考點二二元一次方程組及其應用知識點整合一、二元一次方程（組）及解的概念1．二元一次方程含有2個未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項的次數(shù)都是1的整式方程叫做二元一次方程．2．二元一次方程的解使二元一次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做二元一次方程的解．3．二元一次方程組由兩個二元一次方程組成的方程組叫二元一次方程組．方程組中同一個字母代表同一個量，其一般形式為．4．解二元一次方程組的基本思想解二元一次方程組的基本思想是消元，即將二元一次方程組轉化為一元一次方程．5．二元一次方程組的解法（1）代入消元法：將方程中的一個未知數(shù)用含有另一個未知數(shù)的代數(shù)式表示出來，并代入另一個方程中，消去一個未知數(shù)，化二元一次方程組為一元一次方程．（2）加減消元法：將方程組中兩個方程通過適當變形后相加（或相減）消去其中一個未知數(shù)，化二元一次方程組為一元一次方程．二、一次方程（組）的應用1．列方程（組）解應用題的一般步驟（1）審題；（2）設出未知數(shù)；（3）列出含未知數(shù)的等式——方程；（4）解方程（組）；（5）檢驗結果；（6）作答（不要忽略未知數(shù)的單位名稱）．

考向一解二元一次方程組典例引領1．若二元一次方程組的的解也是二元一次方程的解，則k的值為2．關于，的方程組（其中，是常數(shù)）的解為，則關于，的方程組的解為．3．已知關于x、y的方程組的解x、y的值的和等于6，則k的值為．4．甲、乙兩人同解方程組，由于甲看錯了方程①中的a，得到方程組的解為，甲看錯了方程②中的b，得到方程組的解為，則．5．己知關于x，y的二元一次方程組的解滿足，則k的值為6．已知關于的二元一次方程組的解為，那么關于的二元一次方程組中的的值為．7．若關于x，y的二元一次方程組的解是，則關于a，b的二元一次方程組的解是．8．已知關于x，y的二元一次方程組的解滿足，求m的值．9．解方程組(1)(2)10．已知是關于，的二元一次方程的一組解．(1)求的值(2)請用含有的代數(shù)式表示．11．解方程組：(1)；(2)．12．已知方程組，由于甲看錯了方程①中的a，得到方程組的解為；乙看錯了②中的b，得到方程組的解為．(1)求a、b的值；(2)乙看錯了②中的b，他把b看成了哪個數(shù)？13．已知關于x、y的方程組，甲由于看錯了方程①中的a，得到方程組的解為；乙由于看錯了方程②中的b，得到方程組的解為．求原方程組的正確解．14．已知關于x，y的方程組．(1)方程中，用含y的式子表示x；(2)若方程組的解滿足③，求m的值．15．已知關于x，y的二元一次方程組的解滿足，求m的值．16．對于有理數(shù)x，y，定義新運算：，，其中a，b是常數(shù)．已知．(1)求a，b的值；(2)若關于x，y的方程組的解也滿足方程，求m的值；(3)若關于x，y的方程組的解為，求關于x，y的方程組的解．17．解下列方程組．(1)；(2)．18．解方程組：(1)；(2)．19．甲、乙兩人共同解方程組由于甲看錯了方程①中的，得到方程組的解為，乙看錯了方程②中的，得到方程組的解為，試計算的值．變式拓展1．一個自然數(shù)，把它各數(shù)位上的數(shù)字從最高位到個位依次排列得到一串數(shù)字，再把它各數(shù)位上的數(shù)字從個位到最高位依次排列，得到另一串數(shù)字，如果兩串數(shù)字完全相同，我們就把這樣的自然數(shù)稱為“回文數(shù)”．例如22，323，4664，567765等都是“回文數(shù)”．已知一個三位數(shù)是能被11整除的“回文數(shù)”，則符合條件的三位數(shù)的個數(shù)有（）A．8個 B．9個 C．24個 D．33個2．已知關于，的方程組的解滿足，則．3．若關于，的二元一次方程組的解也是二元一次方程的解，則的值為．4．若滿足則．5．若關于，的方程的解滿足，則．6．已知是方程組的解，則．7．若多項式的值與的取值無關，則的值是．8．已知的算術平方根是3，的立方根是2，求的平方根．9．已知關于、的方程組和有相同的解，求的值．10．閱讀材料：善于思考的小軍在解方程組時，采用了一種“整體代換”的解法：解：將方程②變形，得，即．③把①代入③，得，解得y=-1．把代入①，得，解得．所以方程組的解為：請你模仿小軍的“整體代換”法解方程組11．閱讀材料：善于思考的樂樂同學在解方程組時，采用了一種“整體換元”的解法，把，分別看成一個整體，設，，則原方程組可化為，解得，即，解得．請你模仿樂樂同學的“整體換元”的方法，解下列方程組：(1)；(2)．12．甲和乙兩人同解方程組，甲因抄錯了a，解得，乙因抄錯了b，解得，求的值．13．方程組和同解，求a、b的值．14．方程組與有相同的解，求a、b的值．15．綜合與實踐問題情境：小明同學在學習二元一次方程組時遇到了這樣一個問題：解方程組：．觀察發(fā)現(xiàn)：（1）如果用代入消元法或加減消元法求解，運算量比較大，容易出錯．如果把方程組中的看成一個整體，把看成一個整體，通過換元，可以解決問題．設，，則原方程組可化為，解關于m，n的方程組，得，所以，解方程組，得．探索猜想：（2）運用上述方法解下列方程組：．考向二二元一次方程組的應用典例引領1．隨著“低碳生活，綠色出行”理念的普及，新能源汽車正逐漸成為人們喜愛的交通工具，某汽車銷售公司計劃購進一批新能源汽車進行銷售，據(jù)了解，輛型汽車、輛型汽車的進價共計萬元；輛型汽車、輛型汽車的進價共計萬元．(1)求兩種型號的汽車每輛進價分別為多少萬元？(2)若該公司計劃正好用萬元購進以上兩種型號的新能源汽車（兩種型號的汽車均購買），銷售輛型汽車可獲利元，銷售輛型汽車可獲利元，求該公司共有幾種購買方案？假如這些新能源汽車全部售出，最大利潤是多少元？2．土耳其地震后，某華資集團為災區(qū)購進A，B兩種救災物資100噸，共用去300萬元，A種物資每噸萬元，B種物資每噸萬元．(1)求A，B兩種物資各購進了多少噸？(2)該集團租用了大、小兩種貨車若干輛正好將這些物資一次性運往災區(qū)，每輛大貨車可運8噸A種物資和噸B種物資，每輛小貨車可運6噸A種物資和噸B種物資，問租用的大、小貨車各多少輛？3．某高速公路準備新增一個出口，現(xiàn)有甲、乙兩個工程隊都可完成此項工程．若讓兩隊合作，12個月可以完工，需費用1200萬元；若讓兩隊合作10個月后，剩下工程由乙隊單獨做還需10個月才能完成，這樣只需費用1100萬元．問：(1)甲、乙兩隊單獨完成此項工程各需費用每月多少萬元？(2)甲、乙兩隊單獨完成此項工程各需幾個月？4．現(xiàn)欲將一批荔枝運往外地銷售，若用輛型車和輛型車載滿荔枝一次可運走噸；輛型車和輛型車載滿荔枝一次可運走噸．現(xiàn)有荔枝噸，計劃同時租用型車輛，型車輛，一次運完，且恰好每輛車都裝滿貨物．根據(jù)以上信息，解答下列問題：：(1)輛型車和輛型車都載滿荔枝一次可分別運送多少噸？(2)請你幫該物流公司設計租車方案．5．去年疫情期間某物流公司計劃用兩種車型運輸救災物資，用2輛A型車和1輛B型車裝滿物資一次可運10噸；用1輛A型車和2輛B型車一次可運11噸．某物流公司現(xiàn)有31噸貨物資，計劃同時租用A型車a輛，B型車b輛，一次運完，且恰好每輛車都裝滿．(1)1輛A型車和1輛B型車都裝滿物資一次可分別運多少噸？(2)請你幫該物流公司設計租車方案，并把符合要求的租車方案都列出來；(3)若A型車每輛需租金每次100元，B型車每輛租金每次120元，請從（2）中的方案里選出最省錢的租車方案，并求出最少租車費．6．某廠接到任務需完成500臺空調的安裝．由于時間要求高，該廠沒有足夠的熟練工人，故決定招聘一批新工人，生產(chǎn)開始后發(fā)現(xiàn)：1名熟練工人和3名新工人每天共安裝11臺空調；2名熟練工人每天裝的空調數(shù)與5名新工人每天安裝空調數(shù)一樣多．(1)求1名熟練工人和1名新工人1天一共可以安裝多少臺空調；(2)若公司原有熟練工m人，現(xiàn)招聘n名新工人(m，n均不為0)，為了剛好20天完成安裝任務，你有哪幾種方案？7．一輛公交車從站出發(fā)勻速開往站，在行駛時間相同的前提下，如果車速是千米/小時，就會超過站千米；如果車速是千米/小時，就還需行駛千米才能到達站，求站和站相距多少千米？行駛時間是多少？8．問題：某校組織學生乘汽車去自然保護區(qū)野營，，學校距自然保護區(qū)有多遠？條件：①去野營時以60的速度走平路，以30的速度爬坡，共用了6.5h；②回學校時以40的速度下坡，以50的速度走平路，共用了6h；③行程中共分平路和坡路兩種路型，其中平路長與坡路長之比為．在上述三個條件中選擇兩個（僅填寫序號）補充在問題的橫線上，并完成解答．9．已知A，B兩地相距120千米，甲、乙兩車分別從A，B兩地同時出發(fā)，相向而行，其終點分別為B，A兩地．兩車均先以千米每小時的速度行駛，再以b千米每小時的速度行駛，且甲車以兩種速度行駛的路程相等，乙車以兩種速度行駛的時間相等．(1)若，且甲車行駛的總時間為小時，求和b的值；(2)若，且乙車行駛的總時間為小時．①求和b的值；②求兩車相遇時，離A地多少千米．10．A、B兩地相距4千米，甲從A地出發(fā)步行到B地，乙從B地出發(fā)騎自行車到A地，兩人同時出發(fā)，30分鐘后兩人相遇，又經(jīng)過10分鐘，甲剩余路程為乙剩余路程的3倍．(1)求甲、乙每小時各行多少千米？(2)在他們出發(fā)后多長時間兩人相距1千米？11．安居小區(qū)業(yè)主安先生準備裝修新居，裝修公司派來甲工程隊完成此項完程．由于工期過長，安先生要求裝修公司再派乙工程隊與甲隊共同工作．已知甲工程隊單獨完成此項工程需要天數(shù)恰好比乙工程隊單獨完成此項工程需要的天數(shù)的3倍少5天，并且甲工程隊單獨完成此項工程需要的天數(shù)與乙工程隊單獨完成此項工程需要的天數(shù)之和為55天．(1)求甲、乙兩隊單獨完成此項工程各需要多少天；(2)若甲工程隊工作10天后，與公司派來的乙工程隊再合作多少天可完成此項工程的；(3)甲、乙工程隊每天的施工費分別為800元和1000元，安先生裝修工程施工完成時費用正好為21800元，求甲工程隊參加工作多少天？12．甲、乙兩個工程隊共同為某貧困村修建了米的村路，甲隊單獨修建一段時間后，乙隊再繼續(xù)單獨修建，共用天完成任務．已知甲隊每天修建米，乙隊每天修建米．求甲、乙兩個工程隊分別修建了多少天？(1)張紅同學根據(jù)題意，列出了二元一次方程組，那么這個方程組中未知數(shù)表示的是，未知數(shù)表示的是；(2)李芳同學設甲隊修建了天，乙隊修建了天，請你按照她的思路解答老師的問題．13．下面是學習二元一次方程組時，老師提出的問題和兩名同學所列的方程（組）．問題：某個工人一天工作8個小時，可以生產(chǎn)零件一整箱和不足一箱的30個；由于特殊情況，今天他只工作5個小時，生產(chǎn)零件一整箱和不足一箱的6個，問這一整箱零件和該工人每小時能生產(chǎn)的零件數(shù)分別是多少？小麗所列方程：，

小亮所列方程：．根據(jù)以上信息，解答下列問題．(1)以上兩個方程（組）中x的意義是否相同？______（填“是”或“否”）；(2)小亮列的方程所用的等量關系是______（填序號，“①每個小時生產(chǎn)的零件數(shù)”或“②5個小時生產(chǎn)的零件數(shù)相等”）；(3)請從以上兩個方程（組）中任選一個求解，完整解答老師提出的問題．14．某共享單車運營公司準備采購一批共享單車投入市場，而共享單車安裝公司由于抽調不出足夠熟練工人，準備招聘一批新工人．已知2名熟練工人和3名新工人每天共安裝44輛共享單車；4名熟練工人每天安裝的共享單車數(shù)與5名新工人每天安裝的共享單車數(shù)一樣多．(1)求每名熟練工人和新工人每天分別可以安裝多少輛共享單車；(2)共享單車安裝公司計劃抽調出熟練工人若干，并且招聘新工人共同安裝共享單車．如果25天后剛好交付運營公司3500輛合格品投入市場，求熟練工人和新工人各多少人．15．已知：用2輛型車和1輛型車載滿貨物一次可運貨10噸；用1輛型車和2輛型車載滿貨物一次可運貨11噸．某物流公司現(xiàn)有34噸貨物，計劃同時租用型車輛，型車輛，一次運完，且恰好每輛車都載滿貨物．根據(jù)以上信息，解答下列問題：(1)1輛型車和1輛車型車都載滿貨物一次可分別運貨多少噸？(2)若型車每輛需租金100元/次，型車每輛需租金120元/次．請選出最省錢的租車方案，并求出最少租車費．16．接種新冠病毒疫苗，建立全民免疫屏障，是戰(zhàn)勝病毒的重要手段．北京科興中維需運輸一批疫苗到我市疾控中心，據(jù)調查得知，2輛A型冷鏈運輸與3輛B型冷鏈運輸車一次可以運輸600盒；5輛A型冷鏈運輸車與6輛B型冷鏈運輸車一次可以運輸1350盒．求每輛A型車和每輛B型車一次可以分別運輸多少盒疫苗？17．學校準備租用一批汽車，現(xiàn)有甲、乙兩種大客車，甲種客車每輛載客量人，乙種客車每輛載客量人，已知輛甲種客車和輛乙種客車共需租金元，輛甲種客車和輛乙種客車共需租金元．(1)求輛甲種客車和輛乙種客車的租金分別是多少元？(2)學校計劃租用甲、乙兩種客車共輛，送名師生集體外出活動，剛好全部坐滿，問租車費用是多少？18．宿鴨湖是亞洲面積最大平原人工水庫，位于河南省駐馬店市汝南縣羅店鎮(zhèn)東2公里處，為打造駐馬店宿鴨湖沿岸的風景帶，有一段長為720米的水庫清淤擴容工程由A、B兩個工程隊先后接力完成，A工程隊每天整治48米，B工程隊每天整治32米，共用20天．(1)根據(jù)題意，小華和小軍分別列出了尚不完整的方程組如下：根據(jù)小華、小軍所列的方程組，請你分別指出未知數(shù)x，y表示的意義，并在表格中補全兩人所列的方程組．小華：x表示_______________，y表示_____________；小軍：x表示_______________，y表示____________．(2)求出其中一個方程組的解，并回答A、B兩工程隊分別整治河道多少米？19．年我國多地道受連綿不斷的陰雨天襲擊，夏糧作為全年糧食生產(chǎn)的第一季，收割受到極大的影響．陜西省某縣政府為了幫助村民搶收小麥，租來了每天能收割小麥畝的型收割機和每天能收割小麥畝的型收割機共臺，全部型號的收割機一天能收割畝．(1)政府租來的型收割機和型收割機各有多少臺?(2)該縣某鄉(xiāng)鎮(zhèn)共有畝小麥，鎮(zhèn)長向政府申請了援助．因調配問題，政府只能每天向該鎮(zhèn)派遣同一型號的所有收割機進行援助．經(jīng)過天的努力，該鄉(xiāng)鎮(zhèn)恰好收割了全部小麥．已知每臺型收割機收費是元/天，每臺型收割機收費是元/天．請計算援助該鄉(xiāng)鎮(zhèn)共花費了多少元?變式拓展1．某商場用2500元購進、兩種新型節(jié)能臺燈共50盞，這兩種臺燈的進價、標價如下表所示．類型價格型型進價（元/價）4065標價（元/盞）60100(1)這兩種臺燈各購進多少盞？（用二元一次方程組解決問題）(2)若型臺燈按標價的9折出售，型臺燈按標價的8折出售，那么這批臺燈全部售出后，商場共獲利多少元？2．北京時間2023年10月26日，神舟十七號載人飛船發(fā)射取得了圓滿成功！神舟十七號發(fā)射成功并對接中國空間站，標志著中國載人航天走過空間站關鍵技術驗證階段和建造階段．某超市為了滿足廣大航天愛好者的需求，計劃購進、兩種航天載人飛船模型進行銷售，據(jù)了解，2件種航天載人飛船模型和3件種航天載人飛船模型的進價共計95元；3件種航天載人飛船模型和2件種航天載人飛船模型的進價共計105元．(1)求，兩種航天載人飛船模型每件的進價分別為多少元？(2)若該超市計劃正好用250元購進以上兩種航天載人飛船模型（兩種航天載人飛船模型均有購買），請你寫出所有購買方案．3．列方程解應用題：7月，某水果店用370元購進葡萄、西瓜，其中西瓜的重量比葡萄的2倍還多5千克，每千克葡萄、每千克西瓜的進價分別為5元、2元，售價分別為8元、5元．(1)求購進兩種水果各多少千克？(2)8月，水果店以7月的進價又購進葡萄、西瓜兩種水果，其中葡萄、西瓜的重量都不變，葡萄降價y元銷售，西瓜按原價銷售，8月份兩種水果售完后的總利潤是315元，求y的值．4．某體育用品商場銷售A，B兩款足球，售價和進價如表：類型進價元/個售價元/個A款m120B款n90若該商場購進5個A款足球和12個B款足球需1120元；若該商場購進10個A款足球和15個B款足球需1700元．(1)求m和n的值；(2)某校在該商場一次性購買A款足球x個和B款足球y個，共消費3300元，那么該商場可獲利多少元？(3)為了提高銷量，商場實施：“買足球送跳繩”的促銷活動：“買1個A款足球送1根跳繩，買3個B款足球送2根跳繩”，每根跳繩的成本為10元，某日售賣出兩款足球總計盈利600元，那么該日商場銷售A、B兩款足球各多少個？每款都有銷售5．西安的大唐不夜城，已成為游客們必去的打卡之地，在其商業(yè)街上，擺放著琳瑯滿目的具有古風特色的商品，其中做工精致的扇子深受大家的喜愛，某店鋪老板用元購進了折扇和團扇共把，這兩種扇子的進價、標價如表所示：種類價格折扇團扇進價（元/把）標價（元/把）(1)折扇和團扇各購進了多少把？(2)店鋪老板將這兩種扇子打折出售，全部售出后，該店鋪共獲利元，已知折扇按標價的九折出售，則團扇的折扣是多少？6．當下公園露營正成為人們一種新的周末休閑娛樂方式，經(jīng)營戶外用品店的小明決定采購一批帳篷進行銷售，已知A型天幕帳篷的進價比B型普通帳篷多80元，購買40頂A型帳篷和60頂B型帳篷的金額相同．(1)每頂A型帳篷和B型帳篷的進價分別是多少元？(2)7月份該小明以300元每頂售出A型帳篷120頂，以200元每頂售出B型帳篷150頂．8月份小明決定調整價格，每頂A型帳篷的售價不變，每頂B型帳篷的售價在7月的基礎上下降了m元，由于氣溫持續(xù)攀升，8月份A型帳篷的銷量比7月份增加了2m頂，B型帳篷的銷量比7月份增加了20%，小明在8月份獲利13200元，求m的值．7．某電器超市銷售每臺進價為200元，170元的A、B兩種型號的電風扇．如表所示是近2周的銷售情況：（進價、售價均保持不變，利潤＝銷售收入－進貨成本）銷售時段銷售數(shù)量銷售收入A種型號B種型號第一周351750元第二周4103000元(1)求A、B兩種型號電風扇的銷售單價；(2)超市銷售完A、B兩種型號的電風扇共25臺，能否實現(xiàn)利潤為1200元的目標？請說明理由．(3)一家公司打算花費4000元同時購買A、B兩種型號的電風扇若干臺，請你為該公司設計不同的購買方案．8．小明作業(yè)本中有一頁被墨水污染了，已知他所列的方程組是正確的，寫出題中被墨水污染的條件和被墨水污染的第一個方程，并求解這道應用題．應用題：小東在某商場看中的一臺電視和一臺空調在“五一”前共需要5500元，由于該商場開展“五一”促銷活動，同樣的電視打八折銷售，，于是小東在促銷期間購買了同樣的電視一臺，同樣的空調兩臺，共花費7200元，求“五一”前同樣的電視和同樣的空調每臺各多少元？解：設“五一”前同樣的電視每臺x元，同樣的空調每臺y元，根據(jù)題意，得解決問題：(1)被墨水污染的第一個方程是：________；被墨水污染的條件是：________；(2)求“五一”前同樣的電視和空調每臺各多少元？9．如圖，王英家客廳的電視背景墻是由塊形狀大小相同的長方形墻磚砌成，已知電視背景墻的長度為，求每一塊長方形墻磚的面積．（列二元一次方程組解答）10．某藥業(yè)集團生產(chǎn)的某種藥品包裝盒的側面展開圖如圖所示．如果長方體盒子的長比寬多，求這種藥品包裝盒的體積．11．分別用8個大小一樣的小長方形紙片拼圖．如圖①，小明拼成了一個大的長方形；如圖②，小紅拼成了一個大的正方形，但中間恰好空出一個邊長為1cm的小正方形，請你求出小長方形紙片的長和寬．

12．現(xiàn)有一輛卡車，要運輸若干套某種設備，每套設備由A部件和部件組成．已知3個A部件和2個部件的總質量為7.6噸，5個A部件和3個部件的質量相等．求1個A部件和1個部件的質量各是多少．13．某市計劃在城區(qū)投放一批“共享單車”，這批單車分為A，B兩種不同