2021-2022學(xué)年高一數(shù)學(xué)【考題透析】滿分計(jì)劃系列(人教A版2019必修第一冊)3．3冪函數(shù)【知識導(dǎo)學(xué)】知識點(diǎn)一冪函數(shù)的概念一般地，函數(shù)y＝xα叫做冪函數(shù)，其中x是自變量，α是常數(shù)．知識點(diǎn)二五個冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)1．在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)函數(shù)(1)y＝x；(2)y＝；(3)y＝x2；(4)y＝x－1；(5)y＝x3的圖象如圖．2．五個冪函數(shù)的性質(zhì)y＝xy＝x2y＝x3y＝x－1定義域RRR[0，＋∞){x|x≠0}值域R[0，＋∞)R[0，＋∞){y|y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇單調(diào)性增在[0，＋∞)上增，在(－∞，0]上減增增在(0，＋∞)上減，在(－∞，0)上減知識點(diǎn)三一般冪函數(shù)的圖象特征1．所有的冪函數(shù)在(0，＋∞)上都有定義，并且圖象都過點(diǎn)(1,1)．2．當(dāng)α>0時，冪函數(shù)的圖象通過原點(diǎn)，并且在區(qū)間[0，＋∞)上是增函數(shù)．特別地，當(dāng)α>1時，冪函數(shù)的圖象下凸；當(dāng)0<α<1時，冪函數(shù)的圖象上凸．3．當(dāng)α<0時，冪函數(shù)的圖象在區(qū)間(0，＋∞)上是減函數(shù)．4．冪指數(shù)互為倒數(shù)的冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象關(guān)于直線y＝x對稱．5．在第一象限，作直線x＝a(a>1)，它同各冪函數(shù)圖象相交，按交點(diǎn)從下到上的順序，冪指數(shù)按從小到大的順序排列．【考題透析】透析題組一：冪函數(shù)的定義1．（2021·全國高一課時練習(xí)）下列函數(shù)中，不是冪函數(shù)的是（）A．y＝2x B．y＝x－1 C．y＝ D．y＝x22．（2021·全國）已知點(diǎn)在冪函數(shù)的圖像上，則函數(shù)是（）.A．奇函數(shù)B．偶函數(shù)C．減函數(shù)D．增函數(shù)3．（2021·全國）冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的值為（）A． B． C． D．或透析題組二：冪函數(shù)的值域問題4．（2021·全國高一專題練習(xí)）已知冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則函數(shù)在區(qū)間上的最小值是（）A．1 B． C． D．5．（2021·全國高一專題練習(xí)）設(shè)，則使函數(shù)的值域?yàn)镽且為奇函數(shù)的所有a值為（）A．1，3 B．，1 C．，3 D．，1，36．（2019·全國高一專題練習(xí)）已知冪函數(shù)f（x）=（m–1），則下列關(guān)于f（x）的說法不正確的是A．存在x0∈[0，+∞），使f（x0）>0 B．f（x）的圖象過點(diǎn)（1，1）C．f（x）在其定義域上是增函數(shù) D．對于任意x∈R，f（–x）+f（x）=0透析題組三：冪函數(shù)的定點(diǎn)和圖像問題7．（2021·全國高一專題練習(xí)）冪函數(shù)，及直線將直角坐標(biāo)系第一象限分成八個“卦限：（如圖所示），那么，而函數(shù)的圖象在第一象限中經(jīng)過的“卦限”是（）A． B． C． D．8．（2021·全國高一課時練習(xí)）如圖，①②③④對應(yīng)四個冪函數(shù)的圖像，其中②對應(yīng)的冪函數(shù)是（）A． B． C． D．9．（2021·全國）下列結(jié)論正確的是（）A．冪函數(shù)圖象一定過原點(diǎn)B．當(dāng)時，冪函數(shù)是減函數(shù)C．當(dāng)時，冪函數(shù)是增函數(shù)D．函數(shù)既是二次函數(shù)，也是冪函數(shù)透析題組四：冪函數(shù)的單調(diào)性問題（比較大小、解不等式、參數(shù)）10．（2020·烏魯木齊市第三十一中學(xué)高一月考）已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．11．（2021·全國高一課時練習(xí)）下列結(jié)論中，正確的是（）A．冪函數(shù)的圖象都經(jīng)過點(diǎn)(0，0)，(1，1)B．冪函數(shù)的圖象可以出現(xiàn)在第四象限C．當(dāng)冪指數(shù)α取1，3，時，冪函數(shù)y＝xα是增函數(shù)D．當(dāng)α＝－1時，冪函數(shù)y＝xα在其整個定義域上是減函數(shù)12．（2021·全國高一課時練習(xí)）若，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（）A． B．C． D．透析題組五：冪函數(shù)的奇偶性問題13．（2020·全國）已知冪函數(shù)y＝f(x)經(jīng)過點(diǎn)(3，)，則f(x)（）A．是偶函數(shù)，且在(0，＋∞)上是增函數(shù)B．是偶函數(shù)，且在(0，＋∞)上是減函數(shù)C．是奇函數(shù)，且在(0，＋∞)上是減函數(shù)D．是非奇非偶函數(shù)，且在(0，＋∞)上是增函數(shù)14．（2021·全國高一課前預(yù)習(xí)）已知冪函數(shù)(m∈N*)為奇函數(shù)，且在區(qū)間(0，＋∞)上是減函數(shù)，則m等于（）A．1 B．2 C．1或2 D．315．（2020·烏蘇市第一中學(xué)高一月考）已知，若冪函數(shù)為偶函數(shù)，且在上遞減，則（）A．， B．1，3 C． D．，2【考點(diǎn)同練】一、單選題16．（2021·云南省玉溪第一中學(xué)）已知冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則該函數(shù)的解析式為（）A． B． C． D．17．（2020·南京市第十三中學(xué)高一月考）在同一坐標(biāo)系內(nèi)，函數(shù)和的圖象可能是（）A． B．C． D．18．（2021·全國）下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞減的為（）A．y＝x－4 B．y＝x－1C．y＝x2 D．y＝x19．（2021·全國高一課時練習(xí)）若冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則函數(shù)的最大值為（）A． B． C． D．20．（2021·全國）已知，，，則（）.A．B．C．D．21．（2021·全國高一課時練習(xí)）點(diǎn)在冪函數(shù)的圖象上，則函數(shù)的值域?yàn)椋ǎ〢． B． C． D．22．（2021·全國高一課時練習(xí)）已知冪函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，則滿足成立的實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A． B． C． D．23．（2021·全國高一單元測試）已知函數(shù)是冪函數(shù)，直線過點(diǎn)，則的取值范圍是（）A． B． C． D．二、多選題24．（2020·三亞華僑學(xué)校高一期中）已知冪函數(shù)的圖像經(jīng)過，則冪函數(shù)具有的性質(zhì)是（）A．在其定義域上為增函數(shù) B．在上單調(diào)遞減C．奇函數(shù) D．定義域?yàn)?5．（2021·全國高一課時練習(xí)）已知函數(shù)為冪函數(shù)，則該函數(shù)為（）A．奇函數(shù) B．偶函數(shù)C．區(qū)間上的增函數(shù) D．區(qū)間上的減函數(shù)26．（2021·全國高一課時練習(xí)）已知冪函數(shù)，對任意，且，都滿足，若且，則下列結(jié)論可能成立的有（）A．且 B．且C．且 D．以上都可能27．（2021·江蘇高一課時練習(xí)）有如下命題，其中真命題的標(biāo)號為（）A．若冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則B．函數(shù)且的圖象恒過定點(diǎn)C．函數(shù)在上單調(diào)遞減D．若函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為，則實(shí)數(shù)的取值范圍是三、填空題28．（2021·鶴慶縣第一中學(xué)高一期末）若函數(shù)是冪函數(shù)，且是偶函數(shù)，則m＝____________.29．（2021·雄縣第二高級中學(xué)高一期末）已知冪函數(shù)過定點(diǎn)，且滿足，則的范圍為________．30．（2021·全國）已知函數(shù)f(x)＝(m2－m－5)xm是冪函數(shù)，且在(0，＋∞)上為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)m的值是________．31．（2020·如皋市第一中學(xué)高一月考）若函數(shù)同時滿足：（1）對于定義域上的任意，恒有；（2）對于定義域上的任意，，當(dāng)時，恒有，則稱函數(shù)為“理想函數(shù)”.給出下列四個函數(shù)中：①；②；③；④，能被稱為“理想函數(shù)”的有______(填相應(yīng)的序號).四、解答題32．（2021·上海高一專題練習(xí)）已知函數(shù)是冪函數(shù).求函數(shù)的解析式.33．（2021·全國高一課前預(yù)習(xí)）比較下列各組數(shù)的大?。海?）和；（2）和；（3）和；34．（2021·全國）已知函數(shù)是冪函數(shù)，且.（1）求函數(shù)的解析式；（2）試判斷是否存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)在區(qū)間上的最大值為6，若存在，求出b的值；若不存在，請說明理由.35．（2021·江西省樂平中學(xué)高一開學(xué)考試）已知冪函數(shù)是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增.（1）求函數(shù)的解析式；（2）若，求的取值范圍：（3）若實(shí)數(shù)滿足，求的最小值.36．（2021·浙江高一期末）已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)．（1）求m的值；（2）當(dāng)時，記的值域分別為集合A，B，設(shè)，若p是q成立的必要條件，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．（3）設(shè)，且在上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．【答案精講】1．A【詳解】為指數(shù)函數(shù)；，，為冪函數(shù)；故選：A.2．A【詳解】且，解得，，∴在定義域的奇函數(shù)，故選：A.3．A【詳解】解：冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，，且，解得或，當(dāng)時符合題意；當(dāng)時不符合題意；故選：．4．C【詳解】由冪函數(shù)的圖像過點(diǎn)，可得，解得，所以，函數(shù)，則，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以的最小值.故選：5．A【詳解】當(dāng)時，，為奇函數(shù)，但值域?yàn)椋粷M足條件.當(dāng)時，，為奇函數(shù)，值域?yàn)镽，滿足條件.當(dāng)時，為偶函數(shù)，值域?yàn)?，不滿足條件.當(dāng)時，為奇函數(shù)，值域?yàn)镽，滿足條件.故選：A.6．D【詳解】由題意得m–1=1，即m=2，所以f（x）=，易知A，B，C正確，f（x）是非奇非偶函數(shù)，故D錯．故選D．7．B【詳解】對于冪函數(shù)，因?yàn)?，所以在第一象限單調(diào)遞減，根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)可知：在直線的左側(cè)，冪函數(shù)的指數(shù)越大越接近軸，因?yàn)?，所以的圖象比的圖象更接近軸，所以進(jìn)過第卦限，在直線的右側(cè)，冪函數(shù)的指數(shù)越小越接近軸，因?yàn)椋缘膱D象位于和之間，所以經(jīng)過卦限，所有函數(shù)的圖象在第一象限中經(jīng)過的“卦限”是，故選：B8．C【詳解】解：由圖知：①表示，②表示，③表示，④表示.故選：C.9．D【詳解】由題意，函數(shù)的圖象不過原點(diǎn)，故A不正確；函數(shù)在及上是減函數(shù)，故B不正確；函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，故C不正確；根據(jù)冪函數(shù)的定義，可得函數(shù)是二次函數(shù)，也是冪函數(shù)，所以D正確.故選：D.10．A因?yàn)樵谏线f增，所以，又因?yàn)樵赗上遞減，所以，所以，故選：A11．C【詳解】當(dāng)冪指數(shù)α＝－1時，冪函數(shù)y＝x－1的圖象不經(jīng)過原點(diǎn)，故A錯誤；因?yàn)樗械膬绾瘮?shù)在區(qū)間(0，＋∞)上都有定義，且y＝xα(α∈R)>0，所以冪函數(shù)的圖象不可能出現(xiàn)在第四象限，故B錯誤；當(dāng)α>0時，y＝xα是增函數(shù)，故C正確；當(dāng)α＝－1時，y＝x－1在區(qū)間(－∞，0)，(0，＋∞)上是減函數(shù)，但在整個定義域上不是減函數(shù)，故D錯誤．故選：C.12．C【詳解】因?yàn)閮绾瘮?shù)在和上都是單調(diào)遞減的，所以，由可得或或解得或，即實(shí)數(shù)m的取值范圍為.故選：C.13．D【詳解】設(shè)冪函數(shù)的解析式為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式得，解得，∴，函數(shù)的定義域?yàn)?是非奇非偶函數(shù)，且在上是增函數(shù)，故選：D.14．B【詳解】因?yàn)樵?0，＋∞)上是減函數(shù)，所以m－3<0,所以m<3.又因?yàn)閙∈N*，所以或.又因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以m－3是奇數(shù)，所以m＝2.故選：B.15．C【詳解】若冪函數(shù)為偶函數(shù)，且在上遞減，則且，所以.故選：C16．D【詳解】設(shè)，依題意，所以.故選：D17．C【詳解】由題意，若時，函數(shù)在遞增，此時遞增，若時，函數(shù)在遞減，遞減，所以當(dāng)時，和單調(diào)性相同，故排除選項(xiàng)A，B，選項(xiàng)D中：由圖象可知，此時與軸交點(diǎn)為，所以交于軸正半軸，可排除D，故選：C.18．A【詳解】函數(shù)y＝x－4為偶函數(shù)，且在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞減；函數(shù)y＝x－1為奇函數(shù)，且在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞減；函數(shù)y＝x2為偶函數(shù)，且在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞增；函數(shù)y＝x為奇函數(shù)，且在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞增．故選：A.19．C【詳解】設(shè)冪函數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象過點(diǎn)，所以，所以，故，所以.令，所以，則，所以當(dāng)時，.故選：C.20．C【詳解】，，，且冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，指數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，故選：C.21．B解：因?yàn)辄c(diǎn)在冪函數(shù)的圖象上，所以，即，，所以，故，，，因?yàn)?，所以，所以，所以函?shù)的值域?yàn)?故選：B.22．D由題意得：，得或當(dāng)時，圖象關(guān)于y軸對稱，不成立；當(dāng)時，是奇函數(shù)，成立；所以不等式轉(zhuǎn)化為，即，解得.故選：D23．D【詳解】由是冪函數(shù)，知：，又在上，∴，即，則且，∴.故選：D.24．BC【詳解】設(shè)冪函數(shù)，冪函數(shù)圖象過點(diǎn)，，，定義域?yàn)?，滿足，是奇函數(shù)，值域?yàn)?，在定義域內(nèi)不單調(diào)，在上單調(diào)遞減.故選：BC25．BC【詳解】由為冪函數(shù)，得，即m=2，則該函數(shù)為，故該函數(shù)為偶函數(shù)，且在區(qū)間上是增函數(shù)，故選：BC.26．BC【詳解】因?yàn)闉閮绾瘮?shù)，所以，解得：m=2或m=-1.因?yàn)槿我?，且，都滿足，不妨設(shè)，則有，所以為增函數(shù)，所以m=2，此時因?yàn)?，所以為奇函?shù).因?yàn)榍?，所?因?yàn)闉樵龊瘮?shù)，所以，所以.故BC正確.故選：BC27．BD【詳解】對于A，令，則，解得：，，，A錯誤；對于B，令，即時，，恒過定點(diǎn)，B正確；對于C，為開口方向向上，對稱軸為的二次函數(shù)，在上單調(diào)遞增，C錯誤；對于D，令，解得：或；又，實(shí)數(shù)的取值范圍為，D正確.故選：BD.28．【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是冪函數(shù)，所以，解得：或，當(dāng)時，函數(shù)是偶函數(shù)，成立，當(dāng)時，函數(shù)是奇函數(shù)，不成立.故答案為：29．【詳解】設(shè)冪函數(shù)，其圖象過點(diǎn)，所以，即，解得：，所以，因?yàn)?，所以為奇函?shù)，且在和上單調(diào)遞減，所以可化為，可得，解得：，所以的范圍為，故答案為：．30．3【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝(m2－m－5)xm是冪函數(shù)，且在(0，＋∞)上為增函數(shù)，所以，解得m＝3.所以數(shù)m的值是3.故答案為：3.31．④【詳解】若滿足：（1）對于定義域上的任意，恒有；可知是奇函數(shù)；若滿足：（2）對于定義域上的任意，，當(dāng)時，恒有，可知是減函數(shù)，所以即是奇函數(shù)又是減函數(shù)的函數(shù)就是“理想函數(shù)”.對于①：是奇函數(shù)，在和單調(diào)遞減，但在定義域內(nèi)不是減函數(shù)，不符合理想函數(shù)的定義，故①不正確；對于②是偶函數(shù)，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，不符合理想函數(shù)的定義，故②不正確；對于③：是奇函數(shù)，因?yàn)楹投际窃龊瘮?shù)，所以在上單調(diào)遞增，不符合理想函數(shù)的定義，故③不正確；對于④：作出分段函數(shù)的圖象如圖所示：由圖知：圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱是奇