課程主題二次函數壓軸題歸類（30個）

國知識椿講…

題號針對變式題目

形定問題1-解析式、2-三角形形狀

線段問題3-線段相等、4-線段成比例

最值問題5-線段最值1（直）、6-線段最值2（斜）、7-和最小8-差最大、9-兩村一路

面積問題10-定點求面積、11-斜三角形求面積、12-（定+動）求面積、13-同底等高（直）、

14-同底等高（斜）、15-面積平分1、16-面積平分2、17-面積平分3、18-面積分割

特殊圖形19-直角三角形、20-等腰三角形、21-平行四邊形1、22-平行四邊形2、23-菱形、

24-相似三角形1、25-相似三角形2

角度問題26-角相等、27-倍半角、28-和差角

旋轉問題29-形旋轉、30-線旋轉

....

已知拋物線y=X2+bx+c與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C,0A=0C=3,頂點為D

問題1：求拋物線解析式和頂點D坐標

1

y=%2+2%—3

y=(x+3)(x-l)

y=(%+1)2—4

已知拋物線y=X2+bx+c與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C,0A=0C=3,頂點為D

問題2：判斷:ACD的形狀，并說明理由

已知拋物線y=X2+bx+c與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C,0A=0C=3,頂點為D

問題3：E是y軸上一動點，若BE=CE,求點E的坐標

2

已知拋物線y=X2+bx+c與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C,0A=0C=3,頂點為D

問題4：拋物線上有一動點P,過點P作PM_Lx軸于點M,交直線AC與點N,在線段PM、MN中，若其中一條

線段是另一條線段的2倍，求點P的坐標。

已知拋物線y=X2+bx+c與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C,0A=0C=3,頂點為D

問題5:直線AC下方的拋物線上有一動點P,過點P作PHJ_AC于H,求線段PH的最大值及此時點P的坐標

已知拋物線y=X2+bx+c與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C,0A=0C=3,頂點為D

問題6:直線AC下方的拋物線上有一動點P,過點P作PH_LAC于H,PG〃y軸交AC于G,PH為鄰邊作矩形PEGH,

求矩形PEGH周長的最大值。

3

已知拋物線y=X2+bx+c與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C,0A=0C=3,頂點為D

問題7：在對稱軸上找一點P,使得CBCP的周長最小，求出P點坐標及EBCP的周長

已知拋物線y=X2+bx+c與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C,0A=0C=3,頂點為D

問題8：在對稱軸上找一點P,使得|PA-PC|最大，求出P點坐標

已知拋物線y=X2+bx+c與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C,0A=0C=3,頂點為D

問題9:線段MN=1,在對稱軸上運動（M點在N點上方），求四邊形BMNC周長的最小值及此時M點坐標

已知拋物線y=X2+bx+c與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C,0A=0C=3,頂點為D

問題10：求四邊形ABCD的面積

4

已知拋物線y=X2+bx+c與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C,0A=0C=3,頂點為D

問題11:在AC下方的拋物線上有一動點N,使得三角形CAN的面積最大?若存在，請求出I3AN的最大面積及點N

的坐標。

寬高法（鉛垂線法）：S=（寬X高）4-2

重點：什么是寬?什么是高？如何確定？（橫平豎直；改斜歸正）

定義：過三角形的一個頂點做y軸的平行線（x軸的垂線）與這個頂點的對邊（或延長線）相交，交點到

這點的距離（縱坐標的差的絕對值）叫做該三角形的“高”（豎直高）；另外兩個頂點的水平距離（橫

坐標的差的絕對值）叫做該三角形的“寬”（水平寬）。

具體操作時有如圖所示的三種情形：

S=（mXAD）4-2S=（mXBD）4-2S=（mXCD）4-2

注：一般來講：過動點（設橫表縱）做y軸的平行線與其對邊或延長線相交！

已知拋物線y=X2+bx+c與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C,0A=0C=3,頂點為D

問題12：在AC下方的拋物線上有一動點N,使得四邊形ABCN的面積最大?若存在，請求出四邊形ABCN的最大面

5

已知拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C,0A=0C=3,頂點為D

問題13：拋物線上是否存在點N,使得SSBN=S?BC,若存在，求出點N的坐標；若不存在，請說明理由

已知拋物線y=X2+bx+c與x軸交于A、B兩點,與y軸交于點C,0A=0C=3,頂點為D

問題14：拋物線上是否存在點H,使得SEBCH=SSBC,若存在，求出點H的坐標；若不存在，請說明理由

已知拋物線y=X2+bx+c與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C,0A=0C=3,頂點為D

問題15：拋物線上是否存在點Q,使得S60Q=SKOQ,若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由

6

已知拋物線y=X2+bx+c與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C,0A=0C=3,頂點為D

問題16:拋物線上是否存在點E,使得BE平分SBC的面積，若存在，求出E點坐標，若不存在，請說明理由

已知拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C,0A=0C=3,頂點為D

問題17:拋物線上找一點P,作PM±x軸,交線段AC于點N,使AC平分CAPM的面積

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DD

已知拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A、B兩點,與y軸交于點C,0A=0C=3,頂點為D

問題18：拋物線上找一點P,作PM_Lx軸,交線段AC于點N,使AC分SPM的面積為2：1兩部分?

J/

已知拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C,0A=0C=3,頂點為D

問題19：在y軸上是否存在一點E,使得?DE是直角三角形?若存在，求出點E的坐標；若不存在，請說明理由

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7

已知拋物線y=X2+bx+c與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C,0A=0C=3,頂點為D

問題20：在y軸上是否存在一點F,使得SDF是等腰三角形?若存在，求出點F的坐標；若不存在，請說明理由

已知拋物線y=X2+bx+c與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C,OA=OC=3,頂點為D

問題21：作垂直于X軸的直線x=-l交直線AC于點M,交拋物線于點N,以A、M、N、E為頂點作平行四邊形,

求第四個頂點E的坐標

已知拋物線y=X2+bx+c與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C,OA=OC=3,頂點為D

問題22：在對稱軸上有一點M,在拋物線上有一點N,若以A、B、M、N為頂點的四邊形為平行四邊形，求M、

N的坐標

8

平行四邊形的存在性

預備知識：①中點坐標公式；

②三平三交定三點；

③兩對角線端點的橫、縱坐標之和分別相等（秒殺必備）;

④橫平豎直接做輔助。

C三定一動：用②③即可秒殺（本質還是中點坐標公式）

分類＜兩點之間線〕

段是一條邊利用①②③

兩定兩動

兩點之間線④綜合解決

段是對角線

已知拋物線y=X2+bx+c與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C,0A=0C=3,頂點為D

問題23:點E是拋物線上一動點，點F在拋物線的對稱軸上，若以C、D、E、F為頂點的四邊形為菱形，求點E的

坐標

已知拋物線y=X2+bx+c與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C,0A=0C=3,頂點為D

問題24:在線段AC上是否存在點M,使得三角形AOM與CABC相似?若存在，求出點M的坐標，若不能，請說

9

已知拋物線y=X2+bx+c與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C,0A=0C=3,頂點為D

問題25：P是拋，物線上一個動點，作PH_Lx軸于H,是否存在一點P,使得：&AH與：BOC相似?若