階段滾動(dòng)檢測(cè)(四)

120分鐘150分

一、選擇題:本題共8小題,每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.(2024.萍鄉(xiāng)模擬)已知是空間中兩兩垂直的單位向量，則|3“+尻2c|=()

A.V14B.14C.V2D.2

【解析】選A.依題意得，⑷=|例=|c|=l,08=a-c=cZ=0;所以

\3a+b-2c\-J(3a+b-2c)23=V9a2+b2+4c2+6ab-12ac-4bc-y/9+1+4

=V14.

2.在三棱錐P-ABC中點(diǎn)0為八ABC的重心，點(diǎn)D,E,F分別為側(cè)棱PA,PB,PC的中

點(diǎn)若G=3力=CE,C=玩，則OP=()

A..-1a+-1b,+-1c

333333

C.-2-a--1b2--cD.-2a+2-b+2-c

333333

【解析】選D.取BC的中點(diǎn)為M如圖所示:

貝U“=AF=PF-PA=-PC-PA,

b=CE=PE-PC=iPB-PC,

2

c=BD=PD-PB=-PA-PB

2

相力口可得a+8+c=，(PB+PC)=>~PA+PB+rc=-2(a+Z>+c),

所以O(shè)P=AP-AO=-AM

AB+AC)=-叫(PB-PA+PC-PA)

2

PA+PB+pc)=-(a+Z>+c).

3.（2024.無(wú)錫模擬）已知m,n,l是三條不重合的直線,a/是兩個(gè)不重合的平面，則下

列說(shuō)法不正確的是（)

A.若a//則m//￡

B.若mua,nu0,a〃.，則m//n

C.若m//"，機(jī)J_a,則n±a

D.若m,n是異面直線，租〃a,n//a,l-Lm且/J_"，則/_La

【解析】選B.對(duì)于A:兩個(gè)平面平行，一個(gè)平面內(nèi)的一條直線平行于另外一個(gè)平面,

故A正確；

對(duì)于B:兩個(gè)平行平面內(nèi)的兩條直線位置可以是平行或異面，即機(jī)〃〃不一定正確,

故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C:兩條平行線中的一條直線垂直于某個(gè)平面，則另外一條直線也垂直于此平

面，故C正確；

對(duì)于D:如圖,

因?yàn)闄C(jī)〃a,所以存在直線a,aua且滿足a//m,

又/L凡所以l±a,

同理存在直線b,bua且滿足b//n,

又耳所以l.Lb,

因?yàn)閙,n是異面直線，

所以a,b相交，設(shè)a^b^A,

又a,〃ua,所以/_La,故D正確.

4.西施壺是紫砂壺器眾多款式中最經(jīng)典的壺型之一,是一款非常實(shí)用的泡茶工具

（如圖1）.西施壺的壺身可近似看成一個(gè)球體截去上下兩個(gè)相同的球缺的幾何體.

球缺的體積V=*竺（我為球缺所在球的半徑,人為球缺的高）.若一個(gè)西施壺的壺

身高為8cm,壺口直徑為6cm（如圖2）,則該壺壺身的容積約為（不考慮壺壁厚度，兀

取3.14）（）

A.494mLB.506mL

C.509mLD.516mL

【解析】選A.作出幾何體的軸截面如圖所示,

依題意,AB=6cm。為球心,。為壺口所在圓的圓心，所以AD-DB-3cm,因?yàn)?/p>

DE-8cm,

所以O(shè)D-OE-4cm,且OD_LAB,OB=732+42=5(cm),所以球的半徑R-5cm,所以

球缺的高h(yuǎn)-5-4-1cm,

所以球缺的體積為吟竺=江手

所以該壺壺身的容積約為(兀，53-2x等=詈匚494mL.

5.(2024.北京模擬)如圖,四棱錐P-ABCD中底面ABCD是矩形,AD=2A5,B4，平面

458,下列敘述中錯(cuò)誤的是()

p

A.A5〃平面PCD

B.PB±BC

C.PC±BD

D.平面平面ABCD

【解析】選C.對(duì)于選項(xiàng)A:在矩形ABCD中，因?yàn)锳B〃CRCDu平面尸CD,AM平

面尸CQ,所以AB//平面尸8,故選項(xiàng)A正確；

對(duì)于選項(xiàng)B:B4_L平面A5C35CU平面A5CZ),所以5c在矩形ABCD中,A5

054,所以5。，平面尸5A,而尸5u平面PBA,所以PB

故選項(xiàng)B正確；

對(duì)于選項(xiàng)C:因?yàn)锽O平面A5CZ),而5Qu平面A5C。,所以B4_L5。,所以PA.BD

=0,而PC=PA+AC,PC-BD=(E4+AC)-BD=E4-BD+AC-BD=AC-BD,

在矩形ABCD中,4。與BD不垂直，所以AC.瓦口,即PC-BD#0,PC與BD不垂直

故選項(xiàng)c不正確；

對(duì)于選項(xiàng)D:B4±平面45CRB4U平面所以平面B4Z)_L平面45CZ),故選項(xiàng)D

正確.

6.（2024.北京模擬）已知底面邊長(zhǎng)為2的正四棱柱A^CDAiSGA的體積為8V3,

則直線AC與A.B所成角的余弦值為（）

A.-B.-C.-D.-

2244

【解析】選D.如圖，連接A6,5G,則AZ）=A5=2,正四棱柱A5CQ-43GZ）i的體積

V=2x2xAAi=8g,

則AAi=2b,因?yàn)锳C//A1C1,

則NG4J5為異面直線AC與AiB所成角,

可得22+(2V3)2=4,AICI=V22+22=2V2,

222

故cosXCiAiB-(2V2)+4-4_V2

2-2V2-4-4

7.已知球O的半徑為2,三棱錐0-A5C底面上的三個(gè)頂點(diǎn)均在球O的球面上,

NA4C號(hào)方。=百,則三棱錐體積的最大值為（）

A.iB.-C.-D.-

4322

【解析】選A.設(shè)“小所在外接圓的半徑為八由』=2八得導(dǎo)201,

2

設(shè)三棱錐的高為九則/=22-/=22-1=3,所以人=遮;在△4呂。中,如圖:

A點(diǎn)在劣弧詫上運(yùn)動(dòng),

顯然當(dāng)A點(diǎn)為廢的中點(diǎn)時(shí)，高AD最大，

A。的最大值為竽xtan冷，

ZoZ

所以及鉆。面積的最大值為，9g=1,故三棱錐O-ABC體積的最大值為

z24

【加練備選】

（2024德州模擬）在三棱錐P-ABC中,△人臺(tái)。是以AC為斜邊的等腰直角三角

形,△出。是邊長(zhǎng)為2的正三角形,二面角P-AC-B的大小為150。,則三棱錐P-ABC

外接球的表面積為（）

A.—B.—

39

C28V21H口52Vl3n

?27?81

【解析】選A.如圖取AC的中點(diǎn)”,連接

由題意,A5=5C=號(hào)4。=魚,B4=PC=2,

所以BH±AC,PH±AC,

所以/BHP為二面角P-AC-B的平面角，

所以N5”P=150。，

因?yàn)榧般@。是以AC為斜邊的等腰直角三角形，且4。=2,

所以AH=BH=CH=1,H為△ABC外接圓的圓心，

又△勿。是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，

所以“尸=聲,過(guò)點(diǎn)H作與平面ABC垂直的直線,則球心O在該直線上,

設(shè)球的半徑為凡連接OB,OP,

可得0必=0序/必=展1,

在△0P"中,NO”P=60。,利用余弦定理可得op2=o*HP2-2HOHPCOS60°,

所以尺2=尺2-1+3-2*7^3*舊義去解得尺2=（

所以外接球的表面積為4成2=等.

8.（2024.長(zhǎng)春模擬）芻曹是《九章算術(shù)》中出現(xiàn)的一種幾何體，如圖所示,其底面

ABCD為矩形，頂棱PQ和底面平行，書中描述了芻疊的體積計(jì)算方法:求積術(shù)曰,

倍下袤，上袤從之，以廣乘之，又以高乘之，六而一,即V=32A5+PQ*C/z（其中/z是芻

疊的高，即頂棱PQ到底面ABCD的距離），已知AB^BC^APAD和△05。均為等

邊三角形，若二面角P-AD-B和Q-BC-A的大小均為120。,則該芻魯?shù)捏w積

為（）

A.30V3B.20V3

C.yV3D.48+4V3

【解析】選D.如圖:分別取AD,BC的中點(diǎn)MN,連接PM,QN,MN,

由底面ABCD為矩形，所以MN//AB,

因?yàn)轫斃釶Q和底面ABCD平行，且P0u平面B450,平面B450n平面ABCD=AB,

所以所以PQ//MN,

即P,Q,N,M四點(diǎn)共面，過(guò)P,Q分別作直線MN的垂線，垂足為P；Q；

因?yàn)榈酌鍭BCD為矩形，易得ADLMN,

因?yàn)闉榈冗吶切危襇為AD的中點(diǎn)，所以ADLPM,

因?yàn)镸NC尸N=M,MN,PNu平面PP'Q'Q,

所以Ara平面PPQQ,

因?yàn)槭捌矫媸琾°2所以Ara尸尸；

又因?yàn)槭故襊QCAZ)=MPQ；ADu平面ABCD,

所以尸尸」平面A5C。，

所以PP'為PQ到底面ABCD的距離h,

同理可證平面尸尸'。。。?！蛊矫鍭BCD,

所以NPMN為二面角P-AD-B的平面角,NQW為二面角Q-BC-A的平面角.

因?yàn)槎娼荘-AD-B和Q-BC-A的大小均為120°,

所以NPMN=ZQW=120。，

由AB^2BC^,APAD和△05。均為等邊三角形，

易得pQ^p'M+MN+NQ^8+2V3,/7=PP-3,

所以V=-(2AB+P2)BC-/Z=-(2X8+8+2V3)X4X3=48+4V3.

66

二、選擇題:本題共3小題,每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多

項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分,部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知平面a的一個(gè)法向量為小=(1,-2,-9,平面夕的一個(gè)法向量為〃2=(-1,0,-2),直

線I的方向向量為。=(1,0,2),直線m的方向向量為8=(0,1,-2),則()

A.l//a

C.l與m為相交直線或異面直線

D.a在方向量上的投影向量為(0,g￡)

【解析】選BC.對(duì)于A,因?yàn)椤?(1,0,2),"1=(1,-2,-|),且a?篦尸1+0-1=0,所以aLn\,l//

?或/ua,選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,因?yàn)椤?=(1,-2,[)，〃2=(-1,0,-2),且Hi-M2—1+0+1=0,

所以平面選項(xiàng)B正確；

對(duì)于C,因?yàn)?=(1,0,2)力=(0,1,-2),“與方不共線，所以直線/與根相交或異面，選項(xiàng)C

正確；

對(duì)于D,a在b向量上的投影向量為百小義(0,1,一2)=(0,-:,勻,選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

10.(2024.長(zhǎng)沙模擬)已知S為圓錐的頂點(diǎn),45為該圓錐的底面圓0的直徑，

ZSAB^5°,C為底面圓周上一點(diǎn),/瓦1。=60。,5。=應(yīng)，則()

A.該圓錐的體積為g

B.AC=V3

C該圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角大于180°

D.二面角A-BC-S的正切值為四

【解析】選AC.如圖，因?yàn)镹S45=45。，

所以△必臺(tái)為等腰直角三角形，

又SC=a,則SA=SB=g

所以A5=VSZ2+SB2=2,則『AO=SO=1,

所以該圓錐的體積為胃兀己50=觸正確;

易知△A5C為直角三角形，且NAC5=90。，

又/氏4。=60°則NA5C=30°,

所以AC=/5=1,B錯(cuò)誤；

該圓錐的側(cè)面展開圖為扇形，其弧長(zhǎng)/=2幾，

扇形半徑尺=SA=VX設(shè)扇形圓心角為a,

所以a=!=企兀＞九,

所以該圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角大于180°,C正確；

取BC的中點(diǎn)Z）,連接SROZ）,則SD±BC,OD為八ABC的中位線，

所以O(shè)D±BC,OD^AC^,

所以NODS為二面角A-BC-S的平面角，易知△SO。為直角三角形，

所以tanN8S=*2,D錯(cuò)誤.

11.（2024.葫蘆島模擬）如圖,及鉆。為等腰直角三角形,斜邊上的中線AD=2,E為線

段BD的中點(diǎn)將“5。沿AD折成大小為用勺二面角，連接5C,形成四面體C-ABD,

若P是該四面體表面或內(nèi)部一點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）

A.若點(diǎn)P為CD的中點(diǎn)，則過(guò)A,E,P的平面將三棱錐A-BCD分成兩部分的體積比

為1：4

B.若直線PE與平面ABC沒有交點(diǎn)，則點(diǎn)P的軌跡與平面ADC的交線長(zhǎng)度為近

C.若點(diǎn)P在平面ACD上,且滿足B4=2PD,則點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為:

D.若點(diǎn)P在平面ACD上,且滿足B4=2PD,則線段PE長(zhǎng)度的取值范圍是（手,空）

【解析】選BC.對(duì)A,如圖所示，由題意可知AD±DC,AD±DB,DC（^DB^D,DC,DBcz

底面故底面BCD.

A

B

由于E為線段BD的中點(diǎn)，點(diǎn)P為CD的中點(diǎn)，故SADEP^SADBC,

又三棱錐A-DEP與三棱錐A-DBC等高，故以9=打4曲也融。=|以一曲,

故過(guò)A￡P(guān)的平面將三棱錐A4C。分成兩部分的體積比為1：3,故A錯(cuò)誤;

對(duì)B,若直線PE與平面ABC沒有交點(diǎn)，則點(diǎn)P在過(guò)點(diǎn)E和平面ABC平行的平面

上,

如圖所示，設(shè)CD的中點(diǎn)為F,AD的中點(diǎn)為G,連接E尸1G,EG,則平面E/G〃平面

ABC,

則點(diǎn)P的軌跡與平面ADC的交線即為GF,

由于原△人呂。為等腰直角三角形,斜邊上的中線AZ)=2,故AC=2V2,

貝UG尸=)。=魚，故B正確；

對(duì)C,若點(diǎn)P在平面ACD上,且滿足B4=2PQ,以D為原點(diǎn)所在直線分別為

軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，則A(0,2),C(2,0),

設(shè)尸(%,y),則J%2+(y-2)2=2“2+y2,

即反+什+|)2號(hào),

故P點(diǎn)在平面ADC上的軌跡即為圓弧防(如圖所示)，

由巴什+|)2若可得圓心M(O,-|),T(O,|),M^,O),

則N7MN4則點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為白"子,故C正確；

DDDy

對(duì)D,由題意可知BD±AD,BD±DC,AD,DCC：^^A。。,故5。，平面ADC,

故PEZED2+PD2=\\+吵,由于p在圓弧病上,圓心為M,

故當(dāng)尸在T時(shí)PD取最小值|,此時(shí)PE取最小值手；

當(dāng)尸在N時(shí)PD取最大值竽，此時(shí)PE取最大值號(hào).

故線段PE長(zhǎng)度的取值范圍是［W,亨］，故D錯(cuò)誤.

三、填空題:本題共3小題,每小題5分，共15分.

12.兩個(gè)零向量。也定義|axA|=|a||例sin<a,A〉.若”=(1,0,1),。=(0,2,2),則|0<團(tuán)=

答案：2遍

【解析】設(shè)向量。力的夾角為仇

因?yàn)椤?(1,0,130,2,2),

所以|。|=魚,|例=2魚,0。=2,

ab21

所以cos。=

\a\-\b\V2X2V22'

因?yàn)?。?,用，所以sin。=為

所以|axA|=|a||A|sin。=近義2聲義日=2次.

13.如圖所示，在四棱錐P-ABCD中,%，底面A5C。,且底面各邊都相等,V是PC

上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M滿足_________時(shí)，平面平面尸CD(只要填寫一個(gè)你

認(rèn)為是正確的條件即可)

答案(或BMLPC等，答案不唯一)

【解析】連接AC交BD于點(diǎn)0(圖略)，因?yàn)锽4_L平面A5CD,5Z)u平面ABCD,^

以

又由底面各邊都相等得AC,5D又B4nAe=A,所以BD±平面B4G所以BD±PC.

所以當(dāng)尸。(或尸O時(shí)，即有PC,平面MBD,

而PCu平面pc。,所以平面平面PCD.

14.(2024.沈陽(yáng)模擬)如圖,正方體A5CD4SG01的棱長(zhǎng)為2,1是過(guò)頂點(diǎn)氏0,5,&

的圓上的一點(diǎn),。為CCi的中點(diǎn).當(dāng)直線PQ與平面ABCD所成的角最大時(shí)，點(diǎn)P的

坐標(biāo)為；直線PQ與平面ABCD所成角的正弦值的取值范圍是_______.

答案:(1,1，土遮+1)[0,卓]

【解析】過(guò)點(diǎn)O作石下，平面ABCD,交二，于點(diǎn)瓦交助于點(diǎn)尸，易得

OE=OF=V3,2(0,2,1),E(1,1,V3+1),F(1,1,-V3+1),

所以QE=(1,-1,V3),QF=(1,-1,-V3).

由圖可知當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)E或點(diǎn)F的位置，即P的坐標(biāo)為(1,1，士g+1)時(shí)，直線PQ與平

面ABCD所成的角最大.

z

_________Cl

易得平面ABCD的一個(gè)法向量為〃=(0,0,1).

設(shè)直線QE與平面ABCD所成的角為e,

.QE?n

則sin0=|cos<QE,〃〉|=||QE|?Inl|=-^===^-=^p,

即直線PQ與平面ABCD所成角的正弦值的最大值為誓.

當(dāng)尸。〃平面ABCD時(shí)，直線PQ與平面ABCD所成角的正弦值最小為0,

所以直線PQ與平面ABCD所成角的正弦值的取值范圍是［0,誓］.

四、解答題:本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

15.(13分)如圖，在直三棱柱ABC-AiBiCi中,AC=3,5C=A4i=4,A5=5,點(diǎn)。為A5的

中占

I/\w

(1)求證:AC_LBG;

【解析】(1)在中，因?yàn)锳C=35A5=51。=4,

所以及45。為直角三角形

又在直三棱柱A5cAl3G中平面ABC,

所以所以AC_L平面5CG,因?yàn)?C1U平面5CG,所以AC,

BCi；

(2)求三棱錐ArCQB的體積.

CiBi

4

U

夕'B

A

【解析】（2）在及鉆。中過(guò)。作。尸，4民垂足為F,

因?yàn)槠矫鍭53Aj_l平面A5C,且平面平面A5C=A氏所以平面

ABB\Ai^

ACBC3X412

而。尸二-5一5

因?yàn)橐詮V&CD~^C-A1DB1，

而441=5*5乂4=10,

所以匕1/CD=*10X￡=8.

16.（15分）如圖,四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形9〃。。,

ZABC=90°,AB=4,JBC=CD=2,AB4D為等邊三角形,5?！繮A.

⑴證明平面B4。；

【解析】（1）取AB中點(diǎn)E,連接因?yàn)锳B〃CZ）,乙鉆。=90。5A5=4,50=8=2,

所以四邊形EBCD為正方形,△AE。為等腰直角三角形，

貝U/ADE=45°,NBDE=45°,

得NADE+N&)E=90°,故BD±AD,

因?yàn)?。，%,%04。=4,%八。(=平面PAD,

所以5D_L平面B4D

(2)求點(diǎn)C到平面PBD的距離.

【解析】⑵設(shè)點(diǎn)。到平面尸的距離為小

由(1)得PD=BD=2a,BD1PD,

則△5DP面積為^尸少與口二幺

取AD中點(diǎn)。連接尸。則POLAD且尸0=遙，

因?yàn)?。，平面B4RP0U平面PAD,

所以BD±POADHBD^D,AD,BD^^ABCD,

所以尸0_L平面45CD,

又XBCD的面積為匏CS=2,三棱錐C-PBD的體積為

Vc-PBD^SkBDP?h=VP-BCD'SkBCD?P>

得力岑即點(diǎn)c到平面PBD的距離為日

17.(15分)如圖，在四棱錐P-ABCD中底面ABCD為菱形，&F分別為PA,BC的中

點(diǎn)

⑴證明:石尸〃平面PCD.

【解析】⑴取尸。的中點(diǎn)G,連接CG,EG,

因?yàn)镋,F分別為PA,BC的中點(diǎn)，

所以EG//AD,EG^AD,

又因?yàn)榈酌鍭BCD為菱形，所以CF//AD,CF^AD,^XEG//CF,EG=CF,

所以四邊形EGCF為平行四邊形，所以EF//CG,

又CGu平面尸。。,石廣,平面PCD,

所以E尸〃平面PCD.

(2)若尸/〃平面ABCD,ZADC=120°,HPD=2AZ)=4,求直線AF與平面DEF所成

角的正弦值.

P

【解析】⑵連接5。，

因?yàn)槭?平面ABCD,DF,DACL^^ABCD,

所以PD±DF,PD±DA,

因?yàn)樗倪呅螢榱庑?NA0C=12O。，

所以△38為等邊三角形，

因?yàn)槭瑸榈闹悬c(diǎn)，所以DFLBC,

因?yàn)?C〃D4,所以DF±DA,

所以DF,DA,DP兩兩垂直，

所以以D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz,

X

因?yàn)?。=之尸。=2,所以D(0,0,0),F(V3,0,0)4(0,2,0),E(0,1,2),

則無(wú)=(0,1,2),DF=(V3,0,0),AF=(V3,-2,0),

設(shè)平面DEF的法向量m^x,y,z),

'm,DE=y+2z:=0

則Ini?DF=V3x=0，令z=l,得WI=(0,-2,l),

設(shè)直線AF與平面DEF所成的角為e,

Int.

則sin0-\cos<m,AF>|=ImlIAFI

所以直線AF與平面DEF所成角的正弦值為甯.

18.(17分)(2024.武漢模擬)如圖，在四棱錐尸-A5C。中底面A5C。是矩形，側(cè)面BW

，底面ABCD,E為線段PA的中點(diǎn)，過(guò)C,D,E三點(diǎn)的平面與線段PB交于點(diǎn)尸，且

*PD=AB=2.

(1)證明：石尸，人。；

【解析】⑴由題意得9〃。。，

又A5u平面B45coe平面PAB,

所以8〃平面PAB.

又Su平面CDE/，平面CDE尸n平面PAB=EF,

所以CD〃EE

又COU。,所以EFLAD.

⑵若四棱錐P-ABCD的體積為*則在線段PB上是否存在點(diǎn)G,使得二面角

G-CZ)力的正弦值為黑若存在，求黑的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【解析】⑵取AD的中點(diǎn)。連接P0,

因?yàn)锽4=PD所以POLAD,

又平面平面A5CD,平面平面A5cO=AD,POu平面PAD,

所以尸0,平面A5CZ）,

所以VP-ABCD^AB-AD-PO^]ADP0=4,

又PO2+（|AD）2=4,

所以f0=應(yīng)4。=2企.

取BC的中點(diǎn)為“，以O(shè)AQHQP所在直線分別為次軸,y軸,z軸，建立如圖所示的

空間直角坐標(biāo)系，

貝UP(0,0,V2),B(V2,2,0),D(-V2,0,0),C(-V2,2,0),

所以PB=(V2,2,-V2),而=(0,-2,0),

假設(shè)存在點(diǎn)G,設(shè)PG=2W￡[0,l]),G(xbyi,zi),

所以(%1,%/1-2)=2(&,2,-/),

則G(V22,2/1,72(14)),

所以DG=(V2(1U),2A,72(14)),

設(shè)平面GCD的法向量為〃1=(%2,》2,Z2),

ln-[,DG=0

IHi,CD=0,

即｛V^(l+a)%2+2Ay2+V2(1-A)Z2—0

可取m=（九1,0/+1）,

又平面ABCD的一個(gè)法向量"2=（0。1）,

因?yàn)槎娼荊-CD-B的正弦值為今

所以|cos<〃i,〃2〉|=-j="+”=亭，解得2W或7=3（舍去）.

2253

J（Z-1）+（Z+1）

所以線段PB上存在點(diǎn)G,使得二面角G-CD-B的正弦值為此時(shí)北三.

【加練備選】

（2024.岳陽(yáng)模擬）如圖1，平面圖形PABCD由直角梯形ABCD和RtAB4D拼接而成,

其中AB=BC=1,BC〃AD,a=PD3邛上PD,ABLAD,PCAD相交于點(diǎn)O,現(xiàn)沿著

AD折成四棱錐P-A5CZ）（如圖2）.

⑴當(dāng)四棱錐P-ABCD的體積最大時(shí)，求點(diǎn)A到平面PCD的距離.

【解析】⑴在題圖1中，在RtABW中序=尸。=應(yīng),尸。，

所以AD=2易知四邊形ABCO為正方形，

所以AO=1,即。為AD的中點(diǎn)，

在題圖2中，當(dāng)四棱錐P-ABCD的體積最大時(shí)，

即側(cè)面底面ABCD,

因?yàn)镻OLARPOu側(cè)面PAD,

所以POL底面A5CD以。為原點(diǎn)”,8QP所在直線分別為％軸、y軸、Z軸,

建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.

則P(O,O,1),A(O,-1,O),B(1,-1,O),C(1,O,O),D(O,1,O),

所以雄=(0,1,1),CP=(-1,O,1),PD=(O,1,-1),

方法一：設(shè)平面PCD的法向量為加=(%,y,z),

Im?CP=O

所以k?PD=O,

所以償之；°所以冽=(1,1,1),

IAP?m|/—

所以點(diǎn)A到平面尸CD的距離為Ml二方第

方法二:(等體積法)

由題意得△尸8為等邊三角形，且

2

PC=PD=CD=V2,SAPCD^x(V2)=y,SAAco=|x2x1=1,

設(shè)點(diǎn)A到平面PCD的距離為d,

因?yàn)閂P-ACD=VA-PCD,

所以］SaACD,尸。三S△尸CD,d,

所以91義1與曰&所以仁手

(2)線段P。上是否存在一點(diǎn)。，使得平面0AC與平面48的夾角的余弦值為學(xué)?

若存在，求出意的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【解析】⑵假設(shè)存在,且設(shè)的=丸而(OS於D,

因?yàn)槲?(0,1,-1),

所以AQ=AP+PQ=(0,1,1)+APD=(0,l+尢1-1),

且AC=(l,l,0),

設(shè)平面QAC的法向量為"=3也c),

lu?AC=O

所以匕?AQ=O,

所以｛a+b=0

(1+2)b+(l-2)c=O'

所以w=(l-A,/l-l,/l+l),

易知平面ACD的一個(gè)法向量為v=(O,O,D,

因?yàn)槠矫媾c平面ACD的夾角的余弦值為唱，

所以|cos"y〉|=，+二*

"IMJ(1U)2+(4-1)2+(Z+1)2X1

化簡(jiǎn)整理得6在13丸+6=0,

解得耳或丸=|(舍去)，線段PD上存在滿足條件的點(diǎn)。，且孤=2.

19.(17分)(2024.鄭州模擬)三階行列式是解決復(fù)雜代數(shù)運(yùn)算的算法,其運(yùn)算法則如

@2。3k

下：b2怎=Q]b2C3+a2b3Cl+a3ble2-a3b2C1-Q2ble3-。必3c2.若ax》=ytZ],則

%2y2Z2

稱axb為空間向量a與b的叉乘，其中a-xii+yij+zik(xi,yi,zi