考點14.幾何圖形初步與平行線（精講）【命題趨勢】本專題內(nèi)容是初中幾何的基礎(chǔ)，在中考數(shù)學(xué)中屬于基礎(chǔ)考點，年年都會考查，分值為8分左右，大部分地區(qū)在選擇、填空題中考察可能性較大，主要考查平行線的性質(zhì)和判定、方位角、角度的大小等知識，這些知識點考查較容易，另外平行線的性質(zhì)可能在綜合題中出現(xiàn)，考查學(xué)生綜合能力，比如：作平行的輔助線，構(gòu)造特殊四邊形，此類題目有一定難度，需要學(xué)生靈活掌握。對本專題的復(fù)習(xí)也直接影響后續(xù)對其他幾何圖形的學(xué)習(xí)，需要考生細心對待?！局R清單】1：認識幾何圖形（☆☆）1）幾何圖形的概念:我們把實物中抽象出來的各種圖形叫幾何圖形，幾何圖形分為平面圖形和立體圖形。2）立體圖形的概念：有些幾何圖形的各個部分不都在同一平面內(nèi)，這個圖形叫做立體圖形。3）平面圖形的概念：有些幾何圖形的各個部分在同一平面內(nèi)的圖形，這個圖形叫做平面圖形。4）正方體的展開圖（共計11種）：5）幾何圖形的組成：1）點：線和線相交的地方是點，它是幾何圖形最基本的圖形；2）線：面和面相交的地方是線，分為直線和曲線；3）面：包圍著體的是面，分為平面和曲面；4）體：幾何體簡稱體。6）組成幾何圖形元素的關(guān)系：點動成線，線動成面，面動成體。7）拓展：歐拉公式：V+F-E=2，（其中：頂點數(shù)（V）、面數(shù)（F）、棱數(shù)（E））。2：直線、射線、線段的相關(guān)概念（☆☆）1）直線的性質(zhì)：（1）兩條直線相交，只有一個交點；（2）基本事實：經(jīng)過兩點有且只有一條直線。2）線段的性質(zhì)：兩點確定一條直線，兩點之間，線段最短，兩點間線段的長度叫兩點間的距離。3）線段的中點性質(zhì)：若C是線段AB中點，則AC=BC=AB；AB=2AC=2BC。3：角的相關(guān)概念（☆☆）1）角：有公共端點的兩條射線組成的圖形。2）角平分線定義：在角的內(nèi)部，以角的頂點為端點把這個角分成兩個相等的角的射線。性質(zhì)：若OC是∠AOB的平分線，則∠AOC=∠BOC=∠AOB，∠AOB=2∠AOC=2∠BOC。3）度、分、秒的運算方法：1°=60′，1′=60″，1°=3600″．1周角=2平角=4直角=360°。4）余角和補角及其性質(zhì)（1）余角：∠1＋∠2＝90°?∠1與∠2互為余角；（2）補角：∠1＋∠2＝180°?∠1與∠2互為補角。（3）性質(zhì)：同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的補角相等。4：相交線（☆☆）1）兩條直線的位置關(guān)系：在同一平面內(nèi)，兩條直線只有兩種位置關(guān)系：平行和相交。2）垂直定義：兩條直線相交所形成的四個角中有一個是直角時叫兩條直線互相垂直。3）垂直的性質(zhì)：①經(jīng)過一點有且只有一條直線與已知直線垂直；②直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短。4）點到直線的距離：從直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫做這點到這條直線的距離。5）三線八角：直線a，b被直線l所截，構(gòu)成八個角（如圖）．其中∠1和∠5，∠4和∠8，∠2和∠6，∠3和∠7是同位角；∠2和∠8，∠3和∠5是內(nèi)錯角；∠5和∠2，∠3和∠8是同旁內(nèi)角。6）對頂角：1）定義：兩個角有一個公共的頂點，并且一個角的兩邊分別是另一個角的兩邊的反向延長線，具有這種關(guān)系的兩個角，互為對頂角。2）性質(zhì)：對頂角相等。5：平行線的性質(zhì)與判定（☆☆☆）1）平行線的定義：在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線。2）平行公理（唯一性）：經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行。平行公理的推論（傳遞性）：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行。3）平行線的判定（1）同位角相等，兩直線平行．（2）內(nèi)錯角相等，兩直線平行．（3）同旁內(nèi)角互補，兩直線平行．（4）平行于同一直線的兩直線互相平行．（5）垂直于同一直線的兩直線互相平行（同一平面內(nèi)）。4）平行線的性質(zhì)（1）兩直線平行，同位角相等．（2）兩直線平行，內(nèi)錯角相等．（3）兩直線平行，同旁內(nèi)角互補。5）平行線間的距離（1）定義：同時垂直于兩條平行線，并且夾在這兩條平行線的線段的長度，叫做這兩條平行線的距離。（2）性質(zhì)：兩平行線間的距離處處相等，夾在兩平行線間的平行線段相等。6）除了基本模型外，我們還經(jīng)常會遇到稍難一些的平行線拐點模型，主要是下面兩類：做這類題型時，一般在折點處作平行線，進而把線的關(guān)系轉(zhuǎn)換成角的關(guān)系，如上圖：【易錯點歸納】1.一條射線要成為一個角的平分線必須同時滿足兩個條件：1）射線必須在角的內(nèi)部；2）它把這個角分成兩個相等的角；2.互為余角、補角是兩個角之間的關(guān)系,只與角的度數(shù)有關(guān)，與角的位置無關(guān)；3.如果∠α與∠β是對頂角，那么一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α與∠β不一定是對頂角；4.平行線必在同一平面內(nèi)，分別在兩個平面內(nèi)的兩條直線，即使不相交，也可以不平行，因此“在同一平面內(nèi)”是平行線存在的前提條件；5.在兩直線平行的前提下才存在同位角相等、內(nèi)錯角相等、同旁內(nèi)角互補的結(jié)論.這是平行線特有的性質(zhì)不要一提同位角或內(nèi)錯角就認為它們相等，一提同旁內(nèi)角就認為互補，若沒有兩直線平行的條件，這些是不成立的?！竞诵目键c】核心考點1.認識幾何圖形例1：（2023·江蘇鎮(zhèn)江·校聯(lián)考一模）不透明的箱子中裝有一個幾何體模型，小樂和小欣摸該模型并描述它的特征．小樂：它有4個面是三角形；小欣：它有6條棱．則該幾何體模型的形狀可能是（

）A．三棱錐 B．三棱柱 C．四棱錐 D．四棱柱變式1.（2023·四川樂山·統(tǒng)考中考真題）下面幾何體中，是圓柱的是（

）A．

B．

C．

D．

例2：（2023·河南周口·校聯(lián)考三模）下列哪個不是正方體的側(cè)面展開圖（

）A．

B．

C．

D．

變式1.（2023·湖北宜昌·統(tǒng)考中考真題）“爭創(chuàng)全國文明典范城市，讓文明成為宜昌人民的內(nèi)在氣質(zhì)和城市的亮麗名片”．如圖，是一個正方體的平面展開圖，把展開圖折疊成正方體后，“城”字對面的字是（

）．

A．文 B．明 C．典 D．范變式2.（2023·河北衡水·二模）如圖所示的正方體，它的展開圖可能是下列四個選項中的（

）A．B．C．D．例3：（2022·廣西柳州·統(tǒng)考中考真題）如圖，將矩形繞著它的一邊所在的直線l旋轉(zhuǎn)一周，可以得到的立體圖形是（）A． B． C． D．變式1.（2023·江蘇無錫·?？既＃┮粔K直角邊分別為6和8的三角形木板，繞長度為8的邊旋轉(zhuǎn)一周，則斜邊掃過的面積是（）A．45 B． C．60 D．變式2.（2023·河南信陽·二模）妹妹把一密閉且透明的圓柱形水杯中裝一半的水，隨意轉(zhuǎn)動水杯，水面的形狀不可能是（

）A．三角形 B．長方形 C．圓形 D．橢圓例5：（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）七巧板是我國民間廣為流傳的一種益智玩具，某同學(xué)用邊長為的正方形紙板制作了一副七巧板（如圖），由5個等腰直角三角形，1個正方形和1個平行四邊形組成．則圖中陰影部分的面積為．

變式1．（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考二模）2023年是農(nóng)歷兔年，小曹同學(xué)用邊長為的正方形紙片制作了一副七巧板，再用這副七巧板拼成一只兔子（如圖所示），已知，則與之間的距離為．

例6：（2020·山東棗莊·中考真題）歐拉（Euler，1707年~1783年）為世界著名的數(shù)學(xué)家、自然科學(xué)家，他在數(shù)學(xué)、物理、建筑、航海等領(lǐng)域都做出了杰出的貢獻．他對多面體做過研究，發(fā)現(xiàn)多面體的頂點數(shù)（Vertex）、棱數(shù)E（Edge）、面數(shù)F（Flat

surface）之間存在一定的數(shù)量關(guān)系，給出了著名的歐拉公式．（1）觀察下列多面體，并把下表補充完整：名稱三棱錐三棱柱正方體正八面體圖形頂點數(shù)V468棱數(shù)E612面數(shù)F458（2）分析表中的數(shù)據(jù)，你能發(fā)現(xiàn)V、E、F之間有什么關(guān)系嗎？請寫出關(guān)系式：___________________．變式1．（2023·貴州銅仁·統(tǒng)考三模）18世紀(jì)瑞士數(shù)學(xué)家歐拉證明了簡單多面體中頂點數(shù)（V）、面數(shù)（F）、棱數(shù)（E）之間存在的一個有趣的關(guān)系式，被稱為歐拉公式．請你觀察下列幾種簡單多面體模型，解答下列問題．(1)根據(jù)上面的多面體模型，直接寫出表格中的m，n的值，則______，______．多面體頂點數(shù)（V）面數(shù)（F）棱數(shù)（E）四面體446長方體m612正八面體n812正十二面體201230(2)你發(fā)現(xiàn)頂點數(shù)（V）、面數(shù)（F）、棱數(shù)（E）之間存在的關(guān)系式是_______．(3)一個多面體的面數(shù)等于頂點數(shù)，且這個多面體有30條棱，求這個多面體的面數(shù)．核心考點2.直線、射線、線段的相關(guān)概念例7：（2023·河北石家莊·?？寄M預(yù)測）如圖，若射線與線段有一個公共點，則射線可能經(jīng)過的點是（）

A．點D B．點E C．點Q D．點M變式1.（2023·河北保定·校考三模）如圖，直線，和線段將平面分成五個區(qū)域（不包含邊界），若線段與線段有公共點，則點落在的區(qū)域是（

）

A．① B．② C．③ D．④或⑤例8：（2022·廣西柳州·統(tǒng)考中考真題）如圖，從學(xué)校A到書店B有①、②、③、④四條路線，其中最短的路線是（）A．① B．② C．③ D．④變式1.（2023·陜西西安·模擬預(yù)測）如圖，鋸木板前，在木板兩端固定兩個點，用墨盒彈一根墨線然后再鋸，這樣做的數(shù)學(xué)道理是（

）A．兩點之間線段最短B．兩點確定一條直線C．過一點有且只有一條直線與已知直線垂直D．過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行變式2.（2023·浙江杭州·模擬預(yù)測）下面說法正確的是（

）A．兩點間的連線的長度，叫做兩點間的距離 B．連結(jié)兩點的線段，叫做兩點間的距離C．兩點間的距離就是兩點間的路程 D．兩點間的距離是連結(jié)兩點的線段的長度例9：（2023·黑龍江大慶·統(tǒng)考一模）哈齊高鐵于2015年開通，是我國目前最北端的高速鐵路，開通8年時間，方便了千千萬萬大慶市民出行，也推動了龍江經(jīng)濟發(fā)展．從大慶西站到哈爾濱站中間有4個車站，共有種票價．（注：擬設(shè)每兩個城市之間的票價相同）變式1．（2023·湖北武漢·?？寄M預(yù)測）2條直線最多有個交點，3條直線最多有個交點，按照規(guī)律依此類推，2023條直線最多有個交點，則的值為（

）A． B． C． D．變式2．（2023·安徽蚌埠·校考二模）將一塊等邊三角形蛋糕切三次，最多能分成的塊數(shù)為（）A．3 B．5 C．7 D．9例10：（2023·河北滄州·?？寄M預(yù)測）有兩道作圖題：①“延長線段到，使”；②“反向延長線段，使點是線段的一個三等分點”．小明正確的作出了圖形．他的兩個同學(xué)嘉嘉、淇淇展開了討論：嘉嘉說：“點是線段中點”；淇淇說：“如果線段，那么線段”，下列說法正確的是(

)A．嘉嘉對，淇淇不對B．嘉嘉不對，淇淇對C．嘉嘉、淇淇都不對D．嘉嘉、淇淇都對變式1．（2023·河北石家莊·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，某同學(xué)用直尺畫數(shù)軸．?dāng)?shù)軸上點A、分別在直尺的，處，若點A對應(yīng)，直尺的0刻度位置對應(yīng)，則線段中點對應(yīng)的數(shù)為（

）

A．4 B．5 C．8 D．12變式2.（2023·浙江·模擬預(yù)測）如圖，A，B兩地相距1200m，小車從A地出發(fā)，以8m/s的速度向B地行駛，中途在C地?？?分鐘．大貨車從B地出發(fā)，以5m/s的速度向A地行駛，途經(jīng)D地（在A地與C地之間）時沿原路返回B點取貨兩次，且往返兩次速度都保持不變（取貨時間不計），取完兩批貨后再出發(fā)至A點．已知：，則直至兩車都各自到達終點時，兩車相遇的次數(shù)為（）A．2 B．3 C．4 D．5核心考點3.角的相關(guān)概念例11：（2023·北京東城·校考二模）如圖所示，用量角器度量，可以讀出的度數(shù)為．變式1.（2023·湖北恩施·校考模擬預(yù)測）用一個10倍的放大鏡看一個的角，看到的角的度數(shù)為（

）A． B． C． D．變式2.（2023·河北·統(tǒng)考中考真題）淇淇一家要到革命圣地西柏坡參觀．如圖，西柏坡位于淇淇家南偏西的方向，則淇淇家位于西柏坡的（

）

A．南偏西方向B．南偏東方向C．北偏西方向D．北偏東方向變式3.（2023·浙江寧波·校考一模）下列選項中，可以用來說明命題“兩個銳角的和是鈍角”是假命題的例子是（

）A．，B．，C．，D．，例12：（2023·廣東河源·三模）任意一個銳角的補角與這個銳角的余角的差等于．變式1.（2023·廣東佛山·統(tǒng)考三模）已知，與互為余角，則（）A． B． C． D．變式2．（2023·陜西咸陽·?？既＃┤簦瑒t補角的大小是(

)A． B． C． D．變式3.（2023·北京大興·統(tǒng)考一模）已知，，，四點的位置如圖所示，下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C．比大 D．與互補變式4.（2023·吉林·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，分別以點B和點C為圓心，大于的長為半徑作弧，兩孤交于點D，作直線交于點E．若，則的大小為度．

核心考點4.相交線例13：（2023·河南·統(tǒng)考中考真題）如圖，直線，相交于點O，若，，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．變式1.（2023·河南周口·統(tǒng)考二模）如圖，直線和交于點，平分，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．例14：（2023·河北秦皇島·模擬預(yù)測）如圖，在三角形中，，，垂足為D，則下列說法不正確的是（

）

A．線段的長是點A到的距離 B．線段的長是點C到的距離C．線段的長是點B到的距離 D．線段的長是點B到的距離變式1.（2023·吉林長春·模擬預(yù)測）長春市解放大路和新民大街分別是東西走向與南北走向，如交通圖所示，小致同學(xué)想從新民廣場盡快走到解放大路，他選擇沿新民大街走，小致這樣走的數(shù)學(xué)依據(jù)．

變式2.（2023·浙江杭州·校聯(lián)考三模）如圖，點P是直線l外一點，A，O，B，C在直線l上，且，其中，則點P到直線l的距離可能是（）

A．3.2 B．3.5 C．4 D．4.5例15：（2023·山東淄博·統(tǒng)考一模）有以下命題：①對頂角相等；②經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與已知直線平行；③同位角相等．其中假命題的是（

）A．①② B．② C．③ D．②③變式1．（2023·河北石家莊·考模擬預(yù)測）如圖，在同一平面內(nèi)．經(jīng)過直線l外一點O有四條直線①②③④，借助直尺和三角板判斷，與直線l平行的是（

）A．① B．② C．③ D．④變式2.（2023·四川宜賓·模擬預(yù)測）有下列說法：對頂角相等；同位角相等；過一點有且只有一條直線與已知直線垂直；點到直線的距離即為垂線段；同旁內(nèi)角互補，兩直線平行其中正確的有．例16：（2023·浙江杭州·模擬預(yù)測）如圖，直線l1，l2被直線l3所截，則（）A．∠1和∠2是同位角B．∠1和∠2是內(nèi)錯角C．∠1和∠3是同位角D．∠1和∠3是內(nèi)錯角變式1.（2023·河北滄州·校考模擬預(yù)測）如圖，與的位置關(guān)系是（）A．同位角 B．內(nèi)錯角 C．同旁內(nèi)角 D．鄰補角核心考點5.平行線的性質(zhì)與判定例17：（2023·遼寧鞍山·統(tǒng)考中考真題）如圖，直線，將含有角的直角三角尺按如圖所示的位置放置，若，那么的大小為（

）

A． B． C． D．變式1.（2023·遼寧營口·統(tǒng)考中考真題）如圖，是的平分線，，，則的度數(shù)是（

）

A．50° B．40° C．35° D．45°變式2.（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）如圖，直線直線n，點A在直線n上，點B在直線m上，連接，過點A作，交直線m于點C．若，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．例18：（2023·遼寧·模擬預(yù)測）如圖，平行于主光軸的光線和經(jīng)過凹透鏡的折射后，折射光線，的反向延長線交于主光軸上一點P．若，則的度數(shù)是（

）

A． B． C． D．變式1.（2023·湖南邵陽·統(tǒng)考