遼寧省沈陽市2025屆數(shù)學(xué)高二上期末教學(xué)質(zhì)量檢測試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則的值為（）A.28 B.39C.56 D.1172．雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離為（）A. B.2C. D.3．若函數(shù)在上為增函數(shù)，則a的取值范圍為（）A. B.C. D.4．直線被圓截得的弦長為（）A.1 B.C.2 D.35．已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且S7＝28，則a4＝（）A.4 B.7C.8 D.146．圓與直線的位置關(guān)系是（）A.相交 B.相切C.相離 D.不能確定7．函數(shù)f(x)＝－1＋lnx，對(duì)?x0，f(x)≥0成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A(－∞，2] B.[2，＋∞)C.(－∞，1] D.[1，＋∞)8．在數(shù)列中，，，則（）A. B.C. D.9．某人忘了電腦屏保密碼的后兩位，但記得最后一位是1，3，5，7，9中的一個(gè)數(shù)字，倒數(shù)第二位是G，O，D中的一個(gè)字母，若他嘗試輸入密碼，則一次輸入就解開屏保的概率是（）A. B.C. D.10．等軸雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，與拋物線的準(zhǔn)線交于兩點(diǎn)，且則的實(shí)軸長為A.1 B.2C.4 D.811．已知，，，執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出值為（）A. B.C. D.12．橢圓以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，經(jīng)過點(diǎn)，且長軸長是短軸長的倍，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B.C.或 D.或二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖的形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《算法九章·商功》中，后人稱之為“三角垛”.已知某“三角垛”的最上層有1個(gè)球，第二層有3個(gè)球，第三層有6個(gè)球……設(shè)各層（從上往下）球數(shù)構(gòu)成一個(gè)數(shù)列，則___________，___________.14．已知數(shù)列滿足，，則_________.15．如圖，某河流上有一座拋物線形的拱橋，已知橋的跨度米，高度米（即橋拱頂?shù)交诘闹本€的距離）．由于河流上游降雨，導(dǎo)致河水從橋的基座處開始上漲了1米，則此時(shí)橋洞中水面的寬度為______米16．若圓柱的高、底面半徑均為1，則其表面積為___________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知數(shù)列滿足，.（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)的和.18．（12分）已知是公比不為1的等比數(shù)列，，且為的等差中項(xiàng).（1）求的公比；（2）求的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和.19．（12分）已知，，其中.（1）求的值；（2）設(shè)（其中、為正整數(shù)），求的值.20．（12分）已知三棱柱中，，，平面ABC，，E為AB中點(diǎn)，D為上一點(diǎn)（1）求證：；（2）當(dāng)D為中點(diǎn)時(shí)，求平面ADC與平面所成角的正弦值21．（12分）已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，長軸長是短軸長的2倍且經(jīng)過點(diǎn)M（2，1），平行于OM的直線在y軸上的截距為m，交橢圓于A，B兩個(gè)不同點(diǎn).（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）求m的取值范圍；（Ⅲ）求證直線MA，MB與x軸始終圍成一個(gè)等腰三角形.22．（10分）已知數(shù)列是遞增的等比數(shù)列，滿足，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】由已知結(jié)合等差數(shù)列的求和公式及等差數(shù)列的性質(zhì)即可求解.【詳解】因?yàn)榈炔顢?shù)列中，，則.故選：B.2、A【解析】根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式進(jìn)行求解即可.【詳解】由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可知：，該雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為：，雙曲線的漸近線方程為：，所以焦點(diǎn)到漸近線的距離為：，故選：A3、C【解析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，要使函數(shù)在上為增函數(shù)，要保證導(dǎo)數(shù)在該區(qū)間上恒正即可，由此得到不等式,解得答案.詳解】由題意可知，若在遞增，則在恒成立，即有，則，故選：C.4、C【解析】利用直線和圓相交所得的弦長公式直接計(jì)算即可.【詳解】由題意可得圓的圓心為，半徑，則圓心到直線的距離，所以由直線和圓相交所得的弦長公式可得弦長為：.故選：C.5、A【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)可知，再代入等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式求解.【詳解】數(shù)列{an}是等差數(shù)列，，那么，所以.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)和前項(xiàng)和，屬于基礎(chǔ)題型.6、B【解析】用圓心到直線的距離與半徑的大小判斷【詳解】解：圓的圓心到直線的距離，等于圓的半徑，所以圓與直線相切，故選：B7、B【解析】由導(dǎo)數(shù)求得的最小值，由最小值非負(fù)可得的范圍【詳解】定義域是，，若，則在上恒成立，單調(diào)遞增，，不合題意；若，則時(shí)，，遞減，時(shí)，，遞增，所以時(shí)，取得極小值也是最小值，由題意，解得故選：B8、A【解析】根據(jù)已知條件，利用累加法得到的通項(xiàng)公式，從而得到.【詳解】由，得，所以，所以.故選：A.9、C【解析】應(yīng)用分步計(jì)數(shù)法求后兩位的可能組合數(shù)，即可求一次輸入就解開屏保的概率.【詳解】由題設(shè)，后兩位可能情況有，∴一次輸入就解開屏保的概率是.故選：C.10、B【解析】設(shè)等軸雙曲線的方程為拋物線,拋物線準(zhǔn)線方程為設(shè)等軸雙曲線與拋物線的準(zhǔn)線的兩個(gè)交點(diǎn),，則,將，代入，得等軸雙曲線的方程為的實(shí)軸長為故選11、A【解析】模擬程序運(yùn)行可得程序框圖的功能是計(jì)算并輸出三個(gè)數(shù)中的最小數(shù)，計(jì)算三個(gè)數(shù)判斷作答.【詳解】模擬程序運(yùn)行可得程序框圖的功能是計(jì)算并輸出三個(gè)數(shù)中的最小數(shù)，因，，，則，不成立，則，不成立，則，所以應(yīng)輸出的x值為.故選：A12、C【解析】分情況討論焦點(diǎn)所在位置及橢圓方程.【詳解】當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在軸上時(shí)，由題意過點(diǎn)，故，，橢圓方程為，當(dāng)橢圓焦點(diǎn)在軸上時(shí)，，，橢圓方程為，故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①.②.【解析】根據(jù)，，得到，利用累加法和等差數(shù)列求和公式求出，再利用裂項(xiàng)抵消法進(jìn)行求和.【詳解】因?yàn)?，，，，，以上個(gè)式子累加，得，則；因?yàn)椋?故答案為：，.14、【解析】由已知可知即數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，進(jìn)而可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可求.【詳解】由題意知：，即，而，∴數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，有，∴，則.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：由遞推關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)，進(jìn)而得到的通項(xiàng)公式寫出項(xiàng).15、【解析】以橋的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，水平方向所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，則根據(jù)點(diǎn)在拋物線上，可得拋物線的方程，設(shè)水面與橋的交點(diǎn)坐標(biāo)為，求出，進(jìn)而可得水面的寬度.【詳解】以橋的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，水平方向所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，則拋物線的方程為，因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，所以，即故拋物線的方程為，設(shè)河水上漲1米后，水面與橋的交點(diǎn)坐標(biāo)為，則，得，所以此時(shí)橋洞中水面的寬度為米故答案為：16、【解析】根據(jù)圓柱表面積公式求解即可.【詳解】根據(jù)題意得到圓柱的高，底面半徑，則表面積.故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2），.【解析】（1）證明出，即可證得結(jié)論成立；（2）由（1）的結(jié)論并確定數(shù)列的首項(xiàng)和公比，可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，再利用分組求和法可求得.【小問1詳解】證明：因?yàn)閿?shù)列滿足，，則，且，則，，，以此類推可知，對(duì)任意的，，所以，，故數(shù)列為等比數(shù)列.【小問2詳解】解：由（1）可知，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，則，所以，，因此，.18、（1）（2），【解析】（1）設(shè)數(shù)列公比為，根據(jù)列出方程，即可求解；（2）：由（1）得到，利用等比數(shù)列的求和公式，即可求解.【小問1詳解】解：設(shè)數(shù)列公比為，因?yàn)闉榈牡炔钪许?xiàng)，可得，即，即，解得或（舍去），所以等比數(shù)列的公比為.【小問2詳解】解：由（1）知且，可得，所以.19、（1）；（2）.【解析】（1），，寫出的展開式通項(xiàng)，由可得出關(guān)于的方程，解出的值，再利用賦值法可求得所求代數(shù)式的值；（2）寫出的展開式，求出、的值，即可求得的值.【小問1詳解】解：設(shè)，，的展開式通項(xiàng)為，所以，，即，，解得，所以，.【小問2詳解】解：，，，因此，20、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）利用線面垂直的性質(zhì)定理及線面垂直的判定定理即證；（2）利用坐標(biāo)法即求.【小問1詳解】∵，E為AB中點(diǎn)，∴，∵平面ABC，平面ABC，∴，又，，∴平面，平面，∴；【小問2詳解】以C點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA，CB，分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，則平面的法向量為，設(shè)平面ADC法向量為，則，∴，即，令，則∴平面ADC與平面所成角的余弦值為，所以平面ADC與平面所成角的正弦值.21、（Ⅰ）；（Ⅱ）且；（Ⅲ）證明見解析.【解析】（Ⅰ）設(shè)出橢圓方程，根據(jù)題意得出關(guān)于的方程組，從而求得橢圓的方程；（Ⅱ）根據(jù)題意設(shè)出直線方程，并與橢圓方程聯(lián)立消元，根據(jù)直線與橢圓方程有兩個(gè)不同交點(diǎn)，利用即可求出m取值范圍；（Ⅲ）設(shè)直線MA，MB的斜率分別為k1，k2，根據(jù)題意把所證問題轉(zhuǎn)化為證明k1+k2=0即可.【詳解】（1）設(shè)橢圓方程為，由題意可得，解得，∴橢圓方程為；（Ⅱ）∵直線l平行于OM，且在y軸上的截距為m，，所以設(shè)直線的方程為，由消元，得∵直線l與橢圓交于A，B兩個(gè)不同點(diǎn)，所以，解得，所以m的取值范圍為.（Ⅲ）設(shè)直線MA，M