第二十一章一元二次方程（B卷·培優(yōu)卷）考試時間：120分鐘，滿分：120分一、選擇題：共10題，每題3分，共30分。1．（本題3分）下列方程中，關于x的一元二次方程是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)一元二次方程的定義解答．【詳解】解：A、該方程沒有規(guī)定，故本選項錯誤；B、該方程中含有2個未知數(shù)，不是一元二次方程，故本選項錯誤；C、該方程符合一元二次方程的定義，故本選項正確；D、該方程不是整式方程，故本選項錯誤；故選：C．【點睛】本題考查了一元二次方程的概念，判斷一個方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化簡后是否是只含有一個未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)是2．2．（本題3分）如果關于x的一元二次方程，有一個解是0，那么m的值是（

）A．3 B． C． D．0或【答案】B【分析】把x=0代入方程（m3）x2+3x+m29=0中，解關于m的一元二次方程，注意m的取值不能使原方程對二次項系數(shù)為0．【詳解】解：把x=0代入方程（m3）x2+3x+m29=0中，得m29=0，解得m=3或3，當m=3時，原方程二次項系數(shù)m3=0，舍去，∴m=3故選：B．【點睛】本題考查的是一元二次方程解的定義，一元二次方程的概念，掌握方程的解的含義是解題的關鍵.3．（本題3分）下列說法正確的是（）A．方程8x2﹣7＝0的一次項系數(shù)為﹣7B．一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c＝0C．只有當k＝0時，方程kx2+3x﹣1＝x2為一元二次方程D．當m取所有實數(shù)時，關于x的方程(m2+1)x2﹣mx﹣3＝0為一元二次方程【答案】D【分析】根據(jù)一元二次方程的定義及一般形式可進行求解．【詳解】解：A、方程8x2﹣7＝0的一次項系數(shù)為0，故選項錯誤；B、一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c＝0（a≠0），故選項錯誤；C、當k﹣1≠0，即k≠1時，方程kx2+3x﹣1＝x2為一元二次方程，故選項錯誤；D、當m取所有實數(shù)時，關于x的方程（m2+1）x2﹣mx﹣3＝0為一元二次方程是正確的．故選：D．【點睛】本題主要考查一元二次方程的定義及一般形式，熟練掌握一元二次方程的定義及一般形式是解題的關鍵．4．（本題3分）解方程的最適當?shù)姆椒ㄊ牵ǎ〢．直接開平方法 B．配方法C．公式法 D．分解因式法【答案】D【分析】根據(jù)解一元二次方程的方法，逐一判斷即可解答．【詳解】解：∵方程的兩邊都有因式3x1，∴把方程右邊的2(3x2)移到方程的左邊，可以提公因式進行因式分解，∴解方程的最適當?shù)姆椒ㄊ欠纸庖蚴椒ǎ蔬x：D．【點睛】本題考查了解一元二次方程﹣直接開平方法，配方法，公式法，因式分解法，熟練掌握解一元二次方程的方法是解題的關鍵．5．（本題3分）若是某個一元二次方程的根，則這個一元二次方程可以是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)一元二次方程求根公式，對照得出一元二次方程的字母系數(shù)即可得出答案．【詳解】解：∵一元二次方程的根為，∵是用公式法解一元二次方程得到的一個根，∴，∴滿足要求的方程為：，故選：D．【點睛】本題考查了公式法解一元二次方程，熟記求根公式是解本題的關鍵．6．（本題3分）關于的一元二次方程的根的情況是（

）A．有兩不相等實數(shù)根 B．有兩相等實數(shù)根C．無實數(shù)根 D．不能確定【答案】A【詳解】【分析】根據(jù)一元二次方程的根的判別式進行判斷即可.【詳解】，△=[(k+3)]24k=k2+6k+94k=(k+1)2+8，∵(k+1)2≥0，∴(k+1)2+8>0，即△>0，∴方程有兩個不相等實數(shù)根，故選A.【點睛】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c為常數(shù)）的根的判別式△=b24ac．當△＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當△=0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當△＜0時，方程沒有實數(shù)根．7．（本題3分）關于x的一元二次方程化為一般形式后不含一次項，則m的值為（

）A．0 B．±3 C．3 D．－3【答案】D【分析】把原方程化為一般形式，根據(jù)一元二次方程的定義、一次項的概念列式計算即可．【詳解】解：∵，∴，由題意得：m－3≠0且m2－9＝0，解得：m＝－3，故選：D．【點睛】本題主要考查一元二次方程的定義，把一元二次方程化為一般形式，是解題的關鍵．8．（本題3分）為增強學生身體素質，提高學生足球運動競技水平，我市開展“健身杯”足球比賽，賽制為單循環(huán)形式（每兩個隊之間賽一場），現(xiàn)計劃安排21場比賽，則邀請的參賽隊數(shù)是（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【分析】設邀請隊參賽，根據(jù)“計劃安排21場比賽，”可列出方程，解出即可．【詳解】解：設邀請隊參賽，根據(jù)題意得：，解得：或（不合題意，舍去）答：邀請7隊參賽．故選：C．【點睛】本題主要考查了一元二次方程的應用，明確題意，準確得到數(shù)量關系是解題的關鍵．9．（本題3分）如圖，在長為100米，寬為80米的矩形場地上修建兩條寬度相等且互相垂直的道路，剩余部分進行綠化，要使綠化面積為7644米2，則道路的寬應為多少米？設道路的寬為x米，則可列方程為（）A．100×80﹣100x﹣80x=7644B．（100﹣x）（80﹣x）+x2=7644C．（100﹣x）（80﹣x）=7644D．100x+80x=356【答案】C【詳解】設道路的寬應為x米，由題意有（100x）（80x）=7644，故選：C．10．（本題3分）如果關于的一元二次方程有下列說法：①若，則；②若方程兩根為1和2，則；③若方程有兩個不相等的實根，則方程必有兩個不相等的實根；④若，則方程有兩個不相等的實根，其中結論正確的是有（

）個．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】①，即系數(shù)和為0，說明原方程有一根是1，，說明原方程為一元二次方程，一元二次方程有根，就有兩個，△；②已知方程兩根的值，可利用兩根關系的式子變形，得出結論；③判斷方程的根的情況，只要看根的判別式△的值的符號就可以了；④把代入得到，根據(jù)判別式的意義可得到方程有兩個不相等的實根．【詳解】解：①若，方程有一根為1，又，則，正確；②由兩根關系可知，，整理得：，正確；③若方程有兩個不相等的實根，則，可知，故方程必有兩個不相等的實根，正確；④由，，所以④正確．故選．【點睛】本題考查了一元二次方程的根與系數(shù)的關系：若方程兩個為，，則，．也考查了一元二次方程根的判別式．二、填空題：共6題，每題3分，共18分。11．（本題3分）關于x的方程是一元二次方程，則m=．【答案】【分析】由一元二次方程的定義回答即可．【詳解】解：方程是一元二次方程，且．解得．故答案為：．【點睛】本題主要考查的是一元二次方程的定義，解題的關鍵是掌握一元二次方程的定義．12．（本題3分）若a是方程的解，則代數(shù)式的值為．【答案】【分析】根據(jù)a是方程的解，得出，再根據(jù)求解即可．【詳解】解：∵a是方程的解，∴，∴，∴．故答案為：【點睛】本題主要考查了一元二次方程的解和代數(shù)式求值，解本題的關鍵在于能夠熟練掌握一元二次方程解的定義．13．（本題3分）若等腰三角形的一邊長是4，另兩邊的長是關于的方程的兩個根，則的值為．【答案】8或9【分析】分4為等腰三角形的腰長和4為等腰三角形的底邊長兩種情況，再利用一元二次方程根的定義、根的判別式求解即可得．【詳解】解：由題意，分以下兩種情況：（1）當4為等腰三角形的腰長時，則4是關于的方程的一個根，因此有，解得，則方程為，解得另一個根為，此時等腰三角形的三邊長分別為，滿足三角形的三邊關系定理；（2）當4為等腰三角形的底邊長時，則關于的方程有兩個相等的實數(shù)根，因此，根的判別式，解得，則方程為，解得方程的根為，此時等腰三角形的三邊長分別為，滿足三角形的三邊關系定理；綜上，的值為8或9，故答案為：8或9．【點睛】本題考查了一元二次方程根的定義、根的判別式、等腰三角形的定義等知識點，正確分兩種情況討論是解題關鍵．需注意的是，要檢驗三邊長是否滿足三角形的三邊關系定理．14．（本題3分）用長為14的鐵絲圍成一個面積是12的矩形，這個矩形相鄰的兩邊長分別是．【答案】4，3【分析】設矩形的長為x，則寬為（7﹣x），根據(jù)矩形的面積公式，即可得出關于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結論．【詳解】設矩形的長為x，則寬為（7﹣x），根據(jù)題意得：x（7﹣x）=12解得：x1=4，x2=﹣3（舍去）．當x=4時，∴7﹣x=3．故答案為4，3．【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．15．（本題3分）若實數(shù)a，b滿足(4a＋4b)(4a＋4b－2)－8＝0，則a＋b＝．【答案】或1【詳解】解：設a+b=x，則由原方程，得4x（4x﹣2）﹣8=0，

整理，得16x2﹣8x﹣8=0，即2x2﹣x﹣1=0，分解得：（2x+1）（x﹣1）=0，

解得：x1=﹣，x2=1．則a+b的值是﹣或1．故答案為：或1．16．（本題3分）如果關于x的一元二次方程有兩個實數(shù)根，且其中一個根為另外一個根的2倍，則稱這樣的方程為“倍根方程”，以下關于“倍根方程”的說法，正確的有（填序號）．①方程是“倍根方程”；②若是“倍根方程”，則；③若滿足，則關于x的方程是“倍根方程”；④若方程是“倍根方程”，則必有．【答案】②③④【分析】①求出方程的根，再判斷是否為“倍根方程”；②根據(jù)“倍根方程”和其中一個根，可求出另一個根，進而得到m，n之間的關系；③當滿足時，有，求出兩個根，再根據(jù)代入可得兩個根之間的關系，講而判斷是否為“倍根方程”；④用求根公式求出兩個根，當或時，進一步化簡，得出關系式，進行判斷即可．【詳解】①解方程，得，，方程不是“倍根方程”．故①不正確；②是“倍根方程”，且，因此或．當時，，當時，，，故②正確；③，，，，因此是“倍根方程”，故③正確；④方程的根為，若，則，即，，，，，，若，則，，，，，．故④正確，故答案為：②③④．【點睛】本題考查了解一元二次方程以及一元二次方程的求根公式，新定義的倍根方程的意義，理解倍根方程的意義和正確求出方程的解是解決問題的關鍵．三、解答題：共9題，共72分，其中第17~18題每小題4分，第19~20題每小題6分，第21題8分，第22~23題每小題10分，第24~25題每小題12分。17．（本題4分）解方程（1）

（2）【答案】（1），；（2），【分析】（1）先移項，再直接開平方即可；（2）先移項，再因式分解即可．【詳解】解：（1）移項得兩邊直接開平方得，（2）移項得提取公因式得即∴或解得，【點睛】本題主要考查了解一元二次方程．熟練掌握解一元二次方程的幾種常用的方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結合方程的特點選擇合適，簡便的方法是解題的關鍵．18．（本題4分）2023年10月，我市組織初中男子籃球賽，賽制為單循環(huán)比賽（即每兩個隊之間比賽一場）共安排66場比賽，那么有多少個球隊參加比賽？【答案】一共有12個球隊參賽．【分析】此題考查了一元二次方程的應用．根據(jù)題意賽制為單循環(huán)形式（每兩隊之間都賽一場），個球隊比賽總場數(shù)為，理解關系即可列出方程．【詳解】解：設一共有個球隊參賽，根據(jù)題意得：，整理得：，解得：，(不符合題意，舍去)，答：一共有12個球隊參賽．19．（本題6分）如圖，要利用一面墻(墻長為25米)建羊圈，用100米的圍欄圍成總面積為400平方米的三個大小相同的矩形羊圈，求羊圈的邊長AB，BC各為多少米？【答案】羊圈的邊長AB，BC分別是20米、20米.【詳解】解：設AB的長度為x米，則BC的長度為（100﹣4x）米．根據(jù)題意得（100﹣4x）x=400，解得x1=20，x2=5．則100﹣4x=20或100﹣4x=80．∵80＞25，∴x2=5舍去．即AB=20，BC=20．故羊圈的邊長AB，BC分別是20米、20米．20．（本題6分）雞瘟是一種傳播速度很快的傳染?。浑u場3月12日發(fā)現(xiàn)一例，兩天后發(fā)現(xiàn)共有169只雞患有這種?。裘坷‰u傳染健康雞的只數(shù)均相同，則每只病雞傳染健康雞的只數(shù)是多少？【答案】每只病雞傳染健康雞12只【分析】設每只病雞傳染健康雞只，則第一天有只雞被傳染，第二天有只雞被傳染，所以經(jīng)過兩天的傳染后感染患病的雞共有：只，根據(jù)經(jīng)過兩天的傳染后使雞場感染患病的雞169，為等量關系列出方程求出符合題意的值即可．本題主要考查一元二次方程的應用，關鍵在于找出等量關系（經(jīng)過兩天感染患病的雞一定）列出方程求解．【詳解】解：設每只病雞傳染健康雞只，由題意得：，整理，得，解，得，（不符合題意舍去）．答：每只病雞傳染健康雞12只．21．（本題8分）已知：關于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k+2＝0．（1）求證：方程總有兩個實數(shù)根；（2）若方程有一個根小于0，求k的取值范圍．【答案】（1）見解析；（2）k＜﹣1．【分析】根據(jù)一元二次方程的解及定義，（1）根據(jù)公式法可知當≥0時，方程總有兩個實數(shù)根；（2）通過因式分解法求出兩根，可得其中一個為實數(shù)、一個為k＋1，再根據(jù)方程一根小于0即可求出本題答案.【詳解】（1）證明：∵△＝[﹣（k＋3）]2﹣4×1×（2k＋2）＝k2﹣2k＋1＝（k﹣1）2≥0，∴方程總有兩個實數(shù)根；（2）解：∵x2﹣（k＋3）x＋2k＋2＝0，即（x﹣2）[x﹣（k＋1）]＝0，∴x1＝2，x2＝k＋1．∵方程有一個根小于0，∴k＋1＜0，∴k＜﹣1．【點睛】本題考查了一元二次方程的解及定義，熟練掌握該知識點是本題解題的關鍵.22．（本題10分）某商城在年端午節(jié)期間促銷某品牌冰箱，每臺進價為元，標價為元．(1)商城舉行了“新老用戶粽是情”摸獎活動，將冰箱連續(xù)兩次降價，每次降價的百分率相同，最后以每臺元的價格賣給中獎者，求每次降價的百分率；(2)經(jīng)市場調研表明：當每臺冰箱的售價為元時，平均每天能售出8臺，當每臺售價每降低元時，平均每天能多售出4臺．若商城要想使該品牌冰箱平均每天的銷售利潤為元，則每臺冰箱的售價應定為多少元？【答案】(1)；(2)元．【分析】（1）設每次降價的百分率為x，根據(jù)續(xù)兩次降價后以每臺元售賣列式求解即可得到答案；（2）設每臺冰箱的售價應定為m元，根據(jù)利潤列方程求解即可得到答案．【詳解】（1）解：設每次降價的百分率為x，由題意可得，，解得：，（不符合題意舍去），答：每次降價的百分率是；（2）解：設每臺冰箱的售價應定為m元，由題意可得，，解得：，答：每臺冰箱的售價應定為元．【點睛】本題考查一元二次方程解決銷售利潤問題及平均變化問題，解題的關鍵是根據(jù)題意找到等量關系式列方程．23．（本題10分）如圖所示的是2024年1月的日歷表，用虛線方框按如圖所示的方法任意圈出四個數(shù)，設這四個數(shù)從小到大依次為a，b，c，d．請解答下列問題．(1)若用含有a的式子分別表示出b，c，d，則，，；按這種方法所圈出的四個數(shù)中，的最大值為．(2)若虛線方框中最大數(shù)與最小數(shù)的乘積為180，求最小數(shù)．(3)虛線方框中最大數(shù)與最小數(shù)的乘積與這四個數(shù)的和能為124嗎？若能，請求出最小數(shù)；若不能，請說明理由．【答案】(1)；；；(2)10(3)方框中最大數(shù)與最小數(shù)的乘積與這四個數(shù)的和不能為124，理由見解析【分析】本題考查了一元二次方程的應用，列代數(shù)式，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．（1）根據(jù)日歷的特點先求出b、c、d，再根據(jù)當a越大時，b也越大，求出a的最大值即可求出的最大值；（2）根據(jù)方框中最大數(shù)與最小數(shù)的乘積為180，可列出關于的一元二次方程，解之取其符合題意的值，即可得出結論；（3）假設方框中最大數(shù)與最小數(shù)的乘積與這四個數(shù)的和能為124，根據(jù)方框中最大數(shù)與最小數(shù)的乘積與這四個數(shù)的和為124，可列出關于的一元二次方程，解之可得出的值，由在最后一列，可得出假設不成立，即方框中最大數(shù)與最小數(shù)的乘積與這四個數(shù)的和不能為124．【詳解】（1）解：由題意得，；∵a是正整數(shù)，∴也是正整數(shù)，∴當a越大時，b也越大，根據(jù)日歷的特點可知a的最大值為23，此時b的值為24，∴的最大值為；故答案為：；；；；（2）解：根據(jù)題意得：，整理得：，解得：，（不符合題意，舍去）．∴最小數(shù)是10；（3）解：方框中最大數(shù)與最小數(shù)的乘積與這四個數(shù)的和不能為124，理由如下：假設方框中最大數(shù)與最小數(shù)的乘積與這四個數(shù)的和能為124，根據(jù)題意得：，整理得：，解得：，（不符合題意，舍去），∵時，在最后一列，假設不成立，即方框中最大數(shù)與最小數(shù)的乘積與這四個數(shù)的和不能為124．24．（本題12分）如圖所示，中，，．

(1)點P從點A開始沿邊向B以的速度移動，點Q從B點開始沿邊向點C以的速度移動，如果P，Q分別從A，B同時出發(fā)，經(jīng)過幾秒，點P，Q之間的距離為?(2)點P從點A開始沿邊向B以的速度移動，點Q從B點開始沿邊向點C以的速度移動，如果P，Q分別從A，B同時出發(fā)，經(jīng)過幾秒，使的面積等于?(3)若P點沿射線方向從A點出發(fā)以的速度移動，點Q沿射線方向從C點出發(fā)以的速度移動，P，Q同時出發(fā)，幾秒后，的面積為?【答案】(1)點之間的距離不可能為(2)秒或秒(3)秒或秒或秒【分析】本題主要考查了一元二次方程的應用，數(shù)形結合，分類討論以及找準等量關系是解題的關鍵．（1）設經(jīng)過秒，點之間的距離為，根據(jù)勾股定理列式求解即可；（2）設經(jīng)過秒，使的面積等于，根據(jù)三角形面積公式列式求解即可；（3）分三種情況根據(jù)三角形面積公式列出方程：①點在線段上，點在線段上；②點在線段上，點在射線上；③點在射線上，點在射線上．【詳解】（1）解：設經(jīng)過秒，點之間的距離為，則，，，在中，，故，化簡得：，，故方程無解，故點之間的距離不可能為；（2）解：設經(jīng)過秒，使的面積等于，則，，，由題意得：，解得，故經(jīng)過秒或秒，的面積等于；（3）解：①點在線段上，點在線段中，設經(jīng)過秒，，依題意得：，，，由題意得：，解得（舍去），，故符合題意；②點在線段上，點在射線中，設經(jīng)過秒，，依題意得：，，，由題意得：，，解得符合題意；③點在射線上，點在射線中，設經(jīng)過秒，，依題意得：，，，由題意得：，解得，（舍去），故符合題意；綜上所述，經(jīng)過秒，秒，秒后的面積為．2