【關(guān)注公眾號：林樾數(shù)學】免費獲取更多初高中數(shù)學學習資料專題21反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)（3個知識點5種題型2種中考考法）【目錄】倍速學習四種方法【方法一】脈絡梳理法知識點1.反比例函數(shù)圖象的畫法（重點）知識點2.反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)（重點）知識點3.反比例函數(shù)表達式中比例系數(shù)k的幾何意義（難點）【方法二】實例探索法題型1.反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應用題型2.反比例函數(shù)與圖形面積問題題型3.利用反比例函數(shù)圖象的對稱性解題題型4.創(chuàng)新題題型5.反比例函數(shù)與幾何圖形的綜合【方法三】仿真實戰(zhàn)法考法1.反比例函數(shù)的比例系數(shù)k的幾何意義考法2.利用反比例函數(shù)的性質(zhì)比較函數(shù)值大小【方法四】成果評定法【學習目標】能畫出反比例函數(shù)的圖象，知道反比例函數(shù)的圖象是雙曲線。理解反比例函數(shù)的性質(zhì)，并能運用其性質(zhì)解決相關(guān)的問題。理解反比例函數(shù)中的比例系數(shù)k的幾何意義，并能運用其意義求與反比例函數(shù)圖象有關(guān)的圖形面積問題?！局R導圖】【倍速學習四種方法】【方法一】脈絡梳理法知識點1.反比例函數(shù)圖象的畫法（重點）（1）列表：自變量的取值應以0為中心，在0的兩側(cè)取三對（或三對以上）互為相反數(shù)的值，填寫值時，只需計算右側(cè)的函數(shù)值，相應左側(cè)的函數(shù)值是與之對應的相反數(shù)；（2）描點：描出一側(cè)的點后，另一側(cè)可根據(jù)中心對稱去描點；（3）連線：按照從左到右的順序連接各點并延伸，連線時要用平滑的曲線按照自變量從小到大的順序連接，切忌畫成折線.注意雙曲線的兩個分支是斷開的，延伸部分有逐漸靠近坐標軸的趨勢，但永遠不與坐標軸相交；（4）反比例函數(shù)圖象的分布是由的符號決定的：當時，兩支曲線分別位于第一、三象限內(nèi)，當時，兩支曲線分別位于第二、四象限內(nèi)．【例1】（2022春·全國·九年級專題練習）在同一平面直角坐標系中，畫出反比例函數(shù)與的圖象.知識點2.反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)（重點）1、反比例函數(shù)的圖象特征：反比例函數(shù)的圖象是雙曲線，它有兩個分支，這兩個分支分別位于第一、三象限或第二、四象限；反比例函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，永遠不會與軸、軸相交，只是無限靠近兩坐標軸.注意：（1）若點()在反比例函數(shù)的圖象上，則點()也在此圖象上，所以反比例函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱；（2）在反比例函數(shù)(為常數(shù)，)中，由于，所以兩個分支都無限接近但永遠不能達到軸和軸．2.反比例函數(shù)的性質(zhì)（1）如圖1，當時，雙曲線的兩個分支分別位于第一、三象限，在每個象限內(nèi)，值隨值的增大而減??；（2）如圖2，當時，雙曲線的兩個分支分別位于第二、四象限，在每個象限內(nèi)，值隨值的增大而增大；注意：（1）反比例函數(shù)的增減性不是連續(xù)的，它的增減性都是在各自的象限內(nèi)的增減情況，反比例函數(shù)的增減性都是由反比例系數(shù)的符號決定的；反過來，由雙曲線所在的位置和函數(shù)的增減性，也可以推斷出的符號.（2）反比例的圖像關(guān)于原點的對稱【例2】（2022秋?南華縣期末）反比例函數(shù)與一次函數(shù)y＝kx+1在同一坐標系的圖象可能是（）A． B． C． D．【變式】（2022秋?大渡口區(qū)校級期末）在同一坐標系中，函數(shù)和y＝kx﹣2的圖象大致是（）A． B． C． D．【例3】（2023?瑞安市開學）對于反比例函數(shù)，當﹣1＜y≤2，且y≠0時，自變量x的取值范圍是（）A．x≥1或x＜﹣2 B．x≥1或x≤﹣2 C．0＜x≤1或x＜﹣2 D．﹣2＜x＜0或x≥1【變式】（2023?西湖區(qū)校級開學）若點A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），都在反比例函數(shù)（k為常數(shù)，k＞0）的圖象上，其中y2＜0＜y1＜y3，則x1，x2，x3的大小關(guān)系是（）A．x1＜x2＜x3 B．x2＜x3＜x1 C．x1＜x3＜x2 D．x2＜x1＜x3知識點3.反比例函數(shù)表達式中比例系數(shù)k的幾何意義（難點）通過反比例函數(shù)上一點向一條坐標軸作垂線，這個點與垂足和原點所構(gòu)成的三角形面積為，與兩條坐標軸圍成矩形面積為，注意加絕對值時，有正負兩個答案．【例4】（2023?和平區(qū)校級三模）如圖，點A在雙曲線上，AB⊥x軸于B，且△AOB的面積S△AOB＝2，則k的值為（）A．2 B．4 C．﹣2 D．﹣4【變式】如圖，矩形ABCD的邊CD在x軸上，頂點A在雙曲線上，頂點B在雙曲線上，求矩形ABCD的面積．AABCDEOxy【方法二】實例探索法題型1.反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應用1．（2023?株洲）下列哪個點在反比例函數(shù)的圖象上？（）A．P1（1，﹣4） B．P2（4，﹣1） C．P3（2，4）D．2.（2023?西湖區(qū)校級開學）若點A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），都在反比例函數(shù)（k為常數(shù)，k＞0）的圖象上，其中y2＜0＜y1＜y3，則x1，x2，x3的大小關(guān)系是（）A．x1＜x2＜x3 B．x2＜x3＜x1 C．x1＜x3＜x2 D．x2＜x1＜x33.（2023春?東陽市期末）已知反比例函數(shù)的圖象的一支如圖所示，它經(jīng)過點（3，﹣2）．?（1）求此反比例函數(shù)的表達式，并補畫該函數(shù)圖象的另一支．（2）求當y≤4，且y≠0時自變量x的取值范圍．4.（1）平面直角坐標系中，點A在第二象限，且m為整數(shù)，求過點A的反比例函數(shù)解析式；（2）若反比例函數(shù)的圖像位于第二、四象限內(nèi)，正比例函數(shù)過一、三象限，求整數(shù)k的值．5.已知反比例函數(shù)，當自變量x的取值范圍為時，相應的函數(shù)取值范圍是，求這個反比例函數(shù)解析式．題型2.反比例函數(shù)與圖形面積問題6.（1）若P是反比例函數(shù)圖像上的一點，PQ⊥y軸，垂足為點Q，若，求k的值；（2）已知反比例函數(shù)的圖像上有一點A，過A點向軸，y軸分別做垂線，垂足分別為點，且四邊形的面積為15，求這個反比例函數(shù)解析式．7.（2022秋?朝陽期末）如圖，一次函數(shù)y＝k1x+b與反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象交于A（1，6），B（3，n）兩點．（1）求反比例函數(shù)的解析式和n的值；（2）根據(jù)圖象直接寫出不等式k1x+b的x的取值范圍；（3）求△AOB的面積．題型3.利用反比例函數(shù)圖象的對稱性解題8．（2023?福建）如圖，正方形四個頂點分別位于兩個反比例函數(shù)y＝和y＝的圖象的四個分支上，則實數(shù)n的值為（）A．﹣3 B．﹣ C． D．39．（2023?廣西）如圖，過的圖象上點A，分別作x軸，y軸的平行線交的圖象于B，D兩點，以AB，AD為鄰邊的矩形ABCD被坐標軸分割成四個小矩形，面積分別記為S1，S2，S3，S4，若，則k的值為（）A．4 B．3 C．2 D．110．（2023·廣東廣州·廣州大學附屬中學?？级＃┮阎?1)化簡A；(2)從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求A的值．條件①：若點是反比例函數(shù)圖象上的點；條件②：若a是方程的一個根．11．（2022秋·九年級單元測試）點A是反比例函數(shù)的圖像上一點，直線軸，交反比例函數(shù)（）的圖像于點B，直線軸，交于點C，直線軸，交于點D．(1)若點A（1，1），分別求線段AB和CD的長度；(2)對于任意的點A（a，b），試探究線段AB和CD的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．12．（2022·江蘇常州·?？级＃┤鐖D，直線與雙曲線相交于、B兩點．(1)求m及k的值；(2)不解關(guān)于x、y的方程組直接寫出點B的坐標；(3)直接寫出的取值范圍．13．（2023·全國·九年級專題練習）函數(shù)的圖象可以由函數(shù)的圖象左右平移得到．(1)將函數(shù)的圖象向右平移4個單位得到函數(shù)的圖象，則____；(2)下列關(guān)于函數(shù)的性質(zhì)：①圖象關(guān)于點對稱；②隨的增大而減?。虎蹐D象關(guān)于直線對稱；④的取值范圍為．其中說法正確的是________（填寫序號）；(3)根據(jù)（1）中的值，寫出不等式的解集：_________．題型4.創(chuàng)新題14．（2022秋·安徽滁州·九年級統(tǒng)考期中）如圖，已知，，，…，…是軸上的點，且，分別過點，，，…，，…作軸的垂線交反比例函數(shù)的圖象于點，，，…，，過點作于點，過點作于點，…，記的面積為，的面積為，的面積為．則．15．（2021秋·河北石家莊·九年級校考期中）如圖是8個臺階的示意圖，每個臺階的高和寬分別是2和3，每個臺階凸出的角的頂點記作（m為的整數(shù)）．函數(shù)（）的圖象為曲線L．（1）若L過點，則；（2）若曲線L使得這些點分布在它的兩側(cè)，每側(cè)各4個點，則k的整數(shù)值有個．16．（2022秋·全國·九年級期末）如圖，已知反比例函數(shù)的圖象上有一組點，，……，，它們的橫坐標依次增加，且點橫坐標為．“①，②，③……”分別表示如圖所示的三角形的面積，記，，……，則．題型5.反比例函數(shù)與幾何圖形的綜合17.過原點作直線交雙曲線于點A、C，過A、C兩點分別作兩坐標軸的平行線，圍成矩形ABCD，如圖所示．已知矩形ABCD的面積等于8，求雙曲線的解析式；若已知矩形ABCD的周長為8，能否由此確定雙曲線的解析式?如果能，請予求出；如果不能，說明理由．yyABCDOx18.正方形OAPB、ADFE的頂點A、D、B在坐標軸上，點E在AP上，點P、F在函數(shù)的圖像上，已知正方形OAPB的面積是16．求k的值和直線OP的函數(shù)解析式；求正方形ADEF的邊長．yyABPFOxED19.如圖，已知正方形OABC的面積是9，點O為坐原點，A在x軸上，C在y軸上，B在函數(shù)的圖像上，點P（m，n）在的圖像上異于B的任意一點，過點P分別作x軸，y軸的垂線，垂足分別是E、F．設矩形OEPF和正方形OABC不重合部分的面積是S．求點B的坐標；當時，求點P的坐標；寫出S關(guān)于m的函數(shù)解析式．AABCPEFyOx【方法三】仿真實戰(zhàn)法考法1.反比例函數(shù)的比例系數(shù)k的幾何意義1．（2023?福建）如圖，正方形四個頂點分別位于兩個反比例函數(shù)y＝和y＝的圖象的四個分支上，則實數(shù)n的值為（）A．﹣3 B．﹣ C． D．32．（2023?湘西州）如圖，點A在函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上，點B在函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上，且AB∥x軸，BC⊥x軸于點C，則四邊形ABCO的面積為（）A．1 B．2 C．3 D．4考法2.利用反比例函數(shù)的性質(zhì)比較函數(shù)值大小3．（2023?鎮(zhèn)江）點A（2，y1）、B（3，y2）在反比例函數(shù)y＝的圖象上，則y1y2（用“＜”、“＞”或“＝”填空）．4．（2022?廣東）點（1，y1），（2，y2），（3，y3），（4，y4）在反比例函數(shù)y＝圖象上，則y1，y2，y3，y4中最小的是（）A．y1 B．y2 C．y3 D．y45．（2021?廣安）若點A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3）都在反比例函數(shù)y＝（k＜0）的圖象上，則y1，y2，y3的大小關(guān)系是（）A．y3＜y1＜y2 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y2＜y3 D．y3＜y2＜y1【方法四】成果評定法一、單選題1．（2021秋·福建寧德·九年級?？茧A段練習）下列函數(shù)圖像分布在第一、三象限的是（

）A． B． C． D．2．（2023·江蘇泰州·?？既＃┤鐖D，已知矩形的對角線中點E與點都在反比例函數(shù)的圖象上，則的值為（

）

A． B． C． D．3．（2022·福建福州·校考模擬預測）如圖，在的圖象上有兩點、，過這兩點分別向軸引垂線，交軸于、兩點，連結(jié)、，記、的面積，，則與的大小關(guān)系是（

）

A． B． C． D．不確定4．（2022秋·廣西賀州·九年級校考期末）如圖，，是反比例函數(shù)圖象上的兩個點，分別過，作軸、軸的垂線，構(gòu)成圖中的三個相鄰且不重疊的小矩形，，，已知，則的值是（

）

A．4 B．6 C．8 D．105．（2022秋·福建廈門·九年級?？计谥校┤鐖D，過雙曲線上任意一點分別作軸，軸的垂線，，交軸、軸于點、，所得矩形的面積為8，則的值是（

）

A．4 B． C．8 D．6．（2021秋·河北石家莊·九年級校聯(lián)考期中）關(guān)于反比例函數(shù)，下列說法不正確的是（

）A．函數(shù)圖像分別位于第一、三象限 B．函數(shù)圖像經(jīng)過點C．函數(shù)圖像過，則 D．函數(shù)圖像關(guān)于原點成中心對稱7．（2023秋·江蘇南京·九年級南京市伯樂中學?？奸_學考試）已知點，在反比例函數(shù)的圖象上，且，則下列結(jié)論一定正確的是（）A． B． C． D．8．（2022秋·河北邯鄲·九年級?？计谥校c，，都在反比例函數(shù)的圖象上，則（

）A． B． C． D．9．（2023春·湖北武漢·九年級?？茧A段練習）如圖，直線與反比例函數(shù)的圖象相交于A、B兩點，過A、B兩點分別作y軸的垂線，垂足分別為點C、D，連接，則四邊形的面積為（）A．4 B．8 C．12 D．2410．（2023·江蘇宿遷·統(tǒng)考三模）如圖，是的中線，，若點A在反比例函數(shù)圖像上，點E在圖像上，則的值是（

）

A．1 B．3 C． D．2二、填空題11．（2022秋·湖南永州·九年級?？计谥校┤鐖D，M為反比例函數(shù)的圖象上的一點，軸，垂足為A，的面積為3，則k的值為．12．（2023春·安徽合肥·九年級?？奸_學考試）如圖，點A，B是雙曲線上的點，分別經(jīng)過A，B兩點向軸，軸作垂線段，若，則．

13．（2022秋·黑龍江大慶·九年級校考期中）若點在雙曲線上，則的大小關(guān)系是．14．（2023·安徽滁州·?？级＃┤鐖D，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過對角線的交點，已知點A，，在坐標軸上，，的面積為16，則．

15．（2023秋·重慶沙坪壩·九年級重慶南開中學?？奸_學考試）如圖，在平面直角坐標系中，點、為反比例函數(shù)上兩點，且點橫坐標為點橫坐標的兩倍，分別過點作軸平行線，過點作軸平行線，兩直線交于點，若，則．

16．（2023秋·福建泉州·九年級?？紝ｎ}練習）如圖，已知直線交軸于點，分別與函數(shù)和的圖象相交于點，，過點作軸交函數(shù)的圖象于點，過點作軸交函數(shù)的圖象于點，連接，，若，，則．

17．（2022秋·貴州銅仁·九年級統(tǒng)考期中）如圖，點在x軸上，且，分別過點作y軸的平行線與反比例函數(shù)（x＞0）的圖象分別交于點，分別過點作x軸的平行線，分別于y軸交于點，連接，那么圖中從左到右第2022個陰影部分的面積為．18．（2023·浙江·九年級專題練習）如圖，點A，B，C在函數(shù)（常數(shù)，）圖象上的位置如圖所示，分別過點A，C作x軸與y軸的垂線，過點B作y軸與的垂線．若，圖中所構(gòu)成的陰影部分面積為2，則矩形的面積為．三、解答題19．（2023秋·陜西榆林·九年級?？计谀┮阎幢壤瘮?shù)，當為何值時：(1)函數(shù)的圖象在第二、四象限？(2)在每個象限內(nèi)，隨的增大而減小？20．（2023·全國·九年級專題練習）已知函數(shù)．(1)若點是函數(shù)圖像上一點，則點關(guān)于原點的對稱點是否在該函數(shù)圖像上？請說明理由．(2)設、是該函數(shù)圖像上任意兩點，且，求證：．21．（2023·河南省直轄縣級單位·統(tǒng)考二模）如圖，點A在反比例函數(shù)的圖像上，過點A作軸于點B，的面積為4．

(1)求k的值；(2)請用無刻度的直尺和圓規(guī)作出的平分線；（要求：不寫作法，保留作圖痕跡，使用鉛筆作圖）(3)設（2）中的角平分線與軸相交于點，延長到，使，連接并延長交軸于點．求證：．22．（2023·湖南郴州·統(tǒng)考二模）若一個函數(shù)當自變量在不同范圍內(nèi)取值時，函數(shù)表達式不同，我們稱這樣的函數(shù)為分段函數(shù)．下面我們參照學習函數(shù)的過程與方法，探究分段函數(shù)的圖象與性質(zhì)．列表：x…0123…y…121012…描點：