PAGEPAGE17云南省昆明市東川區(qū)明月中學2024-2025學年高二數(shù)學下學期期中試題文（含解析）（考試時間：120分鐘滿分：150分）留意事項：1．答題前，考生務必將自己的相關信息填寫在答題卡上;2．將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.第I卷（選擇題）一、選擇題:共12題，每題5分，共60分，在每題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，則=A. B. C. D.【答案】B【解析】試題分析：由題意，所以．故選B．考點：集合的運算．2.函數(shù)的定義域是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由對數(shù)式的真數(shù)大于0，分式的分母不為0聯(lián)立不等式組求解．【詳解】由，得且．函數(shù)定義域是．故選C．【點睛】本題考查函數(shù)的定義域及其求法，是基礎的計算題．3.復數(shù)的共軛復數(shù)對應的點在復平面內(nèi)位于（）A.第一象限 B.其次象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】，其共軛復數(shù)為，在第四象限.點睛：本題主要考查復數(shù)概念及運算，考查復數(shù)與復平面點一一對應關系.在復數(shù)的四則運算上,常常由于疏忽而導致計算結果出錯.除了加減乘除運算外,有時要結合共軛復數(shù)的特征性質(zhì)和復數(shù)模的相關學問,綜合起來加以分析.在復數(shù)的四則運算中,只對加法和乘法法則給出規(guī)定,而把減法、除法定義為加法、乘法的逆運算.復數(shù)代數(shù)形式的運算類似多項式的運算,加法類似合并同類項;復數(shù)的加法滿意交換律和結合律,復數(shù)代數(shù)形式的乘法類似多項式乘以多項式,除法類似分母有理化;用類比的思想學習復數(shù)中的運算問題.4.設，是兩條不重合的直線，，是兩個不重合的平面，則下列命題中不正確的一個是（）A.若，則 B.若，，則C.若，則 D.若，，則【答案】D【解析】【分析】依據(jù)空間線面、面面的平行垂直關系，對選項進行逐一分析，可得到答案.【詳解】選項A．若，，則,正確.選項B．若，，則,正確.選項C．若，,則，正確.選項D.若，，則與可能平行，也可能異面，所以不正確.故選：D【點睛】本題考查空間線面、面面的位置關系，屬于基礎題.5.已知實數(shù)，滿意條件則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】繪制不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，結合目標函數(shù)的幾何意義可得：目標函數(shù)在點出取得最大值：.本題選擇B選項.6.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的值為4，則輸出的值是（）A.24 B.6 C.2 D.120【答案】A【解析】【分析】依據(jù)推斷條件，執(zhí)行循環(huán)，直至跳出循環(huán)，輸出結果.【詳解】執(zhí)行循環(huán)得：因為，所以結束循環(huán)，輸出故選：A.【點睛】本題考查循環(huán)結構流程圖，考查基本分析求解實力，屬基礎題.7.已知一個幾何體的三視圖如圖所示（圖中網(wǎng)格小正方形的邊長為1），則該幾何體的體積為（）A. B.32 C. D.16【答案】D【解析】分析：由已知中的三視圖，可得該幾何體是一個三棱柱，分別求出它的底面面積和高，代入體積公式，即可求解．詳解：由已知中的三視圖，可得該幾何體是一個三棱柱，如圖所示，，其中底面面積為，高為，所以該三棱柱的體積為，故選D．點睛：本題考查了幾何體的三視圖及組合體的表面積的計算，在由三視圖還原為空間幾何體的實際形態(tài)時，要從三個視圖綜合考慮，依據(jù)三視圖的規(guī)則，空間幾何體的可見輪廓線在三視圖中為實線，不行見輪廓線在三視圖中為虛線．在還原空間幾何體實際形態(tài)時，一般是以正視圖和俯視圖為主，結合側視圖進行綜合考慮．求解以三視圖為載體的空間幾何體的表面積與體積的關鍵是由三視圖確定直觀圖的形態(tài)以及直觀圖中線面的位置關系和數(shù)量關系，利用相應體積公式求解．8.設向量，滿意，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)，利用數(shù)量積運算公式，即可求得答案.【詳解】，，，.故選D.【點睛】本題考查利用向量的數(shù)量積計算向量的模的方法，考查基礎學問和基本運算實力.9.函數(shù)的圖象大致為()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】分別令，依據(jù)的函數(shù)值，對選項進行解除，由此得出正確選項.【詳解】由四個選項的圖像可知，令，，由此解除C選項.令，，由此解除B選項.由于，解除D選項.故本小題選A.【點睛】本小題主要考查函數(shù)圖像的推斷，考查利用特別點解除的方法，屬于基礎題.10.已知長方體一個頂點上三條棱的長分別是3、4、5，且它的頂點都在同一球面上，則這個球的表面積是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：長方體的外接球的直徑就是長方體的對角線，求出長方體的對角線，即可求出球的直徑，然后求出球的表面積.詳解：長方體的一個頂點上的三條棱長分別是，且它的個頂點都在同一個球面上，長方體的對角線就是球的直徑，長方體的對角線為，球的半徑為，則這個球的表面積是，故選C.點睛：本題主要考查球的內(nèi)接多面體的有關學問，球的表面積的求法，意在考查計算實力與空間想象力，留意球的直徑與長方體的對角線的轉化是解答本題的關鍵.11.過雙曲線的右焦點作垂直于軸的直線，交雙曲線的漸近線于兩點，若（為坐標原點）是等邊三角形，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】試題解析：：雙曲線（a＞0，b＞0）的漸近線為，令x＝c，得，由△OAB（O為坐標原點）是等邊三角形，得，從而，故，故選B．考點：本題考查了雙曲線的離心率點評：解本題的關鍵是求出A點的坐標，依據(jù)正三角形的性質(zhì)求出a，b間的關系，再求出雙曲線的離心率．12.已知函數(shù)，若對隨意，恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】當時，；當時，；當時，；令，則，所以當時，單調(diào)遞增，；當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，；綜上實數(shù)的取值范圍是，選B.點睛：對于求不等式成立時的參數(shù)范圍問題，在可能的狀況下把參數(shù)分別出來，使不等式一端是含有參數(shù)的不等式，另一端是一個區(qū)間上詳細的函數(shù)，這樣就把問題轉化為一端是函數(shù)，另一端是參數(shù)的不等式，便于問題的解決.但要留意分別參數(shù)法不是萬能的，假如分別參數(shù)后，得出的函數(shù)解析式較為困難，性質(zhì)很難探討，就不要運用分別參數(shù)法.第II卷（非選擇題）二、填空題：13.綻開式中常數(shù)項為．【答案】【解析】試題分析：的綻開式的通項令得常數(shù)項為.考點：二項式定理.14.已知平面對量，，且//，則＝．【答案】(-4,-8)【解析】【詳解】由，然后依據(jù)平面對量共線（平行）的坐標表示建立等式即，求出，然后依據(jù)平面對量的坐標運算．15.已知函數(shù)的部分圖象如圖，則_______.【答案】0【解析】【分析】依據(jù)周期可得，依據(jù)最高點以及可得，從而可得答案.【詳解】由圖象可知，所以，所以，解得，又，所以，所以，，所以，，因為，所以，所以.故答案為：0.【點睛】本題考查了由三角函數(shù)的圖象求參數(shù)，考查了三角函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎題16.已知函數(shù)，且關于的方程有兩個實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是_______.【答案】【解析】因為方程有兩個實數(shù)根，所以的圖象與函數(shù)的圖象有兩個交點，如圖所示，可知，所以，故答案為.點睛：本題考察了函數(shù)的圖象與方程的關系，把方程根的問題，轉化為函數(shù)圖象的交點問題求解，結合圖形求解；方程有兩個實數(shù)根，轉化為的圖象與函數(shù)的圖象有兩個交點，作出函數(shù)圖象，關鍵是臨界位置的取舍.三、解答題:共6題，17題10分，18到22每題12分，共70分.17.設的內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且.（1）當時，求a的值；（2）當?shù)拿娣e為3時，求a+c的值．【答案】（1）（2）【解析】試題分析：（1）利用同角三角函數(shù)的基本關系式，求出，利用正弦定理求出a即可．（2）通過三角形的面積求出ac的值，然后利用余弦定理即可求出a+c的值．試題解析:解：（1）.由正弦定理得..（2）的面積，.由余弦定理，得4=,即.∴，∴點睛：解三角形問題，多為邊和角的求值問題，這就須要依據(jù)正、余弦定理結合已知條件敏捷轉化邊和角之間的關系，從而達到解決問題的目的.其基本步驟是：第一步：定條件，即確定三角形中的已知和所求，在圖形中標出來，然后確定轉化的方向.其次步：定工具，即依據(jù)條件和所求合理選擇轉化的工具，實施邊角之間的互化.第三步：求結果18.已知等差數(shù)列的首項為1，公差，且是與的等比中項.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）記，求數(shù)列的前項和．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】(1)由題意求出等差數(shù)列的公差，即可求出結果；(2)用裂項相消法求和即可.【詳解】(1)設等差數(shù)列的公差為，是與的等比中項.即或；(2)由（1）知.【點睛】本題主要考查等差數(shù)列，以及數(shù)列的求和，屬于基礎題型.19.某校兩個班級100名學生在一次考試中的成果的頻率分布直方圖如圖所示，其中成果分組區(qū)如下表：組號第一組其次組第三組第四組第五組分組（1）求頻率表分布直方圖中的值；（2）依據(jù)頻率表分布直方圖，估計這100名學生這次考試成果的平均分；（3）現(xiàn)用分層抽樣的方法從第三、四、五組中隨機抽取6名學生，將該樣本看成一個總體，從中隨機抽取2名，求其中恰有1人的分數(shù)不低于90分的概率.【答案】(1)a=0.005;(2)74.5;(3)見解析.【解析】【詳解】試題分析：（１）依據(jù)所以概率的和為1，即所求矩形的面積和為1，建立等式關系，可求出所求；（2）均值為各組組中值與該組頻率之積的和；（3）先分別求出3，4，5組的人數(shù)，再利用古典概型學問求解．試題解析：解：（1）由題意得10a+0.01×10+0.02×10+0.03×10+0.035×10=1，所以a=0.005．（2）由直方圖分數(shù)在[50，60]的頻率為0.05，[60，70]的頻率為0.35，[70，80]的頻率為0.30，[80，90]的頻率為0.20，[90，100]的頻率為0.10，所以這100名學生期中考試數(shù)學成果的平均分的估計值為：55×0.05+65×0.35+75×0.30+85×0.20+95×0.10=74.5（3）由直方圖，得：第3組人數(shù)為0.3×100=30，第4組人數(shù)為0.2×100=20人，第5組人數(shù)為0.1×100=10人．所以利用分層抽樣在60名學生中抽取6名學生，每組分別：第3組：人，第4組：人，第5組：=1人．所以第3、4、5組分別抽取3人、2人、1人．設第3組的3位同學為A1，A2，A3，第4組的2位同學為B1，B2，第5組的1位同學為C1，則從六位同學中抽兩位同學有15種可能如下：（A1，A2），（A1，A3），（A2，A3），（B1，B2），（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（A1，C1），（A2，C1），（A3，C1），（B1，C1），（B2，C1），其中恰有1人的分數(shù)不低于90（分）的情形有：（A1，C1），（A2，C1），（A3，C1），（B1，C1），（B2，C1），共5種．所以其中第4組的2位同學至少有一位同學入選的概率為.考點：①頻率分布直方；②平均數(shù)的求法；③古典概率．20.如圖，在三棱柱中，底面，，，，點，分別為與的中點.（1）證明：平面.（2）求與平面所成角的正弦值.【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】（1）先連接，，依據(jù)線面平行的判定定理，即可得出結論；（2）先以為原點建立如圖所示的空間直角坐標系，求出直線的的方向向量與平面的法向量，由向量夾角公式求出向量夾角余弦值，即可得出結果.【詳解】（1）證明：如圖，連接，.在三棱柱中，為的中點.又因為為的中點，所以.又平面，平面，所以平面.（2）解：以為原點建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，所以，，.設平面的法向量為，則，令，得.記與平面所成角，則.【點睛】本題主要考查線面平行的判定、以及線面角的向量求法，熟記線面平行的判定定理以及空間向量的方法即可，屬于常考題型.21.已知橢圓的離心率為，且經(jīng)過點.（1）求橢圓的標準方程；（2）過點的直線交橢圓于兩點，是軸上的點，若是以為斜邊的等腰直角三角形，求直線的方程.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）將點坐標代入橢圓方程，與離心率聯(lián)立方程組解得a,b，（2）將等腰三角形轉化為的中垂線方程過點，且點到直線距離等于AB一半，先設直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，依據(jù)韋達定理以及弦長公式可得AB長以及AB中點，依據(jù)點斜式求的中垂線方程，求與x軸交點得Q點坐標，依據(jù)點到直線距離公式列方程解得直線斜率，即得直線方程.【詳解】（1）由，設橢圓方程為則，橢圓方程為（2）設的中點坐標，，則由得由得，，的中垂線方程為，所以點到直線的距離為，，所以，解得直線的方程為22.已知.（1）求函數(shù)在點處的切線方程；（2）若時，若不等式對隨意恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）【解析】分析：（1）先依據(jù)導數(shù)幾何意義得切線斜率，再依據(jù)點斜式得切線方程，（2）先構造函數(shù)再通過二