第2章機電一體化系統(tǒng)的數(shù)學建模學習目標知識目標：本章要求掌握機電2.1建立數(shù)學模型的一般方法方法，傳送函數(shù)的定義、求解方法，熟悉典型系統(tǒng)的傳遞函數(shù)求取方法，系統(tǒng)框圖及其等效變化。能力目標：為了更好地設計、分析控制系統(tǒng)，掌握其內在變化規(guī)律，需用數(shù)學表達式來描述控制系統(tǒng)。由于分析和設計的控制系統(tǒng)不同，采用的方法不同，因此用來描述系統(tǒng)的數(shù)學模型也是多種多樣的。常用的數(shù)學模型有微分方程、傳遞函數(shù)、頻率特性、差分方程和狀態(tài)空間表達式等。通過本章學習，掌握線性定常系統(tǒng)微分方程的建立方法，形成系統(tǒng)建模概念體系。思政目標：理解控制系統(tǒng)數(shù)學建模的重要基礎理論，提高我國控制系統(tǒng)設計制造核心競爭力。數(shù)學模型是認識世界，探索未知領域的途徑數(shù)學模型是理解世界并探索未知領域的重要工具，它通過系統(tǒng)動態(tài)特性的精確表示，幫助我們分析、設計、預測和控制實際系統(tǒng)。認識數(shù)學模型自動控制領域數(shù)學模型數(shù)學模型的類型：常見的數(shù)學模型包括微分方程、代數(shù)方程和差分方程等，這些模型在不同領域的系統(tǒng)（如工程、生物醫(yī)學、經濟、社會等）中應用廣泛。數(shù)學模型的用途：分析系統(tǒng)：在設計新系統(tǒng)時，通過數(shù)字仿真和物理仿真實驗來進行初步分析，建立數(shù)學模型是進行數(shù)字仿真的前提。預測物理量：某些無法直接測量的物理量可以通過數(shù)學模型進行預測，例如天氣、地震和人口趨勢等。設計控制系統(tǒng)：控制系統(tǒng)的設計依賴于數(shù)學模型，通過數(shù)學模型設計控制器，以滿足不同的性能要求。認識控制理論控制系統(tǒng)分類：根據(jù)數(shù)學模型，控制系統(tǒng)可以分為線性與非線性、連續(xù)與離散、定常與時變系統(tǒng)。線性定常系統(tǒng)的分析特別重要，因為它不僅具有完整的研究方法，還能在一定條件下適用于非線性和時變系統(tǒng)?？刂评碚摰陌l(fā)展：控制理論經歷了經典控制、現(xiàn)代控制和智能控制的發(fā)展階段。經典控制理論主要采用輸入/輸出的外部描述方法，通過時域、復數(shù)域和頻域進行分析，數(shù)學模型包括微分方程、差分方程、傳遞函數(shù)和動態(tài)結構圖等。2.1建立數(shù)學模型的一般方法2.2線性微分方程的求解2.3傳遞函數(shù)2.4控制系統(tǒng)的結構圖2.5機電一體化系統(tǒng)建模實例目

錄2.1建立數(shù)學模型的一般方法(1)根據(jù)系統(tǒng)的結構特征，確定系統(tǒng)和各元部件的輸入、輸出量。(2)依據(jù)各元部件所遵循的物理或化學定律，如機械系統(tǒng)的牛頓運動定律，電學系統(tǒng)的基爾霍夫電流、電壓定律等，依次列寫出系統(tǒng)和各元件的動態(tài)微分方程。(3)消去中間變量，得到元部件或系統(tǒng)輸入、輸出變量之間的微分方程。(4)將微分方程標準化：輸入量放在等式的右端，輸出量放在等式的左端，各階導數(shù)按降冪排列。建立微分方程的一般步驟2.1建立數(shù)學模型的一般方法在機械系統(tǒng)中常采用牛頓運動定律建立數(shù)學模型2.1.1力學系統(tǒng)對于這種沒有外部輸入的系統(tǒng)，稱之為自由系統(tǒng)。在實際應用中，系統(tǒng)總會受到給定輸入或外部干擾，稱作強迫的或受控系統(tǒng)，意味著狀態(tài)變化的速率會受輸入的影響。2.1建立數(shù)學模型的一般方法2.1.2電路系統(tǒng)電氣系統(tǒng)主要由電阻、電容和電感等基本元件組成依據(jù)基爾霍夫電壓和基爾霍夫電流定律，可得系統(tǒng)的微分方程：典型的RC電路2.1建立數(shù)學模型的一般方法2.1.3多學科建模建模是許多學科的基本組成部分，但各個學科的方法可能各不相同。需先將系統(tǒng)劃分成較小的子系統(tǒng)。將每個子系統(tǒng)表示成關于質量、能量和動量的平衡方程，然后通過對互連的各個子系統(tǒng)變量的行為進行描述，掌握子系統(tǒng)接口處的行為。通過將子系統(tǒng)的描述以及接口的描述組合起來，得到完整的模型。2.1建立數(shù)學模型的一般方法2.2線性微分方程的求解2.3傳遞函數(shù)2.4控制系統(tǒng)的結構圖2.5機電一體化系統(tǒng)建模實例目

錄2.2線性微分方程的求解拉普拉斯變換，簡稱拉氏變換，是求解線性微分方程的一種簡便運算方法，是利用頻率法分析控制系統(tǒng)的數(shù)學基礎。利用拉普拉斯變換求解微分方程，可以將時間函數(shù)的導數(shù)，變成復變量s的乘積，將時間t表示的微分方程，變成以s表示的代數(shù)方程，大大簡化求解過程。2.2線性微分方程的求解(1)拉普拉斯變換2.2.1.拉普拉斯變換及拉普拉斯反變換的定義特別說明：2.2線性微分方程的求解2.2線性微分方程的求解(2)拉普拉斯反變換2.2線性微分方程的求解(1)單位階躍函數(shù)的拉氏變換2.2.2.典型時間函數(shù)的拉普拉斯變換2.2線性微分方程的求解(2)單位斜坡函數(shù)的拉氏變換2.2線性微分方程的求解(3)單位加速度函數(shù)2.2線性微分方程的求解(4)指數(shù)函數(shù)的拉氏變換2.2線性微分方程的求解(5)正弦函數(shù)的拉氏變換2.2線性微分方程的求解(5)正弦函數(shù)的拉氏變換2.2線性微分方程的求解(6)單位脈沖函數(shù)的拉氏變換2.2線性微分方程的求解拉氏變換對照表2.2線性微分方程的求解拉氏變換對照表2.2線性微分方程的求解1.線性定理2.2.3拉普拉斯變換基本定理2.2線性微分方程的求解2.實數(shù)域的平移定理2.2線性微分方程的求解3.復數(shù)域的平移定理證明：2.2線性微分方程的求解4.微分定理2.2線性微分方程的求解證明：根據(jù)拉氏變換的定義，有2.2線性微分方程的求解注意：運用微分定理可將函數(shù)的求導運算轉化為代數(shù)運算2.2線性微分方程的求解5.積分定理2.2線性微分方程的求解2.2線性微分方程的求解6.初值定理2.2線性微分方程的求解7.終值定理2.2線性微分方程的求解拉普拉斯反變換是求解控制系統(tǒng)時間響應的重要手段。常采用部分分式展開法將復雜的象函數(shù)化簡成簡單的部分分式之和，然后對照拉氏變換表求取原函數(shù)。2.2.4拉普拉斯反變換2.2線性微分方程的求解在控制系統(tǒng)中，象函數(shù)?？蓪懗扇缦碌挠欣矸质叫问剑海?1)象函數(shù)F(s)的極點為各不相同的實數(shù)2.2線性微分方程的求解2.2線性微分方程的求解(2)象函數(shù)F(s)的極點中有共軛復數(shù)極點2.2線性微分方程的求解令等式兩邊的實部和虛部分別相等，聯(lián)立求解方程，則可求得k1、k2的值則將共軛復數(shù)極點部分配成上面的格式，利用線性定理，即可求出系統(tǒng)的原函數(shù)。2.2線性微分方程的求解(3)象函數(shù)F(s)的極點中有重極點特別說明：2.2線性微分方程的求解2.2線性微分方程的求解解：由拉氏變換定義及線性定理可知：2.2.5例題2.2線性微分方程的求解【例2.2】求所示三角波的拉氏變換。解：三角波可表達為：利用實數(shù)域的平移定理，對上式求拉氏變換，得：2.2線性微分方程的求解解：由正弦函數(shù)的拉氏變換可知運用復數(shù)域的平移定理，有2.2線性微分方程的求解解：象函數(shù)中極點均為不相同的實數(shù)，可展開為2.2線性微分方程的求解解：2.2線性微分方程的求解解：2.1建立數(shù)學模型的一般方法2.2線性微分方程的求解2.3傳遞函數(shù)2.4控制系統(tǒng)的結構圖2.5機電一體化系統(tǒng)建模實例目

錄2.3傳遞函數(shù)為了方便地求解系統(tǒng)的微分方程，分析系統(tǒng)的動態(tài)特性，常需借助于拉普拉斯變換，將時域中復雜的微分方程轉變?yōu)閺蛿?shù)域簡單的代數(shù)方程。傳遞函數(shù)就是在建立在拉氏變換基礎上的，用來分析和設計零初始條件下控制系統(tǒng)的有力工具。2.3傳遞函數(shù)2.3.1.傳遞函數(shù)的定義線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)：在零初始條件下(初始輸入量和輸出量及其各階導數(shù)均為零)，系統(tǒng)輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比。2.3傳遞函數(shù)設線性定常系統(tǒng)輸入與輸出間的n階微分方程一般表達式為：當初始條件全為零時，對上式進行拉氏變換可得系統(tǒng)傳遞函數(shù)的一般形式：2.3傳遞函數(shù)在實際中，控制系統(tǒng)都是由許多物理元部件構成的。但不同物理特性的元部件卻可能具有相同的傳遞函數(shù)形式。為了更方便地分析和設計系統(tǒng)，常將具有某種確定信息傳遞關系的元部件稱為環(huán)節(jié)。一個復雜的控制系統(tǒng)總可看作是由一些典型環(huán)節(jié)所組成。常用的典型環(huán)節(jié)有：比例環(huán)節(jié)、慣性環(huán)節(jié)、微分環(huán)節(jié)、積分環(huán)節(jié)、振蕩環(huán)節(jié)和延遲環(huán)節(jié)等。2.3.2.典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)2.3傳遞函數(shù)(1)比例環(huán)節(jié)2.3傳遞函數(shù)2.慣性環(huán)節(jié)(2)慣性環(huán)節(jié)2.3傳遞函數(shù)2.3傳遞函數(shù)(3)積分環(huán)節(jié)2.3傳遞函數(shù)(4)微分環(huán)節(jié)2.3傳遞函數(shù)(4)微分環(huán)節(jié)說明：理想微分環(huán)節(jié)的單位階躍響應為幅值為無窮大而時間寬度為0的脈沖函數(shù)，這實際上是不可能的，因此微分環(huán)節(jié)必須與其它環(huán)節(jié)同時存在。2.3傳遞函數(shù)(5)振蕩環(huán)節(jié)數(shù)學模型為二階線性常微分方程的環(huán)節(jié)2.3傳遞函數(shù)2.3傳遞函數(shù)

傳遞函數(shù)的主要特點傳遞函數(shù)表征了系統(tǒng)本身的固有特性，只與系統(tǒng)的結構和參數(shù)有關。傳遞函數(shù)的概念只適用于單輸入單輸出系統(tǒng)；傳遞函數(shù)本身不反映任何系統(tǒng)的物理結構。即不同的物理系統(tǒng)可能具有同類型的傳遞函數(shù)；2.3傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)的主要特點傳遞函數(shù)只適用于零初始條件下的情況，原則上不適用于非零初始條件。2.1建立數(shù)學模型的一般方法2.2線性微分方程的求解2.3傳遞函數(shù)2.4控制系統(tǒng)的結構圖2.5機電一體化系統(tǒng)建模實例目

錄2.4控制系統(tǒng)的結構圖為了更清楚地說明控制系統(tǒng)中各元件的物理功能及相互關系，常用框圖來分析系統(tǒng)和元件的特性框圖也稱系統(tǒng)結構圖/方框圖，是一種圖解形式的數(shù)學模型根據(jù)各元件間信號的傳遞關系，將各元件聯(lián)接起來，主要由方框、信號線、相加點和分支點組成2.4.1.結構圖的組成2.4控制系統(tǒng)的結構圖2.4.1.結構圖的組成方框信號線相加點相加點運算分支點2.4控制系統(tǒng)的結構圖2.4.2繪制結構圖的步驟寫出每一個元件的微分方程，注意輸人量與輸出量的確定。由微分方程求出各元件的傳遞函數(shù)，并繪出相應的框圖。依據(jù)信號在系統(tǒng)中的傳遞關系，將各元件的框圖連接起來，輸人量置于左端，輸出量置于右端，便構成了系統(tǒng)的框圖。2.4控制系統(tǒng)的結構圖框圖的基本聯(lián)接方式主要有串聯(lián)、并聯(lián)和反饋聯(lián)接三種。串聯(lián)聯(lián)接就是將各環(huán)節(jié)的方框首尾聯(lián)接起來，前一環(huán)節(jié)的輸出量就是后一環(huán)節(jié)的輸入量2.4.3框圖的基本聯(lián)接方式(1)串聯(lián)聯(lián)接2.4控制系統(tǒng)的結構圖2.4控制系統(tǒng)的結構圖(2)并聯(lián)聯(lián)接并聯(lián)聯(lián)接就是幾個環(huán)節(jié)具有相同的輸入量，而輸出量為各環(huán)節(jié)輸出的代數(shù)和(或差)2.4控制系統(tǒng)的結構圖2.4控制系統(tǒng)的結構圖輸出量經反饋通道作為反饋信號與輸入量相比較，并以偏差信號作為系統(tǒng)的控制量。(3)反饋聯(lián)接2.4控制系統(tǒng)的結構圖2.4控制系統(tǒng)的結構圖2.4控制系統(tǒng)的結構圖2.4控制系統(tǒng)的結構圖為了分析和研究系統(tǒng)的動態(tài)特性，得到輸入量與輸出量之間的傳遞函數(shù)，常需對系統(tǒng)的框圖進行必要的簡化?？驁D的簡化應符合等效原則，即在變換過程中，應保證變換前、后輸入量和輸出量之間的關系保持不變。對于復雜的框圖，由于存在交錯聯(lián)接的現(xiàn)象，僅采用前面介紹的三種聯(lián)接方式往往不能解決框圖化簡的問題，需要通過相加點或分支點的移動來消除各種聯(lián)接方式之間的交叉，然后再進行等效變換。2.2.4框圖的簡化2.4控制系統(tǒng)的結構圖2.4控制系統(tǒng)的結構圖2.1建立數(shù)學模型的一般方法2.2線性微分方程的求解2.3傳遞函數(shù)2.4控制系統(tǒng)的結構圖2.5機電一體化系統(tǒng)建模實例目

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