常用的巧算和速算方法【順逆相加】用“順逆相加”算式可求出若干個(gè)連續(xù)數(shù)的和。例如著名的大數(shù)學(xué)家高斯（德國(guó)）小時(shí)候就做過的“百數(shù)求和”題，可以計(jì)算為1 + 2 + …… + 99 + 100所以，1＋2＋3＋4＋……＋99＋100=101×100÷2=5050?！?+5+7+………＋97+99=？3+5＋7＋……＋97+99=（99＋3）×49÷2=2499。這種算法的思路，見于書籍中最早的是我國(guó)古代的《張丘建算經(jīng)》。張丘建利用這一思路巧妙地解答了“有女不善織”這一名題：“今有女子不善織，日減功，遲。初日織五尺，末日織一尺，今三十日織訖。問織幾何？”題目的意思是：有位婦女不善于織布，她每天織的布都比上一天減少一些，并且減少的數(shù)量都相等。她第一天織了5尺布，最后一天織了1尺，一共織了30天。問她一共織了多少布？張丘建在《算經(jīng)》上給出的解法是：“并初末日織尺數(shù)，半之，余以乘織訖日數(shù)，即得?！薄按鹪唬憾ヒ徽伞?。這一解法，用現(xiàn)代的算式表達(dá)，就是1匹=4丈，1丈=10尺，90尺=9丈=2匹1丈。（答略）張丘建這一解法的思路，據(jù)推測(cè)為：如果把這婦女從第一天直到第30天所織的布都加起來(lái)，算式就是5＋…………＋1在這一算式中，每一個(gè)往后加的加數(shù)，都會(huì)比它前一個(gè)緊挨著它的加數(shù)，要遞減一個(gè)相同的數(shù)，而這一遞減的數(shù)不會(huì)是個(gè)整數(shù)。若把這個(gè)式子反過來(lái)，則算式便是1+………………＋5此時(shí)，每一個(gè)往后的加數(shù)，就都會(huì)比它前一個(gè)緊挨著它的加數(shù)，要遞增一個(gè)相同的數(shù)。同樣，這一遞增的相同的數(shù)，也不是一個(gè)整數(shù)。假若把上面這兩個(gè)式子相加，并在相加時(shí)，利用“對(duì)應(yīng)的數(shù)相加和會(huì)相等”這一特點(diǎn)，那么，就會(huì)出現(xiàn)下面的式子：所以，加得的結(jié)果是6×30=180（尺）但這婦女用30天織的布沒有180尺，而只有180尺布的一半。所以，這婦女30天織的布是180÷2=90（尺）可見，這種解法的確是簡(jiǎn)單、巧妙和饒有趣味的。【分組計(jì)算】一些看似很難計(jì)算的題目，采用“分組計(jì)算”的方法，往往可以使它很快地解答出來(lái)。例如：求1到10億這10億個(gè)自然數(shù)的數(shù)字之和。這道題是求“10億個(gè)自然數(shù)的數(shù)字之和”，而不是“10億個(gè)自然數(shù)之和”。什么是“數(shù)字之和”？例如，求1到12這12個(gè)自然數(shù)的數(shù)字之和，算式是1＋2＋3＋4＋5+6+7＋8+9+1＋0+1+1+1+1＋2=5l。顯然，10億個(gè)自然數(shù)的數(shù)字之和，如果一個(gè)一個(gè)地相加，那是極麻煩，也極費(fèi)時(shí)間（很多年都難于算出結(jié)果）的。怎么辦呢？我們不妨在這10億個(gè)自然數(shù)的前面添上一個(gè)“0”，改變數(shù)字的個(gè)數(shù)，但不會(huì)改變計(jì)算的結(jié)果。然后，將它們分組：0和999，999，999；1和999，999，998；2和999，999，997；3和999，999，996；4和999，999，995；5和999，999，994；………………依次類推，可知除最后一個(gè)數(shù)，1，000，000，000以外，其他的自然數(shù)與添上的0共10億個(gè)數(shù)，共可以分為5億組，各組數(shù)字之和都是81，如0+9+9+9+9＋9＋9＋9＋9＋9=811+9+9＋9＋9＋9+9+9+9＋8=81………………最后的一個(gè)數(shù)1，000，000，000不成對(duì)，它的數(shù)字之和是1。所以，此題的計(jì)算結(jié)果是（81×500，000，000）＋1=40，500，000，000＋1=40，500，000，001【由小推大】“由小推大”是一種數(shù)學(xué)思維方法，也是一種速算、巧算技巧。遇到有些題數(shù)目多，關(guān)系復(fù)雜時(shí)，我們可以從數(shù)目較小的特殊情況入手，研究題目特點(diǎn)，找出一般規(guī)律，再推出題目的結(jié)果。例如：（1）計(jì)算下面方陣中所有的數(shù)的和。這是個(gè)“100×100”的大方陣，數(shù)目很多，關(guān)系較為復(fù)雜。不妨先化大為小，再由小推大。先觀察“5×5”的方陣，如下圖（圖4.1）所示。又如【同分子分?jǐn)?shù)加減】同分子分?jǐn)?shù)的加減法，有以下的計(jì)算規(guī)律：分子相同，分母互質(zhì)的兩個(gè)分?jǐn)?shù)相加（減）時(shí)，它們的結(jié)果是用原分母的積作分母，用原分母的和（或差）乘以這相同的分子所得的積作分子。分子相同，分母不是互質(zhì)數(shù)的兩個(gè)分?jǐn)?shù)相加減，也可按上述規(guī)律計(jì)算，只是最后需要注意把得數(shù)約簡(jiǎn)為既約（最簡(jiǎn)）分?jǐn)?shù)。例如（注意：分?jǐn)?shù)減法要用減數(shù)的原分母減去被減數(shù)的原分母。）由上面的規(guī)律還可以推出，當(dāng)分子都是1，分母是連續(xù)的兩個(gè)自然數(shù)時(shí)，這兩個(gè)分?jǐn)?shù)的差就是這兩個(gè)分?jǐn)?shù)的積，根據(jù)這一關(guān)系，我們也可以簡(jiǎn)化運(yùn)算過程。例如【先借后還】“先借后還”是一條重要的數(shù)學(xué)解題思想和解題技巧。例如做這道題，按先通分后相加的一般辦法，勢(shì)必影響解題速度。現(xiàn)在從“湊整”著眼，采用“先借后還”的辦法，很快就將題目解答出來(lái)了?！緜€(gè)數(shù)折半】下面的幾種情況下，可以運(yùn)用“個(gè)數(shù)折半”的方法，巧妙地計(jì)算出題目的得數(shù)。（1）分母相同的所有真分?jǐn)?shù)相加。求分母相同的所有真分?jǐn)?shù)的和，可采用“個(gè)數(shù)折半法”，即用這些分?jǐn)?shù)的個(gè)數(shù)除以2，就能得出結(jié)果。這一方法，也可以敘述為分母相同的所有真分?jǐn)?shù)相加，只要用最后一個(gè)分?jǐn)?shù)的分子除以2，就能得出結(jié)果。（2）分母為偶數(shù)，分子為奇數(shù)的所有同分母的真分?jǐn)?shù)相加，也可用“個(gè)數(shù)折半法”求得數(shù)。比方（3）分母相同的所有既約真分?jǐn)?shù)（最簡(jiǎn)真分?jǐn)?shù)）相加，同樣可用“個(gè)數(shù)折半法”求得數(shù)。比方【帶分?jǐn)?shù)減法】帶分?jǐn)?shù)減法的巧算，可用下面的兩個(gè)方法。（1）減數(shù)湊整。例如（2）交換位置。例如在這兩種方法中，第（1）種“湊整”法，也可以運(yùn)用到帶分?jǐn)?shù)的加法中去。例如【帶分?jǐn)?shù)乘法】有些特殊的帶分?jǐn)?shù)相乘，可以采用一些特殊的巧算方法。（1）相乘的兩個(gè)帶分?jǐn)?shù)整數(shù)部分相同，分?jǐn)?shù)部分的和是1，則乘積也是個(gè)帶分?jǐn)?shù)，它的整數(shù)部分是一個(gè)因數(shù)的整數(shù)部分乘以比它大1的數(shù)，分?jǐn)?shù)部分是兩個(gè)因數(shù)的分?jǐn)?shù)部分的乘積。例如（2）相乘的兩個(gè)帶分?jǐn)?shù)整數(shù)部分相差1，分?jǐn)?shù)部分和為1，則積也是個(gè)帶分?jǐn)?shù)，它用較大數(shù)的整數(shù)部分的平方，減去分?jǐn)?shù)部分的平方，所得的差就是這兩個(gè)帶分?jǐn)?shù)的乘積。例如（注：這是根據(jù)“（a＋b）（a-b）=a2-b2”推出來(lái)的。）（3）相乘的兩個(gè)帶分?jǐn)?shù)，整數(shù)部分都是1，分子也都是1，分母相差1，則乘積也是個(gè)帶分?jǐn)?shù)。這個(gè)帶分?jǐn)?shù)的整數(shù)部分是1，分子是2，分母與較大因數(shù)的分母相同。例如讀者自己去試一試，此處略）?！緝煞?jǐn)?shù)相除】有些分?jǐn)?shù)相除，可以采用以下的巧算方法：（1）分子、分母分別相除。在個(gè)別情況下，分?jǐn)?shù)除法可沿用整數(shù)除法的做法：用分子相除的商作分子，用分母相除的商作分母。不過，這只有在被除數(shù)的分子、分母，分別是除數(shù)的分子、分母的整數(shù)倍數(shù)的情況下，計(jì)算才比較簡(jiǎn)便。例如（2）分母相除，一次得商。在兩個(gè)帶分?jǐn)?shù)相除的算式中，當(dāng)被除數(shù)和除數(shù)的整數(shù)與分母調(diào)換了位置，而它們的分子又相同時(shí)，根據(jù)分?jǐn)?shù)除法法則，只要用原除數(shù)的分母除以被除數(shù)的分母，所得的數(shù)就是它們的商。例如（注：用除法法則可以推出這種方法，此處略。）小數(shù)的速算與巧算——湊整【知識(shí)精要】湊整法是小數(shù)加減法速算與巧算運(yùn)用的主要方法。用的時(shí)候主要看末位。但是小數(shù)計(jì)算中“小數(shù)點(diǎn)”一定要對(duì)齊。【例題精講】<一>湊整法例1、計(jì)算5.6+2.38+4.4+0.62?！痉治觥?.6與4.4剛好湊成10，2.38與0.62剛好湊成3，這樣先湊整運(yùn)算起來(lái)會(huì)更加簡(jiǎn)便?！窘獯稹吭?（5.6+4.4）+（2.38+0.62）=10+3=13【評(píng)注】湊整，特別是“湊十”、“湊百”等，是加減法速算的重要方法。例2、計(jì)算：1.999+19.99+199.9+1999?！痉治觥恳?yàn)樾?shù)計(jì)算起來(lái)容易出錯(cuò)。剛好1999接近整千數(shù)2000，其余各加數(shù)看做與它接近的容易計(jì)算的整數(shù)。再把多加的那部分減去?！窘獯稹?.999+19.99+199.9+1999=2+20+20