第04講勾股定理1．勾股定理勾股定理：直角三角形的兩條直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方，即：．【注意】（1）應用勾股定理時，要分清直角邊和斜邊，尤其在記憶a2+b2=c2時，斜邊只能是c．若b為斜邊，則關系式是a2+c2=b2；若a為斜邊，則關系式是b2+c2=a2．（2）如果已知的兩邊沒有明確邊的類型，那么它們可能都是直角邊，也可能是一條直角邊、一條斜邊，求解時必須進行分類討論，以免漏解．公式變形，，，，，.2．勾股定理的證明在西方，勾股定理被稱為畢達哥拉斯定理．對于勾股定理的證明，現(xiàn)在世界上已找出很多種運用圖形的割、移、補、拼構造特殊圖形，并根據(jù)面積之間的關系進行推導的方法，著名的證法有趙爽“勾股圓方圖”（“趙爽弦圖”）、劉徽（“青朱出入圖”）、加菲爾德總統(tǒng)拼圖、畢達哥拉斯拼圖等．1.已知直角三角形的兩邊長，求第三邊長，關鍵是先明確所求邊是斜邊還是直角邊，再決定用勾股定理的原式還是變式．2.勾股定理的證明是通過拼圖法或割補法完成的，探索時利用面積關系，將“形”的問題轉化為“數(shù)”的問題．下面是勾股定理的幾種常用證明方法：方法1等面積法：將四個全等的直角三角形拼成如圖（1）所示的正方形．圖（1）中，所以.方法2趙爽弦圖法：將四個全等的直角三角形拼成如圖（2）所示的正方形．圖（2）中，所以.方法3總統(tǒng)證明法：如圖（3）所示，將兩個直角三角形拼成直角梯形．，所以.3.利用勾股定理解應用題的關鍵是尋找直角三角形，若不存在直角三角形，可通過添加輔助線構造出直角三角形．經(jīng)常用到的數(shù)學思想是分類討論思想和方程思想.考點剖析【考點1】利用勾股定理求邊長【例1】如圖，在中，，，點在邊上，，，垂足為，與交于點，(1)求的長；(2)求的長．【解析】（1）在中，，，，，；（2）如圖，連接，，，，平分，，在和中，，，，．設，則，由勾股定理可得：，，解得，．【變式1】在中，，，，，為垂足．求的長．【解析】在中，，，，∴由勾股定理得，∵，∴，∴．【考點2】以直角三角形的三邊長為邊長的圖形面積【例2】如圖，在四邊形中，，分別以四邊形的四條邊為邊長，向外作四個正方形，面積分別為，，，．若，，，則的值為．【答案】16【解析】如圖，連接，在中，，．在中，，，解得．故答案為：16．【變式2】如圖，由兩個直角三角形和三個正方形組成的圖形，其中陰影部分的面積是．【答案】25【解析】如圖，在中，，，則，∵四邊形為正方形，∴，在中，，∴陰影部分的面積是25，故答案為：25．【考點3】勾股定理與網(wǎng)格問題【例3】如圖，由六個邊長為1的小正方形構成一個大長方形，連接小正方形的三個頂點，可得到，則中邊上的高是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設中邊上的高為h，由勾股定理，得，∵，，∴，解得，∴中邊上的高是．故選A．【變式3】如圖，在網(wǎng)格圖中，小正方形的邊長均為1，點A，B，C均在小正方形的頂點上，則點C到的距離為．【答案】【解析】由勾股定理得，．設點C到的距離為d，則有，解得，所以點C到的距離為．答案為：．【考點4】利用勾股定理解翻折問題【例4】如圖所示，有一個直角三角形紙片，兩直角邊，，現(xiàn)將直角邊沿直線折疊，使它落在斜邊上且與重合，求的長.【解析】在直角三角形中，，，由勾股定理可知：，由折疊的性質可知：，，∴，，設，則，在中，由勾股定理得：，即，解得，∴．【變式4】如圖，將邊長為的正方形紙片折疊，使點D落在邊的中點E處，折痕為，則線段的長是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意得，，∵點E是的中點，∴，由折疊的性質可得，設，則，在中，由勾股定理得，∴，解得，∴，∴，故選A．【考點5】勾股定理與弦圖問題【例5】清代數(shù)學家梅文鼎在《勾股舉隅》一書中，用四個全等的直角三角形拼出正方形的方法證明了勾股定理（如圖），連接，若，，則正方形的面積為．【答案】【解析】如圖所示，由四個全等的直角三角形可得，，由勾股定理得，，∴，∴，由勾股定理得，，即正方形的面積為．故答案為：．【變式5】如圖，“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形與中間的一個小正方形拼成的大正方形，若圖中的直角三角形的一條直角邊長為5，大正方形的邊長為13，則中間小正方形的面積是．【答案】49【解析】由題意可得：小正方形的邊長，小正方形的面積為，故答案為：49．【考點6】利用勾股定理求兩坐標間的距離【例6】在平面直角坐標系中，O為坐標原點，點A的坐標為，P為x軸上的一點，當為直角三角形時點P的坐標為．【答案】或【解析】設點P的坐標為，∵，∴，，，當時，則，∴，解得，此時點P的坐標為；當時，則軸，此時點P的坐標為．綜上所述，點P的坐標為或，故答案為：或．【變式6】點到x軸的距離為，到y(tǒng)軸的距離為，到原點的距離為．【答案】84【解析】點到x軸的距離為8，到y(tǒng)軸的距離為4，到原點的距離為；故答案為：．【考點7】利用勾股定理求最值問題【例7】如圖，在中，，，，是邊上一動點，連接，以為直角邊在左側作等腰直角，且，連接，則的最小值為．【答案】18【解析】作于點，，，，，，，是等腰直角三角形，且，，，，，的最小值為3，當時，，的最小值為18．故答案為：18．【變式7】如圖，在中，，，點D為上一點且，點F和點E分別是線段和上一動點，連接，，，則三角形周長的最小值為．【答案】【解析】如圖，作D關于的對稱點G，作D關于的對稱點H，連接交于F、交于E，則此時的周長最小，且周長的最小值為的長度，∵垂直平分，∴，，∴．∵，∴，∴，即三角形周長的最小值為，故答案為：．【考點8】利用勾股定理證線段之間的平方關系【例8】如圖，在中，已知，是斜邊的中點，交于點，連接．(1)求證：；(2)若，，求的周長及的長．【解析】（1）∵是斜邊的中點，，∴是線段的垂直平分線，∴.在中，由勾股定理得，∴，即.（2）∵是斜邊的中點，，∴.在中，由勾股定理得，∴.又∵，∴，∴的周長為.∵，∴，即，解得．【變式8】如圖，在等腰直角中，，點D是上一點，作等腰直角，且，連接(1)求證：；(2)請你判斷線段之間的數(shù)量關系？并說明理由．【解析】（1）∵和都是等腰直角三角形，∴，∴，∴．在與中，，∴；（2），理由如下：∵是等腰直角三角形，∴，由（1）得，∴，，，∵，．【考點9】勾股定理的證明問題【例9】如圖，四邊形中，，，A是邊DE上一點，過點C作交的延長線于點B．(1)求證：；(2)設的三邊分別為a、b、c，利用此圖證明勾股定理．【解析】（1）如圖所示：，，，，，，，在和中，，，，又，．（2）由（1）可知：，，，四邊形的面積正方形的面積，，即，，，，即，整理得．【變式9】如圖，已知點C，B，D在同一條直線上，且，．(1)求證：；(2)若設，，，試利用這個圖形驗證勾股定理．【解析】（1），，，又，；（2），，，，梯形的面積，①梯形的面積，②由①，②可得，即．【考點10】構造直角三角形解三角形【例10】如圖，在中，，，，求的面積．某學習小組經(jīng)過合作交流，給出了下面的解題思路，請你按照他們的解題思路，完成解答過程．(1)作于D，設，用含x的代數(shù)式表示，則___________；(2)請根據(jù)勾股定理，利用作為“橋梁”建立方程，并求出x的值；(3)利用勾股定理求出的長，再計算三角形的面積．【解析】（1）設，∵，∴；（2）∵是邊上的高，∴和都是直角三角形．在中，根據(jù)勾股定理，得；在中，根據(jù)勾股定理，得；∴，解得，即．（3），得，則．【變式10】已知，如圖，有一塊直角的綠地，量得兩直角邊m，，現(xiàn)要將這塊綠地擴充成等腰，且擴充部分（）是以8m為直角邊長的直角三角形，(1)在圖1中，當m時，的周長為______；(2)在圖2中，當m時，的周長為_______；(3)在圖3中，當時，求的周長．【解析】（1）如圖1，∵m，m，∴（m），則的周長為：（m）．故答案為：32m；（2）如圖2，當m時，則（m），故，則的周長為；故答案為：m；（3）如圖3，，∴設m，則m，∴，即，解得，∵m，m，∴m，故的周長為：(m)．過關檢測一、單選題1．在中，斜邊，則的值為（

）A．15 B．25 C．50 D．無法計算【答案】C【解析】∵在中，斜邊，∴，∴，故選C．2．若一直角三角形兩直角邊長分別為5和12，則斜邊長為（

）A．13 B． C．13或15 D．15【答案】A【解析】∵一直角三角形兩直角邊長分別為5和12，∴由勾股定理得，斜邊長，故選A．3．如圖，根據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡判斷數(shù)軸上點C所表示的數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】點表示的數(shù)為，點到原點的距離為，由圖可得，點到原點的距離為，點到原點的距離和點到原點的距離相等，點到原點的距離為，即點所表示的數(shù)是，故選C．4．如圖長方形中，，將此長方形折疊，使點B與點D重合，折痕為，則△的面積為（

）A．6 B． C． D．12【答案】B【解析】由折疊的性質可得，，∴，∴，∴，設，，在中，由勾股定理得，∴，解得，∴，∴，故選B．5．勾股定理是人類最偉大的科學發(fā)現(xiàn)之一，在我國古算書周髀算經(jīng)中早有記載．如圖，以直角三角形的各邊為邊分別向外作等邊三角形，再把較小的兩張等邊三角形紙片按圖的方式放置在最大等邊三角形內．若知道圖中陰影部分的面積，則一定能求出（）圖1圖2A．直角三角形的面積 B．較小兩個等邊三角形重疊部分的面積C．最大等邊三角形的面積 D．最大等邊三角形與直角三角形的面積和【答案】B【解析】設三個正三角形面積分別為，，，，兩個小正三角形的重疊部分的面積為，，，故答案為：B．二、填空題6．在如圖的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1，三個正方形A，B，C的面積分別用，，表示，則圖中，，，.請寫出、、之間的關系式:．【答案】16；9；25；【解析】依題意，16，，∵在如圖的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1，∴根據(jù)勾股定理，得正方形C的邊長為，∴，∵16，，，∴．故答案為：16；9；25；．7．已知一個三角形的三個內角之比為，它的面積是18，則它的周長是．【答案】【解析】∵三角形三個內角的比是，三個內角分別是：，∴這個三角形是等腰直角三角形，設腰為a，則，或（舍），斜邊的長，這個三角形的周長．故答案為：．8．已知平面直角坐標系中，點到坐標原點的距離為10，則m的值為．【答案】或【解析】由勾股定理可得：，兩邊平方得：，移項：，解得：或，故答案為或．9．如圖，在中，，的垂直平分線交于點D，連接，則的長為．【答案】【解析】∵是的垂直平分線，∴，設，∵，∴，∵，∴，∴，解得：，∴，故答案為：．10．如圖，直線與坐標軸交于A，兩點，在軸上有一點，當是以為腰的等腰三角形時，點的坐標是．【答案】或【解析】當時，，∴點A的坐標為，，當時，，解得：，∴點B的坐標為，，是以為腰的等腰三角形，當時，，，∴點P的坐標為，當時，在中，，即，解得：，∴點P的坐標為，綜上所述，點P的坐標是或．故答案為：或．三、解答題11．在中，，求：

(1)邊上的中線的長；(2)的面積．【解析】（1）解：∵在中，，是的中線，∴是的高線，∵，∴．（2）由面積計算公式得，∴．12．如圖，把長方形紙片沿折疊后，使得點D與點B重合，點C落在點的位置上．(1)若，求，的度數(shù)；(2)若，求．【解析】（1）∵，∴，∵把長方形紙片沿折疊，∴，∴；（2）∵把長方形紙片沿折疊，∴，∵，∴，∴．13．勾股定理神秘而美妙，它的證法多樣，其巧妙各有不同，其中的“面積法”給了小聰以靈感，他驚喜的發(fā)現(xiàn)，當兩個全等的直角三角形如圖1或圖2擺放時，都可以用“面積法”來證明，請你利用圖1或圖2證明勾股定理（其中），求證：．【解析】利用圖1進行證明：證明：依題意，∵，且，點C，A，E在一條直線上，∴，則，∵，又∵，∴，∴；利用圖2進行證明：證明：如圖，連接，過點D作邊上的高，則，∵，又∵，∴，∴．14．如圖，在△中，，，．若點P從點A出發(fā)，以每秒的速度沿邊運動，設運動時間為．當時，求t的值．【解析】連接，如圖，為直角三角形，，由勾股定理可得：，即，點從點出發(fā)，以每秒的速度向點運動，運動時間為秒，又∵，∴，則，∵在中，，由勾股定理可得：，即，解得