最大值為0，求a的值；(2)若對于任意正數(shù)x，恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．變式26．（2023·重慶萬州·統(tǒng)考模擬預測）已知函數(shù)．(1)討論的極值；(2)當時，關于x的不等式在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍．變式27．（2023·四川·校聯(lián)考模擬預測）已知函數(shù)的導函數(shù)為.(1)當時，求函數(shù)的極值點的個數(shù)；(2)若恒成立，求實數(shù)的取值范圍.變式28．（2023·福建漳州·統(tǒng)考模擬預測）已知函數(shù)與的圖象有公切線.(1)求實數(shù)和的值；(2)若，且，求實數(shù)的最大值.題型十：雙變量最值問題例28．（2023·江蘇·統(tǒng)考模擬預測）已知，，對于，恒成立，則的最小值為（

）A． B．－1 C． D．－2例29．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，，其中．（1）當時，直線與函數(shù)的圖象相切，求的值；（2）當時，若對任意，都有恒成立，求的最小值．例30．（2023·河南南陽·高三南陽中學?？茧A段練習）已知函數(shù)，，其中(1)若，且的圖象與的圖象相切，求的值；(2)若對任意的恒成立，求的最大值.變式29．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，其中.(為自然對數(shù)的底數(shù))（1）求在點處的切線方程；（2）若時，在上恒成立.當取得最大值時，求的最小值.變式30．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)f(x)=aex﹣x，（1）求f(x)的單調(diào)區(qū)間，（2）若關于x不等式aex≥x+b對任意和正數(shù)b恒成立，求的最小值.變式31．（2023·江蘇常州·高二常州高級中學?？计谥校┙o定實數(shù)，函數(shù)，（其中，．(1)求經(jīng)過點的曲線的切線的條數(shù)；(2)若對，有恒成立，求的最小值．變式32．（2023·黑龍江哈爾濱·高三哈九中?？奸_學考試）設函數(shù)，.(1)若，討論的單調(diào)性；(2)若（其中）恒成立，求的最小值，并求出的最大值.變式33．（2023·高二單元測試）若對于任意正實數(shù)，都有(為自然對數(shù)的底數(shù))成立，則的最小值是________.變式34．（2023·安徽合肥·合肥市第八中學?？寄M預測）設，若關于的不等式在上恒成立，則的最小值是___________.

重難點突破07不等式恒成立問題目錄1、利用導數(shù)研究不等式恒成立問題的求解策略：（1）通常要構造新函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；（2）利用可分離變量，構造新函數(shù)，直接把問題轉化為函數(shù)的最值問題；（3）根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構造的新函數(shù)能直接求出最值點的情況，進行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別．2、利用參變量分離法求解函數(shù)不等式恒（能）成立，可根據(jù)以下原則進行求解：（1），；（2），；（3），；（4），．3、不等式的恒成立與有解問題，可按如下規(guī)則轉化：一般地，已知函數(shù)，，，．（1）若，，有成立，則；（2）若，，有成立，則；（3）若，，有成立，則；（4）若，，有成立，則的值域是的值域的子集．4、法則1若函數(shù)和滿足下列條件：（1）及；（2）在點的去心HYPERLINK鄰域內(nèi)，與可導且；（3），那么=．法則2若函數(shù)和滿足下列條件：（1）及；（2），和在與上可導，且；（3），那么=．法則3若函數(shù)和滿足下列條件：（1）及；（2）在點的去心HYPERLINK鄰域內(nèi)，與可導且；（3），那么=．注意：利用洛必達法則求未定式的極限是微分學中的重點之一，在解題中應注意：（1）將上面公式中的，，，洛必達法則也成立．（2）洛必達法則可處理，，，，，，型．（3）在著手求極限以前，首先要檢查是否滿足，，，，，，型定式，否則濫用洛必達法則會出錯．當不滿足三個前提條件時，就不能用洛必達法則，這時稱洛必達法則不適用，應從另外途徑求極限．（4）若條件符合，洛必達法則可連續(xù)多次使用，直到求出極限為止．，如滿足條件，可繼續(xù)使用洛必達法則．題型一：直接法例1．（2023·陜西咸陽·武功縣普集高級中學?？寄M預測）已知函數(shù).(1)已知函數(shù)在處的切線與圓相切，求實數(shù)的值.(2)已知時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【解析】（1）依題意，圓的圓心為，半徑為，對函數(shù)求導得，則函數(shù)的圖象在處的切線斜率為，而，于是函數(shù)的圖象在處的切線方程為，即，從而，解得，所以實數(shù)的值為2.（2）設，依題意，當時，恒成立，求導得，設，求導得，當時，當時，，即有，因此函數(shù)，即在上單調(diào)遞減，于是當時，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，從而當時，，因此，當時，當時，，則函數(shù)，即在上單調(diào)遞增，于是當時，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，因此當時，，不合題意，當時，，函數(shù)，即在上單調(diào)遞增，則當時，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，于是當時，，不合題意，所以實數(shù)的取值范圍為.例2．（2023·山東·山東省實驗中學校聯(lián)考模擬預測）已知函數(shù)，其中．(1)討論方程實數(shù)解的個數(shù)；(2)當時，不等式恒成立，求的取值范圍．【解析】（1）由可得，，令，令，可得，當，函數(shù)單調(diào)遞減，當，函數(shù)單調(diào)遞增，所以函數(shù)在時取得最小值，所以當時，方程無實數(shù)解，當時，方程有一個實數(shù)解，當時，，故，而，，設，則，故在上為增函數(shù)，故，故有兩個零點即方程有兩個實數(shù)解.（2）由題意可知，不等式可化為，，即當時，恒成立，所以，即，令，則在上單調(diào)遞增，而，當即時，在上單調(diào)遞增，故，由題設可得，設，則該函數(shù)在上為減函數(shù)，而，故.當即時，因為，故在上有且只有一個零點，當時，，而時，，故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，故，而，故，故因為，故，故符合，綜上所述，實數(shù)的取值范圍為．例3．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．(1)當時，討論的單調(diào)性；(2)若，求的取值范圍．【解析】（1）因為，所以，則，令，由于，所以，所以，因為，，，所以在上恒成立，所以在上單調(diào)遞減.（2）法一：構建，則，若，且，則，解得，當時，因為，又，所以，，則，所以，滿足題意；當時，由于，顯然，所以，滿足題意；綜上所述：若，等價于，所以的取值范圍為.法二：因為，因為，所以，，故在上恒成立，所以當時，，滿足題意；當時，由于，顯然，所以，滿足題意；當時，因為，令，則，注意到，若，，則在上單調(diào)遞增，注意到，所以，即，不滿足題意；若，，則，所以在上最靠近處必存在零點，使得，此時在上有，所以在上單調(diào)遞增，則在上有，即，不滿足題意；綜上：.變式1．（2023·河南·襄城高中校聯(lián)考三模）已知函數(shù)，．(1)若曲線在處的切線與曲線相交于不同的兩點，，曲線在A，B點處的切線交于點，求的值；(2)當曲線在處的切線與曲線相切時，若，恒成立，求a的取值范圍．【解析】（1）因為，所以，所以曲線在處的切線方程為．由已知得，，不妨設，又曲線在點A處的切線方程為，在點B處的切線方程為，兩式相減得，將，，代入得，化簡得，顯然，所以，所以，又，所以．（2）當直線與曲線相切時，設切點為，則切線方程為，將點代入，解得，此時，，根據(jù)題意得，，，即恒成立．令，則，，令，則，易知在上單調(diào)遞增，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以．若，則，即在上單調(diào)遞增，則，所以在上恒成立，符合題意；若，則．又，所以存在，使得，當時，，單調(diào)遞減，即，所以此時存在，使得，不符合題意．綜上可得，a的取值范圍為．題型二：端點恒成立例4．（2023·四川綿陽·四川省綿陽南山中學?？寄M預測）設函數(shù)．(1)求在處的切線方程；(2)若任意，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【解析】（1）時，；又，則，切線方程為：，即（2），則，又令，①當，即時，恒成立，∴在區(qū)間上單調(diào)遞增，∴，∴，∴在區(qū)間上單調(diào)遞增，∴（不合題意）；②當即時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，∴，∴，∴在區(qū)間上單調(diào)遞減，∴（符合題意）；③當，即時，由，∴，使，且時，，∴在上單調(diào)遞增，∴（不符合題意）；綜上，的取值范圍是；例5．（2023·北京海淀·中央民族大學附屬中學?？寄M預測）已知函數(shù)．(1)當時，求函數(shù)在點處的切線方程；(2)若函數(shù)在處取得極值，求實數(shù)的值；(3)若不等式對恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【解析】（1）當時，，定義域為，，，，所以函數(shù)在點處的切線方程為，即.（2），設，則，依題意得，即，當時，，當時，，當時，，所以在處取得極大值，符合題意.綜上所述：.（3）當時，，，當時，,令，，則，①當時，在上恒成立，故在上為增函數(shù)，所以，故在上為增函數(shù)，故，不合題意.②當時，令，得，（i）若，即時，在時，，在上為減函數(shù)，，即，在上為減函數(shù)，，符合題意；(ii)若，即時，當時，，在上為增函數(shù)，，在上為增函數(shù)，，不合題意.綜上所述：若不等式對恒成立，則實數(shù)的取值范圍是.例6．（2023·湖南·校聯(lián)考模擬預測）已知函數(shù)與分別是與的導函數(shù).(1)證明:當時,方程在上有且僅有一個實數(shù)根;(2)若對任意的,不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍.【解析】（1）,當時,,令,令,則,顯然在上是單調(diào)遞增函數(shù),且,∴在上有唯一零點,且時,單調(diào)遞減,時,單調(diào)遞增,又,,∴在上有唯一的根,∴在上有唯一零點,即在上有且僅有一個實數(shù)根.（2）∵,令,則,等價于:,,令,則,令,則,故在上單調(diào)遞增,,故即在上單調(diào)遞增,,當時,,∴在上單調(diào)遞增,∴;當時,,取,則,,∴,∴,使得,時,單調(diào)遞減,此時,不符合題意.綜上可知:的取值范圍為.變式2．（2023·四川成都·石室中學?？寄M預測）已知函數(shù)，函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)記，對任意的，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【解析】（1），函數(shù)定義域為R，則且，令，，在上單調(diào)遞增，所以，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，，，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為.（2），，則，且，令，，令，時，所以在上單調(diào)遞增，①若，，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以恒成立.②若，，所以存在，使，故存在，使得，此時單調(diào)遞減，即在上單調(diào)遞減，所以，故在上單調(diào)遞減，所以此時，不合題意.綜上，.實數(shù)的取值范圍為.變式3．（2023·寧夏銀川·校聯(lián)考二模）已知函數(shù)．(1)討論在上的單調(diào)性；(2)若對于任意，若函數(shù)恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．【解析】（1），，則；，則，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減．（2）令，有當時，，不滿足；當時，，令，所以在恒成立，則在單調(diào)遞減，，，①當，即時，，所以在單調(diào)遞減，所以，滿足題意；②當，即時，因為在單調(diào)遞減，，，所以存在唯一，使得，所以在單調(diào)遞增，所以，不滿足，舍去.綜上：.變式4．（2023·四川瀘州·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)．(1)若單調(diào)遞增，求a的取值范圍；(2)若，，求a的取值范圍．【解析】（1）由，得，由于單調(diào)遞增，則即恒成立，令，則，可知時，，則在上單調(diào)遞增；時，，則在上單調(diào)遞減，故時，取得極大值即最大值，故．所以a的取值范圍是．（2）由題意時，恒成立，即；令，原不等式即為恒成立，可得，，，令，則，又設，則，則，，可知在上單調(diào)遞增，若，有，，則；若，有，則，所以，，，則即單調(diào)遞增，（i）當即時，，則單調(diào)遞增，所以，恒成立，則符合題意．（ii）當即時，，，存在，使得，當時，，則在單調(diào)遞減，所以，與題意不符，綜上所述，a的取值范圍是.題型三：端點不成立例7．（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預測）已知函數(shù)．(1)討論函數(shù)的極值；(2)當時，不等式恒成立，求a的取值范圍．【解析】（1）由題意可得：的定義域為，且，①當時，則，可得，所以在上單調(diào)遞減，無極值；②當時，令，解得；令，解得；則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以有極大值，無小極值；綜上所述：當時，無極值；當時，有極大值，無極小值.（2）因為，則，構建，則，①當時，則，則，等號不能同時取到，所以在上單調(diào)遞減；②當時，構建，則，因為，則，所以在上單調(diào)遞增，且，，故在內(nèi)存在唯一零點，當時，則；當時，則；即當時，則；當時，則；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；綜上所述：在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，且，的圖象大致為：

對于函數(shù)，由（1）可知：①當時，在上單調(diào)遞減，且當趨近于0時，趨近于，當趨近于時，趨近于，即的值域為R，則不恒成立，不合題意；②當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，且當趨近于0時，趨近于，當趨近于時，趨近于，即的值域，若恒成立，則恒成立，即，解得；綜上所述：a的取值范圍.例8．（2023·江蘇南京·高二南京市中華中學校考期末）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)若不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【解析】（1）的定義域為，，當時，，在上為增函數(shù)；當時，由，得，由，得，所以在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù).綜上所述：當時，在上為增函數(shù)；當時，在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù).（2），設，則原不等式恒成立等價于在上恒成立，，在上為增函數(shù)，則在上恒成立，等價于在上恒成立，等價于在上恒成立令，，令，得，令，得，所以在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，所以，故.例9．（2023·江西·校聯(lián)考模擬預測）已知函數(shù)．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)若對于任意的，恒成立，求實數(shù)的最小值．【解析】（1）由定義域為又令，顯然在單調(diào)遞減，且；∴當時，；當時，．則在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減（2）法一：∵任意的，恒成立，∴恒成立，即恒成立令，則．令，則在上單調(diào)遞增，∵，．∴存在，使得當時，，，單調(diào)遞增；當時，，，單調(diào)遞減，由，可得，∴，又∴，故的最小值是1．法二：∴恒成立，即恒成立令不妨令，顯然在單調(diào)遞增．∴在恒成立．令∴當時，；當時，即在單調(diào)遞增在單調(diào)遞減∴∴，故的最小值是1．變式5．（2023·四川綿陽·四川省綿陽南山中學?？寄M預測）已知函數(shù)，．(1)若，求函數(shù)的最小值及取得最小值時的值；(2)若函數(shù)對恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．【解析】（1）當時，，定義域為，所以，令得，所以，當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增，所以，函數(shù)在處取得最小值，.（2）因為函數(shù)對恒成立所以對恒成立，令，則，①當時，，在上單調(diào)遞增，所以，由可得，即滿足對恒成立；②當時，則，，在上單調(diào)遞增，因為當趨近于時，趨近于負無窮，不成立，故不滿足題意；③當時，令得令，恒成立，故在上單調(diào)遞增，因為當趨近于正無窮時，趨近于正無窮，當趨近于時，趨近于負無窮，所以，使得，，所以，當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，所以，只需即可；所以，，，因為，所以，所以，解得，所以，，

綜上所解，實數(shù)a的取值范圍為．變式6．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，其中．(1)當時，討論的單調(diào)性；(2)當時，恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．【解析】（1）當時，，函數(shù)的定義域為，求導得，顯然函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，因此當時,單調(diào)遞減，當時,單調(diào)遞增，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.（2），令，求導得，當時,，則在上單調(diào)遞增，，滿足題意，當時，設，則，因此函數(shù)，即在上單調(diào)遞增，而，(i)當時,在上單調(diào)遞增，于是，滿足題意，(ii)當，即時，對，則在上單調(diào)遞減，此時，不合題意，（iii）當時，因為在上單調(diào)遞增，且，于是，使，且當時,單調(diào)遞減，此時，不合題意，所以實數(shù)的取值范圍為.題型四：分離參數(shù)之全分離，半分離，換元分離例10．（2023·湖北武漢·武漢二中校聯(lián)考模擬預測）已知函數(shù).(1)若的極大值為3，求實數(shù)的值；(2)若，求實數(shù)的取值范圍.【解析】（1）因為，由，得，即的定義域為.因為，所以，因為，所以當時，，當時，，所以當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.所以當時，取得極大值，解得.（2）當時，，即，所以.令，則，令，則，所以當時，，當時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，即，所以，所以，又，所以，所以實數(shù)的取值范圍是.例11．（2023·湖北荊門·荊門市龍泉中學?？寄M預測）設函數(shù)，且．(1)求函數(shù)的單調(diào)性；(2)若恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．【解析】（1），，當時，恒成立，則在上單調(diào)遞增；當時，時，，則在上單調(diào)遞減；時，，則在上單調(diào)遞增．（2）方法一：在恒成立，則當時，，顯然成立，符合題意；當時，得恒成立，即記，，，構造函數(shù)，，則，故為增函數(shù)，則.故對任意恒成立，則在遞減，在遞增，所以∴．方法二：在上恒成立，即．記，，，當時，在單增，在單減，則，得，舍：當時，在單減，在單增，在單減，，，得；當時，在單減，成立；當時，在單減，在單增，在單減，，，而，顯然成立．綜上所述，．例12．（2023·河北·模擬預測）已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若存在實數(shù)，使得關于的不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【解析】（1）函數(shù)，，則，當，即時，恒成立，即在上單調(diào)遞增；當，即時，令，解得，+0↗極大值↘綜上所述，當是，在上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）等價于，令，當時，，所以不恒成立，不合題意.當時，等價于，由（1）可知，所以，對有解，所以對有解，因此原命題轉化為存在，使得.令，，則，，令，則，所以在上單調(diào)遞增，又，所以當時，，，故在上單調(diào)遞減，當時，，，故在上單調(diào)遞增，所以，所以，即實數(shù)的取值范圍是.變式7．（2023·福建三明·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，.(1)求證：在上單調(diào)遞增；(2)當時，恒成立，求的取值范圍.【解析】（1），，，由，有，，則，又，則.當時，，，所以

所以當時，，綜上，在上單調(diào)遞增.（2）.化簡得.當時，，所以，設，

設，.，，，在上單調(diào)遞增，又由，所以當時，，，在上單調(diào)遞減；當時，，，在上單調(diào)遞增，所以，故.變式8．（2023·甘肅張掖·高臺縣第一中學校考模擬預測）已知函數(shù)，為的導函數(shù)．(1)討論的極值；(2)當時，，求k的取值范圍．【解析】（1），記，則．①當時，，在R上單調(diào)遞減，故無極值．②當時，令，得，當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減．所以在處取得極大值，且極大值為．綜上所述，當時，無極值；當時，的極大值為，無極小值．（2）可化為，當時，，此時可得；當時，不等式可化為，設，則，

設，則，所以單調(diào)遞增，所以當時，，，當時，，，所以函數(shù)在和上都為增函數(shù)，取，則，設，則當時，，所以在上單調(diào)遞增，所以當時，，所以當時，，所以的最小值為，即，所以當和時，沒有最小值，但當x趨近－1時，無限趨近，且，又恒成立，所以，所以．綜上，k的取值范圍為．變式9．（2023·四川遂寧·射洪中學?？寄M預測）已知，.(1)求的極值；(2)若，求實數(shù)k的取值范圍.【解析】（1）已知，當時，恒成立，無極值，當時，，在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，當時，有極大值，，無極小值，綜上：當時，無極值；當時，極大值為，無極小值；（2）若，則在時恒成立，恒成立，令，令，則，在單調(diào)遞減，又，由零點存在定理知，存在唯一零點，使得，即，令在上單調(diào)遞增，，即當時，單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，，，即的取值范圍為.變式10．（2023·河北滄州·?？寄M預測）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的極值點個數(shù)；(2)若不等式在上恒成立，求可取的最大整數(shù)值.【解析】（1）已知，可得令，則，函數(shù)單調(diào)遞減，且當時，，故函數(shù)先增后減，當時，，其中，∴，∴當時，，∴函數(shù)只有一個零點，∴函數(shù)的極值點個數(shù)為1.（2）變形，得，整理得，令，則，∵，∴，若，則恒成立，即在區(qū)間上單調(diào)遞增，由，∴，∴，∴，此時可取的最大整數(shù)為2，若，令，則，令，則，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以在區(qū)間上有最小值，，于是問題轉化為成立，求的最大值，令，則，∵當時，，單調(diào)遞減，當時，單調(diào)遞增，∴在處取得最大值，∵，∴，∵，，，此時可取的最大整數(shù)為4.綜上，可取的最大整數(shù)為4.變式11．（2023·河南開封·?？寄M預測）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)若，求實數(shù)的取值范圍．【解析】（1）函數(shù)定義域為，，令，則，當，即時，，所以在定義域上單調(diào)遞增；當，即時恒成立，所以在定義域上單調(diào)遞增，令，則，即，當，即時解得，所以當時，當時，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當，即，此時恒成立，所以在上單調(diào)遞增，當，即時恒成立，所以在定義域上單調(diào)遞減，令，則，即，解得，所以當時，當時，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，綜上可得：當時在上單調(diào)遞增；當時在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當時在上單調(diào)遞增；當時在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）當時，即，即，令，，則，所以在上單調(diào)遞減，則，所以，則，令，，則，因為，所以當時，當時，即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以，即.題型五：洛必達法則例13．已知函數(shù)在處取得極值，且曲線在點處的切線與直線垂直.(1)求實數(shù)的值；(2)若，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【解析】(1)，；函數(shù)在處取得極值，；又曲線在點處的切線與直線垂直，；解得：；（2）不等式恒成立可化為，即；當時，恒成立；當時，恒成立，令，則；令，則；令，則；得在是減函數(shù)，故，進而（或，，得在是減函數(shù)，進而）．可得：，故，所以在是減函數(shù)，而要大于等于在上的最大值，但當時，沒有意義，變量分離失效，我們可以由洛必達法得到答案，，故答案為．例14．設函數(shù).當時，，求的取值范圍.【解析】由題設，此時.①當時，若，則，不成立；②當時，當時，，即；若，則；若，則等價于，即.記，則.記，則，.因此，在上單調(diào)遞增，且，所以，即在上單調(diào)遞增，且，所以.因此，所以在上單調(diào)遞增.由洛必達法則有，即當時，，即有，所以.綜上所述，的取值范圍是.例15．設函數(shù)．如果對任何，都有，求的取值范圍．【解析】，若，則；若，則等價于，即則.記，因此，當時，，在上單調(diào)遞減，且，故，所以在上單調(diào)遞減，而.另一方面，當時，，因此.題型六：同構法例16．（2023·重慶萬州·高三重慶市萬州第二高級中學?？茧A段練習）已知函數(shù).(1)若，判斷的零點個數(shù)；(2)當時，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【解析】（1），，定義域為，令，可得，設，則，令，得在上單調(diào)遞增；令，得，在上單調(diào)遞減，.當時，；當時，，從而可畫出的大致圖象，

①當或時，沒有零點；②當或時，有一個零點；③當時，有兩個零點.（2）當時，不等式恒成立，可化為在上恒成立，該問題等價于在上恒成立，即在上恒成立，令，則，當時，單調(diào)遞減；當時，單調(diào)遞增，，即，即①當時，，不等式恒成立；②當時，令，顯然單調(diào)遞增，且，故存在，使得，所以，即，而，此時不滿足，所以實數(shù)不存在.綜上可知，使得恒成立的實數(shù)的取值范圍為.例17．（2023·湖南常德·常德市一中校考一模）已知函數(shù)，.(1)若在點處的切線與在點處的切線互相平行，求實數(shù)a的值；(2)若對，恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.【解析】（1）依題意，，，則，，因為在點,處的切線與在點,處的切線互相平行，所以，又因為，所以（2）由，得，即，即，設，則，，由，設，可得，所以時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增，所以,所以在上單調(diào)遞增，所以對恒成立，即對恒成立，設，則，當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減，所以，故，所以實數(shù)的取值范圍為．例18．（2023·河南鄭州·高二鄭州市第二高級中學?？茧A段練習）已知e是自然對數(shù)的底數(shù)．若，成立，則實數(shù)m的最小值是________．【答案】/【解析】由得，即，令，求導得，則在上單調(diào)遞增，顯然，當時，恒有，即恒成立，于是當時，，有，從而對恒成立，即對恒成立，令，求導得，則當時，；當時，，因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，則，所以實數(shù)m的最小值是．故答案為：變式12．（2023·廣西柳州·統(tǒng)考三模）已知，（），若在上恒成立，則實數(shù)a的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，即在上恒成立.易知當時，.令函數(shù)，則，函數(shù)在上單調(diào)遞增，故有，則在上恒成立.令，則，令，即，解得，令，即，解得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以，即實數(shù)的最小值為.故選：B變式13．（2023·廣東佛山·統(tǒng)考模擬預測）已知函數(shù)，其中.(1)討論函數(shù)極值點的個數(shù)；(2)對任意的，都有，求實數(shù)的取值范圍.【解析】（1）由題意知：定義域為，，令，則，令，則，當時，；當時，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，當時，恒成立，大致圖象如下圖所示，

則當時，恒成立，即恒成立，在上單調(diào)遞減，無極值點；當時，與有兩個不同交點，此時有兩個變號零點，有兩個極值點；當時，與有且僅有一個交點，此時有且僅有一個變號零點，有且僅有一個極值點；綜上所述：當時，無極值點；當時，有兩個極值點；當時，有且僅有一個極值點.（2）由題意知：當時，恒成立；設，則，當時，；當時，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，即，，又恒成立，，即實數(shù)的取值范圍為.變式14．（2023·海南·校考模擬預測）已知，函數(shù).(1)當時，求曲線在處的切線方程；(2)若恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【解析】（1）當時，，所以所以，所以切線方程為，即.（2）由題意得，即，因為，所以設，令，則在區(qū)間上恒成立，即在區(qū)間上單調(diào)遞增，又時，，又時，，所以存在，使，令，因為，所以當時，，即在區(qū)間上單調(diào)遞減，當時，，即在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，所以，即，得到，當且僅當時取等號，所以，當且僅當時取等號，所以，又，所以a的取值范圍是.變式15．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)若，求a的取值范圍．【解析】（1）．當時，令，解得，當，，單調(diào)遞減，當，，單調(diào)遞增；當時，，在R上單調(diào)遞減；當時，令，解得，所以當，，單調(diào)遞減，當，，單調(diào)遞增；綜上，當時，單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；當時，單調(diào)遞減區(qū)間為R，無單調(diào)遞增區(qū)間；當時，單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為．（2）原不等式為，即．因為，所以．令，則其在區(qū)間上單調(diào)遞增，取，則；取，則，所以存在唯一使得，令，則．當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增；所以，即，．故．故，所以．當且僅當即時，等號成立，故，即a的取值范圍為．變式16．（2023·廣東佛山·校考模擬預測）已知函數(shù)，其中，.(1)當時，求函數(shù)的零點；(2)若函數(shù)恒成立，求的取值范圍.【解析】（1）當時，，，當時，，得恒成立.即可得在上單調(diào)遞增.而此時，即可得在上僅有1個零點，且該零點為0.（2）函數(shù)等價于，因，所以得所以所以構造函數(shù)，上式等價于函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，從而可得成立.化簡可得等價于恒成立.設函數(shù)，易知，，當時，因，，故，所以在上單調(diào)遞增，所以，滿足題意，當時，時，，此時在上單調(diào)遞減，故當時，不符合題意.綜上可得的取值范圍是.變式17．（2023·貴州畢節(jié)·統(tǒng)考模擬預測）已知函數(shù).(1)當時，求曲線在點處的切線方程；(2)若，求實數(shù)a的取值范圍.【解析】（1）當時，,則，所以，即在點處的切線斜率為.而，所以切點坐標為，所以曲線在點處的切線方程為，即.（2）因為，所以，即，即.令，則.，所以在上單調(diào)遞增，所以恒成立，即，即恒成立.令，則，令，解得，令，解得,所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以.因為恒成立，所以，解得.所以實數(shù)a的取值范圍是.題型七：必要性探路例19．（2023·江西九江·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)(1)討論f(x)的單調(diào)性：(2)當時，若，，求實數(shù)m的取值范圍．【解析】（1）．當時，，易知f(x)在R上單調(diào)遞減．當時，令，可得；令，可得且，∴f(x)在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．當時，令，可得且；令，可得，∴在和上單調(diào)增，在上單調(diào)遞減．（2）當時，由，得即，令，則∵，且，∴存在，使得當時，，∴，即．下面證明當時，對恒成立．∵，且，∴設，∴，可知F(x)在上單調(diào)遞減，在(0，+∞)上單調(diào)遞增，∴，∴，∴，∴綜上，實數(shù)m的取值范圍為．例20．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)．(1)若函數(shù)在上有且僅有2個零點，求a的取值范圍；(2)若恒成立，求a的取值范圍．【解析】（1）由已知，令，又，得．由題設可得，令，其中，則直線與函數(shù)的圖象在上有兩個交點，因為，當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減．所以函數(shù)的極大值為，且，當時，直線與函數(shù)在上的圖象有兩個交點，所以函數(shù)在上有且僅有2個零點，故實數(shù)a的取值范圍是；（2）當時，由已知函數(shù)的定義域為，又恒成立，即在時恒成立，當時，恒成立，即，又，則，下面證明：當時，在時恒成立.由（1）得當時，，要證明，只需證明對任意的恒成立，令，則，由，得，①當，即時在上恒成立，則在上單調(diào)遞增，于是；②當，即時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，于是，令，則，則在上單調(diào)遞增．于是，所以恒成立，所以時，不等式恒成立，因此a的取值范圍是．例21．（2023·江西九江·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)）在處的切線斜率為.(1)求a的值；(2)若，，求實數(shù)m的取值范圍.【解析】（1），，，，，.（2）由（1）可知，，由，得，令，則，，且，存在，使得當時，，，即；下面證明當時，，，且，，設，，當時，；當時，；可知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，，，；當時，令，則，設，則，且為單調(diào)遞增函數(shù)，由于，故，僅在是取等號，故在上單調(diào)遞增，，故，即，則在上單調(diào)遞增，而，當時，遞增的幅度遠大于遞增的幅度，，故必存在，使得，則時，，故在上單調(diào)遞減，則，與題意不符；綜上，實數(shù)m的取值范圍為.變式18．（2023·福建廈門·統(tǒng)考模擬預測）已知函數(shù)．(1)當時，討論在區(qū)間上的單調(diào)性；(2)若，求的值．【解析】（1）當時，．因為，所以．所以在區(qū)間上的單調(diào)遞增．（2），當時，，所以存在，當時，則在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以當時，，不滿足題意當時，，所以存在，當時，則在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以當時，，不滿足題意所以．下面證明時，由（1）知，在區(qū)間上的單調(diào)遞增，所以當時，所以只要證明.令令，則①當時，，得所以，所以，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增且，所以，使得.且當時，；當時，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增且，所以當時，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以當時，②當時，因為，所以，所以所以在區(qū)間上單調(diào)遞減且所以，使得當時，；當時，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減且所以當時，綜上，的值為1.變式19．（2023·湖南長沙·長郡中學校聯(lián)考模擬預測）已知函數(shù)．(1)若，，求證：有且僅有一個零點；(2)若對任意，恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．【解析】（1）證明：由題意得，當時，，故．（i）當時，，記，則，單調(diào)遞增，，所以，即當時，無零點．（ii）當時，，，即當時，無零點．（iii）當時，．因為，所以，即單調(diào)遞增．又因為，，所以當時，存在唯一零點．綜上，當時，有且僅有一個零點．（2）易知，因此恒成立，則在0的左側鄰域內(nèi)，是減函數(shù)，有，則．因為，所以，得是對任意成立的必要條件．下面證明充分性．當時，，等價于．令，，即證．（i）當時，，，即成立．（ii）當時，記，則．由，得，所以，即單調(diào)遞增，，即，，則，時，，單調(diào)遞減，時，，單調(diào)遞增，因此是的最小值，即，所以恒成立，所以．綜上，．題型八：max，min函數(shù)問題例22．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，，其中.(1)證明：當時，；當時，；(2)用表示中的最大值，記.是否存在實數(shù)a，對任意的，恒成立.若存在，求出，若不存在，請說明理由.【解析】（1），.當時，，則；當時，，則，當時，，所以當時，，在上是增函數(shù)，又，所以當時，；當時，.（2）函數(shù)的定義域為，由（1）知，當時，，又，所以當時，恒成立，由于當時，恒成立，所以等價于：當時，..①若，當時，，故，遞增，此時，不合題意；②若，當時，由知，存在，使得，根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性可知，在上遞增，故當，，遞增，此時，不合題意；③若，當時，由知，對任意，，遞減，此時，符合題意.綜上可知：存在實數(shù)滿足題意，的取值范圍是.例23．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，，其中.（1）證明：當時，；當時，；（2）用表示m，n中的最大值，記.是否存在實數(shù)a，對任意的，恒成立.若存在，求出a；若不存在，請說明理由.【解析】（1）證明：，.當時，，則；當時，，則，當時，，所以當時，，在上是增函數(shù)，又，所以當時，；當時，.（2）函數(shù)的定義域為，由（1）知，當時，，又，所以當時，恒成立，由于當時，恒成立，所以等價于：當時，..①若，當時，，故，遞增，此時，不合題意；②若，當時，由知，存在，當，，遞增，此時，不合題意；③若，當時，由知，對任意，，遞減，此時，符合題意.綜上可知：存在實數(shù)滿足題意，的取值范圍是.例24．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，，其中.（1）證明：當時，；當時，；（2）用表示m，n中的最大值，記.是否存在實數(shù)a，對任意的，恒成立.若存在，求出a；若不存在，請說明理由.【解析】（1），,當時，，，則；當時，，，則，當時，．所以當時，，在上是增函數(shù)，又，所以當時，；當時，．（2）函數(shù)的定義域為，由（1）得，當時，，又，所以當時，恒成立．由于當時，恒成立，故等價于：當時，恒成立．，．當時，，，故；當時，，，故．從而當時，，單調(diào)遞增．①若，即，則當時，，單調(diào)遞減，故當時，，不符合題意；②若，即，取，則，且，故存在唯一，滿足，當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增．若，則當時，單調(diào)遞增，，不符合題意；若，則，符合題意，此時由得；若，則當時，單調(diào)遞減，，不符合題意．綜上可知：存在唯一實數(shù)滿足題意．【關鍵點晴】本題第一小問的關鍵點在于提公因式討論，避免二次求導；第二小問首先將將恒成立轉化為在時恒成立，在對研究時，關鍵點是，再結合的單調(diào)性及零點存在性定理討論得到a，有一定難度，特別是書寫的規(guī)范性.變式20．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，.（1）證明恒成立；（2）用表示m，n中的最大值.已知函數(shù)，記函數(shù)，若函數(shù)在上恰有2個零點，求實數(shù)a的取值范圍.【解析】（1）由題得的定義域為，則在上恒成立等價于在上恒成立，記，則，.當時，；時，，故在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，所以，即恒成立.（2）由題得，①當時，，此時無零點.②當時，，a.當，即時，是的一個零點；b.當，即時，不是的一個零點；.③當時，恒成立，因此只需考慮在上的零點情況.由，a.當時，，在上單調(diào)遞增，且，當時，，則在上無零點，故在上無零點；當時，，則在上無零點，故在上有1個零點；當時，由，，得在上僅有一個零點，故在上有2個零點；所以，.b.當時，由得，由時，；當時，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；由，，得在上僅有一個零點，故在上有2個零點；所以，.綜上所述，時，在上恰有兩個零點.變式21．（2023·寧夏銀川·高三銀川一中校考階段練習）已知是自然對數(shù)的底數(shù)，函數(shù)，直線為曲線的切線，.(1)求的值；(2)①判斷的零點個數(shù)；②定義函數(shù)在上單調(diào)遞增.求實數(shù)的取值范圍.【解析】（1）由題意得：設切線的且點位，則可得：，又可得：①又因為直線為曲線的切線故可知②由①②解得：（2）①由小問（1）可知：，故必然存在零點，且又因為，當時，當時，令故故在上是減函數(shù)綜上分析，只有一個零點，且②由的導數(shù)為當時，遞增，當時，遞減；對的導數(shù)在時，遞增；設的交點為，由（2）中①可知當時，，由題意得：在時恒成立，即有；在上最值為故當時，，由題意得：在時恒成立，即有令，則可得函數(shù)在遞增，在上遞減，即可知在處取得極小值，且為最小值；綜上所述：，即.變式22．（2023·全國·高三專題練習）設函數(shù).（1）若，證明：在上存在唯一零點；（2）設函數(shù)，（表示中的較小值），若，求的取值范圍.【解析】(1)函數(shù)的定義域為，因為，當時，，而，所以在存在零點.因為，當時，，所以，則在上單調(diào)遞減，所以在上存在唯一零點.（2）由（1）得，在上存在唯一零點，時，時，.當時，由于；時，，于是在單調(diào)遞增，則，所以當時，.當時，因為，時，，則在單調(diào)遞增；時，，則在單調(diào)遞減，于是當時，，所以函數(shù)的最大值為，所以的取值范圍為.題型九：構造函數(shù)技巧例25．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若，且關于的不等式在上恒成立，其中是自然對數(shù)的底數(shù)，求實數(shù)的取值范圍．【解析】（1）根據(jù)題意可知的定義域為，，令，得．當時，時，，時；當時，時，，時．綜上所述，當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（2）依題意，，即在上恒成立，令，則．對于，，故其必有兩個零點，且兩個零點的積為，則兩個零點一正一負，設其正零點為，則，即，且在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，即．令，則，當時，，當時，，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，故，顯然函數(shù)在上是關于的單調(diào)遞增函數(shù)，則，所以實數(shù)的取值范圍為．例26．（2023·江蘇·統(tǒng)考高考真題）已知關于x的函數(shù)與在區(qū)間D上恒有．（1）若，求h(x)的表達式；（2）若，求k的取值范圍；（3）若求證：．【解析】（1）[方法一]:判別式法由可得在R上恒成立，即和，從而有即，所以，因此，．所以．[方法二]【最優(yōu)解】：特值+判別式法由題設有對任意的恒成立.令，則，所以.因此即對任意的恒成立，所以，因此.故.（2）[方法一]令，.又.若，則在上遞增，在上遞減，則，即，不符合題意.當時，，符合題意.當時，在上遞減，在上遞增，則，即，符合題意.綜上所述，.由當，即時，在為增函數(shù)，因為，故存在，使，不符合題意.當，即時，，符合題意.當，即時，則需，解得.綜上所述，的取值范圍是.[方法二]【最優(yōu)解】：特值輔助法由已知得在內(nèi)恒成立；由已知得，令，得，∴(*)，令，，當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增，∴，∴當時在內(nèi)恒成立；由在內(nèi)恒成立，由(*)知，∴，∴，解得.∴的取值范圍是.（3）[方法一]：判別式+導數(shù)法因為對任意恒成立，①對任意恒成立，等價于對任意恒成立.故對任意恒成立.令，當，，此時，當，，但對任意的恒成立.等價于對任意的恒成立.的兩根為，則，所以.令，構造函數(shù)，，所以時，，遞減，.所以，即.[方法二]：判別式法

由，從而對任意的有恒成立，等價于對任意的①，恒成立．（事實上，直線為函數(shù)的圖像在處的切線）同理對任意的恒成立，即等價于對任意的恒成立．

②當時，將①式看作一元二次方程，進而有，①式的解為或（不妨設）；當時，，從而或，又，從而成立；當時，由①式得或，又，所以．當時，將②式看作一元二次方程，進而有．由，得，此時②式的解為不妨設，從而．綜上所述，．[方法三]【最優(yōu)解】：反證法假設存在，使得滿足條件的m，n有．因為，所以．因為，所以．因為對恒成立，所以有．則有，

③，

④解得．由③+④并化簡得，．因為在區(qū)間上遞增，且，所以，．由對恒成立，即有

⑤對恒成立，將⑤式看作一元二次方程，進而有．設，則，所以在區(qū)間上遞減，所以，即．設不等式⑤的解集為，則，這與假設矛盾．從而．由均為偶函數(shù)．同樣可證時，也成立．綜上所述，．【整體點評】（1）的方法一利用不等式恒成立的意義，結合二次函數(shù)的性質，使用判別式得到不等式組，求解得到；方法二先利用特值求得的值，然后使用判別式進一步求解，簡化了運算，是最優(yōu)解；（2）中的方法一利用導數(shù)和二次函數(shù)的性質，使用分類討論思想分別求得的取值范圍，然后取交集；方法二先利用特殊值進行判定得到，然后在此基礎上，利用導數(shù)驗證不等式的一側恒成立，利用二次函數(shù)的性質求得不等式的另一側也成立的條件，進而得到結論，是最優(yōu)解；（3）的方法一、方法二中的分解因式難度較大，方法三使用反證法，推出矛盾，思路清晰，運算簡潔，是最優(yōu)解.例27．（2023·湖北·統(tǒng)考模擬預測）已知函數(shù).(1)求函數(shù)在處的切線方程；(2)若不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【解析】（1），，，的圖像在處的切線方程為，即.（2）解法一：由題意得，因為函數(shù)，故有，等價轉化為，即在時恒成立，所以，令，則，令，則，所以函數(shù)在時單調(diào)遞增，，，，使得，當時，，即單調(diào)遞減，當時，，即單調(diào)遞增，故，由，得在中，，當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，即與，，，即實數(shù)的取值范圍為.解法二：因為函數(shù)，故有，等價轉化為：，構造，，所以可知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，即成立，令，令，在單調(diào)遞增，又，所以存在，使得，即，可知，當時，可知恒成立，即此時不等式成立；當時，又因為，所以，與不等式矛盾；綜上所述，實數(shù)的取值范圍為.變式23．（2023·江蘇南京·高二南京市江寧高級中學校聯(lián)考期末）已知函數(shù).(1)當時，求的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若恒成立，求的取值范圍.【解析】（1）當時，，，設又，∴在上單調(diào)遞增，又，∴當時，當時，∴的單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）對函數(shù)求導得，，令，則，∴在上單調(diào)遞增，又，當時，故存在唯一正實數(shù)使得，當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，∴，由恒成立，得，由得，∴∴，∴，∴，設，則恒成立，故在上單調(diào)遞增，而，∴，又且函數(shù)在上是增函數(shù)，故的取值范圍為法2：同法一得，由得，∴，當且僅當時等號成立，∴，故的取值范圍為變式24．（2023·福建泉州·統(tǒng)考模擬預測）已知函數(shù)．(1)判斷的導函數(shù)的零點個數(shù)；(2)若，求a的取值范圍．【解析】（1）由題意可得：的定義域為，且，因為，則有：當時，恒成立，在內(nèi)無零點；當時，構建，則恒成立，則在上單調(diào)遞增，由于，取，則，，故在內(nèi)有且僅有一個零點，即在內(nèi)有且僅有一個零點；綜上所述：當時，在內(nèi)無零點；當時，在內(nèi)有且僅有一個零點.（2）由題意可知：，由（1）可知：在內(nèi)有且僅有一個零點，設為，可得：當時，；當時，；則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，因為，則，且可得，整理得，構建，則，對于，由，可得，所以，則在上單調(diào)遞增，且，所以的解集為，又因為在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，可得，所以，故a的取值范圍.變式25．（2023·安徽合肥·合肥市第六中學?？寄M預測）已知函數(shù)，（e為自然對數(shù)的底數(shù)）．(1)若函數(shù)的最大值為0，求a的值；(2)若對于任意正數(shù)x，恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．【解析】（1）因為函數(shù)的定義域為，且，當時，，所以函數(shù)為增函數(shù)，沒有最大值；當時，令，得，令，得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；所以當時，，解得：.（2）由，得，化簡得：，所以對于任意正數(shù)x，都有恒成立，設，則，令，則，可得為增函數(shù)，因為，，所以存在，使得，當時，，即，單調(diào)遞減，當時，，即，單調(diào)遞增，所以的最小值為，由可得，

，兩邊同時取對數(shù)，得，令，顯然為增函數(shù)，由，得，所以，所以.所以，即.故實數(shù)a的取值范圍為：.變式26．（2023·重慶萬州·統(tǒng)考模擬預測）已知函數(shù)．(1)討論的極值；(2)當時，關于x的不等式在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【解析】（1），若，則，則在上單調(diào)遞減，無極值；若，當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，所以，無極大值；若，當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，所以，無極小值；綜上所述，若，無極值；若，，無極大值；若，，無極小值；（2）時，，所以有在上恒成立，即在上恒成立，令，轉化為在上恒成立，，當時，所以在上單調(diào)遞增，，滿足題意；當時，令，，則，設，，則，因為，所以，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以，即在上恒成立，所以即在上單調(diào)遞增，又因為，當即時，，在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，所以在上恒成立，當時，，如果在上恒成立，則在上單調(diào)遞減，則無最小值，不符合題意；如果有解時，設，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則在時，，不符合題意；綜上所述，，即實數(shù)的取值范圍是．變式27．（2023·四川·校聯(lián)考模擬預測）已知函數(shù)的導函數(shù)為.(1)當時，求函數(shù)的極值點的個數(shù)；(2)若恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【解析】（1）當時，，定義域為，，令，則.當時，，當時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，又，，所以，，所以存在唯一的，，使得，且當和時，，函數(shù)單調(diào)遞減；當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，故在處取得極小值，在處取得極大值，即函數(shù)的極值點的個數(shù)為2.（2），，即恒成立，即在上恒成立.記，當時，，不合題意；當時，.記，則，所以在上單調(diào)遞增，又，所以使得，即，①故當時，，即，當時，，即，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，②由