平面解析幾何第九章第3講圓的方程第一頁(yè)，編輯于星期六：四點(diǎn)十一分?？键c(diǎn)要求考情概覽1.掌握確定圓的幾何要素、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程，能根據(jù)不同的條件，采取標(biāo)準(zhǔn)式或一般式求圓的方程(重點(diǎn))．2．掌握點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，能求解與圓有關(guān)的軌跡方程(難點(diǎn))考向預(yù)測(cè)：從近三年高考情況來(lái)看，本講為高考中的熱點(diǎn)．預(yù)測(cè)本年度將會(huì)考查：①利用直接法或待定系數(shù)法或動(dòng)點(diǎn)軌跡求圓的方程；②根據(jù)圓的方程求最值；③圓與其他知識(shí)交匯的綜合問(wèn)題．試題以客觀題的形式呈現(xiàn)，難度不會(huì)太大，以中檔題型呈現(xiàn)．學(xué)科素養(yǎng)：主要考查數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算的素養(yǎng)第二頁(yè)，編輯于星期六：四點(diǎn)十一分。欄目導(dǎo)航01基礎(chǔ)整合

自測(cè)糾偏03素養(yǎng)微專

直擊高考02重難突破

能力提升04配套訓(xùn)練第三頁(yè)，編輯于星期六：四點(diǎn)十一分。基礎(chǔ)整合自測(cè)糾偏1第四頁(yè)，編輯于星期六：四點(diǎn)十一分。D2＋E2－4F>0

第五頁(yè)，編輯于星期六：四點(diǎn)十一分。2.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系平面上的一點(diǎn)M(x0，y0)與圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之間存在著下列關(guān)系：(1)d＞r?(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2?M在________；(2)d＝r?(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2?M在________；(3)d＜r?(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2?M在________．圓外

圓上

圓內(nèi)

第六頁(yè)，編輯于星期六：四點(diǎn)十一分?！咎貏e提醒】不要把形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的結(jié)構(gòu)都認(rèn)為是圓，一定要先判斷D2＋E2－4F的符號(hào)，只有大于0時(shí)才表示圓．【常用結(jié)論】若x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓，則有：(1)當(dāng)F＝0時(shí)，圓過(guò)原點(diǎn)．(2)當(dāng)D＝0，E≠0時(shí)，圓心在y軸上；當(dāng)D≠0，E＝0時(shí)，圓心在x軸上．第七頁(yè)，編輯于星期六：四點(diǎn)十一分。(3)當(dāng)D＝F＝0，E≠0時(shí)，圓與x軸相切于原點(diǎn)；E＝F＝0，D≠0時(shí)，圓與y軸相切于原點(diǎn)．(4)當(dāng)D2＝E2＝4F時(shí)，圓與兩坐標(biāo)軸相切．第八頁(yè)，編輯于星期六：四點(diǎn)十一分。1．(2019年紹興學(xué)業(yè)考試)圓x2＋(y－2)2＝9的半徑是 (

)A．3 B．2C．9 D．6【答案】A第九頁(yè)，編輯于星期六：四點(diǎn)十一分。2．已知圓C與y軸相切于點(diǎn)(0,5)，半徑為5，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是 (

)A．(x－5)2＋(y－5)2＝25B．(x＋5)2＋(y－5)2＝25C．(x－5)2＋(y－5)2＝5或(x＋5)2＋(y－5)2＝5D．(x－5)2＋(y－5)2＝25或(x＋5)2＋(y－5)2＝25【答案】D第十頁(yè)，編輯于星期六：四點(diǎn)十一分。3．(2019年安徽期末)以A(－2,1)，B(1,5)為半徑兩端點(diǎn)的圓的方程是 (

)A．(x＋2)2＋(y－1)2＝25B．(x－1)2＋(y－5)2＝25C．(x＋2)2＋(y－1)2＝25或(x－1)2＋(y－5)2＝25D．(x＋2)2＋(y－1)2＝5或(x－1)2＋(y－5)2＝5【答案】C第十一頁(yè)，編輯于星期六：四點(diǎn)十一分。4．(2020年北京)已知半徑為1的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3,4)，則其圓心到原點(diǎn)的距離的最小值為 (

)A．4 B．5C．6 D．7【答案】A第十二頁(yè)，編輯于星期六：四點(diǎn)十一分。5．圓C的圓心在x軸上，并且過(guò)點(diǎn)A(－1,1)和B(1,3)，則圓C的方程為_(kāi)___________．【答案】(x－2)2＋y2＝106．(2019年哈爾濱三模)過(guò)點(diǎn)A(－3,2)，B(－5，－2)，且圓心在直線3x－2y＋4＝0上的圓的半徑為_(kāi)_______．第十三頁(yè)，編輯于星期六：四點(diǎn)十一分。第十四頁(yè)，編輯于星期六：四點(diǎn)十一分。第十五頁(yè)，編輯于星期六：四點(diǎn)十一分。判斷下面結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)：(1)確定圓的幾何要素是圓心與半徑． (

)(2)方程x2＋y2＝a2表示半徑為a的圓． (

)(3)方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圓． (

)(4)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓的充要條件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0. (

)【答案】(1)√

(2)×

(3)×

(4)√第十六頁(yè)，編輯于星期六：四點(diǎn)十一分。重難突破能力提升2第十七頁(yè)，編輯于星期六：四點(diǎn)十一分。圓的方程第十八頁(yè)，編輯于星期六：四點(diǎn)十一分?！敬鸢浮?1)(x－1)2＋(y＋1)2＝2

(2)D第十九頁(yè)，編輯于星期六：四點(diǎn)十一分。第二十頁(yè)，編輯于星期六：四點(diǎn)十一分?！窘忸}技巧】1．方程選擇原則求圓的方程時(shí)，如果由已知條件易求得圓心坐標(biāo)、半徑或需要用圓心坐標(biāo)列方程，常選用標(biāo)準(zhǔn)方程；如果已知條件與圓心坐標(biāo)、半徑無(wú)直接關(guān)系，常選用一般方程．2．用待定系數(shù)法求圓的方程的方法和步驟(1)根據(jù)題意，選擇標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程；(2)根據(jù)條件列出關(guān)于a，b，r或D，E，F(xiàn)的方程組；(3)解出a，b，r或D，E，F(xiàn)代入標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程．第二十一頁(yè)，編輯于星期六：四點(diǎn)十一分?！咀兪骄殹?．(1)已知直線kx－y＋2k－1＝0(k∈R)恒過(guò)圓C的圓心，且圓C的半徑為2，則圓C的方程是__________．(2)以拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為圓心，與該拋物線的準(zhǔn)線相切的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)___________．【答案】(1)(x＋2)2＋(y＋1)2＝4(2)(x－1)2＋y2＝4第二十二頁(yè)，編輯于星期六：四點(diǎn)十一分。【解析】(1)由題意得，直線kx－y＋2k－1＝0(k∈R)恒過(guò)C(－2，－1)，且圓C的半徑為2，所以圓C的方程為(x＋2)2＋(y＋1)2＝4.(2)拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為(1,0)，準(zhǔn)線為x＝－1，故所求圓的圓心為(1,0)，半徑為2，所以該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)2＋y2＝4.第二十三頁(yè)，編輯于星期六：四點(diǎn)十一分。示通法處理與圓有關(guān)的最值問(wèn)題，應(yīng)充分探究圓的幾何性質(zhì)，并根據(jù)代數(shù)式的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化化歸思想求解，其步驟為：(1)定型：根據(jù)題目條件，確定最值問(wèn)題的類型．(2)作圖：根據(jù)幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合思想求解．(3)求值：根據(jù)圖形，利用相關(guān)知識(shí)求解．與圓有關(guān)的最值問(wèn)題第二十四頁(yè)，編輯于星期六：四點(diǎn)十一分。第二十五頁(yè)，編輯于星期六：四點(diǎn)十一分。第二十六頁(yè)，編輯于星期六：四點(diǎn)十一分。第二十七頁(yè)，編輯于星期六：四點(diǎn)十一分。第二十八頁(yè)，編輯于星期六：四點(diǎn)十一分。第二十九頁(yè)，編輯于星期六：四點(diǎn)十一分。第三十頁(yè)，編輯于星期六：四點(diǎn)十一分。第三十一頁(yè)，編輯于星期六：四點(diǎn)十一分。第三十二頁(yè)，編輯于星期六：四點(diǎn)十一分。第三十三頁(yè)，編輯于星期六：四點(diǎn)十一分。(3)求形如t＝(x－a)2＋(y－b)2的最值，可轉(zhuǎn)化為圓上的點(diǎn)到定點(diǎn)的距離的最值，即把(x－a)2＋(y－b)2看作是點(diǎn)(a，b)與圓上的點(diǎn)(x，y)連線的距離的平方，利用數(shù)形結(jié)合法求解．(4)形如|PA|＋|PQ|(其中P，Q均為動(dòng)點(diǎn))且與圓C有關(guān)的折線段最值問(wèn)題，其基本思路為：①“動(dòng)化定”，即把與圓上動(dòng)點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為與圓心的距離；②“曲化直”，即折線段轉(zhuǎn)化為同一直線上的兩線段之和，一般要通過(guò)對(duì)稱性解決．第三十四頁(yè)，編輯于星期六：四點(diǎn)十一分。第三十五頁(yè)，編輯于星期六：四點(diǎn)十一分。第三十六頁(yè)，編輯于星期六：四點(diǎn)十一分。第三十七頁(yè)，編輯于星期六：四點(diǎn)十一分。與圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題第三十八頁(yè)，編輯于星期六：四點(diǎn)十一分。解：(1)設(shè)AP的中點(diǎn)為M(x，y)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知，P點(diǎn)的坐標(biāo)為(2x－2,2y)．因?yàn)镻點(diǎn)在圓x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4.故線段AP中點(diǎn)的軌跡方程為(x－1)2＋y2＝1.(2)設(shè)PQ的中點(diǎn)為N(x，y)．在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|.設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，連接ON，則ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2.所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.故線段PQ中點(diǎn)的軌跡方程為x2＋y2－x－y－1＝0.第三十九頁(yè)，編輯于星期六：四點(diǎn)十一分?！窘忸}技巧】求與圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題時(shí)，根據(jù)題設(shè)條件的不同常采用以下方法(1)直接法：直接根據(jù)題目提供的條件列出方程．(2)定義法：根據(jù)圓、直線等定義列方程．(3)幾何法：利用圓的幾何性質(zhì)列方程．(4)代入法：找到要求點(diǎn)與已知點(diǎn)的關(guān)系，代入已知點(diǎn)滿足的關(guān)系式等．第四十頁(yè)，編輯于星期六：四點(diǎn)十一分。【變式精練】3．設(shè)定點(diǎn)M(－3,4)，動(dòng)點(diǎn)N在圓x2＋y2＝4上運(yùn)動(dòng)，以O(shè)M，ON為兩邊作平行四邊形MONP(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，求點(diǎn)P的軌跡．第四十一頁(yè)，編輯于星期六：四點(diǎn)十一分。第四十二頁(yè)，編輯于星期六：四點(diǎn)十一分。素養(yǎng)微專直擊高考3第四十三頁(yè)，編輯于星期六：四點(diǎn)十一分。思想方法類——利用幾何性質(zhì)巧設(shè)方程求半徑典例精析

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線y＝x2－6x＋1與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)都在圓C上，求圓C的方程．【考查角度】圓的方程．【核心素養(yǎng)】邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算．【思路導(dǎo)引】本題可采用兩種方法解答，即代數(shù)法和幾何法．第四十四頁(yè)，編輯于星期六：四點(diǎn)十一分。第四十五頁(yè)，編輯于星期六：四點(diǎn)十一分。第四十六頁(yè)，編輯于星期六：四點(diǎn)十一分。【解題技巧】代數(shù)法是先求出曲線y＝x2