高一數(shù)學(xué)必修1知識網(wǎng)絡(luò)

集合

(1)元素與集合的關(guān)系：屬于Q)和不屬于(?)

)__*(2)集合中元素的特性：確定性、互異性、無序性

集合與兀素，

°一'|(3)集合的分類：按集合中元素的個數(shù)多少分為：有限集、無限集、空集

[(4)集合的表示方法：列舉法、描述法(自然語言描述、特征性質(zhì)描述)、圖示法、區(qū)間法

子集：若xeAnxwB,則Au8,即A是砸子集。

1、若集合A中有〃個元素，則集合4的子集有2,個，真子集有(2.-1)個。

一汴'2、任何一個集合是它本身的子集，即AuA

關(guān)系jB,且BqC,那么AuC.

|用子集。

集"I真子集：若A=B且Aw長即至少存在r￡3但任A),則A是8的真子集。

00

I?僚合臀球冊約瓢耀錦｝

集合與集合《I交集)

性質(zhì)：AcA=d，An0=0fAnB=Br\A,Aq6=4cB=A

定乂：CV/XG

?并集

…IF性質(zhì)：AuA=A,Au0=A,AuB=B<JA,AuBqA,AuB&B,AcB<=>AuB=/?

運(yùn)算《Card(AuB)=Card(A)+Card(B)-Card,AcB)

f定義：CA={x/xwUNtdA}二A

補(bǔ)集1性質(zhì)《C'A)CA=0,(CA)UA=U,C(CA)=A,C(AcB)=(CA)5cB),

uuuuuuu

C(AuB)=(CA)c(CB)

Iuuu

二、集合間的基本關(guān)系

1.“包含”關(guān)系一子集注意：Aq8有兩種可能(1)A是B的T盼，；(2)A與B是同一

集合。反之：集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,記作理且或上當(dāng).

2.“相等”關(guān)系:對于兩個集合A與B,如果集合A的任何一個元素都泉集合B的元素.

同時,集合B的任何一個元素都是集合A的元素.我們就說集合A等于集合B,即：A=B

①任何一個集合是它本身的子集。即AA

②如果AB,且AB那就說集合A是集合B的真子集,記作AB(或如)

③如果AB,BC,那么AC④如果AB同時BA那么A5B

3.不含任何元素的集合叫做空集.記為更

規(guī)定：空集是任何集合的送空集是任何非空集合的真王室.

三、集合的運(yùn)算

1.交集的定義：一般地，由所有屬于A且屬于B的元素所組成的集合.叫做A.B的交

集.記作AnB(讀作"A交B").即APB={xlxeA.且xWBl.

2、并集的定義：一般地，由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素所組成的集合.叫做A,B

的并集。記作：AUB(讀作"A并B")，即AUB={xlxGA,或xGB).

3、交集與并集的性質(zhì)：AHA=&AD。=婷AHB=BAA,AUA=A-

AU,AUB=BUA.

4、全集與補(bǔ)集(1)補(bǔ)集：設(shè)S是一個集合，A是S的一個子集(即八S),由S中所有

不屬于A的元素組成的集合.叫做S中子集A的補(bǔ)集(或余集)記作：CA

S

即CA={xxS且xA)

(2)全集：如果集合S含有我們所要研究的各個集合的全部元素,

這個集合就可以看作一個全集。通常用U來表示。

(3)性質(zhì)：⑴C(CA)=A(2)(0A)nA=O(3)(CA)UA=U

UU—uu一

映射定義：設(shè)A，3是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應(yīng)關(guān)系，使對于集合A中的任意一個元素x,

鐮償8中p有唯一確定的元素），與之對應(yīng)，那么就稱對應(yīng)人TB為從集合A到集合8的一個映射

傳統(tǒng)定義：如果在某變化中有兩個變量x,），，并且對于x在某個范圍內(nèi)的每一個確定的值,

定義按照某個對應(yīng)關(guān)系人.，都有唯一確定的值和它對應(yīng)。那么y就是x的函數(shù)。記作y=f｛x）.

近代定義「函數(shù)是從一個數(shù)集到另一個數(shù)集的映射。

JJ定義域

函數(shù)及其表示函數(shù)的三要素

I髓法則

J解析法

函數(shù)的表示方法列表法

【圖象法

;單調(diào)性J傳統(tǒng)定義：鋸粒,同軻（尊僧開影附,帆即即送）上牌卜2穹［是輔麒曲上,川是

彳導(dǎo)致定義:在區(qū)間一月上,若/（x）＞0,則/（x）在［a%］上遞增，:1是遞增區(qū)間;如/（x）＜0

則/*）在上遞減,。且是的遞減區(qū)間。

函數(shù)＜［最大值：設(shè)函數(shù)產(chǎn)“X）的定義域?yàn)楦髌г诟郾圬纠?沅

函數(shù)的基本性質(zhì)j最值評小值：設(shè)函數(shù)，=｛）的定義域?yàn)?嘴贛案曜麟拈取用麟翻豺拼加粉修

［⑴/（-3）=-/（幻，勝定義域。，則/（X）叫做奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱。

奇偶性｛（赧L收愫莢郭%//（X）叫做偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對稱。

周期性：在函數(shù)/V）的定義域上恒春〃x+T）=f（x）（7＞0的常數(shù)）則〃大）叫做周期函數(shù),

了為周期;

丁的最小正值叫做/"）的最小正周期，簡稱周期

⑴描點(diǎn)連隼去：列表消購聯(lián)名單位…=〃刖

平稔彎橫向右平移4個單位：＞1=y湛1+a=xny=f（x-a）

向上平移。個單位：x-\=x,yi+b=y=＞y-b=f（x）

向下平移。個單位：刈=.%）】_昆上+戶力f（x）

橫坐標(biāo)變換：把各點(diǎn)的橫坐標(biāo)“縮缸（當(dāng)心1時）或伸長（當(dāng)0＜卬＜1時）

伸縮變換［縱坐標(biāo)變換：嬲來胸颯側(cè)靛僦幽標(biāo)礴力或婚矮仔0號氏行到（喉唳的A倍

函數(shù)圖象的畫法⑵變換法1（橫坐標(biāo)不變）匕即步=以46=->y，=/(v)

,町=2卬斛三2卻-攵

F關(guān)于直線三.布對稱：忡騎唱像）湍監(jiān)。T）

對稱變換!

w關(guān)于直線尸“）對稱:=>2yo-j^/(x)

|關(guān)于直線『對稱:嚴(yán)博建?T（y）=2v0-y

附：

一、函數(shù)的定義域的常用求法：

1、分式的分母不等于零；2、偶次方根的被開方數(shù)大于等于零；3、對數(shù)的真數(shù)大于

零;4指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的底數(shù)大于零且不等于1；5、三角函數(shù)正切函數(shù)y=tanX中

依+］■伏eZ）；余切函數(shù)＞=（^。1%中；6、如果函數(shù)是由實(shí)際意義確定的解析式,

應(yīng)依據(jù)自變量的實(shí)際意義確定其取值范圍。

二、函數(shù)的解析式的常用求法：

1、定義法；2、換元法；3、待定系數(shù)法；4、函數(shù)方程法；5、參數(shù)法；6、配方法

三、函數(shù)的值域的常用求法：

1、換元法；2、配方法；3、判別式法；4、幾何法；5、不等式法；6、單調(diào)性法；7、

直接法

四、函數(shù)的最值的常用求法：

1、配方法；2、換元法；3、不等式法；4、幾何法；5、單調(diào)性法

五、函數(shù)單調(diào)性的常用結(jié)論：

1、若/(x),g(M均為某區(qū)間上的增(減)函數(shù)，則/(x)+g(x)在這個區(qū)間上也為

增(減)函數(shù)

2、若/(x)為增(減)函數(shù)，貝h/(x)為減(增)函數(shù)

3、若/(X)與g(x)的單調(diào)性相同，則y=/[g(x)]是增函數(shù)；若/(x)與g(x)的單

調(diào)性不同，則y=/[g(x)]是減函數(shù)。

4、奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性相同，偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性相反。

5、常用函數(shù)的單調(diào)性解答：比較大小、求值域、求最值、解不等式、證不等式、作

函數(shù)圖象。

六、函數(shù)奇偶性的常用結(jié)論：

1、如果一個奇函數(shù)在X=o處有定義，則/(0)=0,如果一個函數(shù)y=/(x)既是

奇函數(shù)又是偶函數(shù)，則/(幻=0(反之不成立)

2、兩個奇(偶)函數(shù)之和(差)為奇(偶)函數(shù)；之積(商)為偶函數(shù)。

3、一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)的積(商)為奇函數(shù)。

4、兩個函數(shù)y=/(")和〃=g(x)復(fù)合而成的函數(shù)，只要其中有一個是偶函數(shù)，那

么該復(fù)合函數(shù)就是偶函數(shù)；當(dāng)兩個函數(shù)都是奇函數(shù)時，該復(fù)合函數(shù)是奇函數(shù)。

5、若函數(shù)/W的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，則/(x)可以表示為

+,該式的特點(diǎn)是：右端為一個奇函數(shù)

f(x)=

22

和一個偶函數(shù)的和。

I零點(diǎn)：對于函數(shù))，=/如)，我們把使/(*)=0的實(shí)數(shù)上叫做函數(shù))，=fk)的零點(diǎn)。

J定理：如果函數(shù)y=/(x)在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有/"(a)?/(8)<(),

零點(diǎn)與根的關(guān)系那么，函數(shù)y=/(l)在區(qū)間［%句內(nèi)有零點(diǎn)。即存在。e(%人)，使掰(c)=0,這個c也是方

程〃x)=O的根。(反之不成立)

關(guān)系：方程/1")=()有實(shí)數(shù)根o函數(shù)y=〃x)有零點(diǎn)o函數(shù)y=〃幻的圖象與x軸有交點(diǎn)

,<0,給定精確度樹

函數(shù)與方程⑴確定區(qū)間［。，們，驗(yàn)證f(a)f(b)

(2)求區(qū)間(a,b)的中點(diǎn)c；

函數(shù)的應(yīng)用

(3)計(jì)算/'(c)：

二分法求方程的近似解①若了(c)=0,則c就是函數(shù)的零點(diǎn):

②奇⑷./(c)<0,則令b=c(此時零點(diǎn)E(a,b)):

③利(。)fW<0,則令"i(此時零點(diǎn)為?、?；

(4)判斷是否達(dá)到精確度a即若L-樂￡,則得到零點(diǎn)的近似值a(或6)；否則重復(fù)2~4c

兒類不同的增長函數(shù)模型

函數(shù)模型及其應(yīng)用用已知函數(shù)模型解決問題

、建立實(shí)際問題的函數(shù)模型

分根式數(shù)：9:."為根指數(shù)，。為被開方數(shù)嚴(yán)1,—…—

rs

指數(shù)的運(yùn)算aa"+5(a>0,r,seQ)

rs

指數(shù)函數(shù)性質(zhì)(J)，=a(?>0,r.5e(?)

(ah)r=arhs(a>0,b>0,reQ)

定義：一般地把函數(shù)>（a>0且0工1）叫做指數(shù)函數(shù)0

指數(shù)函數(shù)?

,性質(zhì)：見表1

對數(shù)：J=l8

0aN."為底數(shù)，N為其數(shù)

基本初等函數(shù)loga(M?N)=logaM+logaN;

M_

財(cái)

對數(shù)的運(yùn)算logoN=loga-logqN;

性質(zhì)’

n

對數(shù)函數(shù),logaM=nlogaM;(a>0,a*1,A/>0,N>0)

換底公式：logb=i"(a.c>0且a,c=1,b>0)

?loga

定義：?般地把函數(shù)），=log〃x（a>0且叫做對數(shù)函數(shù)

對數(shù)函數(shù)

性質(zhì)：見表1

（定義：一般地，函數(shù)y=xSU做察函數(shù)，x是自變量，a是常數(shù)。

鬲函數(shù)

［性質(zhì)：見表2

對數(shù)數(shù)函數(shù)

表4匕姐?？*她y=②（/?>o〃w1）

指數(shù)函數(shù)，/十人/y=log%(a〉0,aw1)

1a

定

義XERXG(0,-H?)

域

值yG(0,+OO)yeR

域

圖

象

過定點(diǎn)(0,1)過定點(diǎn)(1,0)

減函數(shù)增函數(shù)減函數(shù)增函數(shù)

性%￡（-8,0）時,ye（1,+a）Lre（-oo,O）07t,ye（0,1）%￡（0。）時,ye（0,+oo）x￡（0,1）時，ye（-00,0）

質(zhì)X￡（0,+CO）時,>￡（0,1）x￡（0,+oo）時，ye（1,+a）X￡（1,+oo）時，yG（-oo,C）X￡（1,+8）時，y￡（0,+6）

a<ba>ba<ba>b

表2幕函數(shù)>=xa（aeR）

a=P_

a<00<a<1a>1a=1

q

P為奇數(shù)

q為奇數(shù)奇函數(shù)

p為奇數(shù)

q為偶數(shù)

p為偶數(shù)

q為奇數(shù)偶函數(shù)

第一象限

減函數(shù)增函數(shù)流點(diǎn)(0,1)

性質(zhì)

二、函數(shù)的有關(guān)概念

1.函數(shù)的概念：設(shè)A、B是非岸的數(shù)集.如果按照某個確定的對應(yīng)關(guān)系f,使對于集合A中

的任意一個數(shù)X.在集合B中都直睢二確定的數(shù)f（x）和它對應(yīng)，那么就稱f：ATB為從集

合A到集合B的一個函數(shù).記作：v=f（x）.xGA.其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫

做函數(shù)的定義域；與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合｛f（x）|x€A｝叫做函

數(shù)的值域.

能使函數(shù)式有意義的實(shí)數(shù)x的集合稱為函數(shù)的定義域，求函數(shù)的定義域時列不等式組

的主要依據(jù)是：⑴分式的分母不等于零;⑵偶次方根的被開方數(shù)不小于零;（3）對數(shù)式

的直數(shù)必須大干零:（4）指數(shù)、對數(shù)式的底必須大干零目不等干1.（5）如果函數(shù)是由一些

基本函數(shù)通過四則運(yùn)算結(jié)合而成的.那么，它的定義域是使各部分都有意義的x的值組成的

集合.（6）指數(shù)為零底不可以等壬霎（7）實(shí)際問題中的函數(shù)的定義域還要保證實(shí)際問題有意

義.

2.構(gòu)成函數(shù)的三要素：宗義域、對應(yīng)關(guān)系和值域

再注意：（D由于值域是由定義域和對應(yīng)關(guān)系決定的.所以，如果兩個函數(shù)的定義

域和對應(yīng)關(guān)系完全一致,即稱這兩個函數(shù)相等（或?yàn)橥缓瘮?shù)）（2）兩個函數(shù)相等當(dāng)且

僅當(dāng)它們的定義域和對應(yīng)關(guān)系完全一致.而與表示自變量和函數(shù)值的字母無關(guān)。相同函

數(shù)的判斷方法：①表達(dá)式相圓②定義域兩點(diǎn)必須同時具備）

3.區(qū)間的概念（1）區(qū)間的分類：開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間；（2）無窮區(qū)間；（3）區(qū)

間的數(shù)軸表示.

4.映射一般地，設(shè)A、B是兩個非空的集合.如果按某一個確定的對應(yīng)法則f,使對于

集合A中的任意一個亓.素x.在集合B中都有雎二確定的元素y與之對應(yīng)，那么就稱對應(yīng)f：

A-B為從集合A到集合B的一個映射。記作“f：A—B”

給定一個集合A到B的映射，如果aGA.bSB,且元素a和元素b對應(yīng)，那么，我們把元素b

叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象.

說明：函數(shù)是一種特殊的映射，映射是一種特殊的對應(yīng)，①集合A、B及對應(yīng)法則f是

確定的；②對應(yīng)法則有“方向性”，即強(qiáng)調(diào)從集合A到集合B的對應(yīng)，它與從B到A的對應(yīng)

關(guān)系一般是不同的；③對于映射f：ATB來說，則應(yīng)滿足：（I）集合A中的每一個元素.

在隼合B中都有象.并目象呈唯一的:（II）隼合A中不同的亓素.在集合B中對應(yīng)的象可

以泉同T：（III）不尊求集合B中的每一個亓素在隼合A中都有原繪.

5.常用的函數(shù)表示法:解析法：圖象法；列表法:

6.分段函數(shù)在定義域的不同部分上有不同的解析表達(dá)式的函數(shù)。

(1)分段函數(shù)是一個函數(shù)，不要把它誤認(rèn)為是幾個函數(shù)；

(2)分段函