高中數(shù)學教學中數(shù)學思維品質(zhì)的培養(yǎng)

通山職教趙鋒

我校是通山縣職業(yè)教育中心，學生整體基礎較差。較多學生進入高中之后，不能

適應高中階段的數(shù)學思維要求。究其原因：由于初中數(shù)學教學受升學考試指揮棒的影

響，在教學過程中注重了知識的傳授，而忽視了思維品質(zhì)的培養(yǎng)。

高中學生一般年齡為15-18歲，處于青年初期。他們的身心急劇發(fā)展、變化和成

熟，學習的內(nèi)容更加復雜、深刻，生活更加豐富多采。這種巨大的變化對高中學生的

思維發(fā)展提出了更高的要求。研究表明，從初中二年級開始，學生的思維由經(jīng)驗型水

平向理論型水平轉(zhuǎn)化，到高中一、二年級，逐步趨向成熟。作為高中教學教師，應抓

住學生思維發(fā)展的飛躍時期，利用成熟期前可塑性大的特點，做好思維品質(zhì)的培養(yǎng)工

作，使學生的思維得到更好的發(fā)展。

思維的靈活性指思維活動的靈活程度，指善于根據(jù)事物的發(fā)展變化，及時地用新

的觀點看待已經(jīng)變化了的事物，并提出符合實際的解決問題的新設想、新方案和新方

法。學生思維的靈活性主要表現(xiàn)于：（1）思維起點的靈活：能從不同角度、不同層次、

不同方法根據(jù)新的條件迅速確定思考問題的方向。（2）思維過程的靈活：能靈活運用各

種法則、公理、定理、規(guī)律、公式等從一種解題途徑轉(zhuǎn)向另一種途徑。（3）思維遷移的

靈活：能舉一反三，觸類旁通。

如何使更多的學生思維具有靈活特點呢？我在教學實踐中作了一些探索：

一、以“發(fā)散思維”的培養(yǎng)提高思維靈活性。

美國心理學家吉爾福特（J?P?Guilford）提出的"發(fā)散思維"（divergent

thinking）的培養(yǎng)就是思維靈活性的培養(yǎng)?！鞍l(fā)散思維”指“從給定義的信息中產(chǎn)生信

息，其著重點是從同一的來源中產(chǎn)生各種各樣為數(shù)眾多的輸出，很可能會發(fā)生轉(zhuǎn)換作

用?！?/p>

在當前的數(shù)學教學中，普遍存在著比較重視集中思維的訓練，而相對忽視了發(fā)散

思維的培養(yǎng)。發(fā)散思維是理解教材、靈活運用知識所必須的，也是迎接信息時代、適

應未來生活所應具備的能力。

1、引導學生對問題的解法進行發(fā)散。

在教學過程中，用多種方法，從各個不同角度和不同途徑去尋求問題的答案，用

一題多解來培養(yǎng)學生思維過程的靈活性。

l-cos20+sin20.

〈例》求證:----------=tg0

l+cos20+sin20

證法1：（運用二倍角公式統(tǒng)一角度）

,2sin20+2sin0cos02sin0(sin0+cos0)十

2cos0+2sin0cos02cos0(sin0+cosO)

證法2：(逆用半角公式統(tǒng)一角度)

l-cos20+]

左二=29+=tge+i=右

l+cos29+]ctgO+1

sin20

證法3：(運用萬能公式統(tǒng)一函數(shù)種類)設tgO=t

1-t22t

左=.YiTtl二”烏二仁右

,1-t22t2t+2

1+----+-

1+t271+t?2

證明4：..1-co^e(構法分母sin2e并促使分子重新組合,

sin20

在運算形式上得到統(tǒng)一。)

十(1-cos20+sin29)sin201-cos20+

/.左=--------------------------=----------=石

(1+cos20+sin20)sin20sin20

證法5：可用變更論證法。只要證下式即可。

(1-cos20+sin20)sin20=(1-cos20)(l+cos20+sin20)

證法6：由正切半角公式tge=l-c°s29=sin2。，利用合分比性質(zhì)，則命題得

sin20l+cos20

證。

通過一題多解引導學生歸納證明三角恒等式的基本方法：(1)統(tǒng)一函數(shù)種類；(2)

統(tǒng)一角度；(3)統(tǒng)一運算。

一題多解可以拓寬思路，增強知識間聯(lián)系，學會多角度思考解題的方法和靈活的

思維方式。

2、引導學生對問題的結論進行發(fā)散。

對結論的發(fā)散是指確定了已知條件后沒有現(xiàn)成的結論.讓學生自己盡可能多地探

究尋找有關結論，并進行求解。

〈例〉已知：sina+sin0=；⑴，cosa+cosP=^-(2),由此可得到哪些結論？

讓學生進行探素，然后相互討論研究，各抒己見。

8[3

想法一：⑴4(2)2可得cos@-似=-二(兩角差的余弦公式)。

288

想法二：(1)X(2),再和差化積：sin(a+p)[cos^-p)+l]=—

74

結合想法一可知：sin(a+P)=—

7

想法三：(I)?-(2)2再和差化積：2cos(a+p)[cos^c-p)+1]=

,7

結合想法一可知：可得cos(a+B)=----

想法四；色，再和差化積約去公因式可得：tg生蟲=4,進而用萬能公式可

(2)23

求：sin(a+P)>cosQ+P)、t城a+。)。

2s

想法五：由sin?a+cos2a=1消去a得：4sinP+3cosP=—

消去°可得4sina+3cosa=1|(消參思想)

想法六：(1)+(2)并逆用兩角和的正弦公式：

sin(a+—)+sin(P+—)=

7

4產(chǎn)424

(1)-(2)并逆用兩角差的正弦公式。

sin(a-^)+sin(p-^)=^

想法七：(1)X3-(2)X4：3sina-4cosa+3sinp-4cosp=0

4

sin(a-0)+sin(p-9)=0(0=arctgj)

日口c.a+0—20a—13八

即2sin---------cos-----=0

22

..a=2k7c+7i+p(與已知矛盾舍去)或a+B=2k7i+26(keZ)

則sin(a+B)、cos(a+p)>tg(a+B)均可求。

開放型題目的引入，可以引導學生從不同角度來思考，不僅僅思考條件本身，而

且要思考條件之間的關系。要根據(jù)條件運用各種綜合變換手段來處理信息、探索結

論，有利于思維起點靈活性的培養(yǎng)，也有利于孜孜不倦的鉆研精神和創(chuàng)造力的培養(yǎng)。

3、引導學生對問題的條件進行發(fā)散。

對問題的條件進行發(fā)散是指問題的結構確定以后，盡可能變化已知條件，進而從

不同角度和用不同知識來解決問題。

對于等差數(shù)列的通項公式：an=ai+(n-l)d,顯然，四個變量中知道三個即可求

另一個(解方程)。如“{aj為等差數(shù)列，ai=1,d=—2.問一9為第幾項”等

等。然后，放手讓學生自己編寫題目。編題過程中.學生要對公式中變量的取值范

圍、變量之間的內(nèi)在關系、公式的適用范圍等有全面的掌握。否則，信手拈來會鬧出

笑話。上題中，若改d=—3,則一9為第1項，顯然荒謬。如此，學生對于等差數(shù)列

的通項公式與求和公式的掌握會比較全面，而且能站在較高層次來看待問題，提高思

維遷移的靈活性。

二、以思維靈活性的提高帶動思維其他品質(zhì)的提高，以思維其他品質(zhì)的培養(yǎng)來促

進思維靈活性的培養(yǎng)。

由于思維的各種品質(zhì)是彼此聯(lián)系、密不可分的，處于有機的統(tǒng)一體中，所以，思

維其他品質(zhì)的培養(yǎng)能有力地促進思維靈活性的提高。

1、思維的深刻性指思維過程的抽象程度，指是否善于從事物的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)本質(zhì)，

是否善于從事物之間的關系和聯(lián)系中揭示規(guī)律。

〈例〉方程sinx=lgx的解有()個。(A)1(B)2(C)3(D)4

學生習慣于通過解方程求解，而此方程無法求解常令學生手足無進。若能運用靈

活的思維換一個角度思考：此題的本質(zhì)為求方程組的公共解。運用數(shù)形結合

y=igx

思想轉(zhuǎn)化為求函數(shù)圖家交點問題，尋求幾何性質(zhì)與代數(shù)方程之間的內(nèi)在聯(lián)系。通過知

識串聯(lián)、橫向溝通牢牢抓住事物的本質(zhì)，在思維深刻性的基礎上，思維靈活性才有了

用武之地。

2、思維的廣闊性是指善于抓住問題的各個方面，又不忽視其重要細節(jié)的思維品

質(zhì)。要求學生能認真分析題意，調(diào)動和選擇與之相應的知識，尋找解答關鍵。

〈例》已知拋物線在y軸上的截距為3,對稱軸為直線x=—1,在x軸上截得線段

長為4,求拋物線方程。

解法一：截距為3,可選擇一般式方程：y=ax?+bx+c(a/0)

顯然有c=3,利用其他條件可列方程組求a,b值。

解法二：由對稱軸為直線x=—1,可選擇頂點式方程：

y=a(x-m)2+k(aw0)

顯然有m=—1,利用其他條件可列方程組求a,k的值。

另外，由圖象對稱性可知x軸上交點為(1,0)和(一3,0)o

解法三：由截距為3,即過三點(0,3)、(L0)和(一3,0),

可選擇一般式方程：y=ax2+bx+c(a0)

代人點坐標，列方程組求a,b,c值。

解法四：由一元二次方程與一元二次函數(shù)關系可選擇兩根式

y=a(x-Xi)(x-x2)(a^O)(必須與x軸有交點)

顯然；xi=-3,x2=lo由截距3,可求a值。

在把握整體的前提下，側重某一條件作為解答突破口，在思維廣闊性的基礎上，

充分運用思維靈活性調(diào)動相關知識、技能尋找解題途徑。

3、思維的敏捷性指思維活動的速度。它的指標有二個：一是速度，二是正確率。

具有這一品質(zhì)的學生能縮短運算環(huán)節(jié)和推理過程。思維靈活性對于思維速度和準確率

的提高起著決定性作用。

4、思維的獨創(chuàng)性指思維活動的獨創(chuàng)程度，具有新穎善于應變的特點。思維的靈活

性為思維的獨創(chuàng)性提供了肥沃的土壤，為解題“靈感”的閃現(xiàn)提供了燃料。

在教學實線中，我常發(fā)現(xiàn)，學生提出富有個性的見解的時候,往往是“思維火花”

閃爍的時候.

5、思維的批判性指思維活動中獨立分析的程度，是否善于嚴格地估計思維材料和

仔細地檢查思維過程。我在數(shù)學教學中，鼓勵學生提出不同的甚至懷疑的意見，注意

引導和啟發(fā)，提倡獨立思考能力的培養(yǎng)。

學生對結論的可靠程度進行懷疑，在獨立分析的基礎上，靈活運用三角函數(shù)的單

調(diào)性來確定三角形內(nèi)角的取值范圍，嚴密論證了三角函數(shù)值取值的可能性。

三、靈活新穎的教法探求和靈活扎實的學法指導。

教師的教法常常影響到學生的學法。靈活多變的教學方法對學生思維靈活性的培

養(yǎng)起著潛移默化的作用，而富有新意的學法指導能及時為學生注人靈活思維的活力。

“導入出新”一一良好的開端是成功的一半。引人入勝的教學導入可以激發(fā)學習

興趣和熱情。以“創(chuàng)設情境”，“敘述故事”、“利用矛盾”、“設置懸念”、“引

用名句”、“巧用道具”等新穎多變的教學手段，使學生及早進入積極思維狀態(tài)。

“錯解剖析”一一提供給學生題解過程，但其中有錯誤的地方。讓學生反串角

色，扮演教師批改作業(yè)。換