雙鴨山市第一中學(xué)2023—2024學(xué)年度高三（上）學(xué)期數(shù)學(xué)第二次月考試題本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.集合，4x，則ABAB{x|x2D.A.B.C.ai1i,2.若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)則實(shí)數(shù)a的值為()A.iB.0C.1D.－1253.已知角的終邊過(guò)點(diǎn)m，若，則實(shí)數(shù)m的值為（）2533或4或D.4A.B.4C.312154已知ab,c，則（）2A.abcB.C.cba2D.acb5.已知圓錐SO的母線長(zhǎng)為26，側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角為，則該圓錐外接球的表面積為（）3A.B.24C.D.486.圣·索菲亞教堂（英語(yǔ)：SAINTSOPHIACATHEDRAL）坐落于中國(guó)黑龍江省，是一座始建于1907年拜占庭風(fēng)格的東正教教堂，為哈爾濱的標(biāo)志性建筑，被列為第四批全國(guó)重點(diǎn)文物保護(hù)單位.其中央主體建筑集球?圓柱?棱柱于一體，極具對(duì)稱之美，可以讓游客從任何角度都能領(lǐng)略它的美，小明同學(xué)為了估算索菲亞教30330m,堂的高度，在索非亞教堂的正東方向找到一座建筑物AB，高為在它們之間的地面上的點(diǎn)M（B，M，D三點(diǎn)共線）處測(cè)得樓頂A教堂頂C的仰角分別是15°和60°，在樓頂A處測(cè)得塔頂C的仰角62為30°，則小明估算索菲亞教堂的高度為（）.(sin15)4第1頁(yè)/共7頁(yè)A.30mB.60mC.30D.n(na}Sn是其前項(xiàng)和，若S1007bab0，且，則17.已知數(shù)列滿足2，nn1(nnn201712的最小值為（）1bA.322B.3C.22D.3221fxmx,gxx2exe8.已知函數(shù)3與的圖像上分別存在點(diǎn)，使M,Nfxgx，若eyeM,N9m對(duì)稱，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（得關(guān)于直線）39,,2AB.e2ee93e,,3eC.D.e2二、多選題（本題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分）m2sinx,3sinx,nsinx,2cosx，函數(shù)fxmn19.已知，則下列結(jié)論正確的是（）πA.函數(shù)的初相是fx6πB.x是函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸fx4π圖象的對(duì)稱中心fx,0C.是函數(shù)πD.函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位后關(guān)于軸對(duì)稱fxy6ABCDP,Q10.如圖，正方體的棱長(zhǎng)為2，動(dòng)點(diǎn)分別在線段上，則（CD,1）1111第2頁(yè)/共7頁(yè)πA.異面直線B.點(diǎn)A到平面P,QC和BC所成的角為14231D的距離為3CD,的中點(diǎn)，則1D平面1C.若分別為線段123D.線段長(zhǎng)度的最小值為311.古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家用沙粒和小石子來(lái)研究數(shù)，他們根據(jù)沙?；蛐∈铀帕械男螤睿褦?shù)分成許多類，如下圖中第一行圖形中黑色小點(diǎn)個(gè)數(shù)：1，3，6，10，…稱為三角形數(shù)，第二行圖形中黑色小點(diǎn)個(gè)數(shù)：1，4，9，16，…稱為正方形數(shù)，記三角形數(shù)構(gòu)成數(shù)列，正方形數(shù)構(gòu)成數(shù)列，則下anbn列說(shuō)法正確的是（）1111nA.1a23ann1B.1225是三角形數(shù)，不是正方形數(shù)111133C.D.b123n20mN*,m2，總存在p,qN*，使得baa成立mpqx22y221（a＞0b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為FFF且斜率為k12.（多選）雙曲線C：122ab的直線交右支于P，Q兩點(diǎn)，以F1Q為直徑的圓過(guò)點(diǎn)P，則（??）第3頁(yè)/共7頁(yè)A.若△PFQ的內(nèi)切圓與PF相切于M，則FM＝a111x2y21，則△PF1Q的面積為24B.若雙曲線C的方程為46C.存在離心率為5的雙曲線滿足條件2D.若3PF＝QF，則雙曲線C的離心率為22三、填空題（本題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分）13.從某校高中3個(gè)年級(jí)按分層抽樣抽取了100人作為調(diào)研樣本，其中有80人來(lái)自高一和高二，若知高一和高二總?cè)藬?shù)共計(jì)900人，則高三學(xué)生的總?cè)藬?shù)為_(kāi)_____.f(x)2lnxx2，則曲線yf(x)在點(diǎn)f處的切線方程14.已知f(x)為奇函數(shù)，當(dāng)x0時(shí)，是___________.ππ126π125π3,22____________．15.已知，且sin，則5xx016.已知為常數(shù)，函數(shù)，若關(guān)于的方程有且只有四個(gè)不同的解，fxax2afx=xxxx>0)a則實(shí)數(shù)的取值所構(gòu)成的集合為_(kāi)_____．四、解答題（本題共6個(gè)小題，共70分，17題10分，其他每題12分，解答題應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）17.某學(xué)校1000名學(xué)生在一次百米測(cè)試中，成績(jī)?nèi)拷橛?3秒與18秒之間，抽取其中50個(gè)樣本，將測(cè)試結(jié)果按如下方式分成五組：第一組13,14，第二組14,15，…第五組17,18，右圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖．第4頁(yè)/共7頁(yè)（1）請(qǐng)估計(jì)學(xué)校1000名學(xué)生中，成績(jī)?cè)诘诙M和第三組的人數(shù)；（2Ab18.在銳角中，角（1）求角A的大??；，B，C的對(duì)邊分別為，，，且ac2b2ac2bc.（2）若a23，求的周長(zhǎng)L的最大值.19.如圖，已知四棱錐P的底面ABCD是菱形，平面PBC平面ABCD，ACD30，E為AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在上，AP3AF.（1）證明：PC∥平面BEF；（2）若，且PD與平面ABCD所成的角為45°，求二面角AEFB的余弦值.n22n1滿足aa2aana4,n.20.數(shù)列n123na（1）求的值；3（2）求數(shù)列通項(xiàng)公式aa；nn1baaacnc的前項(xiàng)和.nn（3）設(shè)，，求數(shù)列n21222nn1x22y2211（ab0）的離心率為e，橢圓CF上一點(diǎn)P到左右兩個(gè)焦點(diǎn)、121.設(shè)橢圓C：ab2F2的距離之和是4.（1）求橢圓的方程；的直線與橢圓CF2FMFAFB，求四111（2）已知過(guò)交于A、B兩點(diǎn)，且兩點(diǎn)與左右頂點(diǎn)不重合，若AMBF邊形面積的最大值.1xx1f(x)22.已知函數(shù)．e（1）求函數(shù)的極值，fx第5頁(yè)/共7頁(yè)恒成立，求正實(shí)數(shù)的取值范圍．（2）對(duì)任意實(shí)數(shù)x0，f(x)(xa)lnx1a第6頁(yè)/共7頁(yè)雙鴨山市第一中學(xué)2023—2024學(xué)年度高三（上）學(xué)期數(shù)學(xué)第二次月考試題本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.集合，4x，則ABAB{x|x2D.A.B.C.【答案】B【解析】【分析】解一元二次不等式得到集合B，結(jié)合交集定義進(jìn)行求解即可．B{x|x24x{x|x4x{x|0x，2【詳解】則AB，故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的基本運(yùn)算，求出集合B的等價(jià)條件，首先要看清楚它的研究對(duì)象，是實(shí)數(shù)還是點(diǎn)的坐標(biāo)還是其它的一些元素，第二步常常是解一元二次不等式，我們首先用十字相乘法分解因式，求得不等式的解集.在解分式不等式的過(guò)程中，要注意分母不能為零.解指數(shù)或?qū)?shù)不等式要注意底數(shù)對(duì)單調(diào)性的影響，在求交集時(shí)注意區(qū)間端點(diǎn)的取舍.ai1i,2.若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)則實(shí)數(shù)a的值為()A.iB.0C.1D.－1【答案】C【解析】【分析】由題意首先設(shè)出純虛數(shù)，然后利用復(fù)數(shù)相等的充分必要條件整理計(jì)算即可求得最終結(jié)果.ai1ikR，則：ai1ik2【詳解】不妨設(shè)，aka1，即由復(fù)數(shù)相等的充分必要條件可得：k1，1ka即實(shí)數(shù)的值為1.故選：C.2553.已知角的終邊過(guò)點(diǎn)m，若，則實(shí)數(shù)m的值為（）2第1頁(yè)/共25頁(yè)33或4或D.4A.B.4C.3【答案】D【解析】cos【分析】先根據(jù)二倍角公式求出，再利用三角函數(shù)的定義可求答案.25535221【詳解】因?yàn)?，所以?2m4．所以9m故選：D．25，解得12154.已知ab,c，則（）2A.abc【答案】D【解析】B.C.cbaD.acb【分析】根據(jù)給定條件，利用指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性，借助“媒介”數(shù)比較作答.ylog2x(0,)上單調(diào)遞增，01，則a0.310【詳解】函數(shù)在，22111252.5512y()x1，b()0c函數(shù)在R上單調(diào)遞減，，而，225所以acb.故選：D25.已知圓錐SO的母線長(zhǎng)為26，側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角為，則該圓錐外接球的表面積為（）3A.B.24C.D.48【答案】C【解析】RtAOB【分析】由圓錐側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角可構(gòu)造方程求得圓錐底面半徑r22，在中，利用勾股定理可構(gòu)造關(guān)于圓錐外接球半徑R的方程，解方程求得R，根據(jù)球的表面積公式即可求得結(jié)果.r2【詳解】設(shè)圓錐SO的底面半徑為r，由題意得：，解得：r22.263如圖，是圓錐的一條母線，由圓錐的性質(zhì)知其外接球的球心B在SO上，連接，AB，第2頁(yè)/共25頁(yè)設(shè)圓錐的外接球的半徑為R，則ABSBR，22則AB圓錐的外接球的表面積為SA2226222484，2SB2，即224R，解得：R32，22R2.32故選：C.6.圣·索菲亞教堂（英語(yǔ)：SAINTSOPHIACATHEDRAL）坐落于中國(guó)黑龍江省，是一座始建于1907年拜占庭風(fēng)格的東正教教堂，為哈爾濱的標(biāo)志性建筑，被列為第四批全國(guó)重點(diǎn)文物保護(hù)單位.其中央主體建筑集球?圓柱?棱柱于一體，極具對(duì)稱之美，可以讓游客從任何角度都能領(lǐng)略它的美，小明同學(xué)為了估算索菲亞教30330m,堂的高度，在索非亞教堂的正東方向找到一座建筑物AB，高為在它們之間的地面上的點(diǎn)M（B，M，D三點(diǎn)共線）處測(cè)得樓頂A教堂頂C的仰角分別是15°和60°，在樓頂A處測(cè)得塔頂C的仰角62為30°，則小明估算索菲亞教堂的高度為（）.(sin15)4A30mB.60mC.30D.【答案】D【解析】sin15sin30【分析】在△ACM中，利用正弦定理，得CM，再結(jié)合銳角三角函數(shù)的定義，求得AM，CD，得解．CAM45，AMC1801560105，【詳解】由題意知，第3頁(yè)/共25頁(yè)ACM1801054530所以，在RtABM中，，sinsin15AMCM在△ACM中，由正弦定理得，，sin30sin45sin45sin30ABsin45sin15sin30所以CM，2330330sin45sin60sin15sin30RtDCM212CDCMsin60603米，在中，6242所以小明估算索菲亞教堂的高度為603米．故選：D．n(na}Sn是其前項(xiàng)和，若S1007bab0，且，則17.已知數(shù)列滿足nn1(2，nnn201712的最小值為（）1bA.322B.3C.22D.322【答案】D【解析】n7,,2017Saaaa123【分析】在已知式中令，然后由表示出和，結(jié)合已知得1b1，再用“1”的代換可得最小值．a(chǎn)aaaaa7,aa9,,a20172017【詳解】因，234567892016Saaaaaa11008a10081007b，由題意，1∴∴12345ab11ab0ab01，又，∴，121bb121221bb(1b)332221，b22，當(dāng)且僅當(dāng)，即1∴1b1b11時(shí)，等號(hào)成立．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的遞推式，考查數(shù)列和的概念，基本不等式求最值，解題關(guān)鍵是“1”的代換湊配出定值．第4頁(yè)/共25頁(yè)1fxmx,gxx2exe8.已知函數(shù)3與的圖像上分別存在點(diǎn)，使M,Nfxgx，若eyeM,N9m對(duì)稱，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（得關(guān)于直線）39,,2A.B.e2ee93e,,3eC.D.e2【答案】D【解析】1M(x,mxN(x,x2emx3lnx2e,e3【分析】由題設(shè)令，根據(jù)存在性將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在em上有解，參變分離后可求實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】因?yàn)榕cgx的圖像上分別存在點(diǎn)M,N關(guān)于直線ye對(duì)稱，M,N，使得fxM(x,mxN(x,xx2e令則e2132emx3lnx2e13,e即即即設(shè)在e上有解，3lnx,e在e上有解3lnx13m,e在e上有解，x3lnx1ehx,e3x，，x31x則hx，x211e在hx0hx，故xe,e當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，ehxe,e為減函數(shù)，當(dāng)exe3時(shí)，0，故hx在3第5頁(yè)/共25頁(yè)31e9he3he,h而3，ee1e3e故在hx,e3上的值域?yàn)椋?em故即3em,，故選：D.二、多選題（本題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分）m2sinx,3sinx,nsinx,2cosx，函數(shù)fxmn19.已知，則下列結(jié)論正確的是（）πA.函數(shù)的初相是fx6πB.x是函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸fx4π圖象的對(duì)稱中心fx,0C.是函數(shù)πD.函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位后關(guān)于軸對(duì)稱fxy6【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示及二倍角公式，利用輔助角公式及三角函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合圖象的平移變換即可求解.m2sinx,3sinx,nsinx,2cosx，【詳解】因?yàn)樗詅xmn1π2x2x13sin2x2x2sin2x，6π易知函數(shù)的初相是,故A正確；fx6π4ππ2ππ由，得圖象的一條對(duì)稱軸，故B錯(cuò)fx不是函數(shù)f2sin22sin32x4634誤；第6頁(yè)/共25頁(yè)5ππ12612fx2sin2由2sinπ0ππ,0圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，故C正確；fx是函數(shù)，得y2xπ2x2cos2x為偶函數(shù)，函數(shù)關(guān)于y軸對(duì)稱，故D對(duì)于D選項(xiàng)：662正確．故選：ACD．ABCDP,Q10.如圖，正方體的棱長(zhǎng)為2，動(dòng)點(diǎn)分別在線段上，則（CD,1）1111πA.異面直線B.點(diǎn)A到平面P,QC和BC所成的角為14231D的距離為3CD,的中點(diǎn)，則平面1D1C.若分別為線段123D.線段長(zhǎng)度的最小值為3【答案】BCD【解析】【分析】利用異面直線所成角方法求解即可判斷選項(xiàng)A，利用等體積法求解點(diǎn)到面的距離即可判斷B，利用線面平行的判定定理判斷選項(xiàng)C，建立空間直角坐標(biāo)系利用向量共線的性質(zhì)建立關(guān)系式，然后利用兩點(diǎn)間的距離公式表示出來(lái)分析即可判斷選項(xiàng)D.AD【詳解】因?yàn)樗援惷嬷本€，1C和BC所成的角即為C和ADADC所成的角，11AD1CD因?yàn)椋?π所以ADC為等邊三角形，即，ADC3第7頁(yè)/共25頁(yè)故A錯(cuò)誤.連接如圖所示：11D點(diǎn)A到平面的距離為h，因?yàn)閂V，A1D1131ShSC.所以因?yàn)?D3112222sin6023,S22CC2，1S1D2223所以h，32331D所以點(diǎn)A到平面故B正確，的距離為，P,QCD,1當(dāng)分別為線段的中點(diǎn)時(shí)，1D的中位線，則為PQ所以，11D11D平面，1又平面，11D，1所以平面故C正確.,DC,x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為1如圖所示：第8頁(yè)/共25頁(yè)則，D0,0,0,C0,2,21設(shè)，022，Px,y,z1所以x,y,z0,2,2，所以P2,2，設(shè)，022，Qa,,c又A2,0,0,C2,0所以ab,c2,0，所以Q22,2,0，22222222所以PQ2222486331323022當(dāng)時(shí)，03233PQ有最小值，即，故D選項(xiàng)正確，故選：BCD.11.古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家用沙粒和小石子來(lái)研究數(shù)，他們根據(jù)沙?；蛐∈铀帕械男螤?，把數(shù)分成許多類，如下圖中第一行圖形中黑色小點(diǎn)個(gè)數(shù)：1，3，6，10，…稱為三角形數(shù)，第二行圖形中黑色小點(diǎn)個(gè)數(shù)：1，4，9，16，…稱為正方形數(shù)，記三角形數(shù)構(gòu)成數(shù)列，正方形數(shù)構(gòu)成數(shù)列，則下anbn第9頁(yè)/共25頁(yè)列說(shuō)法正確的是（）1111nA.1a23ann1B.1225是三角形數(shù)，不是正方形數(shù)111133C.D.b123n20mN*,m2，總存在p,qN*，使得baa成立mpq【答案】CD【解析】an、ba1225b1225，再用裂項(xiàng)相消法可判斷A；分別令和，看有無(wú)正整nn【分析】用累加法求出n數(shù)解即可判斷B；將b放縮后用裂項(xiàng)相消求和即可判斷C；取mpq即可判斷D.n【詳解】三角形數(shù)構(gòu)成數(shù)列：1，3，6，10，…，ana213a2,anan1nn2則有，(n2n)n(naaa，得到n利用累加法，得，n122n1時(shí)也成立，n(na所以；n2正方形數(shù)構(gòu)成數(shù)列：1，4，9，16，…，bnb2b132,nn12n1n2則有，(2n2)(nbbbn，2利用累加法，得，得到nn12n1時(shí)也成立，bnn2所以，第10頁(yè)/共25頁(yè)12112()，對(duì)于A，nn(nnn1111112nn1n121所以，故A錯(cuò)誤；123nnn21225，解得n，對(duì)于B，令n2bnn21225，解得n35，令所以1225既是三角形數(shù)，又是正方形數(shù)，故B錯(cuò)誤；114112對(duì)于C，，nn24n212n12n111111111則2b123n432n51111211，457792n12n111115411332332整理得，，故C正確；b123n52n1202n120m(mm(mmpqm2對(duì)于D，取，且mN*，則令，22baa則有，mmm1故mN,m2，總存在p,qN*，使得baa成立，故正確D.mpq*故選：CD.x22y221（a＞0b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為FFF且斜率為k12.（多選）雙曲線C：122ab的直線交右支于P，Q兩點(diǎn)，以F1Q為直徑的圓過(guò)點(diǎn)P，則（??）A.若△PFQ的內(nèi)切圓與PF相切于M，則FM＝a111x2y21，則△PF1Q的面積為24B.若雙曲線C的方程為46C.存在離心率為5的雙曲線滿足條件2D.若3PF＝QF，則雙曲線C的離心率為22第11頁(yè)/共25頁(yè)【答案】BD【解析】【分析】利用三角形內(nèi)切圓以及雙曲線的定義、轉(zhuǎn)化求解判斷A，利用雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，轉(zhuǎn)化為求三角形的面積可判斷BC雙曲線的離心率判斷D，進(jìn)而可得正確選項(xiàng).PF1Q在右支上，【詳解】由題意，以F1Q為直徑的圓過(guò)點(diǎn)P，故，且對(duì)于選項(xiàng)A：記內(nèi)切圓與PQ相切于N，與FP相切于M，與FQ相切于K，由內(nèi)切圓的性質(zhì)可得11|PM|PN|,|||，故|FP||FQ||PQ|11|FM||FK||PM||||PN|||FM||FK2|FM4a|1M2a，，故選項(xiàng)11111A不正確；x2y21，則a，b10，設(shè)|2x，則對(duì)于選項(xiàng)B：雙曲線C的方程為，c46|PF1x4F中，故x2(x4)(2210)240，解得x2，故|22，，在2|PF16，設(shè)|2y，則|QF1y4△PFQ2(2y)2(4y)y6，，解得26，在中，有11S|PF||PQ6(62)24故△PF1Q的面積為，故選項(xiàng)B正確；122cbae52y2x，對(duì)于選項(xiàng)C：若，則，故漸近線方程為a|PFy,|PFx,F|2||PF||FF|(2c)2222設(shè)在中，可得x22ax8a20解得122112|PF1||2|x2ayx2a4ak2，此時(shí)直線與漸近線平行，不可能與雙曲線右，故，可得支交于兩點(diǎn)，故C不正確；3|PF|||PFx,|3x，則，在|PF1x2a，|QF13x2a對(duì)于選項(xiàng)D：若，設(shè)2222第12頁(yè)/共25頁(yè)△PFQxaF2(x2a)2(4x)2(3x2a)2中，有，解得，在中，c225210(a2a)2a210a2(2c)22e，可得e，故，故選項(xiàng)D正確.a2故選：BD．三、填空題（本題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分）13.從某校高中3個(gè)年級(jí)按分層抽樣抽取了100人作為調(diào)研樣本，其中有80人來(lái)自高一和高二，若知高一和高二總?cè)藬?shù)共計(jì)900人，則高三學(xué)生的總?cè)藬?shù)為_(kāi)_____.【答案】225【解析】【分析】先根據(jù)題意建立方程，再求解即可.8010080x【詳解】解：設(shè)高三學(xué)生的總?cè)藬?shù)為人，有題意：，900x解得：x225，所以高三學(xué)生的總?cè)藬?shù)為人.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查分層抽樣，是基礎(chǔ)題.f(x)2lnxx2，則曲線yf(x)在點(diǎn)f處的切線方程14.已知f(x)為奇函數(shù)，當(dāng)x0時(shí)，是___________.4xy30【答案】【解析】【分析】由已知求得x0時(shí)函數(shù)的解析式，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到函數(shù)在x=1處的導(dǎo)數(shù)值，再求出，利用直線方程的斜截式得答案.f1【詳解】解：設(shè)x0，則x0，又f(x)為奇函數(shù)，∴22lnxx2，f(x)fx2lnxx2224f(x)2xf1則，∴，x又f1，y14xyf(x)f1∴曲線在點(diǎn)處的切線方程是，4xy30即切線方程是.4xy30故答案為：.第13頁(yè)/共25頁(yè)ππ126π125π3,22____________．15.已知，且sin，則57【答案】##1.45【解析】【分析】由三角恒等變換公式化簡(jiǎn)后求解【詳解】2π321π312111322122sin22222113121cos2sin21sin，6222ππ126πππ25π652545,，所以2,cos，sin2，因?yàn)椋?2412555π237．2所以57故答案為：5xx016.已知為常數(shù)，函數(shù)，若關(guān)于的方程有且只有四個(gè)不同的解，fxax2afx=xxxx>0)a則實(shí)數(shù)的取值所構(gòu)成的集合為_(kāi)_____．1e【答案】1.3【解析】有且只有四個(gè)不同的解等價(jià)于直線與的圖像有四x【分析】關(guān)于的方程fxax2yax2yfx與yfxyax2的圖像，利用數(shù)形結(jié)合可得結(jié)果.個(gè)不同的交點(diǎn)，畫(huà)出有且只有四個(gè)不同的解，等價(jià)于直線與有四個(gè)不xfxax2ax2yfxy【詳解】關(guān)于的方程同的交點(diǎn)，x2x1x21yax22，斜率為，當(dāng)直線與ay，令x=0可直線過(guò)定點(diǎn)相切時(shí)，由x1x得斜率a1；第14頁(yè)/共25頁(yè)1x2111yx0x1相切時(shí)，yx,e，可得斜率當(dāng)直線，由xxxexae；1yxx相切時(shí)，斜率a同理，當(dāng)直線，e3與yfxyax2的圖像，畫(huà)出1ea1或a時(shí)，yax2與yfxx有四個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)關(guān)于的方程如圖，由圖知，e3有且只有四個(gè)不同的解，fxax21故答案為：1.e3四、解答題（本題共6個(gè)小題，共70分，17題10分，其他每題12分，解答題應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）17.某學(xué)校1000名學(xué)生在一次百米測(cè)試中，成績(jī)?nèi)拷橛?3秒與18秒之間，抽取其中50個(gè)樣本，將測(cè)試結(jié)果按如下方式分成五組：第一組13,14，第二組14,15，…第五組17,18，右圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖．第15頁(yè)/共25頁(yè)（1）請(qǐng)估計(jì)學(xué)校1000名學(xué)生中，成績(jī)?cè)诘诙M和第三組的人數(shù)；（2【答案】（1）540；（2）平均數(shù)15.70；中位數(shù)15.74.【解析】1）根據(jù)頻率直方圖求出第二組和第三組的頻率，進(jìn)而求第二組和第三組的人數(shù)；（2）由頻率直方圖求平均數(shù)、中位數(shù)即可.【小問(wèn)1詳解】成績(jī)?cè)诘诙M和第三組的頻率0.160.380.54，所以學(xué)校1000名學(xué)生中成績(jī)?cè)诘诙M和第三組的人數(shù)：10000.54540．【小問(wèn)2詳解】樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)：x13.50.0614.50.1615.50.3816.50.3217.50.0815.70，中位數(shù)：第一二組的頻率為10.0610.160.225．第一二三組的頻率為10.0610.1610.380.65，所以中位數(shù)一定落在第三組，29910.0610.16x150.385x，解得15.74.設(shè)中位數(shù)為x，則19Ab18.在銳角中，角，B，C的對(duì)邊分別為，，，且ac2b2bc.ac2（1）求角A的大??；（2）若a23，求的周長(zhǎng)的最大值.L【答案】（1）A3第16頁(yè)/共25頁(yè)（2）最大值為63【解析】1）由余弦定理求出cosA即可得到A；，，再用角表示出周長(zhǎng)的函數(shù)，最后求最值即可；方（2）方法一：先由正弦定理得b4sinBc4sinC法二：運(yùn)用基本不等式即可.【小問(wèn)1詳解】b2c2a2bc12由a2c2b2bc，得b2c2a2bc，由余弦定理，得A.bcbcAA又，所以.23【小問(wèn)2詳解】bca234法一：由（1）知A，又a23，所以由正弦定理得sinBsinCsinA3sin3，所以b4sinBc4sinC，所以3323L4sinBsinC234sinBsinB234sinBB2323143sinBB2343sinB23.226220B0C,,0B,623BBsinB1.因?yàn)榧此?，所以?236320B,326sinB1，即B所以當(dāng)時(shí)，L取得最大值其最大值為63.3法二：由a2c22bbc，a23得bc22bc212b2c2bcbc2bcbc23，4當(dāng)且僅當(dāng)bc時(shí)取等號(hào)，此時(shí)bc23a.所以bc48，即bc43.2所以Labc63（bca23的最大值為63.L第17頁(yè)/共25頁(yè)19.如圖，已知四棱錐P的底面ABCD是菱形，平面PBC平面ABCD，ACD30，E為AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在上，AP3AF.（1）證明：PC∥平面BEF；（2）若【答案】（1）證明見(jiàn)解析，且PD與平面ABCD所成的角為45°，求二面角AEFB的余弦值.2（2）.4【解析】12AC,BE的交點(diǎn)為OFO，先證明1）設(shè)，連接COB得，然后由線面平行判定定理可證；x,y,z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)（2）取BC的中點(diǎn)為H，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，HHD,HB,為系，利用向量法求解即可.【小問(wèn)1詳解】AC,BE的交點(diǎn)為OFO，設(shè)，連接1//AEBC，易知，，且2OAEOCB,OEAOBC所以，12所以COB，得，AOAF1在△APC中，F(xiàn)O//PC，OCFP2FOBEF，PC平面所以，又平面BEF，//平面BEF.則【小問(wèn)2詳解】因?yàn)锳CD30,底面是菱形，ABCD第18頁(yè)/共25頁(yè)BCD60DCDB所以，所以△DCB為等邊三角形，又因?yàn)?，所以，PBPCBCPH,DH，，取的中點(diǎn)為，連接H，則，PBCABCDPBCABCDBC，PH平面，平面平面，平面平面則PH平面ABCD，x,y,z以H為坐標(biāo)原點(diǎn)，HD,HB,為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)镻D與平面ABCD所成的角為45PHDH，所以，設(shè)菱形的邊長(zhǎng)為2，所以PHDH3，所以P3,B0,A3,2,0,D3,0,0,E0，3234,,33因?yàn)锳P3AF，所以F，33313,0，EF,,333,AE1,0,BE設(shè)平面的法向量為(x,y,z)，y0nAE0，取0,1，nEFn31330xyz033m(x,y,z)設(shè)平面BEF的法向量為，222320nAE0m3,1，，取313nEF0xyz2022333第19頁(yè)/共25頁(yè)mncosm,n2所以，mn42所以平面與平面BEF夾角的余弦值為.4n22n1滿足aa2aana4,n.20.數(shù)列n123na（1）求的值；3（2）求數(shù)列通項(xiàng)公式aa；nn1baaacnc的前項(xiàng)和.nn（3）設(shè)，，求數(shù)列n21222nn114【答案】（1）312na（2）（3）n12nn1【解析】1）求的值通過(guò)特殊賦值法求解，取annn3n2依次代入即可；3（2）由已知條件可知的前n項(xiàng)和為，借助于naSS可求解其通項(xiàng)公式；n1naS4nn2n1nn11n1（3）首先整理數(shù)列的通項(xiàng)公式為cnc2()，結(jié)合特點(diǎn)采用裂項(xiàng)相消法求和nn【小問(wèn)1詳解】令n1，得n2，有a1，112a1222a，得2令令，5414n3，有12234，得a3【小問(wèn)2詳解】n12n2a2aa(na4123n1當(dāng)n2時(shí)，，①n22n1a2aa(nanan4，②123n1n1n2n2nnan1②―①，得，2n22n1第20頁(yè)/共25頁(yè)12nan所以，112n1又當(dāng)n1時(shí)，a11也適合an，12nan（n）所以，1【小問(wèn)3詳解】baaann2122212(nn(n21211n1cn2()故，n1n(nn111112nn1ccc2)()()12nn1223n12nn1n的前項(xiàng)和為所以數(shù)列nx22y2211（ab0）的離心率為e，橢圓CF上一點(diǎn)P到左右兩個(gè)焦點(diǎn)、121.設(shè)橢圓C：ab2F2的距離之和是4.（1）求橢圓的方程；的直線與橢圓CF2FMFAFB，求四111（2）已知過(guò)交于A、B兩點(diǎn)，且兩點(diǎn)與左右頂點(diǎn)不重合，若AMBF邊形面積的最大值.1x2y212）6.【答案】（1）43【解析】abc1）本小題根據(jù)題意先求，，，再求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；F（2）本小題先設(shè)過(guò)的直線的方程，再根據(jù)題意表示出四邊形的面積，最后求最值即可.21）∵橢圓C上一點(diǎn)到左右兩個(gè)焦點(diǎn)PF1、F的距離之和是4，2∴2a4即a2，第21頁(yè)/共25頁(yè)c12ec1，∵，∴aa2b2c2，∴b23.又∵x2y2∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為1；43(x,y)B(x,y)，2（2）設(shè)點(diǎn)A、B