專題06圓中的最值模型之阿氏圓模型最值問題在中考數(shù)學(xué)常以壓軸題的形式考查，“阿氏圓”又稱“阿波羅尼斯圓”，主要考查轉(zhuǎn)化與化歸等的數(shù)學(xué)思想。在各類考試中都以高檔題為主，中考說明中曾多處涉及。本專題就最值模型中的阿氏圓問題進行梳理及對應(yīng)試題分析，方便掌握?！灸Ｐ捅尘啊恳阎矫嫔蟽牲cA、B，則所有滿足PA=k·PB（k≠1）的點P的軌跡是一個圓，這個軌跡最早由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故稱“阿氏圓”。【模型解讀】如圖1所示，⊙O的半徑為r，點A、B都在⊙O外，P為⊙O上一動點，已知r=k·OB，連接PA、PB，則當“PA+k·PB”的值最小時，P點的位置如何確定？如圖2，在線段OB上截取OC使OC=k·r，則可說明△BPO與△PCO相似，即k·PB=PC。故本題求“PA+k·PB”的最小值可以轉(zhuǎn)化為“PA+PC”的最小值，其中與A與C為定點，P為動點，故當A、P、C三點共線時，“PA+PC”值最小。如圖3所示：注意區(qū)分胡不歸模型和阿氏圓模型：在前面的“胡不歸”問題中，我們見識了“k·PA+PB”最值問題，其中P點軌跡是直線，而當P點軌跡變?yōu)閳A時，即通常我們所說的“阿氏圓”問題．【最值原理】兩點之間線段最短及垂線段最短解題。例1．（2023·山東·九年級專題練習(xí)）如圖，在中，，，，圓C半徑為2，P為圓上一動點，連接最小值__________．最小值__________．例2．（2022·四川成都·模擬預(yù)測）如圖，已知正方ABCD的邊長為6，圓B的半徑為3，點P是圓B上的一個動點，則的最大值為_______．例3．（2022·浙江·舟山九年級期末）如圖，矩形中，，以B為圓心，以為半徑畫圓交邊于點E，點P是弧上的一個動點，連結(jié)，則的最小值為（

）A． B． C． D．例4．（2023·江蘇泰州·模擬預(yù)測）如圖，⊙O與y軸、x軸的正半軸分別相交于點M、點N，⊙O半徑為6，點A（0，3），點B（5，0），點C（0，12），將線段OC繞點O順時針旋轉(zhuǎn)α（0°≤α≤90°），得線段OC’，OC’與弧MN交于點P，連PA，PB．則2PA+PB的最小值為____．例5．（2023·浙江·一模）問題提出：如圖1，在等邊△ABC中，AB＝9，⊙C半徑為3，P為圓上一動點，連結(jié)AP，BP，求AP+BP的最小值(1)嘗試解決：為了解決這個問題，下面給出一種解題思路，通過構(gòu)造一對相似三角形，將BP轉(zhuǎn)化為某一條線段長，具體方法如下：(請把下面的過程填寫完整)如圖2，連結(jié)CP，在CB上取點D，使CD＝1，則有又∵∠PCD＝∠△∽△∴∴PD＝BP∴AP+BP＝AP+PD∴當A，P，D三點共線時，AP+PD取到最小值請你完成余下的思考，并直接寫出答案：AP+BP的最小值為．(2)自主探索：如圖3，矩形ABCD中，BC＝6，AB＝8，P為矩形內(nèi)部一點，且PB＝4，則AP+PC的最小值為．(請在圖3中添加相應(yīng)的輔助線)(3)拓展延伸：如圖4，在扇形COD中，O為圓心，∠COD＝120°，OC＝4．OA＝2，OB＝3，點P是上一點，求2PA+PB的最小值，畫出示意圖并寫出求解過程．例6．（2022·廣東·二模）（1）初步研究：如圖1，在△PAB中，已知PA=2，AB=4，Q為AB上一點且AQ=1，證明：PB=2PQ；（2）結(jié)論運用：如圖2，已知正方形ABCD的邊長為4，⊙A的半徑為2，點P是⊙A上的一個動點，求2PC+PB的最小值；（3）拓展推廣：如圖3，已知菱形ABCD的邊長為4，∠A=60°，⊙A的半徑為2，點P是⊙A上的一個動點，求2PC?PB的最大值．例7．（2022·湖北武漢·模擬預(yù)測）【新知探究】新定義：平面內(nèi)兩定點A,B，所有滿足k(k為定值)的P點形成的圖形是圓，我們把這種圓稱之為“阿氏圓”，【問題解決】如圖，在△ABC中，CB4，AB2AC，則△ABC面積的最大值為_____．例7．（2022·浙江·九年級期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，D、E分別是邊BC、AC上的兩個動點，且DE＝4，P是DE的中點，連接PA，PB，則PA+PB的最小值為．課后專項訓(xùn)練1．（2022·江蘇無錫·模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標系中，點，點，點，以點A為圓心，4個單位長度為半徑作圓，點C是⊙上的一個動點，則的最小值為（

）A． B． C． D．2．（2022秋·江蘇宿遷·九年級校聯(lián)考期末）如圖，在中，，，，以為圓心，4為半徑作圓，交兩邊于點C，D，P為劣弧CD上一動點，則最小值為（

）．A．13 B． C． D．3．（2022·四川成都·模擬預(yù)測）如圖，已知正方ABCD的邊長為6，圓B的半徑為3，點P是圓B上的一個動點，則的最大值為．4．（2023春·江蘇徐州·九年級校考階段練習(xí)）在中，，，，以點為圓心，2為半徑作圓，分別交，于、兩點，點是圓上一個動點，則的最小值是．5．（2023春·浙江金華·九年級校聯(lián)考期中）在平面直角坐標系中，直線交x軸于點A，交y軸于點B，直線交x軸于點C，交y軸于點D，點P是外部的第一象限內(nèi)一動點，且，點Q是直線上的一個動點，則的最小值為．

6．（2023·江蘇宿遷·統(tǒng)考三模）如圖，在平面直角坐標系中，、、、，點P在第一象限，且，則的最小值為．

7.（2022春·廣東廣州·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標系中，A(2，0)，B(0，2)，C(4，0)，D(5，3)，點P是第一象限內(nèi)一動點，且，則4PD+2PC的最小值為．8．（2022春·福建泉州·九年級校考階段練習(xí)）如圖，在中，，，，半徑為2，P為圓上一動點，則的最小值＝．9．（2022·貴州遵義·統(tǒng)考三模）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以BC邊的中點O為圓心，BC為半徑作圓，點D是⊙O上一動點，點E是弦CD的中點，連接AE，若BC=4，AB=3，則AE+BE的最小值是．10．（2022秋·江蘇·九年級?？紝ｎ}練習(xí)）在中，∠AOB＝90°，OA＝8，OB＝10，以O(shè)為圓心，4為半徑作圓O，交兩邊于點C，D，P為劣弧CD上一動點，則最小值為．11．（2023·浙江寧波·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝12，AC＝9，以C為圓心，6為半徑的圓上有一動點D，連接AD、BD、CD，則AD+BD的最小值為．12．（2023·江蘇·九年級專題練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，以點C為圓心，2為半徑作圓C，分別交AC、BC于D、E兩點，點P是圓C上一個動點，則的最小值為．13．（2023·山東·九年級專題練習(xí)）（1）如圖1，已知正方形ABCD的邊長為9，圓B的半徑為6，點P是圓B上的一個動點，那么PD＋的最小值為，PD﹣的最大值為．（2）如圖2，已知菱形ABCD的邊長為4，∠B＝60°，圓B的半徑為2，點P是圓B上的一個動點，那么PD＋的最小值為，PD﹣的最大值為．14．（2023·湖北·九年級專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標系中，以點為圓心，為半徑的圓與兩坐標軸分別交于A，B兩點，D是弧上一動點，則的最小值．15．（2023·廣東·九年級專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標系中，點A（4，0），B（4，4），點P在半徑為2的圓O上運動，則的最小值為．

16.（2022春·江蘇·九年級專題練習(xí)）【新知探究】新定義：平面內(nèi)兩定點A,B，所有滿足k(k為定值)的P點形成的圖形是圓，我們把這種圓稱之為“阿氏圓”，【問題解決】如圖，在△ABC中，CB4，AB2AC，則△ABC面積的最大值為．

17．（2023·浙江·九年級專題練習(xí)）如圖，在RT△ABC中，∠B＝90°，AB＝CB＝2，以點B為圓心作圓與AC相切，圓C的半徑為，點P為圓B上的一動點，求的最小值．18．（2023·山東濟寧·校考三模）已知：拋物線經(jīng)過，，．(1)求拋物線解析式．(2)在線段下方拋物線上一點，連接、，當面積最大時，求：點坐標及面積最大值．(3)如圖2，直線交軸于點，取點，取線段的中點，以原點為圓心，長為半徑做，點是上的動點，連接、．求：的最小值．

19.（2022春·浙江·九年級期末）問題提出：如圖1，在等邊△ABC中，AB＝9，⊙C半徑為3，P為圓上一動點，連接AP，BP，求AP+BP的最小值(1)嘗試解決：為了解決這個問題，下面給出一種解題思路，通過構(gòu)造一對相似三角形，將BP轉(zhuǎn)化為某一條線段長，具體方法如下：(請把下面的過程填寫完整)如圖2，連接CP，在CB上取點D，使CD＝1，則有又∵∠PCD＝∠△∽△∴∴PD＝BP∴AP+BP＝AP+PD∴當A，P，D三點共線時，AP+PD取到最小值請你完成余下的思考，并直接寫出答案：AP+BP的最小值為．(2)自主探索：如圖3，矩形ABCD中，BC＝6，AB＝8，P為矩形內(nèi)部一點，且PB＝4，則AP+PC的最小值為．(請在圖3中添加相應(yīng)的輔助線)(3)拓展延伸：如圖4，在扇形COD中，O為圓心，∠COD＝120°，OC＝4．OA