高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE2吉林省名校聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期中聯(lián)合質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.某圓臺(tái)的上底面、下底面的半徑分別為，，高為，則該圓臺(tái)的體積為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗該圓臺(tái)的體積為.故選：B.2.若復(fù)數(shù)，，則（）A. B. C.2 D.5〖答案〗B〖解析〗因?yàn)?，，所以．故選：B.3.若向量，，，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)?，所以，解得．故選：A.4.已知為兩個(gè)不同的平面，為兩條不同的直線，且平面平面，則是的（）A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗D〖解析〗如圖所示：滿足，而相交，故不充分；滿足則，但異面，故不必要.故選：D.5.如圖，的斜二測(cè)畫法的直觀圖是腰長為的等腰直角三角形，軸經(jīng)過的中點(diǎn)，則（）A.6 B. C.12 D.〖答案〗D〖解析〗由題意得的原圖如圖所示，其中D為的中點(diǎn)，且，，所以，故.故選：D.6.在四面體ABCD中，平面平面BCD，，且，則四面體ABCD的體積為（）A.2 B.6 C. D.〖答案〗C〖解析〗如圖所示，取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，所以，又平面平面，平面平面，所以平面，因?yàn)椋?，又，所以四面體的體積.故選：C.7.如圖，某同學(xué)為測(cè)量某觀光塔的高度OP，在該觀光塔的正西方向找到一座高為40米的建筑物MN，在地面上點(diǎn)Q處（O，Q，N三點(diǎn)共線且在同一水平面上）測(cè)得建筑物MN的頂部M的仰角為，測(cè)得該觀光塔的頂部P的仰角為，在建筑物MN的頂部M處測(cè)得該觀光塔的頂部P的仰角為，則該觀光塔的高OP為（）A.80米 B.米 C.米 D.米〖答案〗A〖解析〗由題意可得，米，，則，在△PMQ中，由正弦定理可得，即，解得：米．故選：A.8.在正四棱柱中，，，，，平面與交于點(diǎn)G，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗如圖所示，設(shè)，連接，因?yàn)?，且?guī)缀误w為正四棱柱，所以，因?yàn)槠矫媾c交于點(diǎn)，所以，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以．故選：C.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知向量，，下列結(jié)論正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則在上的投影向量為〖答案〗ABD〖解析〗對(duì)于A：若，則，解得，故A正確；對(duì)于B：若，則，解得，故B正確；對(duì)于C：若，則，又，，所以，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：若，則在上的投影向量為，故D正確．故選：ABD.10.若三個(gè)不同的平面兩兩相交，且，則交線的位置關(guān)系可能是（）A.重合 B.相交于一點(diǎn)C.兩兩平行 D.恰有兩條交線平行〖答案〗ABC〖解析〗如圖，作出一個(gè)長方體，對(duì)于A項(xiàng)，可把平面依次取為平面，它們兩兩相交于共同的交線，故A項(xiàng)正確；對(duì)于B項(xiàng)，可把平面依次取平面，此時(shí)，，，，而易得三條交線交于同一點(diǎn)D，故B項(xiàng)正確；對(duì)于C項(xiàng)，可把平面依次取為平面，此時(shí)，，，，而易得三條交線兩兩平行，故C項(xiàng)正確；對(duì)于D項(xiàng)，可把平面依次取為平面，此時(shí)，，，，若只有，因平面，而平面，則平面，又平面，而平面平面=，則有，即交線的位置關(guān)系不可能是恰有兩條交線平行，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：ABC.11.在正四棱臺(tái)中，，，為棱上的動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)），則下列結(jié)論正確的是（）A.直線與異面 B.直線與平面所成的角為C.的最小值為 D.的最小值為〖答案〗BC〖解析〗如圖1，由四棱臺(tái)可知，，即四邊形為等腰梯形，則與相交，則A選項(xiàng)錯(cuò)誤；設(shè)，分別是和的中點(diǎn)，則是四棱臺(tái)的高，作，垂足為，由題中數(shù)據(jù)可知，則直線與平面所成的角為，，則，故B選項(xiàng)正確；如圖2，把四邊形，展開至同一個(gè)平面，連接，，，易知的最小值就是展開圖中的長，過點(diǎn)作，則，又，所以，故在中，，，則，即的最小值為，故C選項(xiàng)正確；在中，由余弦定理可得，則，，，從而，由圖可知，則D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：BC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．把〖答案〗填在答題卡中的橫線上．12.在正方體中，，則該正方體外接球的表面積為______．〖答案〗36π〖解析〗如圖，設(shè)該正方體外接球的半徑為R，則，所以該正方體外接球的表面積為．故〖答案〗為：.13.若，，且為純虛數(shù)，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第______象限，實(shí)數(shù)的值為______．〖答案〗一〖解析〗因?yàn)?，所以在?fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限，因?yàn)?，為純虛?shù)，所以，解得．故〖答案〗為：一.14.已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，△ABC中BC邊上的高，，則的最大值為______．〖答案〗〖解析〗依題意可得，則，則，解得，，所以，因?yàn)?，即，故，所以，即，?dāng)，即，即時(shí)，取得最大值，且最大值為．故〖答案〗為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.如圖，在高為的四棱錐中，四邊形ABCD是正方形，M，N分別是PD和BC的中點(diǎn)，．（1）證明：∥平面PAB．（2）求三棱錐的體積．解：（1）如圖，取PA的中點(diǎn)E，連接EB，EM，因?yàn)镸E是△PAD的中位線，則∥，且，又因?yàn)镹是BC的中點(diǎn)，則∥，且，可得∥，且，可知四邊形MEBN是平行四邊形，則∥，且平面PAB，平面PAB，所以∥平面PAB．（2）在高為的四棱錐中，因?yàn)镸為PD的中點(diǎn)，可知三棱錐的高為，且，所以三棱錐的體積．16.已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且．（1）求；（2）若，求外接圓的半徑R；（3）若，，求中邊上的中線長．解：（1）因?yàn)?，所以，則，在中，，，所以，所以．（2）在中，因?yàn)?，且，解之得，，又，所?（3）由（2）知：，設(shè)D為的中點(diǎn)，則，所以，解得，即中邊上的中線長為．17.如圖，在梯形中，，，，，在線段上．（1）若，用向量，表示，；（2）若AE與BD交于點(diǎn)F，，，，求的值．解：（1）依題意，．（2）因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，即，解得或，連接交于，因?yàn)椋?，所以，則，因?yàn)樵诰€段上，所以，故．18.在中，與的角平分線交于點(diǎn)D，已知．（1）求角B的大??；（2）若，求面積的最大值．解：（1）由題意可知，由，可知，所以，，因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以．?）因?yàn)?，所以，所以，所以，由余弦定理得，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因?yàn)?，所以△ACD面積的最大值為．19.刻畫空間的彎曲性是幾何研究的重要內(nèi)容，用曲率刻畫空間的彎曲性，規(guī)定：多面體頂點(diǎn)的曲率等于2π與多面體在該點(diǎn)的面角之和的差，其中多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角，角度用弧度制．例如：正四面體每個(gè)頂點(diǎn)均有3個(gè)面角，每個(gè)面角均為，故其各個(gè)頂點(diǎn)的曲率均為．如圖，在直三棱柱中，點(diǎn)A的曲率為，N，M分別為AB，的中點(diǎn)，且．（1）證明：平面．（2）證明：平面平面．（3）若，求二面角的正切值．解：（1）在直三棱柱中，平面ABC，平面ABC，則，，所以點(diǎn)A的曲率為，所以．因，所以△ABC為正三角形，因?yàn)镹為AB的中點(diǎn)，所以，又平面ABC，平面ABC，所以，因?yàn)?，平面，所以平面．?）取的中點(diǎn)D，連接DM，DN，因?yàn)镹為AB的中點(diǎn)，所以且，又且，所以且，所以四邊形CNDM為平行四邊形，則，由（1）知平面，則平面，又平面，所以平面平面．（3）取BC的中點(diǎn)F，連接AF，則，因?yàn)槠矫鍭BC，平面ABC，所以，因?yàn)?，平面，所以平面，又平面，所以，過F作的垂線，垂足為H，連接AH，則，又平面，所以平面，又平面，，所以∠AHF為二面角的平面角的補(bǔ)角，設(shè)，，則，，，由等面積法可得，則，則，故二面角的正切值為．吉林省名校聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期中聯(lián)合質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.某圓臺(tái)的上底面、下底面的半徑分別為，，高為，則該圓臺(tái)的體積為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗該圓臺(tái)的體積為.故選：B.2.若復(fù)數(shù)，，則（）A. B. C.2 D.5〖答案〗B〖解析〗因?yàn)椋?，所以．故選：B.3.若向量，，，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)?，所以，解得．故選：A.4.已知為兩個(gè)不同的平面，為兩條不同的直線，且平面平面，則是的（）A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗D〖解析〗如圖所示：滿足，而相交，故不充分；滿足則，但異面，故不必要.故選：D.5.如圖，的斜二測(cè)畫法的直觀圖是腰長為的等腰直角三角形，軸經(jīng)過的中點(diǎn)，則（）A.6 B. C.12 D.〖答案〗D〖解析〗由題意得的原圖如圖所示，其中D為的中點(diǎn)，且，，所以，故.故選：D.6.在四面體ABCD中，平面平面BCD，，且，則四面體ABCD的體積為（）A.2 B.6 C. D.〖答案〗C〖解析〗如圖所示，取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)椋?，又平面平面，平面平面，所以平面，因?yàn)?，，所以，又，所以四面體的體積.故選：C.7.如圖，某同學(xué)為測(cè)量某觀光塔的高度OP，在該觀光塔的正西方向找到一座高為40米的建筑物MN，在地面上點(diǎn)Q處（O，Q，N三點(diǎn)共線且在同一水平面上）測(cè)得建筑物MN的頂部M的仰角為，測(cè)得該觀光塔的頂部P的仰角為，在建筑物MN的頂部M處測(cè)得該觀光塔的頂部P的仰角為，則該觀光塔的高OP為（）A.80米 B.米 C.米 D.米〖答案〗A〖解析〗由題意可得，米，，則，在△PMQ中，由正弦定理可得，即，解得：米．故選：A.8.在正四棱柱中，，，，，平面與交于點(diǎn)G，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗如圖所示，設(shè)，連接，因?yàn)?，且?guī)缀误w為正四棱柱，所以，因?yàn)槠矫媾c交于點(diǎn)，所以，所以，所以，因?yàn)椋?，所以．故選：C.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知向量，，下列結(jié)論正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則在上的投影向量為〖答案〗ABD〖解析〗對(duì)于A：若，則，解得，故A正確；對(duì)于B：若，則，解得，故B正確；對(duì)于C：若，則，又，，所以，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：若，則在上的投影向量為，故D正確．故選：ABD.10.若三個(gè)不同的平面兩兩相交，且，則交線的位置關(guān)系可能是（）A.重合 B.相交于一點(diǎn)C.兩兩平行 D.恰有兩條交線平行〖答案〗ABC〖解析〗如圖，作出一個(gè)長方體，對(duì)于A項(xiàng)，可把平面依次取為平面，它們兩兩相交于共同的交線，故A項(xiàng)正確；對(duì)于B項(xiàng)，可把平面依次取平面，此時(shí)，，，，而易得三條交線交于同一點(diǎn)D，故B項(xiàng)正確；對(duì)于C項(xiàng)，可把平面依次取為平面，此時(shí)，，，，而易得三條交線兩兩平行，故C項(xiàng)正確；對(duì)于D項(xiàng)，可把平面依次取為平面，此時(shí)，，，，若只有，因平面，而平面，則平面，又平面，而平面平面=，則有，即交線的位置關(guān)系不可能是恰有兩條交線平行，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：ABC.11.在正四棱臺(tái)中，，，為棱上的動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)），則下列結(jié)論正確的是（）A.直線與異面 B.直線與平面所成的角為C.的最小值為 D.的最小值為〖答案〗BC〖解析〗如圖1，由四棱臺(tái)可知，，即四邊形為等腰梯形，則與相交，則A選項(xiàng)錯(cuò)誤；設(shè)，分別是和的中點(diǎn)，則是四棱臺(tái)的高，作，垂足為，由題中數(shù)據(jù)可知，則直線與平面所成的角為，，則，故B選項(xiàng)正確；如圖2，把四邊形，展開至同一個(gè)平面，連接，，，易知的最小值就是展開圖中的長，過點(diǎn)作，則，又，所以，故在中，，，則，即的最小值為，故C選項(xiàng)正確；在中，由余弦定理可得，則，，，從而，由圖可知，則D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：BC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．把〖答案〗填在答題卡中的橫線上．12.在正方體中，，則該正方體外接球的表面積為______．〖答案〗36π〖解析〗如圖，設(shè)該正方體外接球的半徑為R，則，所以該正方體外接球的表面積為．故〖答案〗為：.13.若，，且為純虛數(shù)，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第______象限，實(shí)數(shù)的值為______．〖答案〗一〖解析〗因?yàn)?，所以在?fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限，因?yàn)椋瑸榧兲摂?shù)，所以，解得．故〖答案〗為：一.14.已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，△ABC中BC邊上的高，，則的最大值為______．〖答案〗〖解析〗依題意可得，則，則，解得，，所以，因?yàn)?，即，故，所以，即，?dāng)，即，即時(shí)，取得最大值，且最大值為．故〖答案〗為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.如圖，在高為的四棱錐中，四邊形ABCD是正方形，M，N分別是PD和BC的中點(diǎn)，．（1）證明：∥平面PAB．（2）求三棱錐的體積．解：（1）如圖，取PA的中點(diǎn)E，連接EB，EM，因?yàn)镸E是△PAD的中位線，則∥，且，又因?yàn)镹是BC的中點(diǎn)，則∥，且，可得∥，且，可知四邊形MEBN是平行四邊形，則∥，且平面PAB，平面PAB，所以∥平面PAB．（2）在高為的四棱錐中，因?yàn)镸為PD的中點(diǎn)，可知三棱錐的高為，且，所以三棱錐的體積．16.已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且．（1）求；（2）若，求外接圓的半徑R；（3）若，，求中邊上的中線長．解：（1）因?yàn)?，所以，則，在中，，，所以，所以．（2）在中，因?yàn)?，且，解之得，，又，所?（3）由（2）知：，設(shè)D為的中點(diǎn)，則，所以，解得，即中邊上的中線長為．17.如圖，在梯形中，，，，，在線段上．（1）若，用向量，表示，；（2）若AE與BD交于點(diǎn)F，，，，求的值．解：（1）依題意，．（2）因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，即，解得或，連接交