高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE3青海省西寧市大通縣2024屆高考四模數(shù)學(xué)試卷（理）第I卷一、選擇題1.已知集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意可得，，則.故選：B.2.復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，因?yàn)?，則.故選：C.3.已知橢圓的離心率為，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由橢圓，可得，，則，所以，解得.故選：B.4.某公司10月23日、10月30日、11月6日、11月13日、11月20日、11月27日這6天員工的出勤率的折線圖如圖所示，則下列判斷正確的是（）A.這6天員工的出勤率呈遞增趨勢(shì)B.這6天員工的出勤率呈遞減趨勢(shì)C.這6天員工的出勤率的極差大于0.15D.這6天員工的出勤率的中位數(shù)小于0.85〖答案〗D〖解析〗A：由圖可知，這6天員工的出勤率有增也有減，故A錯(cuò)誤；B：由圖可知，這6天員工的出勤率有增也有減，故B錯(cuò)誤；C：這6天員工的出勤率按照從小到大的順序排列為0.776，0.8077，0.8333，0.86，0.895，0.92，所以這6天員工的出勤率的極差為，故C錯(cuò)誤；D：中位數(shù)為，故D正確.故選：D5.函數(shù)的部分圖象大致為（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗設(shè)，則，所以為奇函數(shù)，設(shè)，可知為偶函數(shù)，所以為奇函數(shù)，則B，C錯(cuò)誤，易知，所以A正確，D錯(cuò)誤．故選：A.6.記等差數(shù)列的前項(xiàng)和為.若，，則（）A.140 B.70 C.160 D.80〖答案〗D〖解析〗因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，所以，故.故選：D.7.在直三棱柱中，，，為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且，則直線與平面所成角的正弦值為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，則，則，故，因?yàn)檩S平面，則可取平面的法向量為，則，即直線與平面所成角的正弦值為.故選：B.8.展開式中系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)共有（）A.2項(xiàng) B.3項(xiàng) C.4項(xiàng) D.5項(xiàng)〖答案〗D〖解析〗展開式的通項(xiàng)公式為（），所以展開式中的第1項(xiàng)、第3項(xiàng)、第5項(xiàng)、第7項(xiàng)、第9項(xiàng)的系數(shù)均為有理數(shù)，共5項(xiàng).故選：D9.已知，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)?，所以，解得或（舍去），所以．故選：B.10.設(shè)，是雙曲線：的兩條漸近線，若直線與直線關(guān)于直線對(duì)稱，則雙曲線的離心率的平方為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題可知經(jīng)過(guò)第二、四象限，經(jīng)過(guò)第一、三象限，設(shè)的傾斜角為.當(dāng)時(shí)，則，即，，即，所以.當(dāng)時(shí)，，即，，即，所以.綜上，雙曲線的離心率的平方為.故選：C.11.在長(zhǎng)方形中，，，點(diǎn)在線段上（不包含端點(diǎn)），沿將折起，使二面角的大小為，，則四棱錐體積的最大值為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗設(shè)，，其中為定值，則點(diǎn)A到的距離為，，，要使得四棱錐的體積最大，則，此時(shí)四棱錐的體積，則，在上單調(diào)遞減，且當(dāng)時(shí)，.令，，則，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，即四棱錐體積的最大值為.故選：C12.已知，，，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗令，則.當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，則，故.令，則.當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，則，即.故.故選：A.第II卷二、填空題13.已知向量，滿足，且，則向量，夾角的余弦值是_________.〖答案〗〖解析〗因?yàn)?，所以，所?因?yàn)?，所以，所以，則.故〖答案〗為：14.將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的3倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，則的最小正周期為______，______.〖答案〗〖解析〗由題意知，，則的最小正周期，.故〖答案〗為：；15.已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且滿足，當(dāng)時(shí)，，則______.〖答案〗〖解析〗設(shè)函數(shù)的最小正周期為，則.因?yàn)槭嵌x在上的偶函數(shù)，所以，所以.故〖答案〗為：16.假設(shè)在某種細(xì)菌培養(yǎng)過(guò)程中，正常細(xì)菌每小時(shí)分裂1次（1個(gè)正常細(xì)菌分裂成2個(gè)正常細(xì)菌和1個(gè)非正常細(xì)菌），非正常細(xì)菌每小時(shí)分裂1次（1個(gè)非正常細(xì)菌分裂成2個(gè)非正常細(xì)菌）.若1個(gè)正常細(xì)菌經(jīng)過(guò)14小時(shí)的培養(yǎng)，則可分裂成的細(xì)菌的個(gè)數(shù)為______.〖答案〗〖解析〗設(shè)經(jīng)過(guò)小時(shí)，有個(gè)正常細(xì)菌，個(gè)非正常細(xì)菌，則，.又，，所以，，則，所以，所以是首項(xiàng)和公差均為的等差數(shù)列，所以，所以，所以.故〖答案〗為：.三、解答題（一）必考題17.在中，角的對(duì)邊分別為，已知.（1）求；（2）若為邊的中點(diǎn)，求的長(zhǎng).解：（1）因?yàn)?，根?jù)正弦定理，得，化簡(jiǎn)得，因?yàn)?，所以，因，所?（2）在中，由余弦定理得，所以，解得．因?yàn)闉榈闹芯€，所以，所以，因?yàn)椋裕獾?18.現(xiàn)統(tǒng)計(jì)了甲次投籃訓(xùn)練的投籃次數(shù)和乙次投籃訓(xùn)練的投籃次數(shù)，得到如下數(shù)據(jù)：甲乙已知甲次投籃次數(shù)的平均數(shù)，乙次投籃次數(shù)的平均數(shù).（1）求這次投籃次數(shù)的平均數(shù)與方差.（2）甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，若未命中則換為對(duì)方投籃.無(wú)論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為，乙每次投籃的命中率均為.已知第一次投籃的人是甲，且甲、乙總共投籃了三次，表示甲投籃的次數(shù)，求的分布列與期望.解：（1）這次投籃次數(shù)的平均數(shù)；甲次投籃次數(shù)的方差，乙次投籃次數(shù)的方差，這次投籃次數(shù)的方差.（2）所有可能的取值為，；；；的分布列為：的期望.19.如圖，在四棱錐中，四邊形是正方形，，M為側(cè)棱PD上的點(diǎn)，平面.（1）證明：.（2）若，求二面角的大小.（3）在（2）的前提下，在側(cè)棱PC上是否存在一點(diǎn)N，使得平面?若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.（1）證明：記，連接OP，由四邊形是正方形，得О是AC的中點(diǎn)，由，得，又，平面，，則平面，又平面，所以.（2）解：由（1）知，，由，得，即兩兩垂直，以О為原點(diǎn)，的方向分別為軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，設(shè)，則，，由平面，得是平面的一個(gè)法向量，顯然是平面的一個(gè)法向量，設(shè)二面角為θ，由圖知θ為銳角，則，解得，所以二面角的大小為.（3）解：假設(shè)在側(cè)棱PC上存在一點(diǎn)N，使得平面，且（），由（2）知，，，則，，平面的一個(gè)法向量是，由平面，得，即，則，解得，即，則，所以在側(cè)棱PC上存在一點(diǎn)N，使得平面，此時(shí).20.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于，（，異于點(diǎn)）兩點(diǎn)，且以為直徑的圓過(guò)點(diǎn).（1）求的方程；（2）已知，，是上的三點(diǎn)，若為正三角形，為的中心，求直線斜率的最大值.解：（1）設(shè)，，，聯(lián)立方程得，則，.因?yàn)橐詾橹睆降膱A過(guò)點(diǎn)，所以，則，即，解得，所以，解得，所以的方程為.（2）設(shè)，，.不妨設(shè)，，按逆時(shí)針順序排列.①當(dāng)有一邊斜率不存在時(shí)，另一頂點(diǎn)為，不妨設(shè)，則，.與拋物線的方程聯(lián)立得，，中心.②當(dāng)三邊的斜率都存在時(shí)，，.又，所以，化簡(jiǎn)可得，同理可得，，三式相加得.因?yàn)?，，是上的三點(diǎn)，所以，又，所以.設(shè)，則，，代入上式得.又①也滿足，所以的軌跡方程為.當(dāng)，直線的斜率為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，直線的斜率取得最大值.當(dāng)時(shí)，直線的斜率.綜上，直線斜率的最大值為.21.已知函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，求的零點(diǎn)；（2）若恰有兩個(gè)極值點(diǎn)，求的取值范圍.解：（1）當(dāng)時(shí)，等價(jià)于.令，則，所以上單調(diào)遞增.因?yàn)?，所以有且僅有一個(gè)零點(diǎn).（2）由，得.令，則.若，則在上恒成立，故在上單調(diào)遞增，最多只有一個(gè)零點(diǎn)，則最多只有一個(gè)極值點(diǎn)，不符合題意；若，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則.令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，從而.顯然，當(dāng)時(shí)，，則，.令，則，設(shè)，則，由，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，即恒成立，故單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，，即，則.因?yàn)?，所以?當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為，則恰有兩個(gè)極值點(diǎn).故當(dāng)恰有兩個(gè)極值點(diǎn)時(shí)，的取值范圍為.（二）選考題[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]22.已知直線：（為參數(shù)），曲線：.（1）求的普通方程和曲線的參數(shù)方程；（2）將直線向下平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到直線，是曲線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)到直線的距離的最小值為，求的值.解：（1）由直線：（為參數(shù)），消去參數(shù)，可得的普通方程為.由曲線：，可得曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）；（2）的方程為，即.設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)到直線的距離.因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，d取得最小值，即，解得.[選修4-5：不等式選講]23.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，解不等式；（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，化為，解得，則；當(dāng)時(shí)，化為，解得，則；當(dāng)時(shí)，可化為，解得，則，所以不等式的解集為.（2）當(dāng)時(shí)，化為，即，整理得，則，依題意，當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，而，因此，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.青海省西寧市大通縣2024屆高考四模數(shù)學(xué)試卷（理）第I卷一、選擇題1.已知集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意可得，，則.故選：B.2.復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，因?yàn)?，則.故選：C.3.已知橢圓的離心率為，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由橢圓，可得，，則，所以，解得.故選：B.4.某公司10月23日、10月30日、11月6日、11月13日、11月20日、11月27日這6天員工的出勤率的折線圖如圖所示，則下列判斷正確的是（）A.這6天員工的出勤率呈遞增趨勢(shì)B.這6天員工的出勤率呈遞減趨勢(shì)C.這6天員工的出勤率的極差大于0.15D.這6天員工的出勤率的中位數(shù)小于0.85〖答案〗D〖解析〗A：由圖可知，這6天員工的出勤率有增也有減，故A錯(cuò)誤；B：由圖可知，這6天員工的出勤率有增也有減，故B錯(cuò)誤；C：這6天員工的出勤率按照從小到大的順序排列為0.776，0.8077，0.8333，0.86，0.895，0.92，所以這6天員工的出勤率的極差為，故C錯(cuò)誤；D：中位數(shù)為，故D正確.故選：D5.函數(shù)的部分圖象大致為（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗設(shè)，則，所以為奇函數(shù)，設(shè)，可知為偶函數(shù)，所以為奇函數(shù)，則B，C錯(cuò)誤，易知，所以A正確，D錯(cuò)誤．故選：A.6.記等差數(shù)列的前項(xiàng)和為.若，，則（）A.140 B.70 C.160 D.80〖答案〗D〖解析〗因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，所以，故.故選：D.7.在直三棱柱中，，，為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且，則直線與平面所成角的正弦值為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，則，則，故，因?yàn)檩S平面，則可取平面的法向量為，則，即直線與平面所成角的正弦值為.故選：B.8.展開式中系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)共有（）A.2項(xiàng) B.3項(xiàng) C.4項(xiàng) D.5項(xiàng)〖答案〗D〖解析〗展開式的通項(xiàng)公式為（），所以展開式中的第1項(xiàng)、第3項(xiàng)、第5項(xiàng)、第7項(xiàng)、第9項(xiàng)的系數(shù)均為有理數(shù)，共5項(xiàng).故選：D9.已知，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)?，所以，解得或（舍去），所以．故選：B.10.設(shè)，是雙曲線：的兩條漸近線，若直線與直線關(guān)于直線對(duì)稱，則雙曲線的離心率的平方為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題可知經(jīng)過(guò)第二、四象限，經(jīng)過(guò)第一、三象限，設(shè)的傾斜角為.當(dāng)時(shí)，則，即，，即，所以.當(dāng)時(shí)，，即，，即，所以.綜上，雙曲線的離心率的平方為.故選：C.11.在長(zhǎng)方形中，，，點(diǎn)在線段上（不包含端點(diǎn)），沿將折起，使二面角的大小為，，則四棱錐體積的最大值為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗設(shè)，，其中為定值，則點(diǎn)A到的距離為，，，要使得四棱錐的體積最大，則，此時(shí)四棱錐的體積，則，在上單調(diào)遞減，且當(dāng)時(shí)，.令，，則，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，即四棱錐體積的最大值為.故選：C12.已知，，，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗令，則.當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，則，故.令，則.當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，則，即.故.故選：A.第II卷二、填空題13.已知向量，滿足，且，則向量，夾角的余弦值是_________.〖答案〗〖解析〗因?yàn)椋?，所?因?yàn)椋?，所以，則.故〖答案〗為：14.將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的3倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，則的最小正周期為______，______.〖答案〗〖解析〗由題意知，，則的最小正周期，.故〖答案〗為：；15.已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且滿足，當(dāng)時(shí)，，則______.〖答案〗〖解析〗設(shè)函數(shù)的最小正周期為，則.因?yàn)槭嵌x在上的偶函數(shù)，所以，所以.故〖答案〗為：16.假設(shè)在某種細(xì)菌培養(yǎng)過(guò)程中，正常細(xì)菌每小時(shí)分裂1次（1個(gè)正常細(xì)菌分裂成2個(gè)正常細(xì)菌和1個(gè)非正常細(xì)菌），非正常細(xì)菌每小時(shí)分裂1次（1個(gè)非正常細(xì)菌分裂成2個(gè)非正常細(xì)菌）.若1個(gè)正常細(xì)菌經(jīng)過(guò)14小時(shí)的培養(yǎng)，則可分裂成的細(xì)菌的個(gè)數(shù)為______.〖答案〗〖解析〗設(shè)經(jīng)過(guò)小時(shí)，有個(gè)正常細(xì)菌，個(gè)非正常細(xì)菌，則，.又，，所以，，則，所以，所以是首項(xiàng)和公差均為的等差數(shù)列，所以，所以，所以.故〖答案〗為：.三、解答題（一）必考題17.在中，角的對(duì)邊分別為，已知.（1）求；（2）若為邊的中點(diǎn)，求的長(zhǎng).解：（1）因?yàn)?，根?jù)正弦定理，得，化簡(jiǎn)得，因?yàn)?，所以，因，所?（2）在中，由余弦定理得，所以，解得．因?yàn)闉榈闹芯€，所以，所以，因?yàn)?，所以，解?18.現(xiàn)統(tǒng)計(jì)了甲次投籃訓(xùn)練的投籃次數(shù)和乙次投籃訓(xùn)練的投籃次數(shù)，得到如下數(shù)據(jù)：甲乙已知甲次投籃次數(shù)的平均數(shù)，乙次投籃次數(shù)的平均數(shù).（1）求這次投籃次數(shù)的平均數(shù)與方差.（2）甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，若未命中則換為對(duì)方投籃.無(wú)論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為，乙每次投籃的命中率均為.已知第一次投籃的人是甲，且甲、乙總共投籃了三次，表示甲投籃的次數(shù)，求的分布列與期望.解：（1）這次投籃次數(shù)的平均數(shù)；甲次投籃次數(shù)的方差，乙次投籃次數(shù)的方差，這次投籃次數(shù)的方差.（2）所有可能的取值為，；；；的分布列為：的期望.19.如圖，在四棱錐中，四邊形是正方形，，M為側(cè)棱PD上的點(diǎn)，平面.（1）證明：.（2）若，求二面角的大小.（3）在（2）的前提下，在側(cè)棱PC上是否存在一點(diǎn)N，使得平面?若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.（1）證明：記，連接OP，由四邊形是正方形，得О是AC的中點(diǎn)，由，得，又，平面，，則平面，又平面，所以.（2）解：由（1）知，，由，得，即兩兩垂直，以О為原點(diǎn)，的方向分別為軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，設(shè)，則，，由平面，得是平面的一個(gè)法向量，顯然是平面的一個(gè)法向量，設(shè)二面角為θ，由圖知θ為銳角，則，解得，所以二面角的大小為.（3）解：假設(shè)在側(cè)棱PC上存在一點(diǎn)N，使得平面，且（），由（2）知，，，則，，平面的一個(gè)法向量是，由平面，得，即，則，解得，即，則，所以在側(cè)棱PC上存在一點(diǎn)N，使得平面，此時(shí).20.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于，（，異于點(diǎn)）兩點(diǎn)，且以為直徑的圓過(guò)點(diǎn).（1）求的方程；（2）已知，，是上的三點(diǎn)，若為正三角形，為的中心，求直線斜率的最大值.解：（1）設(shè)，，，聯(lián)立方程得，則，.因?yàn)橐詾橹睆降膱A過(guò)點(diǎn)，所以，則，即，解得，所以，解得，所以的方程為.（2）設(shè)，，.不妨設(shè)，，按逆時(shí)針順序排列.①當(dāng)有一邊斜率不存在時(shí)，另一頂點(diǎn)為，不妨設(shè)，則，.與拋物線的方程聯(lián)立得，，中心.②當(dāng)三邊的斜率都存在時(shí)，，.又，所以，化簡(jiǎn)可得，同理可得，，三式相加得.因?yàn)?，，是上的三點(diǎn)，所以，又，所以.設(shè)，則，，代入上