第十章概率章末小結及測試考法一事件的類型【例1-1】（2023陜西）在12件同類產(chǎn)品中，有10件正品和2件次品，從中任意抽出3件．其中為必然事件的是（

）．A．3件都是正品 B．至少有1件是次品C．3件都是次品 D．至少有1件是正品【答案】D【解析】12件同類產(chǎn)品中，有10件正品和2件次品，從中任意抽出3件，次品的個數(shù)可能為，正品的個數(shù)分別為，因此只有“至少有1件正品”一定會發(fā)生，它是必然事件，ABC三個選項中的事件都有可能不發(fā)生．故選：D．【例1-2】（2023陜西漢中）（多選）同時拋擲兩枚均勻的骰子，記第一枚骰子擲出的點數(shù)與第二枚骰子擲出的點數(shù)之差為，則表示的隨機事件不可能是（

）A．第一枚擲出5點，第二枚擲出2點 B．第一枚擲出3點，第二枚擲出3點C．第一枚擲出1點，第二枚擲出2點 D．第一枚擲出6點，第二枚擲出2點【答案】ABC【解析】因為記第一枚骰子擲出的點數(shù)與第二枚骰子擲出的點數(shù)之差為，所以第一枚擲出5點，第二枚擲出2點時，，第一枚擲出3點，第二枚擲出3點時，，第一枚擲出1點，第二枚擲出2點時，，第一枚擲出6點，第二枚擲出2點時，，所以表示的隨機事件不可能是A,B,C，可能是D.故選：ABC【例1-3】（2023江蘇）（多選）下列現(xiàn)象中，是隨機現(xiàn)象的有（

）A．在一條公路上，交警記錄某一小時通過的汽車超過300輛B．若a為整數(shù)，則a＋1為整數(shù)C．發(fā)射一顆炮彈，命中目標D．檢查流水線上一件產(chǎn)品是合格品還是次品【答案】ACD【解析】對于選項A：交警記錄某一小時通過的汽車的數(shù)量是隨機現(xiàn)象，故A正確；對于選項B：當a為整數(shù)時，a＋1一定為整數(shù)，是確定性現(xiàn)象，故B錯誤；對于選項C：發(fā)射一顆炮彈，可能命中目標，也可能沒有命中目標，故C正確；對于選項D：檢查流水線上一件產(chǎn)品，可能是合格品，也可能是次品，故D正確；故選：ACD.考法二事件的關系與運算【例2-1】（2024云南）（多選）對于一個隨機試驗，設是樣本空間，是隨機事件，是樣本點，則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．【答案】BC【解析】對于一個隨機試驗，其所有可能的結果的集合稱為樣本空間，樣本空間的元素稱為樣本點或基本事件，隨機事件是樣本空間的一個子集.所以有和.故選：BC【例2-2】（2024湖北）（多選）在一次隨機試驗中，事件發(fā)生的概率分別是0.2，0.3，0.5，則下列說法錯誤的是（

）A．與是互斥事件，也是對立事件 B．是必然事件C． D．【答案】ABC【解析】由事件，，不一定兩兩互斥，所以,，且，所以不一定是必然事件，無法判斷與是不是互斥或對立事件，所以A、B、C中說法錯誤.故選：ABC.【例2-3】（2023江蘇無錫）（多選）已知事件A，B發(fā)生的概率分別為，，則（

）A． B．C．若A與B互斥，則 D．一定有【答案】AB【解析】對于A，因為，所以，故A正確；對于B，因為，又且，則，所以，即，故B正確；對于C，因為A與B互斥，所以，則，故C錯誤；對于D，記事件“拋擲一枚骰子，向上的點數(shù)小于3”，事件“拋擲一枚骰子，向上的點數(shù)為4”，則滿足，，但不成立，故D錯誤；故選：AB.【例2-4】（2024山東）文具盒中有圓珠筆3支，鋼筆2支，從中無放回地任取3支．(1)用集合A表示事件“3支都是圓珠筆”；(2)用集合B表示事件“恰有2支是圓珠筆”；(3)用集合C表示事件“恰有1支是圓珠筆”；(4)用A，B，C表示；(5)解釋事件，，，的含義．【答案】(1)(2)(3)(4)(5)答案見解析【解析】（1）將3支圓珠筆記為，將2支鋼筆記為，可得.（2）將3支圓珠筆記為，將2支鋼筆記為，可得.（3）將3支圓珠筆記為，將2支鋼筆記為，可得.（4）因為必有事件A，B，C之一發(fā)生，所以樣本空間．（5）由事件A，B的定義可知，“至少有2支圓珠筆”，，是不可能事件，“3支都是圓珠筆”，“至少有1支鋼筆”．考法三古典概型【例3-1】（2024廣西·開學考試）某環(huán)保小組共有5名成員，其中男成員有2人，現(xiàn)從這5人中隨機選出3人去某社區(qū)進行環(huán)保宣傳.(1)求所選的3人中恰有1名男成員的概率；(2)求所選的3人中至少有2名女成員的概率.【答案】(1)(2)【解析】（1）由題意可知該環(huán)保小組女成員有3人，記為；男成員有2人，記為.從5名成員隨機選出3人的情況有，共10種.所選的3人中恰有1名男成員的情況有，共6種，則所選的3人中恰有1名男成員的概率.（2）所選的3人中至少有2名女成員的情況有，共7種，則所選的3人中至少有2名女成員的概率.【例3-2】（2024·四川成都）2023世界科幻大會在成都舉辦，為了讓同學們更好地了解科幻，某學校舉行了以“科幻成都，遇見未來”為主題的科幻知識通關賽，并隨機抽取了該校50名同學的通關時間（單位：分鐘）作為樣本，發(fā)現(xiàn)這些同學的通關時間均位于區(qū)間，然后把樣本數(shù)據(jù)分成，，，，，六組，經(jīng)過整理繪制成頻率分布直方圖（如圖所示）．(1)計算a的值，并估算該校同學通關時間低于60分鐘的概率；(2)擬在通關時間低于60分鐘的樣本數(shù)據(jù)對應的同學中隨機選取2位同學贈送科幻大會入場券，求此2人的通關時間均位于區(qū)間的概率．【答案】(1)，0.1(2)【解析】（1）解：因為，所以，

由所給頻率分布直方圖可知，50名同學通關時間低于鐘的頻率為，據(jù)此估計該校同學通關時間低于鐘的概率為.（2）解：樣本中同學通關時間位于區(qū)間的有人，即為，通關時間位于區(qū)間的有：（位），即為，，從這5名入樣同學中隨機抽取2人，所有可能的結果共有10種，分別為，，，，，，，，，，

所抽取2人的通關時間均位于區(qū)間的結果有3種，即，，，故此2人的通關時間均位于區(qū)間的概率為．考法四概率的性質【例4-1】（2024新疆昌吉·開學考試）（多選）下列命題正確的是（

）A．對立事件一定是互斥事件B．若為不可能事件，則C．若事件，，兩兩互斥，則D．事件，滿足，則，是對立事件【答案】AB【解析】由對立事件的定義可知對立事件一定是互斥事件，A正確；由于為不可能事件，所以，互斥，則，即B正確；事件，，兩兩互斥，比如擲骰子試驗中，事件：投擲出1點，2點，3點，這三個事件兩兩互斥，但這三個事件的和事件并不一定發(fā)生，所以不一定是必然事件，故C不正確；D中，設擲一枚硬幣3次，事件A：“至少出現(xiàn)一次正面”，事件：“3次出現(xiàn)正面”，則，，滿足，但，不是對立事件，故D不正確．故選：AB【例4-2】（2024浙江杭州）（多選）已知事件A，B，且，則下列結論正確的是（

）A．如果，那么B．如果A與B互斥，那么C．如果A與B相互獨立，那么D．如果A、B與C兩兩互斥，那么【答案】ABD【解析】對于A，如果，那么，，故A正確；對于B，如果A與B互斥，那么，，故B正確；對于C，如果A與B相互獨立，那么，故C錯誤；對于D，如果A、B與C兩兩互斥，那么，故D正確；故選：ABD.【例4-3】（2024·全國·模擬預測）設是隨機事件，且，則．【答案】/0.125【解析】因為，所以，故．故答案為：【例4-4】（2023湖北武漢·期中）已知事件與事件互斥，若，，那么.【答案】0.8【解析】.故答案為：0.8.【例4-5】（2023上海寶山）已知事件與事件互斥，如果，，那么.【答案】/【解析】事件與事件互斥，則，，故.故答案為：.考法五事件的相互獨立【例5-1】（2023河南）有4個相同的球，分別標有數(shù)字，從中不放回隨機取兩次，每次取1個球，表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是奇數(shù)”，表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是偶數(shù)”，表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是奇數(shù)”，表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是偶數(shù)”，則下列關系成立的是（

）A．與相互獨立B．與相互獨立 C．與相互獨立 D．與相互獨立【答案】BC【解析】從上述個球中不放回的隨機取兩次，每次取1個球，所有的基本事件：、、、、、、、、、、、，共種，其中事件包含的基本事件有：、、、、、，共6種，事件包含的基本事件有：、、、、、，共6種，事件包含的基本事件有：、、、、、、，，共8種，事件包含的基本事件有：、、、，共4種，對于A：，，事件包含的基本事件有：、、、，共4種，則，故，不獨立，故A錯誤；對于B：事件包含的基本事件有：、、、，共種，則，又，所以，故，相互獨立，故B正確；對于C：事件包含的基本事件有：、，共2種，則，又因為，則，則、相互獨立，故C正確；對于D：因為、互為對立事件，所以，則，故、不相互獨立，故D錯誤．故選：BC．【例5-2】（2024·云南昆明）甲、乙、丙三人參加一次考試，考試的結果相互獨立，他們合格的概率分別為，，，則三人中恰有兩人合格的概率是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設甲、乙、丙三人參加考試合格的事件分別為，則,而三人中恰有兩人合格記為：,因考試的結果相互獨立，且，，兩兩互斥，故得三人中恰有兩人合格的概率為：.故選：B．考法六綜合運用【例6-1】（2024·內蒙古赤峰）為了營造濃厚的讀書氛圍，激發(fā)學生的閱讀興趣，凈化學生的精神世界，赤峰市教育局組織了書香校園知識大賽，全市共有名學生參加知識大賽初賽，所有學生的成績均在區(qū)間內，組委會將初賽成績分成組：加以統(tǒng)計，得到如圖所示的頻率分布直方圖.(1)試估計這名學生初賽成績的平均數(shù)及中位數(shù)（同一組的數(shù)據(jù)以該組區(qū)間的中間值作為代表）；（中位數(shù)精確到0.01）(2)組委會在成績?yōu)榈膶W生中用分層抽樣的方法隨機抽取人，然后再從抽取的人中任選取人進行調查，求選取的人中恰有人成績在內的概率.【答案】(1)平均數(shù)75，中位數(shù)約為76.67.(2)．【解析】（1），設中位數(shù)為，因為前組的頻率之和為，而前2組的頻率之和為，所以，由，解得：，故可估計這500名學生初賽成績的中位數(shù)約為；（2）根據(jù)分層抽樣，由頻率分布直方圖知成績在和內的人數(shù)比例為，所以抽取的5人中，成績在內的有人，記為，；成績在內的有人，記為，，，從5人中任意選取2人，有，，，，，，，，，，共10種可能；其中選取的2人中恰有1人成績在區(qū)間內的有，，，，，，共6種可能；故所求的概率為．【例6-2】（2023廣東茂名）“猜燈謎”又叫“打燈謎”，是元宵節(jié)的一項活動，出現(xiàn)在宋朝．南宋時，首都臨安每逢元宵節(jié)時制迷，猜謎的人眾多．開始時是好事者把謎語寫在紙條上，貼在五光十色的彩燈上供人猜．因為謎語既能啟迪智慧又饒有興趣，所以流傳過程中深受社會各階層的歡迎．在一次元宵節(jié)猜燈謎活動中，共有20道燈謎，三位同學獨立競猜，甲同學猜對了12道，乙同學猜對了8道，丙同學猜對了n道．假設每道燈謎被猜對的可能性都相等．(1)任選一道燈謎，求甲，乙兩位同學恰有一個人猜對的概率；(2)任選一道燈謎，若甲，乙，丙三個人中至少有一個人猜對的概率為，求n的值．【答案】(1)(2)10【解析】（1）設“甲猜對燈謎”為事件A，“乙猜對燈謎”為事件B，“任選一道燈謎，恰有一個人猜對”為事件C，由題意得，，，且事件A、B相互獨立，則，所以任選一道燈謎，恰有一個人猜對的概率為；（2）設“丙猜對燈謎”為事件D，“任選一道燈謎，甲、乙、丙三個人都沒有猜對”為事件E，則由題意，，解得．單選題1．（2023重慶渝中）甲、乙兩人比賽下中國象棋，若甲獲勝的概率是，下成和棋的概率是，則乙獲勝的概率是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】甲、乙兩人比賽下中國象棋，結果有三種：甲勝，和局，乙勝.由概率性質可知，三種情況的概率和為1，所以乙獲勝的概率為，故選：D.2.（2024湖北孝感）假設，且A與B相互獨立，則（

）A．0.3 B．0.4 C．0.7 D．0.58【答案】D【解析】由，，且A與B相互獨立，得，所以.故選：D3．（2024廣東惠州）下列關于概率的命題，錯誤的是（

）A．對于任意事件A，都有B．必然事件的概率為1C．如果事件A與事件B對立，那么一定有D．若A，B是一個隨機試驗中的兩個事件，則【答案】D【解析】對于A，對于任意事件A，都有，故A正確；對于B，必然事件的概率為1顯然正確，故B正確；對于C，如果事件A與事件B對立，那么一定有，故C正確；對于D，若A，B是一個隨機試驗中的兩個事件，則，故D錯誤．故選：D．4．（2023陜西咸陽）奧林匹克運動會會旗中央有5個互相套連的圓環(huán)，顏色自左至右，上方依次為藍、黑、紅，下方依次為黃、綠，象征著五大洲．在手工課上，老師將這5個環(huán)分發(fā)給甲、乙、丙、丁、戊五位同學，每人分得1個，則事件“甲分得紅環(huán)”與“乙分得紅環(huán)”是（

）A．對立事件 B．互斥且對立事件C．互斥但不對立事件 D．既不互斥又不對立事件【答案】C【解析】甲、乙不能同時得到紅環(huán)，因而事件“甲分得紅環(huán)”與“乙分得紅環(huán)”是互斥事件；甲、乙可能都得不到紅環(huán)，即“甲或乙分得紅環(huán)”的事件不是必然事件，故事件“甲分得紅環(huán)”與“乙分得紅環(huán)”不是對立事件，所以，事件“甲分得紅環(huán)”與“乙分得紅環(huán)”是互斥但不對立事件.故選：C.5．（2023四川遂寧）拋擲一顆質地均勻的骰子，有如下隨機事件：“點數(shù)為”，其中；“點數(shù)不大于2”，“點數(shù)大于2”，“點數(shù)大于4”下列結論是判斷錯誤的是

（

）A．與互斥 B．，C． D．，為對立事件【答案】D【解析】由題意與不可能同時發(fā)生，它們互斥，A正確；中點數(shù)為1或2，中點數(shù)為3，4，5或6，因此它們的并是必然事件，但它們不可能同時發(fā)生，因此為不可能事件，B正確；發(fā)生時，一定發(fā)生，但發(fā)生時，可能不發(fā)生，因此，C正確；與不可能同時發(fā)生，但也可能都不發(fā)生，互斥不對立，D錯誤；故選：D．6．（2024安徽淮北）擲一枚骰子，設事件出現(xiàn)的點數(shù)不大于3，出現(xiàn)的點數(shù)為偶數(shù)，則（

）A． B．事件A與是互斥事件C．出現(xiàn)的點數(shù)為2 D．事件A與是對立事件【答案】C【解析】擲骰子有點數(shù)為1，2，3，4，5，6六種結果，即，事件，故，即事件A、B既不互斥也不對立.顯然C正確.故選：C7．2024陜西商洛）在一次隨機試驗中，彼此互斥的事件，，，的概率分別為，，，，則下列說法正確的是（

）A．與是互斥事件，也是對立事件B．與是互斥事件，也是對立事件C．與是互斥事件，但不是對立事件D．與是互斥事件，也是對立事件【答案】D【解析】因為彼此互斥的事件，，，發(fā)生的概率分別為0.2，0.2，0.3，0.3，所以與是互斥事件，但，所以與不是對立事件，故A錯；與是互斥事件，但，所以與不是對立事件，故B錯；與是互斥事件，且，所以與也是對立事件，故C錯；與是互斥事件，且，所以與也是對立事件，故D正確.故選：D.8．（2023湖南）甲、乙兩人對同一個靶各射擊一次，設事件“甲擊中靶”，事件“乙擊中靶”，事件“靶未被擊中”，事件“靶被擊中”，事件“恰一人擊中靶”，對下列關系式（表示的對立事件，表示的對立事件）：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦．其中正確的關系式的個數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題可得：①，正確；②事件“靶被擊中”，表示甲乙同時擊中，，所以②錯誤；③，正確，④表示靶被擊中，所以④錯誤；⑤，正確；⑥互為對立事件，，正確；⑦，所以⑦不正確．正確的是①③⑤⑥．故選：B多選題9．（2023山東棗莊·期末）已知為兩個事件，，，則的值可能為（

）A． B． C． D．【答案】BC【解析】因為，，所以所以,即，解得.故選：BC10．（2024四川攀枝花）某人打靶時連續(xù)射擊兩次，記事件為“第一次中靶”，事件為“至少一次中靶”，事件為“至多一次中靶”，事件為“兩次都沒中靶”.下列說法正確的是（

）A． B．與是互斥事件C． D．與是互斥事件，且是對立事件【答案】AD【解析】由題意可知，事件為“第一次中靶且第二次沒有中靶”“第一次沒有中靶且第二次中靶”“兩次都中靶”“兩次都沒有中靶”；事件為“至少一次中靶”，即“第一次中靶且第二次沒有中靶”“第一次沒有中靶且第二次中靶”“兩次都中靶”；事件為“至多一次中靶”，即“第一次中靶且第二次沒有中靶”“第一次沒有中靶且第二次中靶”“兩次都沒有中靶”；事件為“兩次都沒中靶”；故，與不是互斥事件，與是互斥事件，且是對立事件，.故選:：AD.11．（2023·廣東廣州·期末）下列關于概率的命題，正確的是（

）A．對于任意事件，都有B．必然事件的概率為1C．如果事件與事件互斥，那么一定有D．若，是一個隨機試驗中的兩個事件，則【答案】BD【解析】對于A，對于任意事件，都有，故A錯誤；對于B，必然事件的概率為1顯然正確，故B正確；對于C，如果事件與事件對立，那么一定有，但互斥事件不一定對立，故C錯誤；對于D，若，是一個隨機試驗中的兩個事件，則正確，故D正確.故選：BD12．（2024·貴州貴陽）有6個相同的球，分別標有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中不放回地隨機取兩次，每次取1個球，甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是奇數(shù)”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是偶數(shù)”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是奇數(shù)”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是偶數(shù)”，則（

）A．乙發(fā)生的概率為 B．丙發(fā)生的概率為C．甲與丁相互獨立 D．丙與丁互為對立事件【答案】BCD【解析】設A為事件“第一次取出的球的數(shù)字是奇數(shù)”，B為事件“第二次取出的球的數(shù)字是偶數(shù)”，C為事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是奇數(shù)”，D為事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是偶數(shù)”，則，故A錯；，故B對；而，故C對；兩次取出的數(shù)字之和要么為奇數(shù)，要么為偶數(shù)，故丙與丁互為對立事件，故D正確.故選：BCD.填空題13．（23-24高一上·全國·課時練習）下列現(xiàn)象中，是確定性現(xiàn)象的是．①長度為3，4，5的三條線段可以構成一個直角三角形；②打開電視機，正好在播新聞；③從裝有3個黃球、5個紅球的袋子中任意摸4個，全部都是黃球；④下周六是晴天．【答案】①【解析】長度為3，4，5恰好構成勾股數(shù)，所以必然構成一個直角三角形，故①是確定性現(xiàn)象，③是不可能現(xiàn)象，②④是隨機現(xiàn)象．故答案為：①14．（2024山西朔州）口袋里裝有1紅，2白，3黃共6個形狀相同的小球，從中取出2球，事件“取出的兩球同色”，“取出的2球中至少有一個黃球”，“取出的2球至少有一個白球”，“取出的兩球不同色”，“取出的2球中至多有一個白球”.下列判斷中正確的序號為.①與為對立事件；②與是互斥事件；③與是對立事件：④；⑤.【答案】①④【解析】口袋里裝有1紅，2白，3黃共6個形狀相同小球，從中取出2球，事件“取出的兩球同色”，“取出的2球中至少有一個黃球”，“取出的2球至少有一個白球”，“取出的兩球不同色”，“取出的2球中至多有一個白球”，①，由對立事件定義得與為對立事件，故①正確；②，與有可能同時發(fā)生，故與不是互斥事件，故②錯誤；③，與有可能同時發(fā)生，不是對立事件，故③錯誤；④，（C），（E），，從而（C）（E），故④正確；⑤，，從而（B）（C），故⑤錯誤．故答案為：①④．15（2023全國·課時練習）一只袋子中裝有7個紅玻璃球，3個綠玻璃球，從中無放回地任意抽取兩次，每次只取一個，取得兩個紅球的概率為，取得兩個綠球的概率為，則至少取得一個紅球的概率為.【答案】【解析】由于事件A“至少取得一個紅球”與事件B“取得兩個綠球”是對立事件，則至少取得一個紅球的概率為.故答案為：.16．（2024廣東梅州）某產(chǎn)品分甲、乙、丙三級，其中甲級屬正品，乙、丙兩級屬次品.若生產(chǎn)中出現(xiàn)乙級產(chǎn)品的概率為0.03，出現(xiàn)丙級產(chǎn)品的概率為0.01，則對成品任意抽查一件抽得正品的概率為.【答案】0.96【解析】記“抽出的產(chǎn)品為正品”為事件，“抽出的產(chǎn)品為乙級產(chǎn)品”為事件，“抽出的產(chǎn)品為丙級產(chǎn)品”為事件，則事件，，彼此互斥，且與是對立事件，所以.故答案為：解答題17．（2024四川瀘州）已知甲?乙?丙參加某項測試時，通過的概率分別為0.6，0.8，0.9，而且這3人之間的測試互不影響．(1)求甲?乙?丙都通過測試的概率；(2)求甲?乙?丙至少有一人通過測試的概率；(3)求甲?乙?丙恰有有兩人通過測試的概率．【答案】(1)0.432(2)0.992(3)0.444【解析】（1）甲、乙、丙都通過測試的概率為.（2）甲、乙、丙至少有一人通過測試的概率為．（3）甲?乙?丙恰有兩人通過測試的概率為：.18．（2023安徽合肥）某工廠對生產(chǎn)的一批零件的尺寸進行測量，共計測量20000個，測量所得數(shù)據(jù)如下頻率分布直方圖所示：(1)求圖中的值以及尺寸在內的零件數(shù)量；(2)求這批零件尺寸的平均數(shù)和中位數(shù)（同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中間值代替，結果精確到0.1）；(3)現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從尺寸在和內的零件中隨機抽取6個，再從這6個零件中任取2個，求至少有1個零件的尺寸在內的概率．【答案】(1)；(2)平均數(shù)為，中位數(shù)為(3)【解析】（1）解：由頻率分布直方圖的性質，可得：，解得，所以尺寸在內的零件數(shù)量為．（2）解：由題意得，這批產(chǎn)品尺寸的平均數(shù)為：，由頻率分布直方圖，可得前三個小矩形的面積和為，前四個小矩形的面積之和為，所以數(shù)據(jù)的中位數(shù)為．（3）解：由題意得，尺寸在內的有2個，記為，尺寸在內的有4個，記為，任選2個，所有的情況為，，共15種，其中滿足條件的為，共9種，根據(jù)古典摡型的概率計算公式，可得所求概率．19．（2023湖南長沙·開學考試）2023年底，某商業(yè)集團總公司根據(jù)相關評分細則，對其所屬25家商業(yè)連鎖店進行了年度考核評估，將各連鎖店的評估分數(shù)按，，，分成4組，其頻率分布直方圖如圖所示．總公司還依據(jù)評估得分，將這些連鎖店劃分為A、、、四個等級，等級評定標準如表所示．評估分數(shù)評定等級A(1)估計該商業(yè)集團各連鎖店評估得分的第64百分位數(shù)；(2)從評估分數(shù)不小于80的連鎖店中隨機抽取2家介紹營銷經(jīng)驗，求至少抽到1家A等級的概率．【答案】(1)77.5分(2)．【解析】（1）直方圖中從左至右第一、三、四個小矩形的面積分別為0.28，0.16，0.08，則第二個小矩形的面積為．因為，則第64百分位數(shù)位于區(qū)間內．設第64百分位數(shù)為，則，得．所以第64百分位數(shù)估計為77.5分．（2）由直方圖知，A等級的連鎖店有家，記為,B等級的連鎖店有,記為．從這6家連鎖店中任選2家，有：，，共有15種選法，則．設事件“至少抽到1家A等級”，事件E包含的樣本點有：，共9個，即.所以，即至少抽到1家A等級的概率為．20．（2023·四川成都）設甲、乙、丙三臺機器是否需要照顧相互之間沒有影響，已知在某一小時內，甲、乙都不需要照顧的概率為0.6，甲、丙都不需要照顧的概率為0.4，乙、丙都需要照顧的概率為0.125.(1)分別求甲、乙、丙每臺機器在這一小時內不需要照顧的概率；(2)計算這一小時內至少有一臺機器不需要照顧的概率.【答案】(1)(2)【解析】（1）設甲、乙、丙三臺機器需要照顧的概率分別為，由甲、乙都不需要照顧的概率為0.6，甲、丙都不需要照顧的概率為0.4，乙、丙都需要照顧的概率為0.125可得：，乙機器在這一小時內不需要照顧的概率為，丙機器在這一小時內不需要照顧的概率為，甲機器在這一小時內不需要照顧的概率為，所以甲、乙、丙每臺機器在這一小時內不需要照顧的概率分別為：；（2）這一小時內三臺機器都需要照顧的概率為，所以這一小時內至少有一臺機器不需要照顧的概率為.21．（2023福建廈門）第24屆冬奧會于2022年2月4日在北京國家體育場開幕，“冬奧熱”在國民中迅速升溫.某電視臺舉辦“冬奧會”知識挑戰(zhàn)賽，初賽環(huán)節(jié)，每位選手先從A（滑雪），B（滑冰），C（冰球）三類問題中選擇一類.該類題庫隨機提出一個問題，該選手若回答錯誤則被淘汰，若回答正確則需從余下兩類問題中選擇一類繼續(xù)回答.該類題庫隨機提出一個問題，該選手若回答正確則取得復賽資格，本輪比賽結束，否則該選手需要回答由最后一類題庫