第3章概率的進一步認識（知識歸納+題型突破）1.進一步認識頻率與概率的關系，加深對概率的理解；2.會用列表和畫樹狀圖等方法計算簡單事件發(fā)生的概率；3.能利用重復試驗的頻率估計隨機事件的概率；4.學會運用概率知識解決簡單的實際問題.一、用樹狀圖或表格求概率1.樹狀圖當一次試驗要涉及3個或更多個因素時，為了不重不漏地列出所有可能的結果，通常采用樹形圖，也稱樹形圖、樹圖.樹形圖是用樹狀圖形的形式反映事件發(fā)生的各種情況出現(xiàn)的次數(shù)和方式，以及某一事件發(fā)生的可能的次數(shù)和方式，并求出概率的方法.要點：(1)樹形圖法適用于各種情況出現(xiàn)的總次數(shù)不是很大時，求概率的問題；(2)在用樹形圖法求可能事件的概率時，應注意各種情況出現(xiàn)的可能性務必相同.2.列表法當一次試驗要涉及兩個因素，并且可能出現(xiàn)的結果數(shù)目較多時，為不重不漏地列出所有可能的結果，通常采用列表法.列表法是用表格的形式反映事件發(fā)生的各種情況出現(xiàn)的次數(shù)和方式，以及某一事件發(fā)生的可能的次數(shù)和方式，并求出概率的方法.要點：（1）列表法適用于各種情況出現(xiàn)的總次數(shù)不是很大時，求概率的問題；（2）列表法適用于涉及兩步試驗的隨機事件發(fā)生的概率.3.用列舉法求概率的一般步驟（1）列舉（列表、畫樹狀圖）事件所有可能出現(xiàn)的結果，并判斷每個結果發(fā)生的可能性是否都相等；（2）如果都相等，再確定所有可能出現(xiàn)的結果的個數(shù)n和其中出現(xiàn)所求事件A的結果個數(shù)m；（3）用公式計算所求事件A的概率.即P（A）=.二、用頻率估計概率1.頻率與概率的定義頻率：在相同條件下重復n次試驗，事件A發(fā)生的次數(shù)m與試驗總次數(shù)n的比值.概率：事件A的頻率接近與某個常數(shù)，這時就把這個常數(shù)叫做事件A的概率，記作P（A）.2.頻率與概率的關系事件的概率是一個確定的常數(shù)，而頻率是不確定的，當試驗次數(shù)較少時，頻率的大小搖擺不定，當試驗次數(shù)增大時，頻率的大小波動變小，并逐漸穩(wěn)定在概率附近.可見，概率是頻率的穩(wěn)定值，而頻率是概率的近似值.要點：（1）頻率本身是隨機的，在試驗前不能確定，無法從根本上來刻畫事件發(fā)生的可能性的大小，在大量重復試驗的條件下可以近似地作為這個事件的概率；（2）頻率和概率在試驗中可以非常接近，但不一定相等；（3）概率是事件在大量重復試驗中頻率逐漸穩(wěn)定到的值，即可以用大量重復試驗中事件發(fā)生的頻率去估計得到事件發(fā)生的概率，但二者不能簡單地等同，兩者存在一定的偏差是正常的，也是經常的.3.利用頻率估計概率當試驗的可能結果不是有限個，或各種結果發(fā)生的可能性不相等時，一般用統(tǒng)計頻率的方法來估計概率.要點：用試驗去估計隨機事件發(fā)生的概率應盡可能多地增加試驗次數(shù)，當試驗次數(shù)很大時，結果將較為精確.題型一列舉法求概率【例1】拋擲兩枚硬幣，出現(xiàn)“一正一反”的概率是（）A． B． C． D．鞏固訓練：1．從，0，，，3.5這五個數(shù)中，隨機抽取1個，則抽到無理數(shù)的概率是（

）A． B． C． D．2．從1，2，3，4，5五個數(shù)中任意取出2個數(shù)做加法，其和為偶數(shù)的概率是（

）．A． B． C． D．題型二列表法或樹狀圖法求概率【例2】下列說法正確的是（

）A．口袋中有3個白球，2個黑球，1個紅球，它們除顏色外都相同，因為袋中共有3種顏色的球，所以摸到紅球的概率是B．擲一枚硬幣兩次，可能的結果為兩次都是正面，一次正面一次反面，兩次都是反面，所以擲出兩次都是反面的概率為C．天氣預報“明天降水概率為10%”，是指“明天有10%的時間會下雨”D．隨意擲一枚均勻的骰子，偶數(shù)點朝上的概率是鞏固訓練：1．在一個不透明的袋子里裝有一個黑球和一個白球，它們除顏色外都相同，隨機從中摸出一球，記下顏色后放回袋中，充分搖勻后，再隨機摸出一球，兩次都摸到白球的概率是（

）A． B． C．1 D．2．甲、乙、丙三位同學分別用背面完全相同、大小一致的卡片在下面制成了表示自己生肖的圖案，將三張卡片背面朝上洗勻，三人各抽一次（抽后放回，洗勻后第二人再抽），三個人抽到的生肖卡恰好是自己制作的卡片的概率為（

）A． B． C． D．3．甲口袋中有2個白球、1個紅球，乙口袋中有1個白球、1個紅球，這些球除顏色外無其他差別.分別從每個口袋中隨機摸出1個球.下列事件中，概率最大的是（

）A．摸出的2個球顏色相同 B．摸出的2個球顏色不相同C．摸出的2個球中至少有1個紅球 D．摸出的2個球中至少有1個白球4．兩張圖片除畫面不同外無其他差別，將它們從中間剪斷得到四張形狀相同的小圖片，再把這四張小圖片均勻混合在一起，從四張小圖片中隨機摸取一張，接著再隨機摸取一張，則這兩張小圖片恰好合成一張完整圖片的概率是（

）A． B． C． D．5．不透明的布袋里裝有紅、藍、黃三種顏色小球共40個，它們除顏色外其余都相同，其中紅色球20個，藍色球比黃色球多8個．（1）求袋中藍色球的個數(shù)．（2）求摸出1個球是黃色球的概率．（3）現(xiàn)再將2個黃色球放入布袋，攪勻后，求摸出1個球是黃色球的概率．6．農歷正月十五是我國的傳統(tǒng)節(jié)日——元宵節(jié)，這一天人們有吃湯圓的習俗．今年的元宵節(jié)，圓圓爸爸給圓圓準備了一碗湯圓，其中一個湯圓是花生餡的，一個湯圓是豆沙餡的，還有兩個湯圓是芝麻餡的，這四個湯圓除了餡以外，其他都一樣．(1)圓圓吃了其中兩個湯圓，求這兩個湯圓都是芝麻餡的概率；(2)圓圓吃了三個湯圓后，剩下的湯圓是芝麻餡的概率是．題型三游戲的公平性【例3】學校將舉辦主題為“愛成都?迎大運”知識競賽活動，班決定在甲乙兩人中選擇一人參加，并采用如下游戲確定參加人員．如圖，一個均勻的轉盤被平均分成10等份，分別標有1，2，3，4，5，6，7，8，9，10這10個數(shù)字．轉動轉盤，當轉盤停止后，指針指向的數(shù)字即為轉出的數(shù)字．甲乙兩人參與游戲：一人轉動轉盤，另一人猜數(shù)，若所猜數(shù)字與轉出的數(shù)字相符，則猜數(shù)的人獲勝，否則轉動轉盤的人獲勝．猜數(shù)的方法從下面三種中選一種：①猜“是奇數(shù)”或“是偶數(shù)”；②猜“是3的倍數(shù)”或“不是3的倍數(shù)”；③猜“是大于6的數(shù)”或“不是大于6的數(shù)”．如果由乙轉動轉盤，甲猜數(shù)，那么為了盡可能獲勝，試說明甲應選擇哪一種猜數(shù)方法？怎樣猜？

鞏固訓練：1．4張相同的卡片上分別寫有數(shù)字1、2、3、4，將卡片背面朝上，洗勻后從中任意抽取1張，將卡片上的數(shù)字作為被減數(shù)；一只不透明的袋子中裝有標號為1、2、3的3個小球，這些球除標號外都相同，攪勻后從中任意摸出1個球，將摸到的球的標號作為減數(shù).（1）求這兩個數(shù)的差為0的概率；（2）游戲規(guī)則規(guī)定：當抽到的這兩個數(shù)的差為非負數(shù)時，甲獲勝；否則，乙獲勝.這樣的規(guī)則公平嗎？如果不公平，請設計一個公平的規(guī)則，并說明理由.2．第二十四屆冬奧會于2022年2月20日在北京閉幕，北京成為全球首個既舉辦過夏季奧運會又舉辦過冬季奧運會的城市．如圖，是四張關于冬奧會運動項目的卡片，卡片的正面分別印有A．“花樣滑冰”、B．“高山滑雪”、C．“單板滑雪大跳臺”、D．“鋼架雪車”（這四張卡片除正面圖案外，其余都相同）．將這四張卡片背面朝上，洗勻．(1)從中隨機抽取一張，抽得的卡片恰好為“花樣滑冰”的概率為；(2)若先從中隨機抽取一張，記錄這張卡片上圖案的運動項目后放回，背面朝上，洗勻．再從中隨機抽取一張，請你用列表或畫樹狀圖的方法，求這兩次抽取的卡片圖案上是“單板滑雪大跳臺”和“鋼架雪車”運動項目的概率．題型四幾何概率【例4】．某游戲的規(guī)則為：選手蒙眼在一張如圖所示的正方形黑白格子紙（九個小正方形面積相等）上描一個點，若所描的點落在黑色區(qū)域，獲得筆記本一個；若落在白色區(qū)域，獲得鋼筆一支．選手獲得筆記本的概率為（

）.A． B． C． D．鞏固訓練：1．分別向如圖所示的四個區(qū)域投擲一個小球，小球落在陰影部分的概率最小的是（

）A． B． C． D．2．如圖，若隨機向正方形網格內投針，則針尖落在陰影部分的概率為（

）A． B． C． D．題型五概率的應用【例5】．在智力競答節(jié)目中，某參賽選手答對最后兩題單選題就能利通關，兩題均有四個選項，此選手只能排除第1題的一個錯誤選項，第2題完全不會，他還有兩次“求助”機會（使用可去掉一個錯誤選項），為提高通關概率，他的求助使用策略為（

）A．兩次求助都用在第1題B．兩次求助都用在第2題C．在第1第2題各用一次求助D．兩次求助都用在第1題或都用在第2題鞏固訓練：1．2018（第七屆）綿陽之春國際車展將于2018年4月18日-22日在綿陽國際會展中心盛大舉行．某品牌汽車為了推廣宣傳，特舉行“趣味答題闖關贏大獎”活動，參與者需連續(xù)闖過三關方能獲得終極大獎．已知闖過第一關的概率為，連續(xù)闖過兩關的概率為，連續(xù)闖過三關的概率為，已經連續(xù)闖過兩關的參與者獲得終極大獎的概率為（

）A． B． C． D．2．養(yǎng)魚池養(yǎng)了同一品種的魚，要大概了解養(yǎng)魚池中的魚的數(shù)量，池塘的主人想出了如下的辦法：“他打撈出80尾魚，做了標記后又放回了池塘，過了三天，他又撈了一網，發(fā)現(xiàn)撈起的90尾魚中，帶標記的有6尾．”你認為池塘主的做法（

）A．有道理，池中大概有1200尾魚 B．無道理C．有道理，池中大概有7200尾魚 D．有道理，池中大概有1280尾魚題型六頻率與概率的關系【例6】．下列說法中，正確的是（

）A．隨機事件的發(fā)生具有偶然性，即使反復試驗也沒有規(guī)律可循B．隨機事件的發(fā)生具有規(guī)律性，第一次試驗往往代表最后結果C．試驗的次數(shù)越少，頻率的分布越集中，逐漸穩(wěn)定在一個數(shù)附近D．試驗的次數(shù)越多，頻率的分布越集中，逐漸穩(wěn)定在一個數(shù)附近鞏固訓練：1．投擲一枚質地均勻的硬幣次，正面向上次，下列表達正確的是（）A．的值一定是 B．的值一定不是C．越大，的值越接近 D．隨著的增加，的值會在附近擺動，呈現(xiàn)出一定的穩(wěn)定性2．從一定高度拋一個瓶蓋1000次，落地后蓋面朝下的有550次，則下列說法錯誤的是（

）A．蓋面朝下的頻數(shù)為550 B．該試驗總次數(shù)是1000C．蓋面朝下的頻率為0.55 D．蓋面朝下的概率為0.53．擲一枚質地均勻的硬幣m次，正面向上n次，則的值（

）A．一定是 B．隨著m的增大，在附近擺動，呈現(xiàn)一定的穩(wěn)定性C．一定不是 D．隨著m的增大，越來越接近4．在做拋硬幣試驗時，拋擲n次，若正面向上的次數(shù)為m次，則記正面向上的頻率．下列說法正確的是（）A．P一定等于 B．P一定不等于C．多拋一次，P更接近 D．隨著拋擲次數(shù)的逐漸增加，P穩(wěn)定在附近題型七用頻率估計概率【例7】．在一個不透明的盒子中裝有紅球、白球、黑球共40個，這些球除顏色外無其他差別，在看不見球的條件下，隨機從盒子中摸出一個球記錄顏色后放回．經過多次試驗，發(fā)現(xiàn)摸到紅球的頻率穩(wěn)定在30%左右，則盒子中紅球的個數(shù)約為（

）A．12 B．15 C．18 D．23鞏固訓練：1．甲、乙兩名同學在一次用頻率去估計概率的實驗中，統(tǒng)計了某一結果出現(xiàn)的頻率繪出的統(tǒng)計圖如圖所示，則符合這一結果的實驗可能是（

）A．擲一枚正六面體的骰子，出現(xiàn)1點的概率B．拋一枚硬幣，出現(xiàn)正面的概率C．任意寫一個整數(shù)，它能被3整除的概率D．從一個裝有2個白球和1個紅球的袋子中任取一球，取到白球的概率2．如圖是用計算機模擬拋擲一枚啤酒瓶蓋試驗的結果，下面有四個推斷，其中最合理的（）A．當投擲次數(shù)是時，計算機記錄“凸面向上”的頻率是，所以“凸面向上”的概率是B．若再次用計算機模擬此實驗，則當投擲次數(shù)為時，“凸面向上”的頻率一定是C．隨著試驗次數(shù)的增加，“凸面向上”的頻率總在附近擺動，顯示出一定的穩(wěn)定性，可以估計“凸面向上”的概率是D．當投擲次數(shù)是次以上時，“凸面向上”的頻率一定是．3．某水果超市為了吸引顧客來店購物，設立了一個可以自由轉動的轉盤，開展有獎購物活動．顧客購買商品滿元就能獲得一次轉動轉盤的機會，當轉盤停止時，指針落在“一袋蘋果”的區(qū)域就可以獲“一袋蘋果”的獎品；指針落在“一盒櫻桃”的區(qū)域就可以獲得“一盒櫻桃”的獎品．下表是該活動的一組統(tǒng)計數(shù)據(jù)：轉動轉盤的次數(shù)落在“一袋蘋果”區(qū)域的次數(shù)落在“一袋蘋果”區(qū)域的頻率下列說法不正確的是（

）A．當很大時，估計指針落在“一袋蘋果”區(qū)域的頻率大約是B．轉動轉盤次，一定有次獲得“一盒櫻桃”C．如果轉動轉盤次，指針落在“一盒櫻桃”區(qū)域的次數(shù)大約有次D．假如你去轉動轉盤一次，獲得“一袋蘋果”的概率大約是4．2022年3月12日是我國第44個植樹節(jié)，某林業(yè)部門為了考察某種幼樹在一定條件下的移植成活率，在同等條件下，對這種幼樹進行大量移植，并統(tǒng)計成活情況，下表是這種幼樹移植過程中的一組統(tǒng)計數(shù)據(jù)：幼樹移植數(shù)（棵）100100050008000100001500020000幼樹移植成活數(shù)（棵）________8934485722489831344318044幼樹移植成活的頻率0.8700.8930.897________0.8980.8960.902(1)請你幫助計算并填寫好表格中所缺數(shù)據(jù)，估計該種幼樹在此條件下移植成活的概率是________；（結果精確到0.1）(2)若某林業(yè)部門今年在該地區(qū)共移植這種幼樹10萬棵，則該地區(qū)成活約________棵這種幼樹．5．在一個不透明的口袋里裝有若干個相同的紅球，為了估計袋中紅球的數(shù)量，七年級（2）班學生在數(shù)學實驗室分組做摸球試驗：每組先將10個與紅球大小、形狀完全相同的白球裝入袋中，攪勻后從中隨機摸出一個球并記下顏色，再把它放回袋中，不斷重復，下面是全班各小組的匯總數(shù)據(jù)統(tǒng)計表：摸球次數(shù)15030060090012001500摸到白球的頻數(shù)63123247365484603摸到白球的頻率(1)表中的________；(2)請估計當摸球次數(shù)s很大時，摸到白球的頻率將會接近________（精確到）(3)試估算摸到紅球的概率是________（精確到）(4)試估算這個不透明的口袋中紅球的個數(shù)．題型八概率在統(tǒng)計中的應用【例8】．為了解國家“雙減”政策的落實情況，我市某校隨機調查了部分學生在家完成作業(yè)的時間，按時間長短劃分為，，，四個等級，并將調查結果繪制成如圖所示的兩幅不完整的統(tǒng)計圖．根據(jù)圖中所給信息解答下列問題：

(1)扇形統(tǒng)計圖中________，________；(2)求等級所對應的扇形圓心角的度數(shù)，并將條形統(tǒng)計圖補充完整；(3)為更好地落實國家“雙減”政策，從等級的甲、乙、丙、丁4名學生中，隨機抽取2名學生參加“雙減”座談，請用列表法或畫樹狀圖法求恰好抽到甲和丙兩人的概率．鞏固訓練：1．某校為了解學生平均每天閱讀時長情況，隨機抽取了部分學生進行抽樣調查，將調查結果整理后繪制了以下不完整的統(tǒng)計圖表（如下圖所示）．學生平均每天閱讀時長情況統(tǒng)計表平均每天閱讀時長x/min人數(shù)學生平均每天閱讀時長情況扇形統(tǒng)計圖

根據(jù)以上提供的信息，解答下列問題：(1)本次調查共抽取了______名學生，統(tǒng)計表中______．(2)求扇形統(tǒng)計圖中學生平均每天閱讀時長為“”所對應的圓心角度數(shù)．(3)若全校共有名學生，請估計平均每天閱讀時長為“”的學生人數(shù)，(4)該校某同學從《朝花夕拾》《紅巖》《駱駝祥子》《西游記》四本書中選擇兩本進行閱讀，這四本書分別用相同的卡片，，，標記，先隨機抽取一張卡片后不放回，再隨機抽取一張卡片，請用列表法或畫樹狀圖法，求該同學恰好抽到《朝花夕拾》和《西游記》的概率．2．自從2021年7月國家出臺“雙減”政策以來，全國各地紛紛響應落實該政策．某學校在課后托管時間里開展了“音樂、體育、演講、美術”四項社團活動，學校從全校1200名學生中隨機抽取了部分學生進行“你最喜歡哪一種社團活動”的問卷調查每人必選且只選一種，并根據(jù)調查結果，繪制了如圖所示的兩幅不完整的統(tǒng)計圖，根據(jù)圖中信息，解答下列問題：(1)參加調查的學生共有______人；條形統(tǒng)計圖中m的值為______；扇形統(tǒng)計圖中的度數(shù)為______；(2)根據(jù)調查結果，請估計該校1200名學生中最喜歡“音樂”社團的約有多少人；(3)現(xiàn)從“演講”社團里表現(xiàn)優(yōu)秀的甲、乙、丙、丁四名同學中隨機選取兩名參加演講比賽，請求出恰好選中甲和乙兩名同學的概率．3．為培養(yǎng)學生熱愛美，發(fā)現(xiàn)美的藝術素養(yǎng)，我校開展了藝術選修課．學生根據(jù)自己的喜好選擇一門藝術項目：A書畫，B攝影，C泥塑，D紙藝．張老師隨機對該校部分學生的選課情況進行調查后，制成了如圖所示的兩幅不完整的統(tǒng)計圖．

根據(jù)統(tǒng)計圖表提供的信息，解答下列問題：(1)張老師調查的學生人數(shù)是_____，其中選擇“泥塑”選修課在的扇形統(tǒng)計圖中圓心角的度數(shù)為_____；(2)若該校學生共有900人，請估計全校選修“攝影”的學生人數(shù)；(3)現(xiàn)有4名學生，其中2人選修書畫，1人選修攝影，1人選修泥塑，張老師要從這4人中任選2人了解情況，請用樹狀圖或列表的方法，求所選2人都是選修書畫的概率．4．春節(jié)期間，根據(jù)國乒故事改編的《中國乒乓之絕地反擊》展現(xiàn)了面對困境，中國男乒如何走出低谷的勵志故事．在此精神的鼓舞下，某中學準備組織一場乒乓球友誼賽．為了了解本校學生對乒乓球技巧的掌握情況，中國乒乓先從七年級和八年