§8.5橢圓

【課標要求】1.理解橢圓的定義、幾何圖形、標準方程2掌握橢圓的簡單幾何性質(范圍、對

稱性、頂點、離心率)3掌握橢圓的簡單應用.

■落實主干知識

【知識梳理】

1.橢圓的定義

把平面內與兩個定點Fi,凡的距離的和等于(大于固/2|)的點的軌跡叫做橢圓.這兩

個定點叫做橢圓的兩焦點間的距離叫做橢圓的.

注意：⑴當動點M滿足+IM6I=常數＞|BB|時，動點M的軌跡為橢圓；

(2)當動點M滿足+\MF2\=常數=舊1BI時，動點M的軌跡為以Fi4為兩端點的線段；

(3)當動點M滿足眼碎+幽外|=常數＜舊碼時，動點M的軌跡不存在.

2.橢圓的簡單幾何性質

焦點

焦點在X軸上焦點在y軸上

的位置

冊

圖形

X2￡￡『,

小=1/+講=1

標準方程

(a>b>0)(a>b>Q)

范圍

頂點

軸長短軸長為_________長軸長為_________

焦點

焦距|F1F2|=________

對稱性對稱軸：____________,對稱中心：_________

離心率

a,b,c

的關系

【常用結論】

橢圓的焦點三角形

橢圓上的點P（xo，刃）與兩焦點構成的叫做焦點三角形.如圖所示，設/F"=e.

⑴當P為短軸端點時，。最大,sAFiPF：最大.

（2）|PQ|max=〃+C,1PHlmin=。一。.

⑶IPEMP^IW曾母㈣}=a2_

22

（4）4c=1PBi2+|PF2|-21PBl|尸尸21cosQ.

（5）焦點三角形的周長為2m+c）.

【自主診斷】

1,判斷下列結論是否正確.（請在括號中打“J”或“X”）

⑴設后（一4,0）,尸2（4,0）為定點，動點M滿足照人|+阿尸2|=8,則動點M的軌跡是橢圓.（）

（2）橢圓是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形.（）

77

（3）。+5=1（機/九）表示焦點在》軸上的橢圓.（）

（4）橢圓的離心率e越大，橢圓就越圓.（）

2.（選擇性必修第一冊P109T1改編）若橢圓卷+去=1上一點尸與焦點E的距離為4,則點

尸與另一個焦點B的距離為（）

A.6B.3C.4D.2

3.已知橢圓C：?+?=1的一個焦點為（2,0）,則C的離心率為（）

1「啦-2啦

AAqB，2C.2D.^―

4.（選擇性必修第一冊P116T12改編）若橢圓C：j+f=l,則該橢圓上的點到焦點距離的最

大值為（）

A.3B.2+小

C.2D幣+1

■探究核心題型

題型一橢圓的定義及其應用

例1⑴已知圓C1：Q+1）2+尸=25,圓C2：（X-1）2+y=1,動圓M與圓C2外切,同時與圓

Ci內切，則動圓圓心M的軌跡方程為（）

A.y+/=1B.y+^-=1

C-f+/=1D-f+f=1

（2）（2023?眉山模擬）已知P是橢圓點+5=1上的點,Fi，F(xiàn)?分別是橢圓的左、右焦點，若

PFvPF--,則△尸的面積為.

|PF1||PF2|

跟蹤訓練1（1）（2023?鄭州模擬）若F1,巳分別為橢圓C去+需=1的左、右焦點，A,8為C

上兩動點，且A,3,B三點共線，則△ABB的周長為（）

A.4B.8C.10D.20

⑵（2024?哈爾濱模擬）“工藝折紙”是一種把紙張折成各種不同形狀物品的藝術活動，在我國

源遠流長，某些折紙活動蘊含豐富的數學內容.例如，用一張圓形紙片，按如下步驟折紙（如

圖）.

步驟1:設圓心是E,在圓內異于圓心處取一點，標記為F；

步驟2:把紙片折疊，使圓周正好經過點F；

步驟3：把紙片展開，并留下一道折痕；

步驟4:不停重復步驟2和步驟3,就能得到越來越多的折痕.圓面上所有這些折痕圍成一條

曲線，記為C.

現(xiàn)有半徑為4的圓形紙片，定點尸到圓心E的距離為2，按上述方法折紙，在C上任取一點

M,。為線段跖的中點，則QM的最小值為.

題型二橢圓的標準方程

例2⑴過點(3,2)且與橢圓3/+8y2=24有相同焦點的橢圓方程為()

A-l+w=1B-w+il=1

厚+S=1D4+f=1

_y22

(2)已知過橢圓/+v/=l(a>b>0)的左焦點網-1,0)的直線與橢圓交于不同的兩點A,8,與y

軸交于點C,點C,尸是線段AB的三等分點，則該橢圓的標準方程是()

八x2/,%2

A%+M=IB.5+了=1

思維升華根據條件求橢圓方程的主要方法

(1)定義法：根據題目所給條件確定動點的軌跡滿足橢圓的定義.

(2)待定系數法：根據題目所給的條件確定橢圓中的a,6.當不知焦點在哪一個坐標軸上時，

72

一般可設所求橢圓的方程為川^+九y2=](加>o,〃>o,與橢圓U+$=共焦點

2272

的橢圓方程可設為標；/力=1(。泌,m>—/?2);與橢圓方=1(。泌>。)有相同離心率

7222

的橢圓方程可設為或方+層V=4a>b>0,2>0).

跟蹤訓練2(1)(2024.南京模擬)已知橢圓的兩個焦點分別為Fi(0,2),F2(0,-2),P為橢圓上

任意一點，若⑻是I尸為I,IP碼的等差中項，則此橢圓的標準方程為()

A-M+65=1B.舌+焉1

諄+*iD-fl+n=1

⑵已知橢圓E：泉號1（辦6>0）的左、右焦點分別為Fi,F2,過坐標原點的直線交E于P,

。兩點，目PBLE。，且5"佻=4,|尸尸2|+|6。|=6,則橢圓E的標準方程為（）

A2芷X2

A-4+3=1B-T+4=1

C*?=lD-f+f=1

題型三橢圓的幾何性質

命題點1離心率

例3（1）（2023?太原模擬）設西，B是橢圓E：《+%=13b>0）的左、右焦點，過點為且斜率

為害的直線交橢圓于點尸，若2/PFg=ZPF2FI,則橢圓E的離心率為（）

A.2-小B幣-1

C坐D坐

（2）（2022.全國甲卷）橢圓C號+Q1（a>6>0）的左頂點為A,點尸，。均在C上，且關于y軸

對稱.若直線AP,AQ的斜率之積為（,則C的離心率為（）

AmC1nl

2D.2?3

命題點2與橢圓有關的范圍（最值）問題

例4（多選）已知橢圓京+?=1歷，E為左、右焦點方為上頂點，尸為橢圓上任一點，則（）

A.的最大值為4小

B.|尸碎的取值范圍是[4-2小，4+26]

C.不存在點P使PFI±PF2

D.|P6的最大值為2小

跟蹤訓練3⑴已知M,N是橢圓C：5+營=1（。>6>0）上關于原點O對稱的兩點，尸是橢圓C

上異于M,N的點，且前?麗的最大值是:層，則橢圓c的離心率是（）

A.gB.g

⑵已知橢圓旗+方=1的左頂點為A,右焦點為F,M是橢圓上任意一點，則日V加的取值

范圍為()

A.[-16,0]B.[-8,0]

C.[0,8]D.[0,1]

§8.5橢圓答案

落實主干知識

知識梳理

1.常數焦點焦距

2.-且--bWxWb且-Ai(-。,0),A2(〃,0),9(0,-b),歷(0,

b)Ai(0,-a),A2(0,a),Bi(-b,0),B2(b,0)2b

2aFi(-c,0),F2(C,0)FI(0,-c),F2(0,c)2cx軸和y軸原點

e-^(0<e<l)a2-b2+c2

自主診斷

1.(1)X(2)V(3)X(4)X

2.A3,C4.A

探究核心題型

例1(1)D[如圖，由題意得，|GM=5TMQ|,

|C2M|=1+|MP|,

其中|MQ|=|MP|,

所以IGM+IC2M=5—IMQI+1+IM尸|=6>2=|C1C2|,

72

由橢圓定義可知，動圓圓心M的軌跡為以Cl,C2為焦點且長軸長為6的橢圓，設，+5=1,

貝I2〃=6,c=lf

解得〃=3,〃=/_02=9_1=8,

22

故動圓圓心M的軌跡方程為(?+^?=1」

yo

(2)3小

跟蹤訓練1(1)D⑵小

例2⑴C

(2)B［不妨設4用，師)在第一象限，由橢圓的左焦點E(—1,0),點C,尸是線段A8的三等

分點，

12

則C為A廠的中點，尸為5C的中點，所以以=1,所以^+浸=1,

則劃="，即A。，勺，

所以m，&,4-2,一縱

將點8的坐標代入橢圓方程得

即4+五一1

“2十/一1,即十4a2—1,

又〃2—從=1,所以Q2=5,b2=4,

72

所以橢圓的標準方程是方+；=L］

跟蹤訓練2(1)D

(2)C［如圖，連接PB,QFi,

由橢圓的對稱性得四邊形PRQF2為平行四邊形,

所以|PBl+|BQI=|PBl+|PQI=2a=6,得a=3.

又因為PF21F2Q,

所以四邊形PQ。尸2為矩形,

設|尸尸2|=加，下2。|="，

品〃=4,

貝!|S2PF?。

[m+n=6,[m=4,[m=2,

所以O得c或4

[mn=S,[n=2E=4,

則「/2|=24，

則c=小，b2=a2—c2=4,

72

橢圓E的標準方程為尹：=L]

例3⑴B(2)A

例4AB［依題意知，a=4,6=2,c=2事,當尸為短軸頂點時，(5A小居)max=3x2cXb=

4小，故A正確；

由橢圓的性質知|PFi|的取值范圍是［a—c,a+c］,即［4—2小，4+2-\/3］,故B正確；

對于C,sin/F28O=5=半，所以/尸23。=字所以/尸18/2=爭，即/尸1尸巳的最大值為竽,

最小為0,所以存在點P使尸西，/7"故C錯誤；

對于D,設P