2020-2021學(xué)年浙江省杭州市學(xué)軍中學(xué)（紫金港學(xué)區(qū)）高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知角的終邊過點(diǎn)，則（）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用三角函數(shù)的定義可求得的值.【詳解】由三角函數(shù)的定義可得.故選：B.2．已知直線m，n，平面α，β，若α//β，m?α，n?β，則直線m與n的關(guān)系是（）A．平行 B．異面C．相交 D．平行或異面【答案】D【分析】根據(jù)兩平面平行的性質(zhì)即可得出答案.【詳解】若α//β，則內(nèi)的直線與內(nèi)的直線沒有交點(diǎn)，所以當(dāng)m?α，n?β，則直線m與n的關(guān)系是平行或異面.故選：D3．已知向量均為單位向量，它們的夾角為，則（）A． B． C．1 D．2【答案】C【分析】根據(jù)因?yàn)橄蛄烤鶠閱挝幌蛄?，它們的夾角為，由平方，利用數(shù)量積的運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)橄蛄烤鶠閱挝幌蛄?，它們的夾角為，所以，，所以，故選：C4．若復(fù)數(shù)滿足（其中i為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】設(shè)根據(jù)復(fù)數(shù)滿足，得到，再利用復(fù)數(shù)相等求解.【詳解】設(shè)，.因?yàn)閺?fù)數(shù)滿足，所以，所以，所以.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算及幾何意義，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.5．在中，若，則一定是（）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形【答案】D【分析】先用余弦定理邊化角得，再用正弦定理邊化角的，再根據(jù)二倍角的正弦公式得，進(jìn)而可得答案.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，所以，因?yàn)椋瑸槿切蔚膬?nèi)角，所以或，所以或，所以一定是等腰三角形或直角三角形.故選：D6．函數(shù)的圖象大致為（）A． B．C． D．【答案】D【分析】確定函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱，排除AC，再結(jié)合特殊的函數(shù)值的正負(fù)或函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)排除B，得出正確結(jié)論．【詳解】函數(shù)定義域是，由于的圖象關(guān)于直線對稱，的圖象也關(guān)于直線對稱，因此的圖象關(guān)于直線對稱，排除AC，有無數(shù)個(gè)零點(diǎn)，因此也有無數(shù)個(gè)零點(diǎn)，且當(dāng)時(shí)，，排除B．故選：D．【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：函數(shù)圖象的辨識(shí)可從以下方面入手：(1)從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置．(2)從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢；(3)從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對稱性；(4)從函數(shù)的特征點(diǎn)，排除不合要求的圖象.7．《九章算術(shù)》中《方田》章有弧田面積計(jì)算問題，計(jì)算術(shù)曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一.其大意是，弧田面積計(jì)算公式為：弧田面積（弦乘矢+矢乘矢），弧田是由圓?。ê喎Q為弧田的?。┖鸵詧A弧的端點(diǎn)為端點(diǎn)的線段（簡稱（弧田的弦）圍成的平面圖形，公式中“弦”指的是弧田的弦長，“矢”等于弧田的弧所在圓的半徑與圓心到弧田的弦的距離之差.現(xiàn)有一弧田，其弦長等于，其弧所在圓為圓，若用上述弧田面積計(jì)算公式計(jì)算得該弧田的面積為，則（）A． B． C． D．【答案】D【分析】如圖，設(shè)，設(shè)該圓的半徑為，由題意得，，代入數(shù)據(jù)即可求出，從而可求出答案．【詳解】解：由題意，作出示意圖得點(diǎn)為弦的中點(diǎn)，則，設(shè)，設(shè)該圓的半徑為，∴，∵，∴，由題意，“弦”指，“矢”指，∵該弧田的面積為，∴，即，解得，或（舍去），∴，解得，∴，∴，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系，考查垂徑定理，屬于中檔題．8．如圖，在正方形中，為的中點(diǎn)，是以為直徑的半圓弧上任意一點(diǎn)，設(shè)，則的最小值為（）A． B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，利用坐標(biāo)法將用點(diǎn)坐標(biāo)表示，即可求出的最小值.【詳解】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，，則，，，半圓的方程為，所以，，，因?yàn)椋?，所以，即，所以，又是半圓上的任意一點(diǎn)，所以，，，所以，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值.故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查二元變量的最值求法，關(guān)鍵是根據(jù)已知把幾何圖形放在適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中，把有關(guān)點(diǎn)與向量用坐標(biāo)表示，這樣就能進(jìn)行相應(yīng)的代數(shù)運(yùn)算和向量運(yùn)算，從而使問題得到解決.二、多選題9．（多選題）如圖，在下列四個(gè)正方體中，為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，為所在棱的中點(diǎn)，則在這四個(gè)正方體中，直線與平面平行的是（）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】利用線面平行的判定定理逐一分析選項(xiàng)可得答案.【詳解】解：對于A，如圖，O為底面對角線的交點(diǎn)，可得AB∥OQ，又OQ∩平面MNQ＝Q，所以直線AB與平面MNQ不平行；對于B，由于AB∥MQ，結(jié)合線面平行的判定定理可知AB與平面MNQ平行；對于C，由于AB∥MQ，結(jié)合線面平行的判定定理可知AB與平面MNQ平行；對于D，由于AB∥NQ，結(jié)合線面平行的判定定理可知AB與平面MNQ平行．故選：BCD．10．如圖所示，在凸四邊形ABCD中，對邊BC，AD的延長線交于點(diǎn)E，對邊AB，DC的延長線交于點(diǎn)F，若，則（）A． B．C．的最大值為1 D．【答案】ABD【分析】選項(xiàng)A.由，可得可判斷；選項(xiàng)B.過作交于點(diǎn)，所以,結(jié)合條件可判斷；選項(xiàng)C.由B結(jié)合均值不等式可判斷；選項(xiàng)D.由結(jié)合均值不等式可判斷.【詳解】選項(xiàng)A.由，可得所以，故A正確.選項(xiàng)B.過作交于點(diǎn)所以,由這兩式可得由，則，，所以，即，故B正確.選項(xiàng)C.由B可得當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取得等號(hào),故C不正確.選項(xiàng)D.由得,由，當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取得等號(hào)所以，故D正確.故選：ABD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查向量的線性運(yùn)算共線等的應(yīng)用，考查利用均值不等式求最值，解答本題的關(guān)鍵是過作交于點(diǎn)，得到，，屬于中檔題.三、填空題11．關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)解，則__________．【答案】2【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)相等概念列方程組，解得結(jié)果.【詳解】因?yàn)榉匠逃袑?shí)數(shù)解，所以x可以看成實(shí)數(shù)，方程可整理成，根據(jù)復(fù)數(shù)相等的條件得，解得．故答案為：2【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)相等、復(fù)系數(shù)方程，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.12．中國古代計(jì)時(shí)器的發(fā)明時(shí)間不晚于戰(zhàn)國時(shí)代（公元前年~前年），其中沙漏就是古代利用機(jī)械原理設(shè)計(jì)的一種計(jì)時(shí)裝置，它由兩個(gè)形狀完全相同的容器和一個(gè)狹窄的連接管道組成，開始時(shí)細(xì)沙全部在上部容器中，細(xì)沙通過連接管道流到下部容器，如圖，某沙漏由上、下兩個(gè)圓錐容器組成，圓錐的底面圓的直徑和高均為，細(xì)沙全部在上部時(shí)，其高度為圓錐高度的（細(xì)管長度忽略不計(jì)）.若細(xì)沙全部漏入下部后，恰好堆成一個(gè)蓋住沙漏底部的圓錐形沙堆，則此圓錐形沙堆的高為___________.【答案】【分析】設(shè)沙堆的高為，根據(jù)細(xì)沙的體積相等可得出，可得出，即可得解.【詳解】設(shè)圓錐形容器的底面圓半徑為，高為，則圓錐形容器的體積為，當(dāng)細(xì)沙在上部時(shí)，細(xì)沙形成一個(gè)圓錐，該圓錐的底面圓半徑為，高為，細(xì)沙的體積為，當(dāng)細(xì)沙在下部時(shí)，細(xì)沙形成一個(gè)圓錐，該圓錐的底面半徑為，設(shè)此時(shí)沙堆的高為，則，可得.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查圓錐體積的高為求解，解題的關(guān)鍵在于利用細(xì)沙的體積相等建立等式得出與的等量關(guān)系，同時(shí)也應(yīng)分析出當(dāng)細(xì)沙在上部時(shí)，細(xì)沙的體積與圓錐形容器的體積比，進(jìn)而結(jié)合圓錐的體積公式來求解.13．在中，，則周長的最小值為________．【答案】【分析】先利用余弦定理可得把代入可得寫出周長，利用基本不等式可求周長的最小值.【詳解】由余弦定理可得因?yàn)?，即；所以整理可得即記周長為，則設(shè)則當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取到最小值.且最小值為.故答案為：.14．已知平面內(nèi)非零向量，，，滿足，，，若，則的取值范圍是______.【答案】【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，由所給等式求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，設(shè)，由可知點(diǎn)C在以為圓心，1為半徑的圓上，問題轉(zhuǎn)化為圓上的點(diǎn)到定點(diǎn)的距離的范圍.【詳解】，，，，又，的夾角為，建立如圖所示直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，設(shè)，，，則點(diǎn)C在以為圓心，1為半徑的圓上，的取值范圍轉(zhuǎn)化為圓上的點(diǎn)到定點(diǎn)的距離的范圍，圓心到點(diǎn)的距離為，的取值范圍為.故答案為：四、雙空題15．三個(gè)平面最多能把空間分為_____部分，最少能把空間分成_____部分.【答案】84【分析】可畫出圖形說明：三個(gè)平面都平行或者兩個(gè)平行一個(gè)與它們相交或者三個(gè)平行過同一條直線或者兩兩相交有三條交線這三條交線平行，或交于同一點(diǎn)．【詳解】①三個(gè)平面互相平行時(shí)，可把空間分成4部分.如圖（3）.②三個(gè)平面中恰有兩個(gè)平面平行時(shí)，可把空間分成6部分.如圖（4）.③三個(gè)平面兩兩相交于一條直線時(shí)，可把空間分成6部分.如圖（5）.④三個(gè)平面兩兩相交于三條直線且三條直線互相平行，可把空間分成7部分.如圖（6）.⑤三個(gè)平面兩兩相交于三條直線，且三條直線交于一點(diǎn)，可把空間分成8部分.如圖（7）.綜上可知，三個(gè)平面可把空間分成4或6或7或8部分.【點(diǎn)睛】本題考查平面分空間問題，解題時(shí)通過畫出平面增加立體感．16．為得到函數(shù)的圖象，只需將的圖象向____平移______個(gè)單位即可．【答案】右【分析】先將化為，然后對照可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?，要得到的圖象，只需將的圖象向右平移個(gè)單位即可.故答案為：①右；②.17．已知．若，則實(shí)數(shù)________；若與的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_______．【答案】；【分析】（1）利用可求解；（2）若與的夾角為銳角，則，且與不共線可解.【詳解】解：，，，解得.與的夾角為銳角，，且與不共線，，解得且，的取值范圍是.故答案為：；.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：（1）與的夾角為銳角，且與不共線.（2）與的夾角為鈍角，且與不共線.五、解答題18．已知．（1）求函數(shù)的最小正周期及單凋遞減區(qū)間；（2）求函數(shù)在區(qū)間的值域．【答案】（1）最小正周期是，單凋遞減區(qū)間是；（2）.【分析】先利用二倍角公式和輔助角法，將函數(shù)轉(zhuǎn)化為，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】，，，．（1）函數(shù)的最小正周期，令，解得，所以函數(shù)的單凋遞減區(qū)間是；（2）因?yàn)?，所以，則，所以，所以函數(shù)的值域是．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：1．討論三角函數(shù)性質(zhì)，應(yīng)先把函數(shù)式化成y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)的形式．2．函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期為，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期為.3．對于函數(shù)的性質(zhì)(定義域、值域、單調(diào)性、對稱性、最值等)可以通過換元的方法令t＝ωx＋φ，將其轉(zhuǎn)化為研究y＝sint的性質(zhì)．19．如圖，已知在長方體中，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求三棱錐的體積．【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）連接，利用中位線的性質(zhì)得出，再利用線面平行的判定定理可證得結(jié)論成立；（2）計(jì)算出，利用錐體的體積公式可求得結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)樗倪呅螢榫匦?，且，則為的中點(diǎn)，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則，平面，平面，因此，平面；（2）因?yàn)?，，且為的中點(diǎn)，所以，，在長方體中，平面，因此，.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：常見的線面平行的證明方法有：（1）通過面面平行得到線面平行；（2）通過線線平行得到線面平行，在證明線線平行中，經(jīng)常用到中位線定理或平行四邊形的性質(zhì).20．在海岸處，發(fā)現(xiàn)北偏東方向，距離為海里的處有一艘走私船，在處北偏西方向，距離為海里的處有一艘緝私艇奉命以海里/時(shí)的速度追截走私船，此時(shí)，走私船正以海里/時(shí)的速度從處向北偏東方向逃竄.（1）問船與船相距多少海里？船在船的什么方向？（2）問緝私艇沿什么方向行駛才能最快追上走私船？并求出所需時(shí)間.【答案】（1），船在船的正西方向；（2）緝私艇沿東偏北方向行駛小時(shí)才能最快追上走私船．【分析】（1）在中根據(jù)余弦定理計(jì)算，再利用正弦定理計(jì)算即可得出方位；（2）在中，利用正弦定理計(jì)算，再計(jì)算得出追擊時(shí)間．【詳解】解：（1）由題意可知，，，在中，由余弦定理得：，，由正弦定理得：，即，解得：，，船在船的正西方向．（2）由（1）知，，設(shè)小時(shí)后緝私艇在處追上走私船，則，，在中，由正弦定理得：，解得：，，是等腰三角形，，即．緝私艇沿東偏北