第04講對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)（核心考點(diǎn)精講精練）

1.4年真題考點(diǎn)分布

4年考情

考題示例考點(diǎn)分析關(guān)聯(lián)考點(diǎn)

對(duì)數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用

2023年新I卷，第10題,5分對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用

對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式

2021年新H卷,第7題,5分比較對(duì)數(shù)式的大小無(wú)

2020年新I卷，第12題,5分對(duì)數(shù)的運(yùn)算隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)

2020年新II卷,第7題,5分對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性

2.命題規(guī)律及備考策略

【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的命題常考內(nèi)容，設(shè)題多為函數(shù)性質(zhì)或函數(shù)模型，難度中等，分值為5

分

【備考策略】1.理解對(duì)數(shù)的概念和運(yùn)算性質(zhì)，熟練指對(duì)互化，能用換底公式能將一般對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對(duì)數(shù)或

常用對(duì)數(shù)

2.了解對(duì)數(shù)函數(shù)的概念，能畫(huà)出具體對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象，探索并了解對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)

3.熟練掌握對(duì)數(shù)函數(shù)y=log〃x（a>0且awl）與指數(shù)函數(shù)>=旌（a>0且awl）的圖象關(guān)

系

【命題預(yù)測(cè)】本節(jié)內(nèi)容通常會(huì)考查指對(duì)塞的大小比較、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、對(duì)數(shù)的函數(shù)模型等，需要重點(diǎn)備

考復(fù)習(xí)

知識(shí)點(diǎn)1對(duì)數(shù)的定義一一—考點(diǎn)2對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域

知識(shí)點(diǎn)2對(duì)數(shù)的分類(lèi)一一一/考點(diǎn)3對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)

知識(shí)點(diǎn)3對(duì)數(shù)的性質(zhì)與運(yùn)算法則——————考點(diǎn)4對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性

__________________________對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)核，5考點(diǎn)_____________________

知識(shí)點(diǎn)4對(duì)數(shù)函數(shù)的定義及一般形式一考點(diǎn)5對(duì)數(shù)函數(shù)的值域與最值

知識(shí)點(diǎn)5對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)一一一

考點(diǎn)6對(duì)數(shù)函數(shù)中奇偶性的應(yīng)用

考點(diǎn)1對(duì)數(shù)的運(yùn)算―一考點(diǎn)7對(duì)數(shù)函數(shù)值的大小比較（構(gòu)造函數(shù)比較大?。?/p>

知識(shí)講解

1.對(duì)數(shù)的運(yùn)算

(1)對(duì)數(shù)的定義

如果優(yōu)=N(a>0且awl),那么把工叫做以。為底，N的對(duì)數(shù)，記作xulog^N,其中a叫做對(duì)數(shù)的底

數(shù)，N叫做真數(shù)

(2)對(duì)數(shù)的分類(lèi)

一般對(duì)數(shù)：底數(shù)為。，a>0,且awl,記為log.N

常用對(duì)數(shù)：底數(shù)為10,記為IgN,即：log|ox=lgx

自然對(duì)數(shù)：底數(shù)為e(e心2.71828…)，記為InN,即：logex^inx

(3)對(duì)數(shù)的性質(zhì)與運(yùn)算法則

①兩個(gè)基本對(duì)數(shù)：①logo1=0,②log.a=1

②對(duì)數(shù)恒等式：①"嗚N=N，②卜城=N。

log*_lgbInb

③換底公式:log,6=

logca1gaIna

,,1

推廣1：對(duì)數(shù)的倒數(shù)式log。6=-------nlog/log/ul

log》a

推廣2：logflMog,clogca=1nlog?Mogfeclogcd=log”d。

④積的對(duì)數(shù)：10ga(MN)=10ga"+10gaN;

M

⑤商的對(duì)數(shù)：log.—=k)g"M—log"N；

⑥暴的對(duì)數(shù)：Qlogbm=mlogb,?log?b=-logb,

aaana

mn

m

?bg/ZZ"=—loga。，?log！Lb=\ogab

n/

2.對(duì)數(shù)函數(shù)

(1)對(duì)數(shù)函數(shù)的定義及一般形式

形如：y=log“x(a>0且awl,x〉0)的函數(shù)叫做對(duì)數(shù)函數(shù)

(2)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)

圖a>\0<〃<1

象

y?x=i

!r_log^v(a>l)

K

(1,0)

仰)*

定義域：(0,+8)

值域：R

丁=0即過(guò)定點(diǎn)(1,0)

性當(dāng)X=1時(shí),

質(zhì)當(dāng)0<%<1時(shí)，ye(—8,0)；當(dāng)1>1時(shí)，ye(-co,0)；

當(dāng)x>l時(shí)，ye(0,+<x>)當(dāng)0cx<1時(shí)，ye(0,-HX>)

在(0,+co)上為增函數(shù)(5)在(0,+co)上為減函數(shù)

考點(diǎn)一、對(duì)數(shù)的運(yùn)算

☆典例引領(lǐng)

1.(2022?天津?統(tǒng)考高考真題)化簡(jiǎn)(21og43+log83)(log32+log92)的值為()

A.1B.2C.4D.6

【答案】B

【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的性質(zhì)可求代數(shù)式的值.

【詳解】原式=(2x；log23+|log23)(log32+；log32)

43

=jlog23x-log32=2,

故選:B

2.(2022?浙江?統(tǒng)考高考真題)已知2"=5』og83=6,則()

255

A.25B.5C.—D.—

93

【答案】C

【分析】根據(jù)指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化，基的運(yùn)算性質(zhì)以及對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可解出.

14"(2"[5225

【詳解】因?yàn)?°=5,^=log83=-log23,即2仍=3,所以4y=*=工=品=3

3牛()39

故選：C.

3.（2023?北京?統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)/（x）=4*+log2X,則/

【答案】1

【分析】根據(jù)給定條件，把x=：代入，利用指數(shù)、對(duì)數(shù)運(yùn)算計(jì)算作答.

【詳解】函數(shù)/(x)=4'+log2無(wú)，所以f(；)=43+log2g=2-1=1.

故答案為：1

即時(shí)檢測(cè)

1.（2023?山東濟(jì)寧?嘉祥縣第一中學(xué)統(tǒng)考三模）若2皿=3”=左且,+,=2,則人（）

mn

A.75B.76C.5D.6

【答案】B

【分析】利用指數(shù)與對(duì)數(shù)的互化可得出機(jī)、〃的表達(dá)式，結(jié)合換底公式可求得％的值.

【詳解】因?yàn)?"'=3"=左且—?—=2,所以，機(jī)H0且〃=0,所以，左>0且人工1,

mn

且有機(jī)=log2%,n=logk,所以，—=log^2,-=log3,

3mnt

所以，-+-=log,2+log,3=log6=2,則r=6,

mntt<

又因?yàn)樽?gt;0且后Wl,解得人=幾.

故選：B.

log9X——>1

2.（2023?河北?校聯(lián)考一模）若函數(shù)/（%）=4，則（）

"----------,x<l

x+2x+3

A.—B.—C.—D.

17517

【答案】C

【分析】根據(jù)自變量的取值，即可代入到分段函數(shù)中，計(jì)算即可.

【詳解】由于￡>1，所以小十皿1冷一冷，M但卜嗎:哈,

'，4

故選C.

3.(2023?廣東東莞?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)〃=2TJ"'”？，則〃0)+“皿36)=()

A.4B.5C.6D.7

【答案】D

【分析】結(jié)合函數(shù)的解析式及對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算即可.

1O8

【詳解】由題意可得/(0)+/(log336)=2+log22+3嗨36-2=2+log22+34=2+1+?=7,

故選：D.

4.(2023?江西?江西師大附中?？既?已知函數(shù)〃x)=ln(e'+l)-履是偶函數(shù)，g(x)=

則g(g(-2))=,

【答案】3

【分析】根據(jù)是偶函數(shù)，解出左值，再根據(jù)分段函數(shù)解析式算出g(g(-2))結(jié)果.

【詳解】解：已知函數(shù)〃到=111(1+1)-丘是偶函數(shù)，

所以/(-%)=/(%),即In(片*+1)+依=In(e*+1)-爪，

整理得2Ax=lne*=x,解得A=g,

經(jīng)檢驗(yàn)，4=g滿(mǎn)足題意,

log(x+7)go)

log(x+7)(MO)2

因?yàn)間(x)=2則g(%)=v

2+kx(x<0)2+—x(x<0)

2

則g(-2)=2+；x(-2)=l,g(g(-2))=g(l)=log28=3,

故答案為：3.

考點(diǎn)二、對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域

☆典例引領(lǐng)

1.(全國(guó)?高考真題)函數(shù)/(W=/J7的定義域?yàn)?)

lOg2I~X十—JI

A.(-8,1)U(3,+8)B.(1,2)U(2,3)C.(1,3)D.[1,3]

【答案】B

【分析】首先，考查對(duì)數(shù)的定義域問(wèn)題，也就是1。8式--+4尤-3)的真數(shù)(-/+4無(wú)一3)一定要大于零，其次,

分母不能是零.

【詳解】解：由-%2+4%-3〉0,得l<x<3,

又因?yàn)閘og2(—/+4x-3)w0,BP—X2+4x—31,得xw2

故，工的取值范圍是1<%<3,且%。2.

定義域就是(1,2)U(2,3)

故選：B.

2.(上海?高考真題)函數(shù)y=log2^—的定義域?yàn)開(kāi)__________.

3-x

【答案】加

2x-1

【分析】函數(shù)的定義域滿(mǎn)足彳—>0且3-XNO,解得答案.

3-x

【詳解】函數(shù)y=log,鋁2Y—的1定義域滿(mǎn)足：2彳x上—」1>0且3-XWO,解得1

3-x3-x2

故答案為:

即時(shí)檢測(cè)

1.(2023?廣東韶關(guān)?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))若集合〃=k|五>1},N=xy=ln]|-[,則McN=()

A.{x|04x<2}B,卜卜C.1x|l<x<-1|D.1<x<

【答案】B

【分析】由根式、對(duì)數(shù)性質(zhì)解不等式和定義域，再應(yīng)用集合交運(yùn)算求結(jié)果.

【詳解】由?>1,則x>l,故/={幻》>1},

333

由/一光>0,則X<E，={x|x<—},

3

所以MnN={x[l<x<]}.

故選：B

2.（2023?山東泰安?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知集合A=-=,-1VXW0,,3={x|y=ln（2—x）},則

AU（M=（）

A.[1,2]B.（1,2）C.D.（1,+<?）

【答案】c

【分析】先求出集合A,B,然后利用集合補(bǔ)集和并集運(yùn)算即可.

【詳解】由已知A==,-1<X<0>=[I,2],

3={x|y=ln(2_x)}=(YO,2),

.?.^5=[2,+co),

Au(^B)=[l,+co).

故選：C.

3.(2023?安徽安慶?安徽省桐城中學(xué)?？家荒?集合A={x|y=lg(x2-4)},集合3=b|y=&-2x-3

全集。=R,則(eA)UB為()

A.[-2,2]B.[-2,+co)

C.{2}D.(-CO,2]U[3,-H?)

【答案】B

【分析】根據(jù)真數(shù)大于零以及根式的性質(zhì)可化簡(jiǎn)集合，即可由集合的交并補(bǔ)運(yùn)算求解.

【詳解】對(duì)于集合4由爐一4>0nx>2或x<—2,所以&=(-?,2)7(2,?),64=[—2,2],

y='Jx2-7,X-3=^(x-1)2-4>0,B={y|y>0},故(名人)？3[-2,暮).

故選：B

考點(diǎn)三、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)

典例引領(lǐng)

4*^■■■■■■■■■■■

1.(全國(guó)?高考真題)當(dāng)〃>1時(shí)，在同一坐標(biāo)系中，函數(shù)y=〃-x與y=/ogQx的圖像為()

【答案】c

【解析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像，即可容易判斷.

【詳解】0a>l,00<-<1,

a

取=。一x是減函數(shù)，y=/ogax是增函數(shù)，

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，屬基礎(chǔ)題.

2.（山東?高考真題）己知函數(shù)y=log0（x+c）（a,C是常數(shù)，其中a>0且awl）的大致圖象如圖所示，下

列關(guān)于“，。的表述正確的是

A.a>l,c>lB.a>\,0<c<l

C.Ovavl,c>\D.0<a<l,O<C<1

【答案】D

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象和特征以及圖象的平移可得正確的選項(xiàng).

【詳解】從題設(shè)中提供的圖像可以看出。<a<Llog.c>0,loga（l+c）>0,

故得O<C<LO<4<1,

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查圖象的平移以及指數(shù)函數(shù)的圖象和特征，本題屬于基礎(chǔ)題.

3.（全國(guó)?高考真題）下列函數(shù)中，其圖像與函數(shù)y=lnx的圖像關(guān)于直線(xiàn)x=l對(duì)稱(chēng)的是

A.y=ln（l-x）B.y=ln（2-x）C.y=ln（l+x）D.y=ln（2+x）

【答案】B

【詳解】分析：確定函數(shù)y=lnx過(guò)定點(diǎn)（1,0）關(guān)于x=l對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，代入選項(xiàng)驗(yàn)證即可.

詳解：函數(shù)y=lnx過(guò)定點(diǎn)（1,0）,（1,0）關(guān)于x=l對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)還是（1,0）,只有y=ln（2—x）過(guò)此點(diǎn).

故選項(xiàng)B正確

點(diǎn)睛：本題主要考查函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性和函數(shù)的圖像，屬于中檔題.

即時(shí)檢測(cè)

1.（2023?江西上饒?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)y=log.（x+b）（a,6為常數(shù)，其中。>0且awl）的圖象如

圖所示，則下列結(jié)論正確的是()

B.a=2,b=2

C.〃=0.5,b=0.5D.a=2,b=0.5

【答案】D

【分析】由函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，可得。＞1,排除A,C；代入(050),得人=0.5,從而得答案.

【詳解】解：由圖象可得函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，

所以排除A,C；

又因?yàn)楹瘮?shù)過(guò)點(diǎn)(050),

所以6+0.5=1,解得6=0.5.

故選：D

2.(2023?安徽安慶??？家荒?函數(shù)〃x)=log22x與g(無(wú))=2-在同一直角坐標(biāo)系下的圖象大致是(

B.

C.

【答案】B

【分析】根據(jù)/■⑴=1，g(O)=L結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷即可.

【詳解】?.-f(^)=log22^=l+log^,為定義域上的單調(diào)遞增函數(shù)

=故A不成立；

?.?g(x)=2-f1j,為定義域上的單調(diào)遞增函數(shù),

故選：B.

3.（2023?浙江嘉興??？寄M預(yù)測(cè)）若函數(shù)/（尤）=1。82卜+,的圖象不過(guò)第四象限，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為

【答案】［1,+8）

/⑼丁，即可得解.

【分析】作出函數(shù)/（x）=bg2|a+x|的大致圖象，結(jié)合圖象可得

一〃<0

【詳解】函數(shù)f（x）=log2|a+,的圖象關(guān)于工=-。對(duì)稱(chēng)，其定義域?yàn)椴穦\x^-a\,

由圖可得，要使函數(shù)〃x）=log2|a+x|的圖象不過(guò)第四象限,

AO）之。,即

則解得.

-CL<0—Q<0

所以實(shí)數(shù)。的取值范圍為［1,+8）,

故答案為：［1,”）.

考點(diǎn)四、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性

典例引領(lǐng)

■■■■■■■■■■■

1.（2020?海南?高考真題）已知函數(shù)/。）=啕>2-4尤-5）在（。,小）上單調(diào)遞增，則。的取值范圍是（）

A.（2收）B.［2,+oo）C.（5,+oo）D.［5,+8）

【答案】D

【分析】首先求出/（》）的定義域，然后求出〃x）=lg（x2-4x-5）的單調(diào)遞增區(qū)間即可.

【詳解】由尤2-4x-5>0得x>5或x<-l

所以的定義域?yàn)椋╢,7）55,內(nèi)）

因?yàn)閥=/-4x-5在（5,+⑹上單調(diào)遞增

所以/（尤）=lg（Y_4x-5）在（5,+8）上單調(diào)遞增

所以

故選：D

【點(diǎn)睛】在求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)一定要先求函數(shù)的定義域.

2.（2020?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題）設(shè)函數(shù)2（x）=ln|2x+l|-ln|2x-l|,則心）（）

A.是偶函數(shù)，且在（g,+◎單調(diào)遞增B.是奇函數(shù)，且在（-11）單調(diào)遞減

C.是偶函數(shù)，且在（…，-；）單調(diào)遞增D.是奇函數(shù)，且在（f,-；）單調(diào)遞減

【答案】D

【分析】根據(jù)奇偶性的定義可判斷出“X）為奇函數(shù)，排除AC；當(dāng)時(shí)，利用函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

可判斷出/（x）單調(diào)遞增，排除B；當(dāng)xe，co,一；j時(shí)，利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可判斷出了（X）單調(diào)遞減，從而

得到結(jié)果.

【詳解】由〃x）=ln|2x+l|-ln|2x-l|得/⑺定義域?yàn)椴吠陵P(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，

X/（-^）=ln|l-2x|-ln|-2x-l|=ln|2x-l|-ln|2%+l|,

\/㈤為定義域上的奇函數(shù)，可排除AC；

當(dāng)?）時(shí)，/（x）=ln（2x+l）_ln（l-2x）,

Qy=ln（2x+1）在1J,1上單調(diào)遞增，y=ln（l—2x）在上單調(diào)遞減,

\/'（x）在、9￡|上單調(diào)遞增，排除B；

當(dāng)xe時(shí)，/(x)=In(-2.x-1)-In(1-2x)=lhi猾T+高

----在上單調(diào)遞減，/（〃）=ln〃在定義域內(nèi)單調(diào)遞增,

2x-lI

根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知：/（無(wú)）在卜巴-；）上單調(diào)遞減，D正確.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的判斷；判斷奇偶性的方法是在定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的前提下，根

據(jù)〃T）與的關(guān)系得到結(jié)論；判斷單調(diào)性的關(guān)鍵是能夠根據(jù)自變量的范圍化簡(jiǎn)函數(shù)，根據(jù)單調(diào)性的性

質(zhì)和復(fù)合函數(shù)"同增異減"性得到結(jié)論.

即時(shí)檢測(cè)

1.（2022?全國(guó)?哈師大附中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)/（同=炮（1-尤2）的單調(diào)遞減區(qū)間為.

【答案】（0」）/［0,1）

【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求解，需注意函數(shù)的定義域.

2

【詳解】y=1g"在（。,+向上單調(diào)遞增，M=I-X>O?-I<X<I,

當(dāng)0<X<1時(shí)，"=1-尤2單調(diào)遞減，

根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知〃x）=lg（l-x2）在（0,1）（也可［0,1））上單調(diào)遞減，

故答案為：（0,1）（也可［0,1））

2.（2023?安徽黃山?統(tǒng)考三模）"a<1"是"函數(shù)了⑺=1。歷［（1-"卜-1］在區(qū)間。，+向上單調(diào)遞增"的（）

A.充分不必要條件B.充要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【分析】結(jié)合對(duì)數(shù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性及充分條件、必要條件的定義，即可得答案.

u

【詳解】令a-a）x-l,y=l°g2>

若=logZ［（1在（1,+s）上單調(diào)遞增，

因?yàn)閥=iog2〃是（1，+°°）上的增函數(shù)，

則需使〃=（1一。）％-1是（1,+°°）上的增函數(shù)且〃>o,

貝|」1一〃>0且1一4一120,解得a00.

因?yàn)椋╢，0］氧f,l）,故a<1是a<0的必要不充分條件，

故選：C.

3.（2023?安徽蚌埠?統(tǒng)考二模）（多選）已知函數(shù)/■（x）=log4（l+4，）-；x,則下列說(shuō)法中正確的是（）

A.函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)B.函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)

C.函數(shù)〃x）在［。,+8）上是減函數(shù)D.函數(shù)〃尤）的值域?yàn)間+s］

【答案】BD

【分析】根據(jù)奇偶性的定義判斷AB選項(xiàng)；利用換元法分析函數(shù)f（x）的單調(diào)性，即可判斷C選項(xiàng)；根據(jù)單

調(diào)性求值域即可判斷D選項(xiàng).

【詳解】因?yàn)椤癤）的定義域?yàn)镽,

X1IAx

=log4（1+4,）一log,45=log4—=log4（2-x+2,）

所以〃T）=log4（2'+2r）=〃x）,所以〃尤）為偶函數(shù)，所以A錯(cuò)誤，B正確；

令”2",貝Uy=log4（/+，，令$=/+；,貝Ijy=log4s,

當(dāng)xe［O,y）時(shí)，?e［1,+℃）,所以s=/+；為增函數(shù)，

Xy=log45為增函數(shù)，所以y=log4，+，為增函數(shù)，

又"2,為增函數(shù)，所以/（X）在［0,+電）上是增函數(shù).

又/（X）為R上的偶函數(shù)，

所以“x）2〃0）=：,所以〃尤）的值域?yàn)椋郏?+?>］.所以C錯(cuò)誤，D正確.

故選：BD.

4.（2023?河北邯鄲?統(tǒng)考一模）（多選）已知函數(shù)/'（x）=log2（x+6）+log2（4—x）,則（）

A.的定義域是（-6,4）B.“X）有最大值

C.不等式〃x）<4的解集是（F,-4）“2,+8）D.在［0,4］上單調(diào)遞增

【答案】AB

【分析】根據(jù)函數(shù)解析式，求解函數(shù)定義域，利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性求解單調(diào)區(qū)間及最值，利用單調(diào)性解函

數(shù)不等式。

fx+6>0/、,、

【詳解】由題意可得4T>0,解得-6<x<4,即〃尤）的定義域是（-6,4）,則A正確；

/（X）=l°g2（―X?—2》+24）,因?yàn)閥=—尤2—2x+24在（―6,—1）上單調(diào)遞增，在（—1,4）上單調(diào)遞減，y=log2x

（0,+8）上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，在（T4）上單調(diào)遞減，所以〃x）1mx=“-l）=21og25,

則B正確；

因?yàn)?'⑴在（-6,-1）上單調(diào)遞增，在（T4）上單調(diào)遞減，且〃Y）=7'⑵=4,所以不等式/'（x）<4的解集

是（-6,T）U（2,4）,則C錯(cuò)誤；

因?yàn)椤▁）在（T4）上單調(diào)遞減，所以D錯(cuò)誤.

故選：AB.

5.（2023?安徽安慶?安慶一中校考模擬預(yù)測(cè)）己知函數(shù)-6為R上單調(diào)遞減的奇函數(shù)，則

實(shí)數(shù)a的值為.

【答案】1

【分析】利用奇函數(shù)的定義求出。，再根據(jù)給定的單調(diào)性確定作答.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)/(尤)=lnG/7W-6)為R上的奇函數(shù)，則VxeR,/(x)+/(-x)=0,

即有l(wèi)n(V-^2+1—cue)+ln(V-X2+1+ax)=ln［(l—er)x2+1］=0恒成立'

因此(I-。?)/+1=1對(duì)任意實(shí)數(shù)尤恒成立,于是1-片=0,解得a=±l,

當(dāng)a=—1時(shí)，/(x)=ln(G+l+x)，函數(shù)y=Jf+i與y=x在［0,+co)上單調(diào)遞增,

則函數(shù)y=+尤在。+8)上單調(diào)遞增，而函數(shù)>=lnx在(0,一)上單調(diào)遞增，

因此函數(shù)/(X)在［0,+S)上單調(diào)遞增，于是奇函數(shù)/⑺在(-8,0］上單調(diào)遞增，即/(X)在R上單調(diào)遞增，不符

合題意，

當(dāng)。=1時(shí)，/O)=ln(+1-%)=一in心+1+無(wú))，因此函數(shù)/(x)在R上單調(diào)遞減，符合題意，

所以實(shí)數(shù)。的值為1.

故答案為：1

考點(diǎn)五、對(duì)數(shù)函數(shù)的值域與最值

■典■■例■■■引■■■領(lǐng)■■

1.(山東?高考真題)函數(shù)/(x)=log2(3、+l)的值域?yàn)?)

A.(0,+co)B.［0,+oo)C.(1,+oo)D.口,+8)

【答案】A

【分析】利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求得3工+1>1,再由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得結(jié)果.

【詳解】?.?3，>0,

回函數(shù)/(x)的值域?yàn)?0,+<?).

故選：A

【點(diǎn)睛】本題主要考查指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的基本性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

2.(山西?高考真題)設(shè)“>|,函數(shù)/(幻=|唯,X在區(qū)間［"24上的最大值與最小值之差為I，則a=

A.叵B.2C.2行D.4

【答案】D

【詳解】試題分析:設(shè)a>1,函數(shù)或:涌:=假典^為x>0上的增函數(shù)，則在區(qū)間[a：2a]上的最小值為log二a,

最大值為log^Za,則logiZa-logia：',即為1。8二2=:，解得a=4,故選D.

考點(diǎn)：對(duì)數(shù)函數(shù)的值域與最值.

3.(2004?天津?高考真題)若函數(shù)〃x)=log.x(0<a<l),在區(qū)間5,2a]上的最大值是最小值的3倍，則。等

于

A.-B.—C.yD.—

4224

【答案】D

【詳解】依據(jù)題設(shè)可知函數(shù)外力=1。8/在區(qū)間[。,2句上單調(diào)遞減，則log“a=31og“(2a),即8a?=1,解之

得a=1,故應(yīng)選答案D.

4

☆即時(shí)檢測(cè)

9"

1.(2023?福建廈門(mén)?廈門(mén)市湖濱中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)y=lgx9-+(k-3)x+-的值域?yàn)镽,那么實(shí)數(shù)

k的取值范圍是

A.(0,6)B.[0,6)C.(-co,0]IJ[6,+oo)D.(-℃,0)IJ(6,+℃)

【答案】C

【解析】利用函數(shù)的值域是R,通過(guò)判別式列出不等式求解即可.

~Q~

【詳解】函數(shù)y=/gx2+(k-3)x+-的值域?yàn)镽,所以對(duì)數(shù)的真數(shù)取遍全體正實(shí)數(shù)，

可得△=(%-3)2-9^0,解得kE(-8,0]U[6,+°°).

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的值域，恒成立問(wèn)題的處理方法，考查計(jì)算能力以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用.

2.(2022?重慶?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))若函數(shù)/(幻=1。8“(-3》2+4辦-1)有最小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

A.—JB.(1,石)

I2)

:百)r

c.。，3D.(石,+8)

【答案】A

【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得ae(O,l)U(l,y)且-3*+4依-1＞0,則△＞(),即可求出。的大致范圍，

2

再令-3寸+4＜7尤-1=0的根為毛、巧且再＜/，?/(X)=-3X+4OX-1,y=logflu,對(duì)。分兩種情況討論，結(jié)

合二次函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷即可；

【詳解】解：依題意ae(O,l)U(L+?0旦一3f+4分一1＞0,所以△=16/一12＞0,解得.＞乎或〃〈一岑，

綜上可得卜(1,+⑹，

2

令一3/+4。無(wú)一1=0的根為不、巧且占＜%,M(X)=-3X+4OT-1,y=logau,

若ae(l,+oo),則y=log?〃在定義域上單調(diào)遞增，〃(%)=-3工2+4分-1在卜,看］上單調(diào)遞增，在［彳,％］上

單調(diào)遞減，

2

根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，fW=loga(-3x+4依-1)在［，彳)上單調(diào)遞增，在［1,％］上單調(diào)遞減，

函數(shù)不存在最小值，故舍去；

若則＞=log/在定義域上單調(diào)遞減，"(x)=-3f+4ax—1在上單調(diào)遞增，在1g,%；

上單調(diào)遞減，

根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，/(幻=1。8。(-3/+4依-1)在(看,看)上單調(diào)遞減，在［彳,％)上單調(diào)遞增，

所以函數(shù)在x=g取得最小值，所以

故選:A

3.(2023?廣東?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))(多選)已知函數(shù)"x)=ln(x2+x+〃z)(〃zeR),則()

A.當(dāng)〃時(shí)，/(X)的定義域?yàn)镽

B./(尤)一定存在最小值

C.的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=-g對(duì)稱(chēng)

D.當(dāng)根“時(shí)，〃x)的值域?yàn)镽

【答案】AC

【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及特殊值一一判斷.

【詳解】對(duì)于A：若根＞1,貝必=1一4機(jī)＜0,則二次函數(shù)y=x?+x+機(jī)的圖象恒在無(wú)軸的上方,

即Y+無(wú)+加＞0恒成立，所以/（X）的定義域?yàn)镽,故A正確；

對(duì)于B：若相=0,則〃司=111優(yōu)+%）的定義域?yàn)椋╢,-!）"。,.），值域?yàn)镽,沒(méi)有最小值，故B錯(cuò)誤;

對(duì)于C：由于函數(shù)y=in（F+"一;|為偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，

將該函數(shù)的圖象向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度即可得到函數(shù)〃x）=ln"+￡|+*；=ln（/+x+時(shí)的圖象，

此時(shí)對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=故C正確；

對(duì)于D：若則y=Y+x+m=［x+g［,故的值域不是R,故D錯(cuò)誤.

故選：AC

考點(diǎn)六、對(duì)數(shù)函數(shù)中奇偶性的應(yīng)用

典例引領(lǐng)

■■■■■■■■■■■

1.（2022?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題）若〃x）=lna+4+b是奇函數(shù)，則。=,b=

L-X

【答案】-;；In2.

【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義即可求出.

【詳解】［方法一］：奇函數(shù)定義域的對(duì)稱(chēng)性

若〃=0,則〃幻的定義域?yàn)椴魂P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)

若奇函數(shù)的/（%）=歷1。+/1+匕有意義，貝Ijxwl且。+J-WO

1一％1-X

「.xwl且"1+工，

a

???函數(shù)/（X）為奇函數(shù)，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，

1+—=—1,解得。=一7，

a2

由/（。）=。得，ln^+b=O9

:.b=ln2,

故答案為：-;；ln2.

［方法二］:函數(shù)的奇偶性求參

//、71I77一依+1|77IClX-a-i7

f(x)=lna-\-----\+b=ln\--------\+b=ln\----------------------------Fb

1-x1-x1-x

ax+a+1

=In+b

1+x

???函數(shù)〃尤)為奇函數(shù)

I,、-、［ax-a-\\.iax+a+1_八

，/(x)+f(-x)=In-------+歷---------b2匕7=0

1-x1+x

〃爐—(Q+

/.In+2/?=0

3+1)2c1cI

-----n2a+l=0na=—

1I2

—2b=In—=—2ln2=>Z?=ln2

4

l，。

a=——,b7=InZ

2

［方法三］:

因?yàn)楹瘮?shù)〃x)=lna+9+b為奇函數(shù)，所以其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng).

由a+—匚/0可得，(l-x)(a+l—ox)wO,所以x="L-l,解得：即函數(shù)的定義域?yàn)?/p>

l-xa2

(-?,-l)u(-l,l)u(l,+?),再由〃0)=0可得，b=\n2.即/(x)=ln-；+占+ln2=lng,在定義域

內(nèi)滿(mǎn)足〃r)=-〃x),符合題意.

故答案為：-；；ln2.

即時(shí)檢測(cè)

I.(2021?山西臨汾?統(tǒng)考一模)已知函數(shù)/(x)=ln("Z7T+2x)-若〃log2°)=2,貝lj(log'a

【答案】-3

【分析】利用函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性可求得函數(shù)值.

【詳解】根據(jù)題意，函數(shù)〃x)=ln(j4/+l+2+*,

貝!!仆叫岳^辿一小

=-lnfj4x2+l+2x^--—,

2'+1

貝1j〃X)+/(-X)=-l,

若〃log2O)=2,貝I]/log,t/^=/(-log2a)=-3,

故答案為：-3.

2.(2022?四川瀘州.四川省瀘縣第四中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(x)=ln」+asinx+2,且/(加)=5,

x+1

則/(-〃?)=()

A.-5B.-3C.-ID.3

【答案】C

【分析】令g(無(wú))=ln七卜"sin無(wú)，則g(x)為奇函數(shù)，根據(jù)已知求出g(/"),g(~m),再由/(-m)=g(-m)+2

即可求出答案.

【詳解】解：根據(jù)題意，函數(shù)/(元)=ln=+asinx+2,

x+1

貝/(-x)=In——-+Asin(-x)+2=-In—~--?sinx+2,

-尤+1尤+1

則有f(x)+f(—x)=4,

故〃m)+/(T〃)=4,

若/(租)=5,貝=

故選：C.

3.(2021?重慶沙坪壩?重慶一中?？寄M預(yù)測(cè))已知函數(shù)7'(x)=lg(Jx2-2x+2—x+1,g(x)=|^|則下

列說(shuō)法正確的是()

A.〃x)是奇函數(shù)

B.g(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)。，2)對(duì)稱(chēng)

C.若函數(shù)/(x)=/(x)+g(x)在間上的最大值、最小值分別為M、N,則M+N=4

D.令F(x)=〃x)+g(x),若丁(。)+方(一%+1)>4,則實(shí)數(shù)。的取值范圍是(-1,y)

【答案】BCD

【分析】利用函數(shù)的奇偶性的定義，可判定A錯(cuò)誤；利用圖像的平移變換，可判定B正確；利用函數(shù)的圖

象平移和奇偶性，可得判定C正確；利用函數(shù)的單調(diào)性，可判定D正確.

【詳解】由題意函數(shù)/(x)=lg(J尤2-2彳+2—尤+1)=坨(<(*-1)2+1—(龍一1)卜

因?yàn)樾?*-1)2+1-(》-1)>0恒成立,即函數(shù)〃尤)的定義域?yàn)镽,

又因?yàn)椤∣)=lg(&+l)wO,所以“X)不是奇函數(shù)，所以A錯(cuò)誤;

將g(x)=|^|的圖象向下平移兩個(gè)單位得到y(tǒng)=|^|-2=|^

再向左平移一個(gè)單位得到/z(x)=E

1_r)x—1

此時(shí)M-x)=W=泉=-h(x),所以/z(x)圖象關(guān)于點(diǎn)(0,0)對(duì)稱(chēng),

所以g(x)的圖象關(guān)于(1,2)對(duì)稱(chēng)，所以B正確；

將函數(shù)〃尤)的圖象向左平移一個(gè)單位得m(x)=1g(77+1—,

+X

即加(-彳)=T"(尤)，所以函數(shù)加(%)為奇函數(shù)，

所以函數(shù)/(尤)關(guān)于(1,0)點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，

所以尸(無(wú))若在1+0處取得最大值，則尸(X)在處取得最小值，

^F(l+d)+F(l-a)=f(l+a)+f(l-d)+g(X+a)+g(l-a)=0+4=4,所以C正確;

由F(a)+F(-2a+1)>4,可得ftv7lnvz+f(l-2a)+g(a)+g(l-2a)>4,

由/(x)=]g(J(x_l)2+]_(尤_])),

1

設(shè)岫)=電(&+1-@,t=yjx+l-x>

%____

可得「二孤高一1<°,所以r=Jd+1-x為減函數(shù),

可得函數(shù)制司=坨(7^-q為減函數(shù)，

所以函數(shù)/(X)=lg(J(xT)2+l-(x-D)為單調(diào)遞減函數(shù),

又由g(x)=|^|=l+^g為減函數(shù)，所以尸⑴為減函數(shù)，

因?yàn)閎(x)關(guān)于點(diǎn)(1,2)對(duì)稱(chēng)，

所以尸(a)+尸(一2。+1)>4=F(a)+F(2-a),即F(-2a+1)>F(2-G),

即一2a+l<2—a,解得所以D正確.

故選：BCD.

【點(diǎn)睛】求解函數(shù)有關(guān)的不等式的方法及策略：

1、解函數(shù)不等式的依據(jù)是函數(shù)的單調(diào)性的定義，

具體步驟：①將函數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為/U.)>/(N)的形式；

②根據(jù)函數(shù)/（X）的單調(diào)性去掉對(duì)應(yīng)法貝轉(zhuǎn)化為形如："%>%"或"占<%"的常規(guī)不等式，從而得解.

2、利用函數(shù)的圖象研究不等式，當(dāng)不等式問(wèn)題不能用代數(shù)法求解但其與函數(shù)有關(guān)時(shí)，常將不等式問(wèn)題轉(zhuǎn)化

為兩函數(shù)的圖象上、下關(guān)系問(wèn)題，從而利用數(shù)形結(jié)合求解.

考點(diǎn)七、對(duì)數(shù)函數(shù)值的大小比較（構(gòu)造函數(shù)比較大?。?/p>

☆典例引領(lǐng)

1.（2021?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題）已知“"logs?,b=log83,c=—,則下列判斷正確的是（）

A.c<b<aB.b<a<cC.a<c<bD.a<b<c

【答案】C

【分析】對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可比較。、人與。的大小關(guān)系，由此可得出結(jié)論.

【詳解】<2=log52<log545=log82A/2<log83=b,BPa<c<b.

故選：C.

2.（2021?天津統(tǒng)考高考真題）設(shè)”1%。31=地』0.44=0.4。3,則“，。的大小關(guān)系為（）

2

A.a<b<cB.c<a<bC.b<c<aD.a<c<b

【答案】D

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出6,c的范圍即可求解.

【詳解】log20.3<log,1=0,a<0,

?.,log［0.4=-log20.4=log21>log22=1,

22

-.?0<0,403<0.4°=l,/.0<C<1,

:.a<c<b.

故選：D.

3.（2021?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題）設(shè)a=21nl.01,Z?=lnl.O2,C=7L04-1.則（）

A.a<b<cB.b<c<aC.b<a<cD.c<a<b

【答案】B

【分析】利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性不難對(duì)。力的大小作出判定，對(duì)于。與c,b與c的大小關(guān)系，

將0.01換成無(wú)，分另U構(gòu)造函數(shù)/（x）=21n（l+x）-Jl+4x+l,g（x）=ln（l+2x）—Jl+4x+l,利用導(dǎo)數(shù)分析其在

0的右側(cè)包括0.01的較小范圍內(nèi)的單調(diào)性，結(jié)合力0）=0總（0）=0即可得出。與c,b與c的大小關(guān)系.

【詳解】［方法一］:

?=21nl.01=lnl,012=ln(l+0.01)2=ln(l+2x0.01+0.012)>lnl.02=fe,

所以

下面比較。與。力的大小關(guān)系.

I----/、o9+4x-1-%)

記『(x)=21nl+x)—?jiǎng)t/0)=0,f'(x)=———^==-^---------

77'''1+尤7174^(l+x)Vl+4^

由于l+4x-(l+x)~=2x-x2=x(2-.r)

所以當(dāng)0<x<2時(shí)，1+4X-(1+X)2>0,即J1+4X>(1+X),第X)>0,

所以〃x)在［0,2］上單調(diào)遞增，

所以/(0.01)>/(0)=0,即21nl.—即。>。；

I----/、o?2(Jl+4x-1-2x)

令g(x)=ln(l+2x)-Jl+4x+L貝l|g(0)=。，----r——=------r——

1+2%，l+4x(l+x)vl+4x

由于l+4x—(l+2x)2=-4%2,在x>0時(shí)，l+4x—(l+2x)2vo,

所以g'(x)<0,即函數(shù)g(無(wú))在［0,+8)上單調(diào)遞減,所以g(0.01)<g(0)=0,BPlnl.02<A/L04-l,即6<c；

綜上，b<c<a,

故選：B.

［方法二］:

令/(x)=In一x-l(x>1)

=_(1)-<0,即函數(shù)/(x)在(1,+8)上單調(diào)遞減

V'x2+l

/(^l+0.04)<f(1)=0,.-.Z?<c

令g(x)=21nJ-x+1(1