階段方法技巧訓(xùn)練（一）專(zhuān)訓(xùn)1圓中常見(jiàn)的計(jì)

算題型習(xí)題課與圓有關(guān)的計(jì)算主要體現(xiàn)在：

利用圓周角定理求角度，利用垂徑定理構(gòu)造直角三角形并結(jié)合勾股定理，已知弦長(zhǎng)、弦心距、半徑三個(gè)量中的任意兩個(gè)量時(shí)，可求出第三個(gè)量，利用弧長(zhǎng)、扇形面積公式計(jì)算弧長(zhǎng)、扇形面積，利用圓的知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題等；其中涉面積的計(jì)算，常采用作差法、等積法、平移法、割補(bǔ)法等，涉實(shí)際應(yīng)用計(jì)算常采用建模思想進(jìn)行計(jì)算．1題型有關(guān)角度的計(jì)算1．【中考·婁底】如圖，在⊙O中，AB，CD是直徑，BE是切線，B為切點(diǎn)，連接AD，BC，BD.(1)求證：△ABD≌△CDB；(2)若∠DBE＝37°，求∠ADC的度數(shù)．(1)∵AB，CD是直徑，∴∠ADB＝∠CBD＝90°.在Rt△ABD和Rt△CDB中，∴Rt△ABD≌Rt△CDB(HL)證明：(2)∵BE是⊙O的切線，∴AB⊥BE.∴∠ABE＝90°.∵∠DBE＝37°，∴∠ABD＝53°.∵OD＝OA，∴∠ODA＝∠BAD＝90°－53°＝37°.即∠ADC的度數(shù)為37°.2題型半徑、弦長(zhǎng)的計(jì)算2．【中考·南京】如圖，在⊙O中，CD是直徑，弦AB⊥CD，垂足為E，連接BC，若AB＝cm，

∠BCD＝22°30′，則⊙O

的半徑為_(kāi)_______cm.2如圖，連接OB，∵∠BCD＝22°30′，∴∠BOD＝2∠BCD＝45°.∵AB⊥CD，∴BE＝AE＝

AB＝×

＝(cm)，

△BOE為等腰直角三角形，∴OB＝

BE＝2cm，故答案為2.同類(lèi)變式3．如圖，已知⊙O中直徑AB與弦AC的夾角為30°，

過(guò)點(diǎn)C作⊙O的切線交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，

OD＝30cm.求直徑AB的長(zhǎng)．3題型面積的計(jì)算4．【2015·麗水】如圖，在△ABC中，AB＝AC，以

AB為直徑的⊙O分別與BC，

AC交于點(diǎn)D，E，過(guò)點(diǎn)D作

⊙O的切線DF，交AC于點(diǎn)

F.技巧1利用“作差法”求面積(1)求證：DF⊥AC；(1)如圖，連接OD，∵OB＝OD，∴∠ABC＝∠ODB.∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.∴∠ODB＝∠ACB.∴OD∥AC.∵DF是⊙O的切線，∴DF⊥OD.∴DF⊥AC.證明：(2)若⊙O的半徑為4，∠CDF＝22.5°，求陰影部分

的面積．(2)如圖，連接OE，∵DF⊥AC，∠CDF＝22.5°，∴∠ABC＝∠ACB＝67.5°.∴∠BAC＝45°.∵OA＝OE，∴∠OEA＝∠BAC＝45°.∴∠AOE＝90°.∵⊙O的半徑為4，∴S扇形AOE＝4π，S△AOE＝8.∴S陰影＝S扇形AOE－S△AOE＝4π－8.解：5．如圖所示，E是半徑為2cm的⊙O的直徑CD延

長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，AB∥CD且AB＝

CD，求陰

影部分的面積．技巧2利用“等積法”求面積如圖，連接OA，OB.∵AB∥CD，∴S△ABE＝S△AOB，∴S陰影＝S扇形OAB.∵AB＝

CD＝AO＝OB＝2cm，∴△OAB是等邊三角形，∴∠AOB＝60°.∴S扇形OAB＝

＝π(cm2)．

即陰影部分的面積為πcm2.解：本題利用△AEB的面積等于△AOB的面積，將陰影部分面積轉(zhuǎn)化為扇形面積，體現(xiàn)了“等積變形法”的運(yùn)用．6．如圖所示，兩個(gè)半圓中，O為大半圓的圓心，長(zhǎng)

為18的弦AB與直徑CD平行且與小半圓相切，那

么圖中陰影部分的面積等于多少？技巧3利用“平移法”求面積將小半圓向右平移，使兩個(gè)半圓的圓心重合，如圖，則陰影部分的面積等于半圓環(huán)面積．作OE⊥AB于E(易知E為切點(diǎn))，連接OA，∴AE＝

AB＝9.∴陰影部分的面積

＝

π·OA2－

π·OE2

＝

π(OA2－OE2)

＝

π·AE2＝

π·92＝

π.解：觀察圖形可知陰影部分的面積等于大半圓的面積減去小半圓的面積，因此當(dāng)小半圓在大半圓范圍內(nèi)左右移動(dòng)時(shí)，陰影部分面積不改變，所以我們可以通過(guò)平移，使兩個(gè)半圓圓心重合，這樣就能運(yùn)用已知條件求出陰影部分的面積．7．如圖所示，扇形OAB與扇形OCD的

圓心角都是90°，連接AC，BD.(1)求證：AC＝BD；技巧4利用“割補(bǔ)法”求面積∵∠AOB＝∠COD＝90°，即∠AOC＋∠AOD＝∠BOD＋∠AOD，∴∠AOC＝∠BOD.又∵AO＝BO，CO＝DO，∴△AOC≌△BOD.∴AC＝BD.證明：(2)若OA＝2cm，OC＝1cm，求圖中陰影部分的

面積．由(1)知△AOC≌△BOD，∴陰影部分的面積

＝扇形OAB的面積－扇形OCD的面積．

則S陰影＝

＝

＝

＝π(cm2)．解：本題通過(guò)割補(bǔ)法將不規(guī)則圖形的面積轉(zhuǎn)化為兩個(gè)規(guī)則圖形的面積的差的形式．4題型實(shí)際應(yīng)用的計(jì)算8．如圖，臺(tái)風(fēng)中心位于點(diǎn)P，并沿東北方向PQ移動(dòng)，

已知臺(tái)風(fēng)移動(dòng)的速度為30km/h，受影響區(qū)域的半

徑為200km，B市位于點(diǎn)P北偏東75°的方向上，

距離P點(diǎn)320km處．應(yīng)用1利用垂徑定理解決臺(tái)風(fēng)問(wèn)題(1)試說(shuō)明臺(tái)風(fēng)是否會(huì)影響B(tài)市；(1)如圖，過(guò)B作BH⊥PQ于H，

在Rt△BHP中，

由條件易知：BP＝320km，∠BPQ＝30°.∴BH＝

BP＝160km<200km.∴臺(tái)風(fēng)會(huì)影響B(tài)市．解：(2)若B市受臺(tái)風(fēng)的影響，求臺(tái)風(fēng)影響B(tài)市的時(shí)間．(2)如圖，以B為圓心，200km為半徑作圓，交PQ

于P1，P2兩點(diǎn)，連接BP1，

由垂徑定理知P1P2＝2P1H.

在Rt△BHP1中，BP1＝200km，BH＝160km，∴P1H＝

＝120(km)．∴P1P2＝2P1H＝240km.∴臺(tái)風(fēng)影響B(tài)市的時(shí)間為

＝8(h)．本題在圖形中畫(huà)出圓，可以非常直觀地構(gòu)造數(shù)學(xué)模型，然后利用垂徑定理解決生活中的實(shí)際問(wèn)題．9．如圖所示，在“世界杯”足球比賽中，隊(duì)員甲帶

球向?qū)Ψ角蜷T(mén)PQ進(jìn)攻，當(dāng)他帶球沖到A點(diǎn)時(shí)，同

伴隊(duì)員乙已經(jīng)助攻沖到B點(diǎn)，現(xiàn)有兩種射門(mén)方式：

一是由隊(duì)員甲直接射門(mén)；二是隊(duì)員甲將球迅速傳

給隊(duì)員乙，由隊(duì)員乙射門(mén)．

從射門(mén)角度考慮，你認(rèn)為

選擇哪種射門(mén)方式較好？

為什么？應(yīng)用2利用圓周角知識(shí)解決足球射門(mén)問(wèn)題(轉(zhuǎn)化思想)選擇射門(mén)方式二較好，理由如下：設(shè)AQ與圓的交點(diǎn)為C，連接PC，如圖所示．∵∠PCQ是△PAC的外角，∴∠PCQ>∠A.又∵∠PCQ＝∠B，∴∠B>∠A.∴在B點(diǎn)射門(mén)比在A點(diǎn)射門(mén)好．∴選擇射門(mén)方式二較好．解：本題運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，將射門(mén)角度大小的問(wèn)題，建模轉(zhuǎn)化到圓中，根據(jù)圓周角的相關(guān)結(jié)論來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題．10．如圖，已知A，B兩地相距1km.要在A，B兩地之

間修建一條筆直的水渠(即圖中的線段AB)，經(jīng)測(cè)

量在A地的北偏東60°方向，B地的北偏西45°方

向的C處有一個(gè)以C為圓心，350m為半徑的圓形公園，

則修建的這條水渠會(huì)不會(huì)

穿過(guò)公園？為什么？應(yīng)用3利用直線與圓的位置關(guān)系解決范圍問(wèn)題修建的這條水渠不會(huì)穿過(guò)公園．理由：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足為D.由題易得∠CBA＝45°，∴∠BCD＝45°.∴CD＝BD.設(shè)CD＝xkm，則BD＝xkm.由題易得∠CAB＝30°，∴AC＝2CD＝2xkm，解：∴AD＝＝x(km)，∴

x＋x＝1.

解得x＝

即CD＝≈0.366(km)＝366m＞350m，也就是說(shuō)，以點(diǎn)C為圓心，350m為半徑的圓

與AB相離．∴修建的這條水渠不會(huì)穿過(guò)公園．11．如圖，某工廠要選一塊矩形鐵皮加工成一個(gè)底

面半徑為20cm，高為40cm的圓錐形漏斗，

要求只能有一條接縫(接縫忽略不計(jì))，請(qǐng)問(wèn)：選

長(zhǎng)、寬分別為多少厘米的矩形鐵皮，才能使所用

材料最??？應(yīng)用4利用圓錐側(cè)面展開(kāi)圖解決材料最省問(wèn)題∵圓錐形漏斗的底面半徑為20cm，高為40cm，∴圓錐的母線長(zhǎng)為

＝60(cm)．

設(shè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角為n°，

則有

＝2π×20，解得n＝120.方案一：如圖①，扇形的半徑為60cm，矩形的寬為60cm，易求得矩形的長(zhǎng)為