有關圓的問題壓軸題-2022屆中考數(shù)學壓軸大題專項

突破(全國通用解析版)

專題有關圓的常見壓軸題

1.(2021?長沙市雅禮實驗中學九年級月考)在平面直角坐標系xOy中，作。。

分別交X軸y軸于點A、3,點C在第三象限且在圓上，。是弦A3的中點，OD

的長為還.

2

(1)如圖1所示，求半徑的長度；

(2)如圖1所示，若圓心。到弦的距離OE=2逐，求C點的坐標；

(3)如圖2所示，C點坐標同第(2)問，P是x軸下方的一個動點，使得N3PC：

NBOC=1：2,四邊形03PC的面積是否存在最大值？若存在請算出面積，并直

接寫出尸點坐標；若不存在，請說明理由.

【答案】(1)5；(2)C(-4,-3)；(3)存在，四邊形03PC面積最大值為20+5逐；

P(-4-y/5,-8-2^)

【解題思路分析】(1)利用直角三角形斜邊上的中線的性質即可求解；

(2)設C為(x,y),由3(0,-5),求得E(1,寧)，再利用兩點之間的距

離公式列方程求解即可；

(3)分點P在。。上和點尸在與。。等半徑同弦的。/上，利用四邊形的

面積公式以及相似三角形的判定和性質即可求解.

【解析】解：(1)'：OA=OB,ZAOB=9Q°,

：.ZOAB=45°,

：.OA=^AB,

2

經(jīng)過圓心。點，。是AB的中點，

：.OD±AB,

AB=20D,

：.OA=^-AB=41OD=5-,

(2)'JOELBC,

??.E是BC的中點，

：.B(0,-5),設。為(x,y),貝UE為(j,^),

"：OC=5,

.*.x2+y2=25,

"：OE=245,

：.(X)2+(^-5)2=80,

/.尤2+y2-10y+25=80,

/.25-10y+25=80,

解得y=-3,x=±4,

因為C在第三象限，...C(-4,-3)；

(3)ZBPC：ZBOC=1：2,

①當P點在。。上，此時不構成四邊形OBPC,不符合題意,

②。點在如圖所示的上(OM與。。是等圓)，

當點P在的延長線上時，四邊形O8PC面積最大，此時，OP垂直平分BC,

，：OE=2#,

：.ME=OE=245,

,OP=2x2岔+5=4有+5,

VC(-4,-3),

.".BC=2右，

?*.四邊形05PC面積最大值為:。尸?BC=20+5后，

綜上所述四邊形OBPC面積最大值為20+5百,

過點p作尸G，y軸于點G,

在RtAOEB中，0E=275,B0=5,

EB=4BO^-OE1=75，

ZBOE=NPOG=90。,ZOEB=ZOGP=90°,

:.叢OEBs叢OGP,

.BEOEOB

''PG-OP'

.V52755

"~PG~~OG~4^5+5?

：.PG=4+A/5,OG=8+2A/5,

：.P(-4-6,-8-275).

2.（2021?哈爾濱德強學校九年級月考）△ABC內(nèi)接于。。，弦CDLA3于點E,

AF±BC于點R交弦CD于點G.

（1）如圖1,求證：DE=EG；

（2）如圖2,連接3D、OF,若BD=^FG,求證：R9平分NARC；

（3）如圖3,在（2）的條件下，點H在線段CG上，連接FH,若ZCFH=ZABD,

FH=46,CG=10,求線段0G的長.

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）710

【解題思路分析】（1）連接AD,根據(jù)同弧所對的圓周角相等，可得ZB=ZD,

根據(jù)同角的余角相等可得NB=ZAGE,進而可得ND=ZAGE,根據(jù)等角對等邊以

及三線合一即可得證；

（2）連接BG,AO,CO,由（1）可得BG=BD,結合已知條件可得？G3尸45?即

可求得GR=Bb，進而證明△CFG0A4FB可得CP=CF,進而證明AAO產(chǎn)三AC"

即可證明R9平分/AFC；

（3）過尸點作電LCG于點乙，過點。分別作BC,A尸的垂線，垂足為M,N,根據(jù)

等角的余角相等可得4GL=NCFL,進而根據(jù)tan4GL=tanNC也列出比例式，求

得GL,進而可得CF=2GF,在R/ACFG中，勾股定理求得依，進而求得BC,由

垂徑定理可得MC=MB=gBC=3行，根據(jù)已知條件結合（2）的結論，可得四邊

形N/OM是正方形，進而在Rr^NOG中，勾股定理即可求得。G.

【解析】（1）連接AD,如圖，

D-------------

?.-AC=AC,

:.NB=ND,

-.-AB±CD,AF1BC,

:.ZB+ZBAF=90°,ZBAF+ZAGE=90,

:.NB=ZAGE,

:.ZD=ZAGE,

AD=AG9

??,AE1GD,

:.DE=EG,

(2)連接BG,AO,CO,如圖，

由⑴可得=

:.BG=BD,

：BD=y[2FG,

BG=>f2FG,

.—GF0

..sin/GBF=----=----,

BG2

.-.ZGBF=45°,

QAF1BC,

:./BGF=45。,

:.GF=BF,

?；AB上CD,AFLBC,

NBAF+ZABF=90°,ZEAG+ZAGE=90°,Z.CFG=ZAFB,

.\ZABF=ZAGE,

?.?ZCGF=ZAGE,

:.ZABF=ZCGF,

:.ACFG沿AAFB,

:.CF=CF,

在AA。尸和ACO9中，

AF=CF

<AO=CO,

FO=FO

AAOF=ACOF^

,\ZAFO=ZCFO,

.?.O尸平分NA/C,

(3)如圖，過b點作包，CG于點L,

?1,AD=AD，

,\ZABD=ZACD,

?.?ZCFH=ZABD,

.\ZCFH=ZACD9

NFHG=/HFC+NFCH=ZACD+/FCH=ZACF,

vZAFC=90°,

由（2）可得AF=CF,

:.ZACF=ZFHG=45°,

?/FH=W,

LF=LH=FHsin45。=4,

???AF±AC,FL±CD9

AFGL+ZGFL=90°,ZFGL+CFL=90°,

:./FGL=/CFL,

/.tanZ.FGL=tanZCFL,

nnFLCL

GLFL

???CG=10,

^GL=x,則CL=10—x,

.410—%

■■一二\，

x4

解得％=2或x=8,

?;CF=AF>FG,

/.tanZFGC>l,

..%=2,

/.tanZFGC=2,

:.CF=2GF,

在RtACFG中，

FG1+FC-=CG2,

即FG2+（2FG）2=1（）2,

解得尸G=2布（負值舍去），

.-.BF=FG=275,

BC=BF+FC=6>j5,

過點。分別作BC,AP的垂線，垂足為如圖,

：.MC=MB=-BC=345,

2

/平分NA尸C,

ZOFN=ZOFM=45°,

:.ON=NF,FM=OM,

NF=OFsm45°=MF,

：.ON=NF=FM=OM,

二四邊形N770M是正方形,

:.FM=FC-FM=非，

:.NG=GF-NF=2亞-亞=也，

:.OG=NO,

Rt^NOG中，

OG=ylNO2+NG2=V2A^G=A/10>

OG=V10.

3.（2021?廣東惠州一中九年級一模）如圖，AABC內(nèi)接于。。，/CBG=ZA,CD

為直徑，0C與相交于點E,過點E作EZU3C,垂足為尸，延長。交GB的

延長線于點尸，連接

（1）求證：PG與。。相切：

⑵若第4求器的值;

（3）在（2）的條件下，若。。的半徑為4,PD=OD,求召C的長.

【答案】（1）見解析；（2）:;（3）5-2.

【解題思路分析】（1）要證PG與。。相切只需證明NO3G=90。，由N84C與

NBDC是同弧所對圓周角且N3DC=ND5?？傻?CBG=NDBC,結合

ZDBC+ZOBC=90°即可得證；

（2）求R器F需將BE與0C或0C相等線段放入兩三角形中,通過相似求解可得，

FFBF1

作0MLAC、連接04,ffiABEF^^0AM^--=—,由AM=：AC、OA=OC

AMOA2

EF_BE

知，一發(fā)，結合77；=!即可得；

_HJAC-o

(3)RtADBC中求得BC=4V3、ZDCB=3Q°,在RtAEFC中設EF=x,知EC=2x、

FC=&、BF=4g-繼而在RtA3ER中利用勾股定理求出x的，從而得

出答案.

【解析】(1)證明：如圖，連接0B,

OB=OD,

:.NBDC=NDBO,

?;ABAC=NGBC、NBDC=NBAC,

:.ZGBC=ZBDC,

?.?CD是。。的直徑，

/.ZDBC=90°,

ZDBO+ZOBC=90°,

:.ZGBC+ZOBC=90°,

:.NGBO=90。,

二PG與。。相切；

(2)解：過點。作于點連接。L,

VOC=OA,OMLAC,

：.ZAOM=/COM=-ZAOC,

2

AC=AC9

:.ZABC=-ZAOC,

2

：.ZEBF=ZAOM,

又ZEFB=Z.OMA=90°,

:.\BEF^\OAM,

EFBE

~AM~~OA

?：AM=-AC,OA=OC,

2

EFBE

(3)解：-.-PD=OD9ZPBO=90°,

.\BD=OD=4,

在RtAD5c中，BC=y/CD2-BD2=V82-42=4A/3,

又?；OD=OB,

??.ADO5是等邊三角形，

.\ZDOB=60°9

???ZDOB=ZOBC+ZOCB,OB=OC,

ZOCB=-ZDOB=30°9

EC=2EF,由勾股定理FC=^EC2-EF2=V4EF2-EF2=#>EF

.??設￡/二%,則EC=2x、FC=6X,

:.BF=4yf3-^j3x9

且0C=4,

OC4

BE=5,

在RtABEF中，BE2=EF2+BF2,

25=/+(46-瓜y,

整理得4/-24x+23=0

△=242-16x23=208>0

24±4巫_6土歷

..X—6-V13,

2

:.EC=6-岳.

4.(2021?福建永春?九年級學業(yè)考試)如圖，矩形A3CD是。。的內(nèi)接矩形，

。。半徑為5,AB=8,點、E、E分別是弦CD、5c上的動點，連結班ZEAF

始終保持等于45°.

備用圖

(1)求AD的長度.

1Q

(2)已知DE=不，求3R的長度.

(3)試探究AAER的面積是否存在最小值，若存在，請求出它的最小值；若不

存在，請說明理由.

【答案】(1)AD=6；(2)BR=2；(3)ZkAER的面積存在最小值，最小值48后

-48.

【解題思路分析】(1)連接3。，根據(jù)矩形性質及圓周角定理可得答案；

(2)過點E作EGLAE交AP的延長線于點G,過點G作分別交直

線。C、AB點V、N,由矩形性質及余角性質得NEGM=NAED,然后由全等三

角形的性質及相似三角形的判定與性質可得答案；

(3)過點E作即，A3于H,交AR于點P,作△APE的外接圓。/,連接￡4、

IP、IE,過/作/Q,CD于點Q,設。/的半徑為r,根據(jù)直角三角形的性質及三

角形面積公式可得答案.

【解析】(1)如圖，連接3D,

在矩形A3CD中，ZDAB=9Q°,

.?.3。是。。的直徑，

:。。半徑為5,

:.BD=10,

?'-AD=y/BD2-AD2=6；

(2)如圖，過點E作EGLAE交AR的延長線于點G,過點G作分

別交直線。C、點“、N,

在矩形ABCD中，ZD=ZDAB=9Q°,

：.NEMG=N￡>=90。，

四邊形ADMN是矩形，

ZEGM+ZMEG=90°,

：.ZAED+ZMEG=90°,

：.NEGM=ZAED,

在△AEG中，ZEAF=45°,

：.ZEAF=ZEGF=45°,

：.AE=EG,

：.AAED^AEGM(44S),

1Q

.\MG=DE=—,EM=AD=6,

4812

：.AN=DE+EM=—,NG=MN-MG=—,

'：MN//AD//BC,

，△ABFsAANG,

.BFAB

"NG~AN，

解得BF=2；

(3)△AER的面積存在最小值，理由如下：

過點E作EH1AB于H,交AF于點P,作^APE的外接圓。/,連接IA、IP、IE,

過/作/Q,CD于點Q,設。/的半徑為r,

'：ZEAF=45°,

：.Z￡/P=90°,N/EP=45°,ZIEQ=45°,

.'.EP=V2r,IQ—^-r,

"：IA+IQ>AD,

r+r>6,

2

/.r>12-672,

5AAEF=；AB?EP=4er,

**?SAAEF>45/2（12-6夜），

??AEF>48A/2-489

AAEF的面積存在最小值，最小值4872-48.

5.（2021?福建泉州?九年級模擬預測）如圖1,在直角坐標系皿V中，直線/與

X、y軸分別交于點44,0）、3（0,9兩點，4AO的角平分線交y軸于點。.點C為

直線/上一點，以AC為直徑的OG經(jīng)過點O,且與X軸交于另一點E.

(i)求證：y軸是OG的切線；

(2)請求。G的半徑廠，并直接寫出點C的坐標；

(3)如圖2,若點尸為。G上的一點，連接A尸，且滿足/曲=45。，請求出取

的長？

【答案】(1)見解析；(2)r=|；C的坐標為(1,4)；(3)EF=；6.

【解題思路分析】(1)要證明y軸是。G的切線，只需要連接G。后證明GD,08即

可.

(2)由(1)可知GD//O4,則△5DG-ABQA,設半徑為廠后，利用對應邊的比相

等列方程即可求出半徑廠的值，再證明△BMCsABOA,由此可求得點C的坐標.

(3)由于N￡E4=45。，所以可以連接CE、B構造直角三角形.再過點A作

AHYEF,然后利用勾股定理即可求出跖的長度.

【解析】(1)證明：如圖，連接GO,

???/OAB的角平分線交y軸于點，

ZGAD=ZDAO,

：GD=GA,

:.ZGDA=ZGAD,

:.ZGDA=ZDAO,

:.GD//OA,

ZBDG=ZBOA=90°,

???GD為半徑，

?”軸是。G的切線；

(2)解:"(4,0),B(0,y),

;3=4,OB=y,

AB=VOA2+OB2=^42+(y)2

在R1AAO3中，由勾股定理可得：

設半徑GD=G4=r,則8G=g-r,

■.■GD//OA,

:.ABDG^ABOA,

.DGBG

"04"AB'

20

------r

.r_j----

一4?20，

T

20“20、

——r=4(-----r),

33

5

BC=AB-AC=—-2x-=-,

323

如圖，過點C作軸于點跖,則CA///OA,

o\7

.MCBMBC

"~OA~~OB~1AB'

MCBM3

,"T=16"=20'

3

4

解得：MC=1,BM=~,

164

OM=OB-BM=-------=4.

33

的坐標為(1,4)；

(3)解：如圖，過點A作曲，跖于H,連接CE、CF,

???AC是直徑，

.-.AC=2x|=5,ZAEC=ZAFC=90°,

ZFEA=45°,

:.ZFCA=ZFEA=45°,

???在H/AACF中，由勾股定理可知：AF2+CF2=

2AF2=25,

AAF=|V2(舍負)，

AF=CF=^yf2,

設OE=a,則AE=4-Q,

ZAEC=ZAOB=90°,

：.CE//OB,

AACE?AA5O，

.AE_CE

"'OA~~OB'

4-a_CE

4一邁,

T

4

,\CE=-(4-a),

;在H/AACE中，由勾股定理可知：CE2+AE2=AC2,

/.學4-4+（4-4=25,

解得：a=l或〃=7（不合題意，舍去），

AE=4—4=3,

VAHLEF,NFEA=45。,

ZFEA=ZEAH=45°9

:?EH=AH,

在R3AEH中，由勾股定理可得：AH2+EH2=AE2,

2EH2=9,

:，EH=：氏（舍負），

/.AH=EH=3血,

.一.在RtZXAFH中，由勾股定理可知：FH=L一用=后揚2一弓揚2=2&,

:.EF=EH+FH=-yl2+2s/2=->/2.

22

6.（2021?北京人大附中九年級月考）在平面中，對于。C以及它的弦尸Q,若

存在正方形CDE尸，使點。在弦尸。上，點E在OC上，則稱正方形CDE尸是OC

關于弦PQ的一個“聯(lián)絡正方形”

下圖中的正方形CDEF即為。C關于弦PQ的一個“聯(lián)絡正方形”

在平面直角坐標系xOy中，已知點C的坐標為（4,3）,點尸的坐標為&0）（fN4）,以

C為圓心，CP為半徑的圓與x軸的另一個交點為Q.

（1）當7=2時，判斷。C關于弦尸。的“聯(lián)絡正方形”是否存在（直接回答）；

（2）當f=O時，（DC關于弦尸。的“聯(lián)絡正方形"為C￡>",求點E的坐標；

（3）當。C關于弦尸。的“聯(lián)絡正方形”為8命存在，且點E在拋物線y=x-l上

時，直接寫出此時點尸的坐標.

【答案】(1)(DC關于弦尸。的“聯(lián)絡正方形”不存在；證明見詳解；(2)點E的

坐標為(1-巫，巫)或(1+巫，-恒)；(3)點口的坐標為(1,3)或(1,

2222

6).

【解題思路分析】(1)連接。E,當/=2時，點尸(2,0),點C(4,3)先求出

3<CD<Vi3,根據(jù)四邊形CDER為正方形，可求。應30=加>如即可；

(2)過E、C分別作EHLx軸于H,CG±x軸于G,先證△HED注△GDC(AAS),

可得EH=DG,HD=CG,由Z=0,點P(0,0),點C(4,3),利用勾股定理求

出OP="73=5，由點E在圓上，可得。E=0P=5,。。=半，利用勾股定理

求出DGZCD-CG?！?分當點E在第二象限或第四象限時即可求解；

2

(3)過點/作RMLGC交延長線于先證△EHD名AFMC名ACGD,可得

EH=MC=DG,HD=FM=CG=3,設點。Cm,O')用相表示點E(m-3,4-m)可列

方程4-"片(m-3)2-1,解方程即可求解.

【解析】解：(1)連接。E,

當f=2時，點尸(2,0),點C(4,3)

/.CP=^(4-2)2+32=J13,

點。在尸。上，

.*.3<CD<V13,

?.?四邊形CDER為正方形，

?*-0E=7CD2+ED2=y/2CD，

0E>3y/2=屈>耳,

...點E在。C外，

OC關于弦PQ的“聯(lián)絡正方形”是不存在;

(2)過E、C分別作軸于H,CGLx^G,

：.ZHED+ZHDE=90°,

:四邊形CDEF為正方形，ZEDC=90°,ED=CD,

：.ZHDE+ZGDC=90°,

：.ZHED=ZGDC,

在^^￡。和4GDC中，

ZHED=ZGDC

<ZEHD=ZDGC,

ED=DC

：./^HED^AGDC(AAS),

：.EH=DG,HD=CG,

,.?/=0,點P(0,0),點C(4,3),

/.OP=^42+32=5-

?點E在圓上,

：.0E=0P=5,

,?,四邊形CDEF為正方形,

0E=yJcD2+ED2=叵CD，

.?.。。=述，

2

在R3DCG中，DG=y/cD2-CG2=J—-32=—,

4W2J2

當點E在第二象限，PG=4,HD=CG=3,EH=DG=^-,

2

：.PH=HD-PD=HD-(PG-DG)=3-(4-巫)=巫-1,

22

...點E(＞巫，巫)，

22

當點E在第四象限時，PH=PG-HG=PG-(HD-DG)=4-(3--)=1+—,

22

.?.點E(1+巫，一巫)，

22

y

(3)過點/作EA/LGC交延長線于M,

由(2)△EHD^ADGC

ZMFC+ZMCF=90°,

:四邊形CDER為正方形，ZFCD=90°,FC=CD,

：.ZMCF+ZGCD=90°,

：.ZMFC=ZGCD,

在4^0。和4CGD中，

ZMFC=ZGCD

-ZFMC=ZCGD,

CF=DC

??.△FMgACGD(A4S),

，△EHDgAFMC經(jīng)△CGD

：.EH=MC=DG,HD=FM=CG=3,

設點。(m,0),

DG=4-m,

：.OH=HG-OG=CG+DG-OG=4-m+3-4=3-m,

，點E(zn-3,4-m),

.,.4-〃7=(m-3)2-l,

解得m=4或m=l,

當冽=1時，點E(-2,3)滿足條件，止匕時DG=3=CA/,

點F的橫坐標X=OG-FM=4-3=1,縱坐標y=MG=MC+CG=3+3=6,

.,.點F(1,6),

當m=4時，點E(l,0)滿足條件，止匕時DG=0=CAf,

點F的橫坐標x=OG-FM=4-3=1,縱坐標y=MG=MC+0=3+0=3,

點1(1,3),

7.（2021?重慶實驗外國語學校九年級模擬預測）已知四邊形ABCD內(nèi)接于。O,

AB=AD.

（1）如圖1,求證：點A到“兩邊的距離相等；

（2）如圖2,已知3。與AC相交于點E,3。為。。的直徑.

①求證：tanACAD=黑；

BE

②若NCBD=30。，AD=36,求AE的長.

圖1圖2

【答案】（1）見解析；（2）①見解析；②AE=3屈-3亞

【解題思路分析】（1）連接AC,由等弦對等弧，等弧對等角得ZACB=NACD,

即可得證；

(2)①由CD=CD,得到/C4D=/C5Z),由直徑所對的圓周角是直角，可推得

tanZCAD=tanZCJBD=!|；過點。作。Q//EC,交2C延長線于點Q,根據(jù)角的關系證

明CD=CQ,又由。Q//EC,得到警=手，進一步等量代換得警=累，即可得證；

DR,JDCDE.±>C

(2)②由第一小問知NC4D=NCBO=30。，tanNCAD=^=3，設￡>匹=。，貝ljBE=嗎,

BE3

由條件求出3。的值，建立等量關系，分別求出DE的值，再證明ABAESACDE,

根據(jù)相似三角形線段成比例得筆二與,代入相關數(shù)值求解即可.

【解析】證明：(1)如圖1,連接AC,

…AB=AD，

:.ZACB=ZACD,

"點A到NC兩邊的距離相等;

(2)①；CD=CD，

:.ZCAD=ZCBD,

QBD為直徑，

:.ZBCD=90°,

BD

tanACAD=tanZ.CBD=,

BC

如圖2,過點。作DQ//EC,交2c延長線于點Q,

0

圖2

/.ZACB=ZQ,ZACD=ZCDQ,

（1）

又由知：ZACB=ZACD9

：.ZCDQ=ZQ9

:.CD=CQ,

:CE//DQ,

.DECQ

一

.DECD

DE

tanNCAZ）-,

BE

②如圖,

由（2）①得：ZCAD=ZCBD^30°,

則tanNG4D=警=。，

JonJ

設DE=a,則成=耳，

Q3D為直徑，

.\ZBAD=90°,

-,AB=AD=3y/2,

:?BD=6,

a+=6,

解得：a=36-3,

:.DE=3?-3,BE=9-36,

又/BCD=90。,

CD=BD-sinNCBD=3,

?.?NBDC=ABAC,ZABD=ZACD,

:.\BAE^\CDE,

.DECD

'~AE~~AB'

AE=(3&-3).半=3#一30.

8.(2021?杭州市采荷中學九年級二模)在NBC中，ZACB=90°,以3C為直徑

的。O交A3于點D.

(1)如圖①，以點8為圓心，3C為半徑作圓弧交于點M,連結CM,若

ZABC=66。，求ZACAf；

(2)如圖②，過點。作。O的切線DE交AC于點E,求證：AE=EC-

(3)如圖③，在⑴(2)的條件下，若tan4=力求名皿：的值.

【答案】(1)見解析；(2)見解析；(3)y

【解題思路分析】(1)由三角形內(nèi)角和角的計算問題；

(2)證明A￡?O=AECO(S4S),則OE=CE,得到=即可求解；

(3)設BC=3x,AC=4x,AB=5x,則ED=EC=；AC=AE=2x,由AAMH^AABC,

22

得至USMCM=gxACxA?/=gx4xtx=9x,同理可得：SMUE=|AE-D/=|X2A:X||X=^|X,

即可求解.

【解析】解：(1)由題意知，BC=BM,

?rZABC=66°,

:.ZBMC=ZBCM=G1°,又ZACB=90°,

/.ZACM=ZACB-ZBCM=90°-67°=33°；

(2)如圖2,???DE為圓。的切線，連接

則ZEDO=ZECO=90。，OD=OC9OE=OE,

:.\EDO=\ECO{SAS),

DE—CE,

???ZBDO+ZADE=90。，ZDBC+ZA=90。，^ZDBO=ZBDO.

：.ZA=ZADE.

AE=DE,

:.AE=CE；

(3)過M作AC的垂線交AC于H,過。作AC的垂線交AC于/,連接CD,

???NACD+NA=90°,ZACD+/DCB=90°,

3

/.tanZ.DCB-tanZA=—,

4

設3C=3x,AC=4x,AB=5x,則EQ=EC=；AC=AE=2x,

而AM=AB—MB=AB—BC=5x-3x=2光，

???MHIIBC,

貝I],

5

=

則SAACM=gXACxMH=^x4xx-|x~~^,

?.DI"BC,

..AADI^AABC,

同理可得：。，嚶盯

i14R4R

貝U5詔=5鉆心/=5'2工、石方=石/,

所以^&ADESiACM=W-

9.（2021?浙江溫州?九年級期末）如圖，已知在四邊形ABCD中，ZA=ZB=90°,

以co為直徑的。。交AB于點E,尸（點E在點尸上方），連結EC,ED,FD,FD

與EC交于點G.

(1)求證：AADF^AEDC；

(2)^AD=1,AB=4,BC=3.

①求。歹的長；

②求EG:CG.

【答案】(1)見解析；(2)①廂；②1：5.

【解題思路分析】(1)由直徑所對的圓周角是90。，得到NCED=90。，再由同弧

所對的圓周角相等得到ZAFD=ZECD,據(jù)此證明AADF^AEDC;

(2)①過點。作DWLBC于點由勾股定理解得CD的長，再證明

△AED-ABCE,由相似三角形的對應邊成比例解得AE=1,BE=3,由勾股定理

解得DE的長,再根據(jù)（1）中AADFS^EDC,由相似三角形的性質解得DF=M；

②連接CF,證明△DEGSZXCFG,△EGFs^DGC,由相似三角形的對應邊成比

例解題即可.

【解析】（1）證明：???CD是。。的直徑，

,-.ZC￡D=90°.

vZA=90°,

:.ZCED=ZA.

???ZAFD與ZECD都是OE所對的圓周角，

:.ZAFD=ZECD,

AADFs^EDC.

（2）解：①過點。作3c于點“，如圖.

ADr---

E^/'X\

B鏟---飛

,:4)=1,AB=4,BC=3,

:.DH=4,07=3—1=2,

:.CD=&FK=28

vZ￡>E4+ZBEC=90°,/BCE+/BEC=90。,

:.ZDEA=ZBCE.

-.?ZA=ZB=90°,

:.AAED^ABCE9

.AD_AE

\'AD=1,BC=3

:.AEBE=3.

*:AE-\-BE=AB=,點E在點尸上方，

:.AE^1,BE=3,

.\DE=A/12+12=&?

由（1）知，AADF^AEDC,

ADDE

'~DF~~DC"

即J_=卑，

DF2行

DF=y/10.

②連接CP,如圖.

B

?；DF=M,AD=1,ZA=90°,

:.AF=3,BF=1.

:.AD=AE=BF=l,EF=2,BE=BC=3,DE=-Ji,CF=M.

ZDEC=ZDFC=90°,NDGE=ZCGF,

△DES4CFG,

,EG_DGDE_

"Tu-CG-CF_7io'

ZFEC=Z.GDC,NEGF=ZDGC,

:.△EGFsWGC,

EGGF_EF_2_45

??麗―布一慶一雙一丁‘

EGDG如如

--------------------=--------X--------,

DGCG55

:.EG:CG=1:5.

10.（2021?宜興市實驗中學九年級二模）問題提出：

（1）如圖①，在AA5C中，N3AC=90。，AB=4,AC=39若AD平分ZBAC交CB

于點。，那么點。到AC的距離為.

AB

D

圖①圖②圖③

問題探究：

(2)如圖②，四邊形ABCD內(nèi)接于。0,AC為直徑，點5是半圓AC的三等分點

(弧A3<弧BC),連接班>,若皿平分ZABC,且3。=8,求四邊形ABCD的面積.

問題解決：

(3)為把“十四運”辦成一屆精彩圓滿的體育盛會很多公園都在進行花卉裝扮，

如圖③所示是其中一塊圓形場地O。，設計人員準備在內(nèi)接四邊形A38區(qū)域內(nèi)

進行花卉圖案設計，其余部分方便游客參觀，按照設計要求，四邊形ABC。滿足

ZABC=60。，AB=AD,<AZ)+DC=10(其中2WDC<4),為讓游客有更好的觀

體驗，四邊形ABC?；ɑ艿膮^(qū)域面積越大越好，那么是否存在面積最大的四邊形

ABCD?若存在，求出這個最大值，不存在請說明理由.

17

【答案】(1)y;(2)32；(3)存在,2473

【解題思路分析】(1)根據(jù)角平分線的性質和等積法可求出點。到AC的距離；

(2)連接03,根據(jù)題意得ZAO3=60。，作利用解直角三角形可求A3

的長，通過解直角三角形分別求出BC,AD,CD的長，再根據(jù)面積公式求解即

可；

(3)過點A作于點N,AMLDC,交DC的延長線于點航，連接AC,

可得端邊形AB6=S四邊形3CM,根據(jù)面積法求出關于面積的二次函數(shù)關系式，根據(jù)二次

函數(shù)的性質求出最值即可.

【解析】解：(1)如圖，設點。到AC和45的距離分別為DE,DF,

B

D

"AD平分NBAC

：.DE=DF

SAABC=gag.AC=gx4x3=6,SMBC=S^+S^=^AC-DE+^AB-DF

：.-(3+4)-DE=6

:,DE若，即點。到AC的距離為

1?

故答案為：-y;

(2)連接。3,

???點B是半圓AC的三等分點(弧AS〈弧BC),

ZAOB=60°

：.ZADB=ACB^30°

?..AC是。0的直徑，

ZABC=90°

?；BD平分NABC

，ZABD=NCBD=45°

過點A作AE±BD于點E,則ZBAE=ZABE=45°

：.AE=BE

ApL

AE=BE=x,則。E=--------=瓜

tan30°

*.*BD=BE+DE=x+6x=8

.*.x=4\/3-4

AB=42AE=476-40

ZADB=ACB=30°

/.BC=第AB=1272-4娓

,.?3。平分/43。

ZABD=ZCBD

AD=CD

：.AD=CD

'：AE±DE

AD2=DE2+AE2

VAE=4A/3-4,DE=瓜=12-癡

122

：.AD=(12-4A/3)+(4A/3-4)=256-128力

*'?.=S^.+=—AB*BCH—AD*CD=—AB*BCH—AD2

四12形AtBfCr。nAADBCA/i/yC2222

=1(476-40)(12A/2-4A/6)+1(256-128廂

=64君-96+128-646

=32；

(3)過點人作ANLBC于點N,AMLDC,交DC的延長線于點舷，連接AC,

'：AB=AD

：.ZACB=ZACD

：.AM=AN

：.△ABN/AADM

??S四邊形ABC。一S四邊形ANCAf

：AN=AM,ZBCA=ZDCA,AC=AC

：.AACN^AACM

?c—9c

??u四邊形V4CM一乙2AACAf

ZABC=60°

?.ZADC=120°

/.ZADM=60°,ZMAD=3Q°

DM=x,則AD=2x,AM=DM?tan60°=氐,CD=10-2x,CM=10-尤

=2

,?S四邊形3CM=25AAeM2x—x6x(10一％)=—A^(X—10%)

?.*2<DC<4

/.2<10-2%<4,SP3<x<4

?拋物線對稱軸為x=5

...當x=4時，有最大值，為-石x(16-40)=246

11.(2021?廣西南寧十四中九年級開學考試)如圖，A8是。O的直徑，弦COLAS

于點E,點f是。0上一點，且BC=CF.連接以，F(xiàn)D,FD交AB于點、N.

(1)若BE=1,CD=6,求。。的半徑；

(2)求證：AF=AN；

(3)連接此并延長，交AB的延長線于點P,過點。作。。的切線，交的延

長線于點求證：ONOP=OEOM.

【答案】(1)5；(2)見解析；(3)見解析.

RFCF

【解題思路分析】⑴連接AC,BC,BD,通過證明△BCEs△c,可得生=與，

CEAE

可求AE的長，即可求。。的半徑；

(2)通過證明△3DE咨可得/DBN=/DNB,即可證AN=AR可得

△ANR為等腰三角形；

(3)通過證明^ODESAODM,可得。O2=OE?OM,通過證明^PCOS^CNO,

可得CC^MPSON,即可得結論.

【解析】解：(1)如圖，連接AC,BC,BD,

,：CDLAB,A3是直徑

/.BC=BD,CE=DE」CD=3

2

...NBCD=ABAC,且ZBEC=ZCEA

：./XBCEsMAE

.BECE13

??---=----，即Hn-=----,

CEA￡3AE

：.AE=9

：.AB=AE+BE=1O

AOO的半徑為5；

(2),/BC=BD=CF,

：.ZBCD=ZBDC=ZCDF,>DE=DE,ZBED=ZNED=90°

:.△BDEWANDE(ASA)

：./DBN=/DNB,BE=EN

VZDBA=ZDFA,/BND=/FNA

：.ZFNA=ZDFA

：.AN=AF；

(3)如圖，連接NC,CO,DO,

?..MD是切線，

：.MD±DO,

：.ZMDO=ZDEO=90°,ZDOE=ZDOE

：.AMDO^ADEO

.DOMO

''~EO~~DO'

：.OD2=OE*OM

'：AE=EN,CDLAO

...ZBNC=ZCBN,

：.ZCBP=ZCNO,

BC=CF,

：.4B0C=ZBAF

CO//AF

：.ZPCO=ZPFA

..?四邊形BB是圓內(nèi)接四邊形

/.NPBC=NPFA

：.ZPBC=ZPFA=ZPCO=ZCNO,且NPOC=/COE

，叢CNOs叢pco

.CONO

■*P0-CO）

CO2=PO>NO,

：.ON?OP=OE?OM.

12.（2021?湖南師大附中博才實驗中學九年級二模）定義：三角形一邊上的點

將該邊分為兩條線段，且這兩條線段的乘積等于這個點到這邊所對頂點連線段的

平方，則稱這個點為這個三角形該邊的“好點”，如圖1,在AA5C中，點。是BC

邊上的一點，連接AD,若4)2=BZ).CD,則稱點。是4LBC中邊3c的“好點”?

(1)如圖1,在AA5C中，BC=4,若點。是邊8c的“好點”，且班＞=1,則線段

AD的長是;

(2)若一次函數(shù)y=x+6與反比例函數(shù)＞=2交于A,8兩點，與y軸交于點c,

X

若點C是AA5o中邊A3的“好點”，求6的值；

(3)如圖2,9Be的外接圓是圓。，點H在邊上，連接8并延長，交圓。

于點D,若點H是ABCD中邊8的“好點”，由//加，圓。的半徑為廣，且r=30〃，

求黑的值.

【答案】(1)6；(2)±72;(3)y

【解題思路分析】⑴根據(jù)“好點”的定義知代入即可；

(2)設x+8」，則/+法_1=0,設A(w,x,+b),B(X,x+b),表示出AC,BC的

X22

長，可得AC8C=2|哂1=2,再根據(jù)“好點”定義即可得出答案；

ATJ

(3)連接AD,可證AACRSADBH,得=,再根據(jù)點H是ABCO中C￡＞邊上

DrLDrl

的"好點”，得BH?=CH?DH,則=設由=〃?，則。1=3a，BD=2m,勾

股定理得=訪=2鬲，再求出8=需=個3fn,即可解決問題.

【解析】解：(1)VBC=4fBD=1,

:.CD=BC—BD=3,

由題可知：AD2=BDCD=3,

AD=A/3,

故答案為

設A（西,玉+力），B（X2,九2+力，

令1=0,貝4）=%+^=/?,

「.CW）,

「.AC="不2+%2=夜|不|,

BC=Jx：+02=I%2I，

/.AC-BC=21x,-x21=2,

由題可知：OC2=ACBC=2,

???oc>o,

OC=A/2,

b=±^/29

（3）連接A。，

?.?ZCAH=ZHDB,ZAHC=ZBHD,

.AHCH

:.AHBH=CHDH,

???點”是ABC。中CD邊上的“好點”,

BH2=CH-DH,

:.AHBH=BH2,

：.AH=BH,

：.OH.LAB,

又,：OHI/BD,

,\AB±BD,

，AZ）是圓。的直徑，

■.■r=3OH,

沒OH=m,

則OA=3m,BD=2m,

在RtDAOH中，

AH=VOA2+OW2=2向，

BH=2-Jlm,

在RtABHD中，

HD=ylBH2+BD2=2屈，

,??點H是ABCD中8邊上的“好點”,

,??_BH246

..CH------------jn,

4^/3

..CH_3_2.

DH2y/3m3

13.（2021?福建省福州延安中學九年級月考）已知A3是。O的直徑，點C是

。。上一點，。是弧3c的中點，射線3。與射線AC交于點P.

（1）如圖1,

①判斷△R4B的形狀，并說明理由；

②若AC=3,BC=4,求AD的長；

（2）如圖2,若點。在弦AD上，便，48于石，E/UAC于交AD于點G,

連接產(chǎn)。、CG,求證：PQ//CG.

【答案】（1）①△以3為等腰三角形，理由見解析；②2若；（2）見解析

［解題思路分析】（1）①只需要證明△ADP^AADB即可得到AP=AB,則△PAB

為等腰三角形；

②先利用勾股定理求出AB,然后求出CP,從而可以求出最后利用勾股定

理求出AD即可;

ApAQ

(2)先證明△ARGS/VIE。，得到弁=777,再證明△AERS/VLCB,得到

ANAQ

AFAE上ACA八miA/AE更=如即也=如

SAB=AP,則丁=其可以證得

AC-ABAC/\rAEAPAQAP

△CAG^APAQ,由此求解即可.

【解析】解：（1）①△以3為等腰三角形，理由如下:

是弧的中點,

BD=CD>

：.ZFAD=ZBAD,

「AB是。。的直徑，

ZADB=9Q°,

：.ZADP=ZADB=90°,

X'：AD=AD,

.,.△ADP咨AADB(ASA),

：.AP=AB,

：.^PAB為等腰三角形；

②：A3是。。的直徑，

ZACB=90°,

?*-AB=y/AC2+BC2=5，ZBCP=90°,

CP^AP-AC^AB-AC^2,

PB=\IPC2+BC2=2若，

由①得△ADP^AADB,貝ljPD=BD=45,

AD=JAB?-BD2=275；

(2)'：EF±AC,QE1AB,

：.ZAFE=ZAEQ=90°,

又：ZBAD=ZFAD,

：.^AFG^/XAEQ,

.AFAG

"~AE~~AQ,

'：EFLAC,BC±AC,

：.EF//BC,

AAEF^AACB,

.AF