第四章導(dǎo)數(shù)第四章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用第第5講恒成立和存在性問題1．積累常用的不等式，熟練運用導(dǎo)數(shù)解決不等式恒成立問題、存在性問題．2．熟練使用別離參數(shù)、分類討論等方法解決參數(shù)范圍問題．3．能夠大致描繪函數(shù)圖象，能借助圖象理解題意和解題．【例1】函數(shù)，．〔1〕假設(shè)，其中是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，試討論的單調(diào)性；〔2〕證明：當(dāng)時，．【答案】〔1〕當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；〔2〕證明見解析．【解析】〔1〕的定義域為，，，，當(dāng)時，恒成立，此時在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，，即可得，所以，由，即可得，所以，所以當(dāng)時，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，綜上所述：當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減．〔2〕當(dāng)時，，設(shè)，那么，令，那么，所以在上單調(diào)遞增，且，所以時，，即，此時單調(diào)遞減；當(dāng)時，，即，此時單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以，所以對于恒成立，所以．【變式1．1】函數(shù)．〔1〕討論的單調(diào)性；〔2〕證明：當(dāng)時，恒成立．【答案】〔1〕時，在為單調(diào)減函數(shù)；時，在為單調(diào)減函數(shù)，在為單調(diào)增函數(shù)；〔2〕證明見解析．【解析】〔1〕，其中；當(dāng)時，，在為單調(diào)減函數(shù)；當(dāng)時，，，為單調(diào)減函數(shù)；，，為單調(diào)增函數(shù)，綜上，時，在為單調(diào)減函數(shù)；時，在為單調(diào)減函數(shù)，在為單調(diào)增函數(shù)．〔2〕證明：因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取等號．由〔1〕知，所以，令，那么為增函數(shù)，所以，即時，恒成立．【例2】函數(shù)．〔1〕求曲線在處的切線方程；〔2〕設(shè)，證明：．【答案】〔1〕；〔2〕證明見解析．【解析】〔1〕，且，所以切線方程，即．〔2〕由，，，所以在為增函數(shù)，又因為，，所以存在唯一，使，即且當(dāng)時，，為減函數(shù)，時，，為增函數(shù)，所以，，記，，，所以在上為減函數(shù)，所以，所以．【變式2．1】函數(shù)〔〕．〔1〕討論函數(shù)的單調(diào)性；〔2〕假設(shè)，，求證：當(dāng)時，．【答案】〔1〕見解析；〔2〕證明見解析．【解析】〔1〕函數(shù)的定義域為，且．①假設(shè)，那么，因而在上單調(diào)遞增；②假設(shè)，那么當(dāng)及時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減；③假設(shè)，那么當(dāng)及時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，綜上，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在，上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．〔2〕由題意知，∴，故．欲證當(dāng)時，，∵當(dāng)時，，．∴只需證：，即在上恒成立，設(shè)，那么．設(shè)，那么，故當(dāng)時，，單調(diào)遞增．又，，∴有且只有一個根，且，．∴在上，，單調(diào)遞減；在上，，單調(diào)遞增，∴函數(shù)的最小值．又∵，∴在上恒成立，故成立．利用導(dǎo)數(shù)證明不等式恒成立的兩種情形〔1〕假設(shè)函數(shù)最值可以通過研究導(dǎo)數(shù)求得，那么可先利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化成函數(shù)最值問題來解決：；．〔2〕假設(shè)函數(shù)最值無法通過研究導(dǎo)數(shù)求得，即導(dǎo)函數(shù)的零點無法精確求出時，可以利用“虛設(shè)和代換〞的方法求解．“虛設(shè)和代換〞法當(dāng)導(dǎo)函數(shù)的零點無法求出顯性的表達式時，我們可以先證明零點存在，再虛設(shè)為，接下來通常有兩個方向：〔1〕由得到一個關(guān)于的方程，再將這個關(guān)于的方程的整體或局部代入，從而求得，然后解決相關(guān)問題．〔2〕根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，得出兩側(cè)導(dǎo)函數(shù)的正負，進而得出原函數(shù)的單調(diào)性和極值，使問題得解．【例3】函數(shù)，．〔1〕證明：當(dāng)時，；〔2〕證明：當(dāng)時，存在，使得任意，恒有；〔3〕確定的所有可能取值，使得存在，對任意的，恒有．【答案】〔1〕證明見解析；〔2〕證明見解析；〔3〕．【解析】〔1〕證明：令，所以．當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減．又因為，所以當(dāng)時，，即，所以．〔2〕證明：令，，．當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，故對任意的正實數(shù)均滿足題意．當(dāng)時，令，得，取，對任意，恒有，所以在上單調(diào)遞增，，即．綜上，當(dāng)，總存在，使得對任意，恒有．〔3〕當(dāng)時，由〔1〕知，對于任意，，故．此時．令，那么有．令，得，〔另一根為負，舍去〕，故當(dāng)時，，即在上單調(diào)遞增，故，即．所以滿足題意的不存在．當(dāng)時，由〔2〕知，存在，使得對任意的，恒有，此時．令，那么有．令，即，得〔另一根為負，舍去〕，故當(dāng)時，，即在上單調(diào)遞增，故，即．記與中較小的為，那么當(dāng)時，恒有，故滿足題意的不存在．當(dāng)時，由〔1〕知，當(dāng)時，．令，那么有．當(dāng)時，，即在上單調(diào)遞減，故．故當(dāng)時，恒有，此時任意正實數(shù)滿足題意，綜上，的取值為1．【變式3．1】函數(shù)．〔1〕求函數(shù)的極值；〔2〕求證：對任意給定的正數(shù)a，總存在正數(shù)x，使得不等式成立．【答案】〔1〕，無極大值；〔2〕證明見解析．【解析】〔1〕因為，所以，令，那么，當(dāng)時，，即在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，，即在上單調(diào)遞減，所以時，取得極小值，，無極大值．〔2〕由〔1〕知當(dāng)時，，要證，即，即證當(dāng)時，不等式，即在上有解．令，即證，由，得．當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增，，令，其中，那么，遞減，，綜上得證．【例4】函數(shù)．〔1〕討論的單調(diào)性；〔2〕假設(shè)存在，求的取值范圍．【答案】〔1〕分類討論，答案見解析；〔2〕．【解析】〔1〕函數(shù)的定義域為，，當(dāng)時，，那么在上遞增，當(dāng)時，由，得，由，得；由，得，于是有在上遞增，在上遞減．〔2〕由，得，，，當(dāng)時，，滿足題意；當(dāng)時，令，，在上遞增，那么，不合題意；當(dāng)時，由，得；由，得，于是有在上遞減，在上遞增，，那么時，，綜上，的取值范圍為．【變式4．1】函數(shù)．〔1〕當(dāng)時，討論函數(shù)的極值；〔2〕假設(shè)存在，使得，求實數(shù)的取值范圍．【答案】〔1〕答案不唯一，具體見解析；〔2〕．【解析】〔1〕由題意，函數(shù)，可得．①當(dāng)時，假設(shè)，那么；假設(shè)，那么，所以在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)，所以當(dāng)時，取得極小值，無極大值；②當(dāng)時，假設(shè)或，那么；假設(shè)，那么，在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)，所以當(dāng)時，取得極大值，當(dāng)時，取得極小值；③當(dāng)時，，∴在區(qū)間上是增函數(shù)，∴既無極大值又無極小值，綜上所述，當(dāng)時，有極小值，無極大值；當(dāng)時，有極大值，極小值；當(dāng)時，既無極大值又無極小值．〔2〕由題知，存在，使得，設(shè)，那么，設(shè)，∴在區(qū)間上是增函數(shù)，又，，∴存在，使得，即，∴，當(dāng)時，，即；當(dāng)時，，即，∴在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)，∴，∴，∴，∴實數(shù)的取值范圍為．【例5】函數(shù)．〔1〕當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；〔2〕假設(shè)存在，使不等式成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】〔1〕；〔2〕．【解析】〔1〕當(dāng)時，，那么，所以，而，所以曲線在點處的切線方程為，即．〔2〕假設(shè)存在，使不等式成立，即存在，使不等式成立，存在，不等式成立，設(shè)，，那么，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，又，，，即，故，所以實數(shù)的取值范圍為．【變式5．1】是自然對數(shù)的底數(shù)，函數(shù)，．〔1〕假設(shè)曲線在點處的切線斜率為，求的最小值；〔2〕假設(shè)當(dāng)時，有解，求實數(shù)的取值范圍．【答案】〔1〕；〔2〕．【解析】〔1〕由，得．曲線在點處的切線斜率為，，，．當(dāng)時，，，，當(dāng)時，，，那么，在上單調(diào)遞增，．〔2〕，設(shè)，，那么當(dāng)時，有解．，．當(dāng)時，，解，可得或，解得，．當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減．，，且，，的取值范圍為．【例6】函數(shù)()．〔1〕當(dāng)時，求函數(shù)在點處的切線方程；〔2〕當(dāng)時，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】〔1〕；〔2〕．【解析】〔1〕當(dāng)時，，．那么曲線在點處的切線的斜率為．又，所以切線方程為．〔2〕由函數(shù)，等價于恒成立，那么，其中，，當(dāng)時，因為，所以，在上單調(diào)遞增，那么，符合題意；當(dāng)時，令，，當(dāng)時，解得，，在上單調(diào)遞減，那么，對于任意恒成立，不合題意；當(dāng)時，，設(shè)的兩個零點為，設(shè)，，那么，當(dāng)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，，單調(diào)遞減，又∵當(dāng)時，對數(shù)函數(shù)的增長速度遠不如的減小速度，∴，所以不合題意，綜上所述，實數(shù)的取值范圍是．【變式6．1】函數(shù)．〔1〕當(dāng)時，求曲線在處的切線方程；〔2〕假設(shè)對任意的，都有恒成立，求實數(shù)的取值范圍．附：．【答案】〔1〕；〔2〕．【解析】〔1〕當(dāng)時，，得出切點，因為，所以切線的斜率為，所以曲線在處的切線方程為，化簡得．〔2〕對任意的，都有恒成立，即恒成立，令，．①當(dāng)時，恒成立，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，時符合條件．②當(dāng)時，由，及，解得．當(dāng)時，；當(dāng)時，，，這與相矛盾，應(yīng)舍去．綜上可知，，所以的取值范圍為．【例7】函數(shù)．〔1〕當(dāng)時，求證：；〔2〕當(dāng)時，，求實數(shù)的取值范圍．【答案】〔1〕證明見解析；〔2〕．【解析】〔1〕證明：當(dāng)時，，定義域為，那么，由，得；由，得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以是的極小值點，也是的最小值點，且，所以．〔2〕解：由〔〕，得〔〕，當(dāng)時，上述不等式恒成立，當(dāng)時，，令〔〕，那么，由〔1〕可知，當(dāng)時，，所以由，得；由，得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以是的極小值點，也是的最小值點，且，所以，所以實數(shù)的取值范圍為．【變式7．1】函數(shù)．〔1〕討論的單調(diào)性；〔2〕假設(shè)恒成立，求的最大值．【答案】〔1〕答案見解析；〔2〕．【解析】〔1〕，當(dāng)時，恒成立，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在單調(diào)遞增；在單調(diào)遞減；當(dāng)時，在單調(diào)遞增，綜上所述：當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減．〔2〕在恒成立，可得恒成立；設(shè)，那么，令，那么，令，那么，因為，所以，在上單調(diào)遞增，，，令，那么，易知在單調(diào)遞減；在單調(diào)遞增，，可得，所以在上單調(diào)遞增，又因為，所以在上，；在上，，所以在上，單調(diào)遞減；在上，單調(diào)遞增，所以在上，，所以，所以的最大值為．〔1〕解決“不等式恒成立或能成立求參數(shù)〞問題常用方法之一是“別離參數(shù)法〞，即將參數(shù)與含有變量的式子別離，轉(zhuǎn)化成或的形式，利用“恒成立，恒成立，能成立，能成立〞把不等式恒成立或能成立問題轉(zhuǎn)化成利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)值問題．〔2〕在恒成立或能成立問題中，假設(shè)參數(shù)無法別離，可以嘗試帶著參數(shù)對原函數(shù)求導(dǎo)，然后令導(dǎo)數(shù)得零，得出極值點，根據(jù)極值點與區(qū)間端點的大小對參數(shù)進行分類討論，然后再從正面證明或者從反面找反例來說明每一類是否符合條件，最后取并集．【例8】函數(shù)．〔1〕當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；〔2〕假設(shè)對任意的，使得，求實數(shù)的取值范圍〔為自然對數(shù)的底數(shù)〕．【答案】〔1〕的單調(diào)減區(qū)間為，增區(qū)間為；〔2〕．【解析】〔1〕〔〕，由于，那么，當(dāng)時，，那么；當(dāng)時，，那么，所以的單調(diào)減區(qū)間為，增區(qū)間為．〔2〕對任意的，都有，那么，即，當(dāng)時，，當(dāng)時，，那么，當(dāng)時，，那么，所以此時的單調(diào)減區(qū)間為，增區(qū)間為，結(jié)合第〔1〕問知，當(dāng)時，的單調(diào)減區(qū)間為，增區(qū)間為，所以，，由，，那么，令，那么，所以在上是增函數(shù)，又，故當(dāng)時，；當(dāng)時，，即當(dāng)時，；當(dāng)時，，①當(dāng)時，，令，那么，又，即在上是增函數(shù)，所以；②當(dāng)時，有，那么，即，所以，即，綜上可知，實數(shù)的取值范圍是．【變式8．1】設(shè)，函數(shù)，函數(shù)．〔注：為自然對數(shù)的底數(shù)〕〔1〕假設(shè)，求函數(shù)的最小值；〔2〕假設(shè)對任意實數(shù)和正數(shù)，均有，求的取值范圍．【答案】〔1〕；〔2〕．【解析】〔1〕當(dāng)時，為增函數(shù)，且，所以在遞減，在遞增，所以．〔2〕因為，由于函數(shù)在上單增，且，，所以存在唯一的使得，且．再令，，可知在單增，而由可知，，，所以．于是，所以．又為增函數(shù)，當(dāng)時，，當(dāng)時，；又當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以對任意，存在唯一實數(shù)，使得，即，且．由題意，即使得，也即，即，又由于單調(diào)遞增且，所以的值范圍為，代入求得的取值范圍為．【例9】函數(shù)，．〔1〕求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；〔2〕設(shè)函數(shù)，存在實數(shù)，使得不等式成立，求的取值范圍．【答案】〔1〕答案不唯一，具體見解析；〔2〕．【解析】〔1〕∵，∴，①當(dāng)時，∵，∴，，∴單減，∴減區(qū)間是；時，，∴單增，∴增區(qū)間是．②當(dāng)時，∵，∴，∴的減區(qū)間是．③當(dāng)時，∵，∴的減區(qū)間是．④當(dāng)時，，∴，∴的增區(qū)間是；，，∴的減區(qū)間是．〔2〕，因為存在實數(shù)，使得不等式成立，∴，，∵，，，單減；，，∴單增，∴，．∴，∴，∵，∴．【變式9．1】函數(shù)，．〔1〕假設(shè)，求證：當(dāng)時，函數(shù)與的圖象相切；〔2〕假設(shè)，對，都有，求的取值范圍．【答案】〔1〕證明見解析；〔2〕．【解析】〔1〕證明：∵，∴，當(dāng)時，，設(shè)點為函數(shù)圖象上的一點，令，設(shè)，∴，所以單調(diào)遞增，又，∴，此時，，即當(dāng)時，結(jié)論成立，切點為．〔2〕解：由得，∵，∴，可知，當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增，又∵；，∴當(dāng)時，，又∵當(dāng)時，，∴，∴，∴①；假設(shè)，當(dāng)時，，又∵，∴②；由①②可得，∴的取值范圍為．【例10】函數(shù)，其中．〔1〕求的單調(diào)區(qū)間；〔2〕假設(shè)對任意的，總存在，使得，求實數(shù)的值．【答案】〔1〕見解析；〔2〕．【解析】〔1〕∵，，當(dāng)時，對，，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為．當(dāng)時，令，得，∵時，；時，，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．綜上所述，時，的單調(diào)遞減區(qū)間為；時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．〔2〕討論：①當(dāng)且時，由〔1〕知，在上單調(diào)遞減，那么，因為對任意的，總存在，使得，所以對任意的，不存在，使得；②當(dāng)時，由〔1〕知，在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，那么，因為對，對，，所以對，不存在，使得；③當(dāng)時，令，由〔1〕知，在是增函數(shù)，進而知是減函數(shù)，所以，，，，因為對任意的，總存在，使得，即，故有，即，所以，解得，綜上，的值為．【變式10．1】函數(shù)，，．〔1〕當(dāng)時，求曲線在處的切線方程；〔2〕求的單調(diào)區(qū)間；〔3〕設(shè)，假設(shè)對于任意，總存在，使得成立，求的取值范圍．【答案】〔1〕；〔2〕見解析；〔3〕．【解析】〔1〕當(dāng)時，，所以，所以，所以曲線在處的切線方程為，即．〔2〕的定義域是，，令，得，①當(dāng)時，，所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是；②當(dāng)時，變化如下：++↗極大值↘↘極小值↗所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是；③當(dāng)時，變化如下：++↗極大值↘↘極小值↗所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是．〔3〕因為，所以，當(dāng)時，，所以在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，所以在上的最小值是，最大值是，即當(dāng)時，的取值范圍為，由〔2〕知，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因為，所以不合題意；當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，所以在上的最大值為，最小值為，所以當(dāng)時，的取值范圍為，“對于任意，總存在，使得成立〞等價于，即，解得，所以的取值范圍為．不等式的恒成立與有解問題，可按如下規(guī)那么轉(zhuǎn)化：一般地，函數(shù)，〔1〕假設(shè)，，總有成立，故；〔2〕假設(shè)，，有成立，故；〔3〕假設(shè)，，有成立，故；〔4〕假設(shè)，，有，那么的值域是值域的子集．一、解答題．1．函數(shù)，〔〕．〔1〕當(dāng)時，求函數(shù)的極值；〔2〕函數(shù)在區(qū)間上存在最小值，記為，求證：．【答案】〔1〕極大值為，無極小值；〔2〕證明見解析．【解析】〔1〕當(dāng)時，，，那么，當(dāng)，；當(dāng)，所以．所以當(dāng)時，取得極大值為，無極小值．〔2〕由題可知．①當(dāng)時，由〔1〕知，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以函數(shù)無最小值，此時不符合題意；②當(dāng)時，因為，所以，此時函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以函數(shù)無最小值，此時亦不符合題意；③當(dāng)時，此時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，即，要證，只需證當(dāng)時，成立，設(shè)，，由〔1〕知，所以．2．函數(shù)．〔1〕討論函數(shù)的單調(diào)性；〔2〕假設(shè)恒成立，求的取值范圍．【答案】〔1〕答案見解析；〔2〕．【解析】〔1〕，當(dāng)時，，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)時，由，得；由，得，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，綜上所述，當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減﹐在區(qū)間上單調(diào)遞增．〔2〕由〔1〕可得：當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞增；又，所以當(dāng)時，，不滿足題意；當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減﹐在區(qū)間上單調(diào)遞增；所以，為使恒成立，只需，令，，那么只需恒成立，又，由，得；由，得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，那么；又，所以只有，即，那么，綜上，的取值范圍為．3．設(shè)是函數(shù)的一個極值點．〔1〕求與之間的關(guān)系式，并求當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；〔2〕設(shè)，．假設(shè)存在使得成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】〔1〕由，在上單調(diào)遞增，在和單調(diào)遞減；〔2〕．【解析】〔1〕，由題意知，解得．當(dāng)，那么，故令，得，于是在上單調(diào)遞增，在和單調(diào)遞減．〔2〕由〔1〕得，令，得〔〕，所以在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，于是，；另一方面在上單調(diào)遞增，．根據(jù)題意，只要，解得，所以．4．函數(shù)，．〔1〕討論函數(shù)的單調(diào)性；〔2〕假設(shè)恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】〔1〕答案見解析；〔2〕．【解析】〔1〕函數(shù)的定義域為，且．①當(dāng)時，，假設(shè)，那么；假設(shè)，那么，此時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；②當(dāng)時，，令，可得〔舍〕或．假設(shè)，那么；假設(shè)，那么，此時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；③當(dāng)時，．〔i〕假設(shè)，即當(dāng)時，對任意的，，此時，函數(shù)在上為增函數(shù)；〔ii〕假設(shè)，即當(dāng)時，由可得或，且．由，可得或；由，可得．此時，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為、．綜上所述，當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為、；當(dāng)時，函數(shù)在上為增函數(shù)．〔2〕由，可得，即對任意的恒成立，令，其中，，令，其中，那么，．所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，那么，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，故，所以，當(dāng)時，，此時函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，此時函數(shù)在上單調(diào)遞減．所以，，．因此，實數(shù)的取值范圍是．5．函數(shù)．〔1〕假設(shè)存在極值，求的取值范圍；〔2〕當(dāng)時，求證：．【答案】〔1〕；〔2〕證明見解析．【解析】〔1〕函數(shù)的定義域為，，當(dāng)時，對任意的，，故在上單調(diào)遞增，無極值；當(dāng)時，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減，故在處取得極大值，無極小值，綜上所述，假設(shè)存在極值，那么的取值范圍為．〔2〕當(dāng)時，．設(shè)，其定義域為，那么證明即可．，設(shè)，那么，故函數(shù)在上單調(diào)遞增．，．有唯一的實根，且，．當(dāng)時，；當(dāng)時，，故函數(shù)的最小值為．，．6．函數(shù)．〔1〕當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；〔2〕設(shè)，當(dāng)時，對任意，存在，使得，求實數(shù)的取值范圍．【答案】〔1〕見解析；〔2〕．【解析】〔1〕函數(shù)的定義域為，，由，得或．當(dāng)，即時，由，得，由，得或；當(dāng)，即時，當(dāng)時都有；當(dāng)時，單調(diào)減區(qū)間是，單調(diào)增區(qū)間是，；當(dāng)時，單調(diào)增區(qū)間是，沒有單調(diào)減區(qū)間．〔2〕當(dāng)時，由〔1〕知在上單調(diào)遞減，在上