2024/9/154.1

數(shù)列的遞推公式第四章

數(shù)列著色三角形個數(shù)13927探究新知問題1：圖中的一系列三角形圖案稱為謝爾賓斯基三角形.在圖中4各大三角形中，著色的三角形的個數(shù)依次構(gòu)成一個數(shù)列的前4項，寫出這個數(shù)列的通項公式.×3×3×3問題2：項與項之間有什么關(guān)系？從第二項起，后一項是前一項的三倍(n≥2)（數(shù)列的遞推公式）定義：如果一個數(shù)列的相鄰兩項或多項之間的關(guān)系可以用一個式子來表示，那么這個式子叫做這個數(shù)列的遞推公式.遞推公式通項公式項與序號之間的關(guān)系相鄰兩項(或多項）之間的關(guān)系（n≥2）知道了首項和遞推公式，就能求出數(shù)列的每一項了.：1，3，9，27，….n＝1，，，n≥2.一.數(shù)列的遞推公式區(qū)別兩者都能確定一個數(shù)列聯(lián)系探究新知問3：數(shù)列的遞推公式與數(shù)列的通項公式有什么區(qū)別與聯(lián)系？例題1：根據(jù)下列條件,寫出數(shù)列{an}的前5項，并猜想它的通項公式例題講解二、由數(shù)列的遞推公式，寫出前幾項

例題講解三、由數(shù)列的遞推公式，求數(shù)列的項例題3：已知數(shù)列{an}滿足

a1=1，an=an－1＋1(n≥2)，

寫出這個數(shù)列的通項公式.解：由遞推式可得，a2－a1=1，a3－a2=1，…an－an－1=1把以上n-1

個式子相加,得an

－a1=n

－1

∴數(shù)列的通項為an=n.

總結(jié)：一般遞推關(guān)系為an+1=f(n)+an，即an+1-an=f(n)時，可用累加法求通項公式.又a1=1例題講解例題4：已知數(shù)列{an}滿足

寫出這個數(shù)列的通項公式.解：由遞推式可得∴數(shù)列的通項為.

把以上n-1個式子相乘得又a1=1總結(jié)：一般遞推關(guān)系為an+1=f(n)·an,即時，可用累乘法求通項公式.例題講解斐波那契在《算盤書》中的兔子繁殖問題(兔子數(shù)單位：對)如果1對兔子每月能生1對小兔子(一雄一雌)，而每1對小兔子在它出生后的第3個月里，又能生1對小兔子，假定在不發(fā)生死亡的情況下，由1對初生的小兔子開始，50個月后會有多少對兔子?探究新知[拓展]斐波那契數(shù)列已知數(shù)列{an}滿足a1=1，a2=2，以后各項由an=an－1

+an－2(n≥3)給出，則數(shù)列的前9項分別是________________________________.

1,2,3,5,8,13,21,34,55斐波那契數(shù)列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987，1597，2584，4181，6765，……①an=an－1

+an－2(n≥3)：從第3項開始，每一項都等于前兩項之和；探究新知斐波那契數(shù)列(又稱黃金分割數(shù)列)：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987，1597，2584，4181，6765，……[拓展]斐波那契數(shù)列的性質(zhì)探究新知斐波那契數(shù)列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，……問題1：

這些式子的和可以用

斐波那契數(shù)表示嗎？歸納得：問題3：可以用圖形表示這個等式嗎？[拓展]斐波那契數(shù)列的性質(zhì)探究新知斐波那契數(shù)列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，……

(n≥2)問題2：你可以歸納出一般情況嗎？

問題1：

這些式子的和可以用

斐波那契數(shù)表示嗎？[拓展]斐波那契數(shù)列探究新知用圖形表示式子：[拓展]斐波那契數(shù)列探究新知如圖，在每個正方形內(nèi)做四分之一的圓弧，你能在原圖形的基礎(chǔ)上，使得這些弧線連接成一條連續(xù)的螺旋線嗎？探究新知斐波那契螺旋線112358138585323123455895513813212134斐波那契螺旋線{an}:1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,…

隨著邊長的增加，螺旋線的形狀越來越接近“黃金比例螺旋”.前n個小正方形的面積和為相鄰兩個斐波那契數(shù)an與an+1之積(n≥2)112358