第二章二次函數單元綜合檢測學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________能力拓展卷一、單選題1．（2021—2022山東日照市九年級月考）點，，均在二次函數的圖象上，則，，的大小關系是（）A． B． C． D．2．（2021—2022湖北武漢市九年級月考）拋物線y＝x2－（4a＋1）x＋3a2＋3a（a為常數）與x軸交于A、B兩點，若AB＝2，則a的值是（）A． B．－ C．－或 D．－或3．（2021—2022廣東肇慶市九年級月考）已知二次函數的圖象如圖所示，給出以下結論：①；②；③；④；⑤．其中結論正確的個數有A．1 B．2 C．3 D．4第3題圖第4題圖4．（2021·山東青島中考真題）已知反比例函數的圖象如圖所示，則一次函數和二次函數在同一直角坐標系中的圖象可能是（）A． B．C． D．5．（2021·江蘇南通中考真題）如圖，四邊形中，，垂足分別為E，F(xiàn)，且，．動點P，Q均以的速度同時從點A出發(fā)，其中點P沿折線運動到點B停止，點Q沿運動到點B停止，設運動時間為，的面積為，則y與t對應關系的圖象大致是（）A． B．C． D．6．（2021—2022陜西西安九年級模擬預測）已知二次函數的圖象只經過三個象限，則m的取值范圍是（）A． B． C． D．7．（2021—2022浙江溫州市實驗中學九年級月考）如圖，拋物線（a＞0）與x軸交于A，B，頂點為點D，把拋物線在x軸下方部分關于點B作中心對稱，頂點對應D′，點A對應點C，連接DD′，CD′，DC，當△CDD′是直角三角形時，a的值為（）A．或 B．或 C．或 D．或第7題圖第8題圖第10題圖8．（2021—2022·江蘇蘇州市九年級月考）如圖，在平面直角坐標系中，二次函數y＝x2﹣2x＋c的圖象與x軸交于A、C兩點，與y軸交于點B（0，﹣3），若P是x軸上一動點，點D（0，1）在y軸上，連接PD，則PD＋PC的最小值是（）A．4 B．2＋2 C．2 D．9．（2021·河北邢臺中考二模）對于題目：“線段與拋物線有唯一公共點，確定的取值范圍”、甲的結果是，乙的結果是，則（）A．甲的結果正確 B．乙的結果正確C．甲、乙的結果合在一起才正確 D．甲、乙的結果合在一起也不正確10．（2021·廣東深圳市中考一模）已知拋物線在坐標系中的位置如圖所示，它與，軸的交點分別為，，是其對稱軸上的動點，根據圖中提供的信息，以下結論中不正確的是（）A． B．C．周長的最小值是 D．是的一個根11．（2021·山東菏澤一模）如圖，在平畫直角坐標系中，拋物線經過點A(－2，0)和B(4，0)，點C為拋物線的頂點，則下列結論：①abc＞0；②關于x的不等式ax2＋bx＋c＜0的解集為－2＜x＜4；③3a＋c＜0；④若是直角三角形，則點C的坐標為(1，－3)；⑤若m為任意實數，則其中結論正確的個數是（）A．2 B．3 C．4 D．5二、填空題12．（2021—2022·北京市九年級月考）在平面直角坐標系xOy中，開口向下的拋物線y＝ax2+bx+c的一部分圖象如圖所示，它與x軸交于A(1，0)，與y軸交于點B(0，3)，可以判斷該拋物線的開口方向為___，a的取值范圍是___．第12題圖第16題圖13．（2021—2022江蘇通州九年級月考）已知二次函數，當時，y隨x的增大而增大，則m的取值范圍是______．15．（2021—2022江蘇蘇州市校九年級月考）拋物線經過點、兩點，點C為拋物線與y軸的交點，點D是直線AC上方的拋物線上一點，則面積的最大值是_________．16．（2021—2022·浙江溫州市實驗中學九年級月考）小剛家裝有一種可調節(jié)淋浴噴頭高度的淋浴器，完全開啟后，水流近似呈拋物線狀，升降器AB和淋浴噴頭BC所成∠ABC＝135°，其中AB＝10cm，BC＝cm．剛開始時，OA＝140cm，水流所在的拋物線恰好經過點A，拋物線落地點D和點O相距70cm．為了方便淋浴，淋浴器仍需完全處于開啟的狀態(tài)，且要求落地點和點O的距離增加10cm，則小剛應把升降器AB向上平移____________cm．17．（2021—2022湖北武漢市九年級月考）如圖，二次函數的圖像與軸交于兩點，，其中，下列四個結論①；②；③；④，正確的序號是__________．第17題圖第18題圖18．（2021—2022浙江寧波市九年級開學考試）如圖，拋物線與x軸交于、兩點，與y軸交于點，設拋物線的頂點為D．坐標軸上有一動點P，使得以P、A、C為頂點的三角形與相似．則點P的坐標______．19．（2021·湖北青山中考三模）拋物線y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常數，a＞0）經過點A（1，－1），B（－5，－1）兩點．下列四個結論：①ab＞0；②一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一個根在1和2之間；③當c＝－11時，方程ax2＋（b＋1）x＋c＝－6的解是x1＝－5，x2＝0.5；④對于任意的實數m，總有am2＋bm≥－b．其中正確的結論是_________（填寫序號）．三、解答題20．（2021—2022天津市九年級月考）如圖，拋物線經過點，，．（1）求拋物線的解析式；（2）若點為拋物線對稱軸上一點，求周長取得最小值時點的坐標；（3）設拋物線的頂點為，軸于點，在軸上是否存在點使得是直角三角形？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．21．（2021—2022四川南充市九年級月考）如圖，直線交軸于A點，交軸于B點，過A、B兩點的拋物線的頂點坐標(1，4)．（1）求的值和拋物線的解析式；（2）在拋物線的對稱軸上求一點P，使得PAB的周長最小，并求出最小值；（3）在拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合條件的Q點坐標；若不存在，請說明理由．22．（2021—2022遼寧蓋州市第四中學九年級月考）如圖，對稱軸x＝1的拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于A（﹣2，0），B兩點，與y軸交于點C（0，2），（1）求拋物線和直線BC的函數表達式；（2）若點Q是直線BC上方的拋物線上的動點，求△BQC的面積的最大值；（3）點P為拋物線上的一個動點，過點P作過點P作PD⊥x軸于點D，交直線BC于點E．若點P在第四象限內，當OD＝4PE時，△PBE的面積；（4）在（3）的條件下，若點M為直線BC上一點，點N為平面直角坐標系內一點，是否存在這樣的點M和點N，使得以點B，D，M，N為頂點的四邊形是菱形？若存在，直接寫出點N的坐標；若不存在，請說明理由．23．（2021—2022湖北大悟縣實驗中學九年級月考）如圖1，拋物線與x軸交于A（2，0），B（4，0），D為拋物線的頂點．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖2，若H為射線DA與y軸的交點，N為射線AB上一點，設N點的橫坐標為t，△DHN的面積為S，求S與t的函數關系式；（3）如圖3，在（2）的條件下，若N與B重合，G為線段DH上一點，過G作y軸的平行線交拋物線于F，連接AF，若∠AGN＝∠FAG，求GF的長．24．（2021—2022·重慶市育才中學九年級月考）如圖，拋物線y=ax2+bx+3交x軸于點A(?1，0)和點B(3，0)，與y軸交于點C，連BC，交對稱軸于點D．（1）求拋物線的解析式；（2）點是直線上方的拋物線上的一點，連接，，求的面積的最大值以及此時點的坐標；（3）將拋物線向右平移個單位得到新拋物線，新拋物線與原拋物線交于點，點是新拋物線的對稱軸上的一點，點是坐標平面內一點．當以、、、四點為頂點的四邊形是菱形時，直接寫出點的坐標，并寫出求解其中一個點的坐標的過程．25．（2021·重慶一中九年級期中）如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2+bx﹣4與x軸交于點A（﹣2，0）、B（4，0），與y軸交于點C．E為拋物線上一點，直線AE交y軸于點D，且OD＝OA．（1）求拋物線的解析式；（2）點P是第四象限內的拋物線上一點，過點P作PQ∥y軸交直線AE于點Q，交x軸于點F，過點P作PG⊥AE于點G，交x軸于點H，求PQ﹣GQ的最大值，并求出此時點P的坐標；（3）如圖2，點K為線段OD的中點，作射線AK，將該拋物線沿射線AK方向平移個單位長度，得到新拋物線y1＝a1x2+b1x+c1（a1≠0），新拋物線與原拋物線交于點I．點N是平面內一點，點M是新拋物線上一點，若以點I、E、M、N為頂點的四邊形是以IE為邊的矩形，請直接寫出點N的坐標．第二章二次函數單元綜合檢測學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________能力拓展卷一、單選題1．（2021—2022山東日照市九年級月考）點，，均在二次函數的圖象上，則，，的大小關系是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據函數解析式的特點，其對稱軸為x=1，圖象開口向上，在對稱軸的右側，y隨x的增大而增大，據二次函數圖象的對稱性可知，P1（-1，y1）與（3，y1）關于對稱軸對稱，可判斷y3＞y1=y2．【詳解】解：∵y=x2-2x+1=（x-1）2，∴拋物線開口向上，對稱軸為x=1，∴在對稱軸的右側，y隨x的增大而增大，根據二次函數圖象的對稱性可知，P1（-1，y1）與（3，y1）關于對稱軸對稱，∴1＜3＜5，故y3＞y1=y2，故選：A．【點睛】本題主要考查對二次函數圖象上點的坐標特征，二次函數的性質等知識點的理解和掌握，能熟練地運用二次函數的性質進行推理是解此題的關鍵．2．（2021—2022湖北武漢市九年級月考）拋物線y＝x2－（4a＋1）x＋3a2＋3a（a為常數）與x軸交于A、B兩點，若AB＝2，則a的值是（）A． B．－ C．－或 D．－或【答案】D【分析】根據題意，設，則，根據一元二次方程根與系數的關系求解即可【詳解】則，AB＝2，即則解得－或．故選D．【點睛】本題考查了二次函數與坐標軸交點的距離，一元二次方程根與系數的關系，掌握一元二次方程根與系數的關系是解題的關鍵．3．（2021—2022廣東肇慶市九年級月考）已知二次函數的圖象如圖所示，給出以下結論：①；②；③；④；⑤．其中結論正確的個數有A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】觀察拋物線與x軸的交點情況即可對①作出判斷；根據拋物線的開口方向、對稱軸的位置及拋物線與y軸的交點位置即可對②作出判斷；根據拋物線的對稱軸為直線x=1，即可對③作出判斷；觀察圖象當x=-2時，y>0，從而可對④作出判斷；觀察圖象當x=3時，y<0，從而可對⑤作出判斷．【詳解】拋物線與軸有兩個交點，，即，故①正確；拋物線開口向上，，對稱軸在軸的右側，，拋物線與軸交于負半軸，，，故②正確；，，故③錯誤；時，，，即，故④錯誤；根據拋物線的對稱性可知，當時，，，故⑤正確，故選：C．【點睛】本題考查了二次函數的圖象與性質，涉及數形結合；對于此類問題，一般是看拋物線的開口方向可確定a的符號、看對稱軸的位置可確定b的符號、看拋物線與y軸的交點位置確定c的符號，看拋物線與x軸交點的個數確定判別式的符號，根據函數圖象可確定的符號．關鍵是熟練掌握二次函數的圖象與性質．4．（2021·山東青島中考真題）已知反比例函數的圖象如圖所示，則一次函數和二次函數在同一直角坐標系中的圖象可能是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據反比例函數的圖象得出b＜0，逐一分析四個選項，根據二次函數圖象的開口以及對稱軸與y軸的關系，拋物線與y軸的交點，即可得出a、b、c的正負，由此即可得出一次函數圖象經過的象限，再與函數圖象進行對比即可得出結論．【詳解】解：∵反比例函數的圖象在二、四象限，∴b＜0，A、∵二次函數圖象開口向上，對稱軸在y軸右側，交y軸的負半軸，∴a＞0，b＜0，c＜0，∴一次函數圖象應該過第一、二、四象限，A錯誤；B、∵二次函數圖象開口向下，對稱軸在y軸右側，∴a＜0，b＞0，∴與b＜0矛盾，B錯誤；C、∵二次函數圖象開口向下，對稱軸在y軸右側，∴a＜0，b＞0，∴與b＜0矛盾，C錯誤；D、∵二次函數圖象開口向上，對稱軸在y軸右側，交y軸的負半軸，∴a＜0，b＜0，c＜0，∴一次函數圖象應該過第一、二、四象限，D正確．故選：D．【點睛】本題主要考查了一次函數、反比例函數、二次函數的圖象與性質，根據函數圖象與系數的關系進行判斷是解題的關鍵，同時考查了數形結合的思想．5．（2021·江蘇南通中考真題）如圖，四邊形中，，垂足分別為E，F(xiàn)，且，．動點P，Q均以的速度同時從點A出發(fā)，其中點P沿折線運動到點B停止，點Q沿運動到點B停止，設運動時間為，的面積為，則y與t對應關系的圖象大致是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】分四段考慮，①點P在AD上運動，②點P在DC上運動，且點Q還未到端點B，③點P在DC上運動，且點Q到達端點B，④點P在BC上運動，分別求出y與t的函數表達式，繼而可得出函數圖象．【詳解】解：在Rt△ADE中AD=(cm)，在Rt△CFB中，BC=(cm)，AB=AE+EF+FB=15(cm)，①點P在AD上運動，AP=t，AQ=t，即0，如圖，過點P作PG⊥AB于點G，，則PG=(0)，此時y=AQPG=(0)，圖象是一段經過原點且開口向上的拋物線；②點P在DC上運動，且點Q還未到端點B，即13，此時y=AQDE=(13)，圖象是一段線段；③點P在DC上運動，且點Q到達端點B，即15，此時y=ABDE=(15)，圖象是一段平行于x軸的水平線段；④點P在BC上運動，PB=31-t，即18，如圖，過點P作PH⊥AB于點H，，則PH=，此時y=ABPH=(18)，圖象是一段線段；綜上，只有D選項符合題意，故選：D．【點睛】本題考查了動點問題的函數圖象，解答本題的關鍵是分段討論y與t的函數關系式，6．（2021—2022陜西西安九年級模擬預測）已知二次函數的圖象只經過三個象限，則m的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由于二次函數的圖象開口向上，對稱軸為x＝﹣1，要使二次函數的圖象只過三個象限，則函數只能不過第四象限，頂點在第三象限，據此列出不等式組解答即可．【詳解】解：二次函數的圖象開口方向向上，其對稱軸為，拋物線只經過三個象限，則函數只能不過第四象限，頂點在第三象限，則，解得．故選：D．如圖：【點睛】本題考查了二次函數的性質，要結合不等式組，求出m的取值范圍，熟悉二次函數的圖象是解題的關鍵．7．（2021—2022浙江溫州市實驗中學九年級月考）如圖，拋物線（a＞0）與x軸交于A，B，頂點為點D，把拋物線在x軸下方部分關于點B作中心對稱，頂點對應D′，點A對應點C，連接DD′，CD′，DC，當△CDD′是直角三角形時，a的值為（）A．或 B．或 C．或 D．或【答案】A【分析】先求出點A（-3，0），點B（1，0），由點B為中心對稱，求出點C（5，0），把拋物線配方為頂點式可得D（－1，－4a），點D與點D′關于點B對稱，D′（3，4a），DD′，CD=，CD′=，由△CDD′是直角三角形，分兩種情況，當∠CD′D=90°，∠DCD′=90°時利用勾股定理列出方程，解方程即可．【詳解】解：∵拋物線（a＞0）與x軸交于A，B，∴∵a＞0解得∴點A（-3，0），點B（1，0），∵點B為中心對稱，∴點C的橫坐標為：1+（1+3）=5，∴點C（5，0），∴拋物線，∴D（－1，－4a），點D與點D′關于點B對稱，點D′的橫坐標為1+（1+1）=3，縱坐標為4a，∴D′（3，4a），DD′=，CD=，CD′=，∵△CDD′是直角三角形，當∠CD′D=90°，根據勾股定理，CD′2＋DD′2＝CD2，即，解得，∵a＞0，∴；當∠DCD′=90°，根據勾股定理，CD′2＋CD2＝DD′2，即，解得，∴，∴綜合得a的值為或．故答案選：A．【點睛】本題考查待定系數法求拋物線解析式，分類思想的應用，勾股定理，中心對稱性質，掌握待定系數法求拋物線解析式，分類思想的應用，勾股定理，中心對稱性質是解題關鍵．8．（2021—2022·江蘇蘇州市九年級月考）如圖，在平面直角坐標系中，二次函數y＝x2﹣2x＋c的圖象與x軸交于A、C兩點，與y軸交于點B（0，﹣3），若P是x軸上一動點，點D（0，1）在y軸上，連接PD，則PD＋PC的最小值是（）A．4 B．2＋2 C．2 D．【答案】A【分析】過點P作PJ⊥BC于J，過點D作DH⊥BC于H．根據，求出的最小值即可解決問題．【詳解】解：過點P作PJ⊥BC于J，過點D作DH⊥BC于H．∵二次函數y＝x2﹣2x+c的圖象與y軸交于點B（0，﹣3），∴c＝﹣3，∴二次函數的解析式為y＝x2﹣2x﹣3，令y＝0，x2﹣2x﹣3＝0，解得x＝﹣1或3，∴A（﹣1，0），B（3，0），∴OB＝OC＝3，∵∠BOC＝90°，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，∵D（0，1），∴OD＝1，BD＝4，∵DH⊥BC，∴∠DHB＝90°，設，則,∵，∴，∴，∴，∵PJ⊥CB，∴，∴，∴，∵，∴，∴DP+PJ的最小值為，∴的最小值為4．故選：A．【點睛】本題考查了二次函數的相關性質，以及等腰直角三角形的判定和性質，垂線段最短等知識，解題的關鍵是學會用轉化的思想思考問題．9．（2021·河北邢臺中考二模）對于題目：“線段與拋物線有唯一公共點，確定的取值范圍”、甲的結果是，乙的結果是，則（）A．甲的結果正確 B．乙的結果正確C．甲、乙的結果合在一起才正確 D．甲、乙的結果合在一起也不正確【答案】D【分析】根據拋物線和線段的位置關系，找到臨界點，確定的值，即可求解．【詳解】解：∵線段與拋物線有唯一公共點，∴只有一個實數解，即：在范圍內只有一個實數解，∴函數在范圍與軸只有一個交點，∴且端點與端點內，不存在同時為0的情況，∴∴∴或或且，經驗證，且，∴或或，∴甲、乙的結果合在一起也不正確，故選：D．【點睛】本題考查的是二次函數性質和圖象，根據拋物線和線段的位置關系，找到臨界點是解題的關鍵．10．（2021·廣東深圳市中考一模）已知拋物線在坐標系中的位置如圖所示，它與，軸的交點分別為，，是其對稱軸上的動點，根據圖中提供的信息，以下結論中不正確的是（）A． B．C．周長的最小值是 D．是的一個根【答案】C【分析】根據對稱軸方程求得a、b的數量關系即可判斷A；根據拋物線的對稱性知拋物線與x軸的另一個交點的橫坐標是3，則x=3時，y=0，得到3a+3=0，即2a+3=-a>0即可判斷B、D；利用兩點間直線最短來求△PAB周長的最小值即可判斷C．【詳解】解：A、根據圖象知，對稱軸是直線x=-=1，則b=-2a，即2a+b=0，故A正確；B、根據圖象知，點A的坐標為(-1,0)，對稱軸是x=1，則根據拋物線關于對稱軸對稱的性質知，拋物線與x軸的另一個交點的坐標是(3,0)，∴x=3時，y=9a+3b+3=0，∴9a-6a+3=0,∴3a+3=0，∵拋物線開口向下，則a<0，∴0＞a>-，故B正確；C、點A關于x=1對稱的點是A′(3,0)，即拋物線與x軸的另一個交點，連接BA′與直線x=1的交點即為點P，則△PAB的周長的最小值是(BA′+AB)的長度，∵A(-1,0)，B(0,3)，A′(3,0)，∴AB=，BA′=，即△PAB周長的最小值為+，故C錯誤；D、根據圖象知，點A的坐標為(-1,0)，對稱軸是x=1，則根據拋物線關于對稱軸對稱的性質知，拋物線與x軸的另一個交點的坐標為(3,0)，所以是的一個根，故D正確．故選C．【點睛】本題考查了二次函數綜合題，涉及到二次函數圖象與系數的關系，二次函數圖象的性質及兩點之間線段最短．解答該題時，充分利用了拋物線的對稱性．11．（2021·山東菏澤一模）如圖，在平畫直角坐標系中，拋物線經過點A(－2，0)和B(4，0)，點C為拋物線的頂點，則下列結論：①abc＞0；②關于x的不等式ax2＋bx＋c＜0的解集為－2＜x＜4；③3a＋c＜0；④若是直角三角形，則點C的坐標為(1，－3)；⑤若m為任意實數，則其中結論正確的個數是（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】根據拋物線過點A、B，可得拋物線的解析式為，由拋物線的開口方向知，a>0，所以b=-2a<0，c=-8a<0，因此可分別對①③作出判斷；觀察圖象，即可對②作出判斷；，所以點C到x軸的距離為9a，因AB=6，若是直角三角形，根據拋物線的對稱性，即可滿足條件，此時點C的坐標為(1,-3)，因而可判斷④正確；由可得：，由此可對⑤作出判斷．【詳解】由圖象知，拋物線的開口向上，故a>0由題意得：∴b=-2a<0，c=-8a<0∴abc>0，3a+c=3a-8a=-5a<0即①③正確觀察圖象知，當－2＜x＜4時，函數的圖象位于x軸下方，即ax2＋bx＋c＜0，故②正確若是直角三角形，根據拋物線的對稱性，則此三角形必是等腰直角三角形，由AB=6，則點C到x軸的距離為3∵∴9a=3即拋物線的頂點C的坐標為(1,-3)故④正確由可得：而當x=1時，函數的函數值為a+b+c，且也是函數的最小值∵對任意實數m，函數的函數值不小于其最小值即

則am2+bm≥a+b故⑤錯誤所以正確結論的個數有4個故選：C．【點睛】本題綜合考查了二次函數的圖象與性質，涉及函數表達式的三種形式，拋物線的對稱性，最值，函數與不等式的關系等知識，還涉及數形結合的思想，是一道全面考查二次函數圖象與性質的好題，因此全面掌握二次函數的圖象與性質是解答本題的關鍵．二、填空題12．（2021—2022·北京市九年級月考）在平面直角坐標系xOy中，開口向下的拋物線y＝ax2+bx+c的一部分圖象如圖所示，它與x軸交于A(1，0)，與y軸交于點B(0，3)，可以判斷該拋物線的開口方向為___，a的取值范圍是___．【答案】向下﹣3＜a＜0【分析】根據圖象得出拋物線開口向下，對稱軸在y軸的左側，由此可得a＜0，b＜0，由拋物線與x軸交于A（1，0），與y軸交于點B（0，3）得出a+b＝﹣3，得出﹣3＜a＜0即可．【詳解】解：由圖象可知：拋物線開口向下，對稱軸在y軸的左側，∴a＜0，＜0，∴b＜0，∵拋物線與x軸交于A（1，0），與y軸交于點B（0，3），∴，∴a+b＝﹣3，∴b＝﹣3﹣a，∵b＜0，∴﹣3﹣a＜0，解得：a＞﹣3，又∵a＜0，∴﹣3＜a＜0，故答案為：向下；﹣3＜a＜0．【點睛】本題考查了拋物線與x軸的交點、二次函數圖象與系數的關系，難度一般，關鍵是正確獲取圖象信息進行解題．13．（2021—2022江蘇通州九年級月考）已知二次函數，當時，y隨x的增大而增大，則m的取值范圍是______．【答案】【分析】根據二次函數的性質，利用二次函數的對稱軸不大于2列式計算即可得解．【詳解】解：，拋物線的對稱軸為直線，當時，隨的增大而增大，當時，的值隨值的增大而增大，，解得：，故答案為：．【點睛】本題考查了二次函數的性質，主要利用了二次函數的增減性，熟記性質并列出不等式是解題的關鍵．14．（2021·天津外國語大學附屬外國語學校九年級月考）當時，二次函數有最大值，則的值為______．【答案】或【分析】先求得其對稱軸為，再分、和根據二次函數的單調性分別求得其最大值，由最大值為2，可求得的值．【詳解】解：，其對稱為，開口向下，當即時，在上隨的增大而減小，當時有最大值，最大值，解得，符合題意；當即時，的最大值，（不合題意，舍去），或（舍去）；當即時，在上隨的增大而增大，當時，有最大值，，綜上可知的值為或．故答案是：或．【點睛】本題主要考查二次函數的單調性和最值，掌握二次函數的單調性是解題的關鍵，注意分類討論思想的應用．15．（2021—2022江蘇蘇州市校九年級月考）拋物線經過點、兩點，點C為拋物線與y軸的交點，點D是直線AC上方的拋物線上一點，則面積的最大值是_________．【答案】4【分析】把A與B坐標代入求出拋物線解析式，再過D作DE與y軸平行，因為，從而表示出S與t的二次函數解析式，利用二次函數性質求出S的最大值即可．【詳解】解：∵拋物線過，，∴將、代入解析式得，，解得：，∴拋物線解析式為，∴，∴直線AC的解析式為，過點D作y軸的平行線交AC于點E，連接、，設D點的橫坐標為t，則D點的縱坐標為，∴E點的坐標為，∴，∴,∴當時，面積最大值為4，故答案為：4．【點睛】本題考查了二次函數的應用，解題的關鍵是熟練利用鉛垂法求三角形的面積．16．（2021—2022·浙江溫州市實驗中學九年級月考）小剛家裝有一種可調節(jié)淋浴噴頭高度的淋浴器，完全開啟后，水流近似呈拋物線狀，升降器AB和淋浴噴頭BC所成∠ABC＝135°，其中AB＝10cm，BC＝cm．剛開始時，OA＝140cm，水流所在的拋物線恰好經過點A，拋物線落地點D和點O相距70cm．為了方便淋浴，淋浴器仍需完全處于開啟的狀態(tài)，且要求落地點和點O的距離增加10cm，則小剛應把升降器AB向上平移____________cm．【答案】60【分析】過點C作延長線于點E，先求出BE的長，再以點O為原點，OA為y軸正方向，OD為x軸正方向，以1cm為一個單位，建立直角坐標系，得出A、C、D的坐標，用待定系數法求出拋物線解析式，再把拋物線向上平移k個單位，再把坐標代入解析式求出k的值即可．【詳解】解：過點C作延長線于點E，cm以點O為原點，OA為y軸正方向，OD為x軸正方向，以1cm為一個單位，建立直角坐標系，則設此時拋物線解析式為：代入點得，，整理得，解得設小剛應把升降器向上平移kcm，即將拋物線向上平移k個單位，則拋物線解析式為：將代入解析式得，即小剛應把升降器向上平移60cm故答案為：60【點睛】本題考查二次函數的應用，關鍵是根據實際情況建立直角坐標系，用待定系數法求解析式．17．（2021—2022湖北武漢市九年級月考）如圖，二次函數的圖像與軸交于兩點，，其中，下列四個結論①；②；③；④，正確的序號是__________．【答案】①④【分析】根據拋物線開口向上,拋物線對稱軸,拋物線與y軸的交點可判斷①正確；根據圖象與x軸交于兩點（x1，0），（2，0）和對稱軸的位置可判斷②錯誤；當x時，y的值為ab+c，結合對稱軸可判斷③錯誤；根據對稱軸；可得2a+b＜0，變形可判斷④正確；【詳解】解：①∵拋物線開口向上，∴a＞0，∵拋物線對稱軸在y軸的右側，∴b＜0，∵拋物線與y軸的交點在x軸上方，∴c＞0，∴abc＜0，所以①正確；②∵圖象與x軸交于兩點（x1，0），（2，0），其中0＜x1＜1，∴，∴1，當時，b＞﹣3a，∵當x＝2時，y＝4a+2b+c＝0，∴b＝﹣2ac，∴﹣2ac＞﹣3a，∴2a﹣c＞0，故②錯誤；③當x時，y的值為ab+c，給ab+c乘以4，即可化為a+2b+4c，∵拋物線的對稱軸在1，∴x關于對稱軸對稱點的橫坐標在和之間，由圖象可知在和2之間y為負值，2和之間y為正值，∴a+2b+4c與0的關系不能確定，故③錯誤；④∵，∴2a+b＜0，∴（2a+b）2＞0，4a2+b2+4ab＞0，4a2+b2＞﹣4ab，∵a＞0，b＜0，∴ab＜0，∴，即，故④正確．故答案：①④．【點睛】本題考查了二次函數圖象與系數關系，熟練掌握二次函數圖象的性質是解題的關鍵．18．（2021—2022浙江寧波市九年級開學考試）如圖，拋物線與x軸交于、兩點，與y軸交于點，設拋物線的頂點為D．坐標軸上有一動點P，使得以P、A、C為頂點的三角形與相似．則點P的坐標______．

【答案】或或【分析】利用勾股定理求得的三邊的長，然后根據勾股定理的逆定理即可作出判斷，再分在軸和軸兩種情況討論，舍出的坐標，根據相似三角形的對應邊的比相等即可求解．【詳解】解：過點作軸于點．

在中，，，，在中，，，，，，為直角三角形．①利用的三邊，，又，故當是原點時，；②當是直角邊時，若與是對應邊，設的坐標是，則，，即，解得：，則的坐標是，三角形不是直角三角形，則不成立；③當是直角邊，若與是對應邊時，設的坐標是，則，則，即，解得：，故是時，則一定成立；④當在軸上時，是直角邊，一定在的左側，設的坐標是．則，當與是對應邊時，，即，解得：，此時，兩個三角形不相似；⑤當在軸上時，是直角邊，一定在的左側，設的坐標是．則，當與是對應邊時，，即，解得：，符合條件．總之，符合條件的點的坐標為：或或．故答案為：或或．【點睛】此題主要考查了拋物線與軸的交點以及勾股定理以及相似三角形的判定與性質等知識，利用分類討論得出是解題關鍵．19．（2021·湖北青山中考三模）拋物線y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常數，a＞0）經過點A（1，－1），B（－5，－1）兩點．下列四個結論：①ab＞0；②一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一個根在1和2之間；③當c＝－11時，方程ax2＋（b＋1）x＋c＝－6的解是x1＝－5，x2＝0.5；④對于任意的實數m，總有am2＋bm≥－b．其中正確的結論是_________（填寫序號）．【答案】①③④【分析】把A、B兩點的坐標分別代入函數解析式中，可得b=4a，c=-1-5a，根據a>0，則可判斷①；當時，可得方程ax2＋bx＋c=0的一個正根大于2，故可判斷②錯誤；當c＝－11時，解方程，得方程的解，從而可判斷③；由am2＋bm≥－b，可得am2＋bm+c≥－b+c，而-b+c=-1-9a正好是函數的最小值，從而可對④作出判斷．【詳解】把A、B兩點的坐標分別代入函數解析式中，得：解得：∴y＝ax2＋4ax-1-5a∴ab=4a2>0即①正確當時，方程ax2＋bx＋c=0即為其正根為：∵∴當時，方程ax2＋bx＋c=0的一個根不在1和2之間故②錯誤當c＝－11時，則由c=-1-5a，得a=2，從而b=4，原方程可化為：，解得x1＝－5，x2＝0.5故③正確∵且a>0∴當x=-2時，函數有最小值-1-9a即對任意的實數m，都有∴∵∴故④正確故答案為：①③④【點睛】本題是二次函數的綜合題，它考查了待定系數法求二次函數的解析式，二次函數的性質，一元二次方程的解法等知識，難點是②④的判斷，對②也可以計算當x=2時的函數值為7a-1,則當時，函數不為正，從而當1<x≤2時，函數值不為正，表明②錯誤．三、解答題20．（2021—2022天津市九年級月考）如圖，拋物線經過點，，．（1）求拋物線的解析式；（2）若點為拋物線對稱軸上一點，求周長取得最小值時點的坐標；（3）設拋物線的頂點為，軸于點，在軸上是否存在點使得是直角三角形？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】（1）；（2）；（3）存在，，，，【分析】（1）待定系數法求拋物線解析式：已知點的坐標，利用兩點式設二次函數不等式，再把剩余的點代入整理即可得出拋物線解析式；（2）這是一個最短距離問題，利用點、關于拋物線對稱軸的對稱性，即可得出本題答案；（3）分三種情況進行討論，利用勾股定理代入數據計算即可．【詳解】解：（1）∵拋物線經過點，∴可設拋物線的解析式為：，將代入得：解得：，則，∴拋物線的解析式為；（2）如下圖，連接交對稱軸于，∵，∴，∴此時最短，周長取得最小值，設直線的解析式為y=kx+b，則，解得，∴直線的解析式為∵拋物線的對稱軸為，∴點的坐標為（-1，-2）；（3）在軸上存在點使得是直角三角形，理由如下：∵∴頂點的坐標為（-1，-4），∵∴,設點的坐標為（0，t），分三種情況進行討論①當為直角頂點時，如下圖由勾股定理，得即，解得，所以點的坐標為；②當為直角頂點時，如下圖由勾股定理，得即，解得，所以點的坐標為；③當為直角頂點時，如下圖由勾股定理，得，即，解得或，所以點的坐標為或；綜上所述，點的坐標為，，，．【點睛】本題主要考查了待定系數法確定二次函數解析式，二次函數和一次函數綜合，以及利用勾股定理確定直角三角形的知識熟練掌握二次函數的相關知識是解題關鍵．21．（2021—2022四川南充市九年級月考）如圖，直線交軸于A點，交軸于B點，過A、B兩點的拋物線的頂點坐標(1，4)．（1）求的值和拋物線的解析式；（2）在拋物線的對稱軸上求一點P，使得PAB的周長最小，并求出最小值；（3）在拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合條件的Q點坐標；若不存在，請說明理由．【答案】（1）k=3，拋物線的解析式為；（2）△PAB周長的最小值為，點P坐標為（1，2）；（3）存在，點Q坐標分別為Q1（1，），Q2（1，），Q3（1，0），Q4（1，1）．【分析】（1）令x=0，可得點B坐標，根據頂點坐標可設設拋物線解析式為，把點B坐標代入可求出a值，即可得拋物線解析式，令y=0可得點A坐標，代入即可得k值；（2）如圖連接BC，交對稱軸于P，根據拋物線解析式可得對稱軸為直線x=1，點C坐標為（3，0），根據二次函數得對稱性可得PA=PC，即可得出PA+PB=BC，可得△PAB得周長的最小值為BC+AB，利用勾股定理即可得△PAB周長的最小值，根據點B、C坐標，利用待定系數法可得直線BC解析式，令x=1即可得點P坐標；（3）設點Q坐標為（1，m），分QA=AB，QB=AB，QA=QB，三種情況，根據兩點間距離公式求出m的值即可得答案．【詳解】（1）當x=0時，y=3，∴點B坐標為（0，3），∵過A、B兩點的拋物線的頂點坐標(1，4)，∴設拋物線的解析式為，∴，解得：,∴拋物線的解析式為，即，當y=0時，，解得：，，∵點A在x軸負半軸，∴A（-1，0），C（3，0），把A（-1，0）代入得：-k+3=0，解得：k=3．（2）如圖，連接BC，交對稱軸于點P，∵拋物線的解析式為，∴對稱軸為直線x=，∵拋物線與x軸交于點A、C，∴A、C關于對稱軸對稱，∴PA=PC，∴PA+PB=PB+PC=BC，∴△PAB的周長的最小值為AB+BC，∵A（-1，0），B（0，3），C（3，0），∴OA=1，OB=3，OC=3，∴AB+BC==，設直線BC的解析式為y=kx+b，∴，解得：k=-1，∴直線BC的解析式為y=-x+3，當x=1時，y=-1+3=2，∴點P坐標為（1，2）．∴△PAB周長的最小值為，點P坐標為（1，2）．（3）設點Q坐標為（1，m），∵A（-1，0），B（0，3），∴AB==，QA==，QB==，①當QA=AB時，∴=，解得：m=，∴Q1（1，），Q2（1，），②當QB=AB時，∴=，解得：m=6或m=0，∵直線AB的解析式為y=3x+3，∴x=1時，y=6，∴點（1，6）在直線AB上，與A、B不能構成三角形，∴Q3（1，0），③當QA=QB時，∴=，解得：m=1，∴Q4（1，1），綜上所述：存在點Q，使ABQ是等腰三角形，點Q坐標分別為Q1（1，），Q2（1，），Q3（1，0），Q4（1，1）．【點睛】本題考查二次函數與一次函數的綜合，熟練掌握待定系數法求函數解析式、二次函數得對稱性并靈活運用分類討論得思想是解題關鍵．22．（2021—2022遼寧蓋州市第四中學九年級月考）如圖，對稱軸x＝1的拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于A（﹣2，0），B兩點，與y軸交于點C（0，2），（1）求拋物線和直線BC的函數表達式；（2）若點Q是直線BC上方的拋物線上的動點，求△BQC的面積的最大值；（3）點P為拋物線上的一個動點，過點P作過點P作PD⊥x軸于點D，交直線BC于點E．若點P在第四象限內，當OD＝4PE時，△PBE的面積；（4）在（3）的條件下，若點M為直線BC上一點，點N為平面直角坐標系內一點，是否存在這樣的點M和點N，使得以點B，D，M，N為頂點的四邊形是菱形？若存在，直接寫出點N的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】（1）拋物線表達式為；直線表達式為；（2）△BQC的面積的最大值為2（3）△PBE的面積為（4）點N的坐標為（，）或（，）或（，）或（，）．【分析】（1）首先根據二次函數的對稱性求出點B的坐標，然后利用待定系數法把點的坐標代入表達式求解即可；（2）過Q點作QH垂直x軸交BC于點H，連接CQ，BQ，由二次函數表達式設點Q的坐標為（x，），表示出△BQC的面積，根據二次函數的性質即可求出△BQC的面積的最大值；（3）根據題意設出點P坐標為（m，），E點坐標為（m，），D點坐標為（m，0），表示出OD和PE的長度，根據OD＝4PE列出方程求出m的值，即可求出PE和BD的長度，然后根據三角形面積公式求解即可；（4）當BD是菱形的邊和對角線時兩種情況分別討論，設出點M和點N的坐標，根據菱形的性質列出方程求解即可．【詳解】解：（1）∵拋物線的對稱軸為x＝1，A（﹣2，0），∴B點坐標為（4，0），∴將A（﹣2，0），B（4，0），C（0，2），代入y＝ax2+bx+c得，解得：，∴拋物線的表達式為；設直線BC的函數表達式為，∴將B（4，0），C（0，2），代入得，，解得：，∴直線BC的函數表達式為．（2）如圖所示，過Q點作QH垂直x軸交BC于點H，交x軸于點M，連接CQ，BQ，設點Q的坐標為（x，），點H的坐標為（x，），∴HQ=，∴，∴當時，，∴△BQC的面積的最大值為2；（3）設點P坐標為（m，），E點坐標為（m，），D點坐標為（m，0），∴，，∵OD＝4PE，∴，整理得：，解得：(舍去)，，∴，D點坐標為（5，0），∴BD=1，∴；（4）如圖所示，當BD是菱形的邊時，BM是菱形的邊時，∵四邊形BDNM是菱形，∴BD=BM=MN，∴設M點坐標為（a，），N點坐標為（a+1，），又∵B點坐標為（4，0），D點坐標為（5，0），∴BD=1，，∵BD=BM，∴BD2=BM2，∴，整理得：，解得：，∴N點坐標為（，）或（，），當BD是菱形的邊時，DM是菱形的邊時，∵四邊形BDMN是菱形，B點坐標為（4，0），D點坐標為（5，0），∴BD=MN=DM=1，∴設M點坐標為（b，），N點坐標為（b-1，），∴DM2=，∵BD=DM，∴BD2=DM2，∴，整理得：，解得：(舍去)，∴N點坐標為（，）；當BD是菱形的對角線時，∵四邊形BMDN是菱形，B點坐標為（4，0），D點坐標為（5，0），∴M點橫坐標為，將代入得：y=，∴M點的坐標為（，），又∵點M和點N關于x軸對稱，∴點N的坐標為（，）．綜上所述，點N的坐標為（，）或（，）或（，）或（，）．【點睛】此題考查了一次函數和二次函數表達式的求法，二次函數的性質，二次函數中三角形最大面積問題，菱形存在性問題等知識，解題的關鍵是根據題意設出點的坐標，表示出三角形面積，根據菱形的性質列出方程求解．23．（2021—2022湖北大悟縣實驗中學九年級月考）如圖1，拋物線與x軸交于A（2，0），B（4，0），D為拋物線的頂點．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖2，若H為射線DA與y軸的交點，N為射線AB上一點，設N點的橫坐標為t，△DHN的面積為S，求S與t的函數關系式；（3）如圖3，在（2）的條件下，若N與B重合，G為線段DH上一點，過G作y軸的平行線交拋物線于F，連接AF，若∠AGN＝∠FAG，求GF的長．【答案】（1）；（2）；（3）2【分析】（1）把于A（2，0），B（4，0）代入拋物線解析式求解即可；（2）先求出D點的坐標，然后求出直線AD的解析式得到H的坐標，再根據求解即可；（3）延長FG與x軸交于M，先證明△MAF≌△MGB，得到FM=BM，設M（m，0），則F（m，），則，，則，由此求解即可．【詳解】【點睛】本題主要考查了二次函數與一次函數綜合，全等三角形的性質與判定，等腰直角三角形的性質與判定，平行線的性質，解題的關鍵在于能夠熟練掌握相關知識進行求解.24．（2021—2022·重慶市育才中學九年級月考）如圖，拋物線y=ax2+bx+3交x軸于點A(?1，0)和點B(3，0)，與y軸交于點C，連BC，交對稱軸于點D．（1）求拋物線的解析式；（2）點是直線上方的拋物線上的一點，連接，，求的面積的最大值以及此時點的坐標；（3）將拋物線向右平移個單位得到新拋物線，新拋物線與原拋物線交于點，點是新拋物線的對稱軸上的一點，點是坐標平面內一點．當以、、、四點為頂點的四邊形是菱形時，直接寫出點的坐標，并寫出求解其中一個點的坐標的過程．【答案】（1）y=-x2+2x+3；（2）△PCD的面積最大值為，P（，）；（3）點F的坐標為(2，2)或(2，)或(2，)．【分析】（1）由A、B兩點的坐標，利用待定系數法即可求得拋物線解析式；（2）過點P作直線PN⊥x軸于點N，交直線BC于點M，先求出直線BC的解析式，設P（x，-x2+2x+3），則M（x，-x+3），求出△PCD面積的表達式，這是一個二次函數，求出其取最大值的條件，即可求解；（3）求得新拋物線的解析式為y=-(x-2)2+4，對稱軸為直線x=2，兩拋物線的交點為E(，)，分DF為對角線，DG為對角線兩種情況討論，畫出圖形利用兩點之間的距離公式求解即可．【詳解】解：（1）由題意可得：，解得，∴拋物線解析式為y=-x2+2x+3；（2）過點P作直線PN⊥x軸于點N，交直線BC于點M，令x=0，則y=3，∴點C的坐標為(0，3)，拋物線y=-x2+2x+3的對稱軸為直線x=-，設直線BC的解析式為：y=kx+3，則有