考研數(shù)學(xué)二分類模擬題37一、填空題1.

設(shè)，且AX=0有非零解，則A*X=0的通解為______．正確答案：(C1，C2為任意常數(shù))[解析]因為AX=0有非零解，所以|A|=0，

而且a＜0，所以a=-4．

因為r(A)=2，所以r(A*)=1．

因為A*A=|A|E=O，所以A的列向量組為A*X=0的解，

故A*X=0的通解為(C1，C2為任意常數(shù))．

2.

設(shè)A為n階矩陣，A的各行元素之和為0且r(A)=n-1，則方程組AX=0的通解為______．正確答案：(其中k為任意常數(shù))．[解析]k(1，1，…，1)T，其中k為任意常數(shù)．因為A的各行元素之和為零，所以又因為r(A)=n-1，所以為方程組AX=0的基礎(chǔ)解系，從而通解為(其中k為任意常數(shù))．

3.

設(shè)A為n階矩陣，且|A|=0，Aki≠0，則AX=0的通解為______．正確答案：C(Ak1，Ak2，…，Aki，…，Akn)T(C為任意常數(shù))[解析]因為|A|=0，所以r(A)＜n，又因為Aki≠0，所以r(A*)≥1，從而(A)=n-1，AX=0的基礎(chǔ)解系含有一個線性無關(guān)的解向量，又AA*=|A|E=O，所以A*的列向量為方程組AX=0的解向量，故AX=0的通解為C(Ak1，Ak2，…，Aki，…，Akn)T(C為任意常數(shù))．

4.

設(shè)η1，…，ηs是非齊次線性方程組AX=b的一組解，則k1η1+…+ksηs為方程組AX=b的解的充分必要條件是______．正確答案：k1+k2+…+ks=1[解析]k1，k2，…，ks=1．顯然k1η1+k2η2+…+ksηs為方程AX=b的解的充分必要條件是A(k1η1+k2η2+…+ksηs)=b，因為Aη1=Aη2=…=Aηs=b，所以(k1+k2+…+ks)b=b，注意到b≠0，所以k1+k2+…+ks=1，即k1η1+k2η2+…+ksηs為方程組AX=b的解的充分必要條件是k1+k2+…+ks=1．

5.

設(shè)B≠O為三階矩陣，且矩陣B的每個列向量為方程組的解，則k=______，|B|=______．正確答案：1

0[解析]令，因為B的列向量為方程組的解且B≠O，所以AB=O且方程組有非零解，故|A|=0，解得k=1．因為AB=O，所以r(A)+r(B)≤3且r(A)≥1，于是r(B)≤2＜3，故|B|=0．

6.

設(shè)α1，α2，α3是四元非齊次線性方程組AX=b的三個解向量，r(A)=3，且，則方程組AX=b的通解為______．正確答案：(k為任意常數(shù))[解析]因為r(A)=3，所以方程組AX=b的通解為kξ+η，其中，于是方程組的通解為(k為任意常數(shù))．

7.

設(shè)方程組無解，則a=______．正確答案：-1[解析]因為方程組無解，所以，于是r(A)＜3，即|A|=0．由|A|=3+2a-a2=0，得a=-1或a=3．當(dāng)a=3時，因為，所以方程組有無窮多個解；

當(dāng)a=-1時，，因為，所以方程組無解，于是a=-1．

8.

設(shè)方程組有解，則α1，α2，α3，α4滿足的條件是______．正確答案：α1+α2+α3+α4=0[解析]

因為原方程組有解，所以，于是α1+α2+α3+α4=0．

二、選擇題1.

設(shè)A是m×n階矩陣，下列命題正確的是______．A.若方程組AX=0只有零解，則方程組AX=b有唯一解B.若方程組AX=0有非零解，則方程組AX=b有無窮多個解C.若方程組AX=b無解，則方程組AX=0一定有非零解D.若方程組AX=b有無窮多個解，則方程組AX=0一定有非零解正確答案：D[解析]方程組只有零解，而無解，故A不對；

方程組有非零解，而無解，故B不對；

方程組無解，但只有零解，故C不對；

若AX=b有無窮多個解，則，從而r(A)＜n，故方程組AX=0一定有非零解，選D．

2.

設(shè)A是m×n階矩陣，則下列命題正確的是______．A.若m＜n，則方程組AX=b一定有無窮多個解B.若m＞n，則方程組AX=b一定有唯一解C.若r(A)=n，則方程組AX=b一定有唯一解D.若r(A)=m，則方程組AX=b一定有解正確答案：D[解析]因為若r(A)=m(即A為行滿秩矩陣)，則，于是，即方程組AX=b一定有解，選D．

3.

設(shè)α1，α2，α3，α4為四維非零列向量組，令A(yù)=(α1，α2，α3，α4)，AX=0的通解為X=k(0，-1，3，0)T，則A*X=0的基礎(chǔ)解系為______．A.α1，α3B.α2，α3，α4C.α1，α2，α4D.α3，α4正確答案：C[解析]因為AX=0的基礎(chǔ)解系只含一個線性無關(guān)的解向量，

所以r(A)=3，于是r(A*)=1．

因為A*A=|A|E=O，所以α1，α2，α3，α4為A*X=0的一組解，

又因為-α2+3α3=0，所以α2，α3線性相關(guān)，從而α1，α2，α4線性無關(guān)，即為A*X=0的一個基礎(chǔ)解系，應(yīng)選C．

4.

設(shè)向量組α1，α2，α3為方程組AX=0的一個基礎(chǔ)解系，下列向量組中也是方程組AX=0的基礎(chǔ)解系的是______．A.α1+α2，α2+α3，α3-α1B.α1+α2，α2+α3，α1+2α2+α3C.α1+2α2，2α2+3α3，3α3+α1D.α1+α2+α3，2α1-3α2+22α3，3α1+5α2-5α3正確答案：C[解析]根據(jù)齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)，四個向量組皆為方程組AX=0的解向量組，容易驗證四組中只有C組線性無關(guān)，所以選C．

5.

設(shè)α1，α2為齊次線性方程組AX=0的基礎(chǔ)解系，β1，β2為非齊次線性方程組AX=b的兩個不同解，則方程組AX=b的通解為______．

A．

B．

C．

D．正確答案：D[解析]選D，因為α1，α1+α2為方程組AX=0的兩個線性無關(guān)解，也是基礎(chǔ)解系，而為方程組AX=b的一個特解，根據(jù)非齊次線性方程組通解結(jié)構(gòu)，選D．

三、解答題1.

求方程組的通解．正確答案：[解]

方法一

原方程組的同解方程組為或者

故原方程組的通解為

(其中x3，x4，x5為任意常數(shù))．

方法二原方程組的基礎(chǔ)解系為

故通解為(其中是k1，k2，k3為任意常數(shù))．

2.

參數(shù)a取何值時，線性方程組有無數(shù)個解?求其通解．正確答案：[解]

若a=1，則，原方程組的通解為X=k(-1，0，1)T+(2，-1，0)(k為任意常數(shù))，

若a≠1，則

當(dāng)a=2時，方程組無解；

當(dāng)a=-2時，，原方程組的通解為X=k(1，1，1)T+(2，2，0)(k為任意常數(shù))．

3.

設(shè)為的三個解，求其通解．正確答案：[解]，因為A有兩行不成比例，所以r(A)≥2，又原方程組至少有三個線性無關(guān)解，所以4-r(A)+1≥3，即r(A)≤2，則r(A)=2，于是原方程組的通解為(k1，k2為任意常數(shù))．

4.

，求極大線性無關(guān)組，并把其余向量用極大線性無關(guān)組線性表出．正確答案：[解]令為一個極大線性無關(guān)組，α3=3α1+α2，α5=2α1+α2．

5.

設(shè)α1，α2，α3為四維列向量組，α1，α2線性無關(guān)，α3=3α1+2α2，A=(α1，α2，α3)，求AX=0的一個基礎(chǔ)解系．正確答案：[解]方法一

AX=0x1α1+x2α2+x3α3=0，由α3=3α1+2α2可得(x1+3x3)α1+(x2+2x3)α2=0，

因為α1，α2線性無關(guān)，因此的一個基礎(chǔ)解系為

方法二

由r(A)=2可知AX=0的基礎(chǔ)解系含有一個線性無關(guān)的解向量，而3α1+2α2-α3=0，

因此為AX=0的一個基礎(chǔ)解系．

6.

設(shè)A是3×4階矩陣且r(A)=1，設(shè)(1，-2，1，2)T，(1，0，5，2)T，(-1，2，0，1)T，(2，-4，3，a+1)T皆為AX=0的解．(1)求常數(shù)a；(2)求方程組AX=0的通解．正確答案：因為r(A)=1，所以方程組AX=0的基礎(chǔ)解系含有三個線性無關(guān)的解向量，故(1，-2，1，2)T，(1，0，5，2)T，(-1，2，0，1)T，(2，-4，3，a+1)T線性相關(guān)，即，解得a=6．

(2)因為(1，-2，1，2)T，(1，0，5，2)T，(-1，2，0，1)T線性無關(guān)，所以方程組AX=0的通解為X=k1(1，-2，1，2)T+k2(1，0，5，2)T+k3(-1，2，0，1)T(k1，k2，k3為任意常數(shù))．

7.

設(shè)A=(α1，α2，α3，α4，α5)，其中α1，α2，α5線性無關(guān)，且α2=3α1-α3-α5，α4=2α1+α3+6α5，求方程組AX=0的通解．正確答案：[解]因為α1，α3，α5線性無關(guān)，又α2，α4可由α1，α3，α5線性表示，所以r(A)=3，齊次線性方程組AX=0的基礎(chǔ)解系含有兩個線性無關(guān)的解向量．

由α2=3α1-α3-α5，α4=2α1+α3+6α5得方程組AX=0的兩個解為

ξ1=(3，-1，-1，0，-1)T，ξ2=(2，0，1，-1，6)T

故AX=O的通解為k1(3，-1，-1，0，-1)T+k2(2，0，1，-1，6)T(k1，k2為任意常數(shù))．

8.

四元非齊次線性方程組AX=b有三個解向量α1，α2，α3且r(A)=3，設(shè)，求方程組AX=b的通解．正確答案：[解]因為r(A)=3，所以方程組AX=b的通解形式為kξ+η，其中ξ為AX=0的一個基礎(chǔ)解系，η為方程組AX=b的特解，根據(jù)方程組解的結(jié)構(gòu)的性質(zhì)，

所以方程組AX=b的通解為(k為任意常數(shù))．

9.

An×n=(α1，α2，…αn)，Bn×n=(α1+α2，α2+α3，…αn+α1)，當(dāng)r(A)=n時，方程組BX=0是否有非零解?正確答案：[解]方法一

由r(A)=n可知|A|≠0，而

當(dāng)n為奇數(shù)時，|B|≠0，方程組BX=0只有零解；

當(dāng)n為偶數(shù)時，|B|=0，方程組BX=0有非零解．

方法二BX=0x1(α1+α2)+x2(α2+α3)+…+xn(αn+α1)=0

(x1+xn)α1+(x1+x2)α2+…+(xn-1+xn)αn=0，

因為α1，α2，…，αn線性無關(guān)，

所以

當(dāng)n為奇數(shù)時，|B|≠0，方程組BX=0只有零解；

當(dāng)n為偶數(shù)時，|B|=0，方程組BX=0有非零解．

設(shè)10.

a，b為何值時，β不能表示為α1，α2，α3，α4的線性組合?正確答案：[解]令x1α1+x2α2+x3α3+x4α4=β

(*)

當(dāng)a=-1，b≠0時，因為，所以方程組(*)無解，即β不能表示為α1，α2，α3，α4的線性組合；

11.

a，b為何值時，β可唯一表示為α1，α2，α3，α4的線性組合?正確答案：[解]當(dāng)a≠-1時，β可唯一表示為α1，α2，α3，α4的線性組合．

設(shè)n階矩陣A=(α1，α2，…，αn)的前n-1個列向量線性相關(guān)，后n-1個列向量線性無關(guān)，且α1+2α2+…+(n-1)αn-1=0，b=α1+α2+…+αn12.

證明方程組AX=b有無窮多個解；正確答案：[證明]因為r(A)=n-1，又b=α1+α2+…+αn，所以，即，所以方程組AX=b有無窮多個解．

13.

求方程組AX=b的通解．正確答案：[解]因為α1+2α2+…+(n-1)αn-1=0，所以α1+2α2+…+(n-1)αn-1+0αn=0，即齊次線性方程組AX=0有基礎(chǔ)解系ξ=(1，2，…，n-1，0)T，

又因為b=α1+α2+…+αn，所以方程組AX=b有特解η=(1，1，…，1)T，

故方程組AX=b的通解為

kξ+η=k(1，2，…，n-1，0)T+(1，1，…，1)T(k為任意常數(shù))．

14.

設(shè)，且AX=0的基礎(chǔ)解系含有兩個線性無關(guān)的解向量，求AX=0的通解．正確答案：[解]

因為r(A)=2，所以t=1，方程組的通解為

(k1，k2為任意常數(shù))．

15.

就a，b的不同取值，討論方程組解的情況．正確答案：[解]

(1)當(dāng)a≠0，a≠b時，方程組有唯一解，唯一解為，x3=0；

(2)當(dāng)a=0時，

因為，所以方程組無解；

(3)當(dāng)a=b≠0時，方程組有無窮多個解，通解為(k為任意常數(shù))．

設(shè)16.

若ai≠aj(i≠j)，求ATx=b的解；正確答案：[解]D=|AT|=(a4-a1)(a4-a2)(a4-a3)(a3-a1)(a3-a2)(a2-a1)，

若ai≠aj(i≠j)，則D≠0，方程組有唯一解，又D1=D2=D3=0，D4=D，所以方程組的唯一解為X=(0，0，0，1)T；

17.

若a1