6.1.1分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理計數(shù)問題是我們從小就經(jīng)常遇到的，通過列舉一個一個地數(shù)是計數(shù)的基本方法.例如，隨著人們生活水平的提高，我市家庭汽車擁有量迅速增長，汽車牌照號碼需要擴(kuò)容.交通管理部門出臺了一種汽車牌照組成方法，每一個汽車牌照都必須有2個不重復(fù)的英文字母和3個可重復(fù)的阿拉伯?dāng)?shù)字組成，那么這種辦法共能給多少輛汽車上牌照？這個計數(shù)問題中的數(shù)量很大，列舉的方法效率不高.能否設(shè)計巧妙的“數(shù)法”，以提高效率呢？

下面先分析一個簡單的問題，并嘗試從中得出巧妙的計數(shù)方法.問題引入6500000【問題1】現(xiàn)有高一年級的學(xué)生4名，高二年級的學(xué)生5名，高三年級的學(xué)生3名.從中選1人進(jìn)行周一國旗下講話，有多少種不同的選法？分析該問題的特征：1.從高中三個年級中選一人進(jìn)行國旗下講話的方案可分幾類?2.這幾類方案中各有幾種方法?每種方法有什么特點(diǎn)？每類方案中的方法互不相同且都能獨(dú)立完成這件事情從中任選1人進(jìn)行周一國旗下講話，共有4+5+3=12種不同的方法。【問題2】在填寫高考志愿表時,一名同學(xué)了解到,浙江大學(xué)，南京大學(xué)，上海交大三所大學(xué)各有一些自己感興趣的強(qiáng)項專業(yè)，具體情況如下：

浙江大學(xué)

南京大學(xué)上海交大

生物學(xué)數(shù)學(xué)環(huán)境科學(xué)化學(xué)會計學(xué)地質(zhì)學(xué)醫(yī)學(xué)信息技術(shù)學(xué)車輛工程物理學(xué)法學(xué)工程學(xué)如果這名同學(xué)只能選擇一個專業(yè),那么他共有多少種選擇呢？N=5+4+3=12種探究1：你能說說以上兩個問題的共同特征嗎？你能舉一些生活中類似的例子嗎？如果完成一件事有三類不同方案,在第1類方案中有m1種不同的方法,在第2類方案中有m2種不同的方法，在第3類方案中有m3種不同的方法,那么完成這件事共有多少種不同的方法？N=m1+m2+m3都是完成這件事有幾類不同的辦法的問題，每類辦法都能獨(dú)立完成事情,并且每種方法也相互獨(dú)立.（一）分類計數(shù)原理

有n類辦法N＝m1＋m2＋…＋mn第1類辦法中有m1種不同的方法第2類辦法中有m2種不同的方法第n類辦法中有mn種不同的方法……共有多少種不同的方法完成一件事分類加法計數(shù)原理使用前提：各類方案中的方法互不相同且都能獨(dú)立完成這件事情.【問題3】現(xiàn)有高一年級的學(xué)生4名，高二年級的學(xué)生5名，高三年級的學(xué)生3名.從每個年級中選1人進(jìn)行周一國旗下講話，有多少種不同的選法？分析該問題的特征：1.從高中每個年級中選一人進(jìn)行國旗下講話的方案可分幾步完成?2.完成每一步各有幾種方法?任何一步能否獨(dú)立完成這件事情？從中任選1人進(jìn)行周一國旗下講話，共有4×5×3=60種不同的方法。每一步得到的只是中間結(jié)果，任何一步都不能能獨(dú)立完成這件事情，缺少任何一步也不能完成這件事情，只有每個步驟完成了，才能完成這件事情?！締栴}4】在填寫高考志愿表時,一名同學(xué)了解到,浙江大學(xué)，南京大學(xué)，上海交大三所大學(xué)各有一些自己感興趣的強(qiáng)項專業(yè)，具體情況如下：

浙江大學(xué)

南京大學(xué)上海交大

生物學(xué)數(shù)學(xué)環(huán)境科學(xué)化學(xué)會計學(xué)地質(zhì)學(xué)醫(yī)學(xué)信息技術(shù)學(xué)車輛工程物理學(xué)法學(xué)工程學(xué)如果這名同學(xué)要在每個大學(xué)中選擇一個專業(yè)填報志愿,那么他共有多少種選擇呢？N＝5×4×3＝60探究2：你能說說以上兩個問題的共同特征嗎？如果完成一件事需要有三個步驟,第1步有m1種不同的方法,第2步有m2種不同的方法，第三步有m3種不同的方法,那么完成這件事共有多少種不同的方法？

完成1件事情需要幾個步驟才能完成的問題，每一步不能獨(dú)立完成事件，只有各個步驟都完成才算完成這件事情.（二）分步計數(shù)原理完成一件事第1步有m1種不同的方法第2步有m2種不同的方法第n步有mn種不同的方法N=m1×m2×…×mn

有n個步驟共有多少種不同的方法…→→→→→分步乘法計數(shù)原理使用前提：各步中每種方法不能獨(dú)立完成這件事.【例1】書架的第1層放有4本不同的計算機(jī)書，第2層放有3本不同的文藝書，第3層放有2本不同的體育書.（1）從書架上任取1本書，有多少種不同的取法？（2）從書架的第1層、第2層、第3層各取1本書，有多少種不同的取法？分析：1、完成什么事情？2、分類還是分步？解：（1）根據(jù)分類加法計數(shù)原理，不同取法種數(shù)為4+3+2=9.

（2）根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，不同取法種數(shù)為4×3×2=24.選擇運(yùn)用分類還是分步的關(guān)鍵是能否獨(dú)立完成事件。練一練：有一項活動需在3名老師，8名男同學(xué)和5名女同學(xué)中選人參加，（1）若只需一人參加，有多少種不同的選法？（2）若需一名老師，一名學(xué)生參加，有多少種不同的選法？（3）若需老師、男同學(xué)、女同學(xué)各一人參加，有多少種不同的選法？N=3+8+5=16種N=3×13=39種N=3×8×5=120種解題關(guān)鍵：從總體上看做這件事情是“分類完成”,還是“分步完成”.再根據(jù)其對應(yīng)的計數(shù)原理計算.分類用加法原理（不重不漏），分步用乘法原理（步驟完整）.

加法原理

乘法原理聯(lián)系區(qū)別完成一件事情共有n類辦法，關(guān)鍵詞是“分類”完成一件事情,共分n個步驟，關(guān)鍵詞是“分步”每類辦法都能獨(dú)立完成這件事情。每一步得到的只是中間結(jié)果，任何一步都不能能獨(dú)立完成這件事情，缺少任何一步也不能完成這件事情，只有每個步驟完成了，才能完成這件事情。分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理，回答的都是關(guān)于完成一件事情的不同方法的種數(shù)的問題。各類辦法是互斥的、并列的、獨(dú)立的各步之間是相關(guān)聯(lián)的分類計數(shù)與分步計數(shù)原理的區(qū)別和聯(lián)系【例2】要從甲、乙、丙3幅不同的畫中選出2幅，分別掛在左、右兩邊墻上的指定位置，共有多少種不同的掛法？【變式】口袋中裝有8個白球和10個紅球，每個球編有不同的號碼，現(xiàn)從中取出兩個球。（1）正好是白球、紅球各一個的取法有多少種？（2）正好是兩個白球的取法有多少種？（3）至少有一個白球的取法有多少種？（4）兩球的顏色相同的取法有多少種？【例3】校運(yùn)動會上有4名同學(xué)選報100米，跳遠(yuǎn)、跳高三個項目，每人限報一項，有多少種報名方法？

解：每人選報一個項目，都有三種選法，當(dāng)每個人的項目選定后，這件事才算完成.故由分步計數(shù)原理，共有3×3×3×3=81種不同的報名方法【變式】校運(yùn)動會上有4名同學(xué)爭奪100米，跳遠(yuǎn)、跳高三個項目的冠軍，有多少種可能的結(jié)果？解：每個項目的冠軍只有一個，4個人都有可能獲得某個項目的冠軍，所以每個項目的冠軍都有4種可能的結(jié)果.由分步計數(shù)原理，知共有可能的結(jié)果為4×4×4=64種.【例4】給程序模塊命名，需要用3個字符，其中首字符要求用字母A~G或U~Z，后兩個要求用數(shù)字1~9，最多可以給多少個程序命名？解:

N=13×9×9＝1053【變式】某體育彩票規(guī)定：從01到36共36個號中抽出7個號為一注，每注2元．某人想先選定吉利號18，然后從01至17中選3個連續(xù)的號，從19至29中選2個連續(xù)的號，從30至36中選1個號組成一注．若這個人要把符合這種要求的號全買下，至少要花多少元錢？解：N=（15×10×7）×2=2100元數(shù)學(xué)在身邊【例5】溫州市平陽縣的固定電話號碼由8位數(shù)字組成，前三位數(shù)字固定為637、638，后五位為0至9的數(shù)字,你知道平陽最多可以有多少個固定電話？所以平陽最多有200000個電話號碼解：完成這件事情先分兩類進(jìn)行前三位數(shù)字固定為637分5步進(jìn)行根據(jù)分步計數(shù)原理N=10×10×10×10×10=100000【變式】某通訊公司推出一組手機(jī)卡號碼，卡號的前七位數(shù)字固定，從“#######0000”到“#######9999”共10000個號碼，公司規(guī)定：凡卡號的后四位帶有數(shù)字5或8的一律作為“優(yōu)惠卡”，則這組號碼中“優(yōu)惠卡”的個數(shù)為（）A.2000B.4096C.5904D.8320

C有時候利用逆向思維解決問題很重要小結(jié)：利用兩個計數(shù)原理解決具體問題時的方法技巧1.步中有類情形(先分步后分類）2.類中有步情形（先分類后分步）如圖，完成A→D這件事，需經(jīng)歷A→B，B→C，C→D這三個步驟.其中B→C這步又分三類.完成A→D這件事，共有方法數(shù)為m1×（m2+m3+m4）×m5.如圖，完成A→B這件事，有兩類辦法，在第1類辦法中有3步，第2類辦法中有兩步.完成A