昆明市第一中學2024屆高中新課標高三第四次一輪復習檢測

數學試卷

本試卷共4頁，22題.全卷滿分150分.考試用時120分鐘.

注意事項：

1.答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼

在答題卡上的指定位置.

2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.寫

在試卷、草稿紙和答題卡的非答題區(qū)域均無效.

3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區(qū)域內.寫在試卷、草稿

紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.

4.考試結束后，請將本試卷和答題卡一并上交.

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的.

L若復數z滿足Z（2+I）=T,則z在復平面內對應的點位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

2.若{A}={x|ax2-4x+l=o}（a,beR）,則a+b等于（）

B.3或L8821

AC.一D.一或一

I24554

3.直線5x—3>=0是雙曲線工=1（。〉0）的一條漸近線，則。=（）

a~25

A.9B.5C.4D.3

4.某款廚房用具中的香料收納罐的實物圖如圖1所示，該幾何體為上、下底面邊長分別為8cm,6cm的正

四棱臺，若棱臺的高為3cm,忽略收納罐的厚度，則該香料收納罐的容積為（）

第1頁/共6頁

圖1圖2

148,,,

A.—^-cm3B.74cm3C.148cm3D.298cm3

5.某校高三年級有500人，一次數學考試的成績X服從正態(tài)分布N（110,100）.估計該校高三年級本次考

試學生數學成績在120分以上的有（）

參考數據：若X?NJ。?），則尸（〃一<7<X三〃+<7）=0.6827,尸（〃一2<7<、<〃+2<7）=0.9545,

尸（〃—3b<X<〃+3cr）=0.9973.

A.75人B.77人C.79人D.81人

6.埃拉托斯特尼是古希臘亞歷山大時期著名的地理學家，他最出名的工作是計算了地球（大圓）的周長：

如圖，在賽伊尼，夏至那天中午的太陽幾乎正在天頂方向（這是從日光直射進該處一井內而得到證明的）.

同時在亞歷山大城（該處與賽伊尼幾乎在同一子午線上），其天頂方向與太陽光線的夾角測得為7.2。.因太

陽距離地球很遠，故可把太陽光線看成是平行的.已知駱駝一天走100個視距段，從亞歷山大城到賽伊尼

須走50天.一般認為一個視距段等于157米，則埃拉托斯特尼所測得地球的周長約為（）

A.37680千米B.39250千米C.41200千米D.42192千米

7.已知。=108261=1。837,。=1。859，則下列判斷正確的是（）

A.c<b<aB.b<c<aC.a<b<cD.a<c<b

8.已知定義在R上的函數/（x）=e1—e-'+x,則不等式/（x—1）+/（2—2x）?2的解集為（）

A.（-oo,-l]B.（-oo,l]C.[-1,1]D.[l,+oo）

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有

多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.某校1500名學生參加數學競賽，隨機抽取了40名學生的競賽成績（單位：分），成績的頻率分布直方

第2頁/共6頁

圖如圖所示，則（）

B.估計這40名學生的競賽成績的第60百分位數為

75

C.估計這40名學生的競賽成績的眾數為80D.估計總體中成績落在[60,70）內的學生人數為225

10.如圖，點N,B,C,M,N是正方體的頂點或所在棱的中點，則滿足〃平面N8C的有（）

11.直線x+y+2=0分別與X軸，N軸交于48兩點,點尸在曲線C：了=+2岳上,則A4BP

的面積可能是（）

A.41B.2C.5D.9

12.已知數列｛%｝滿足4+]+（-1廣二區(qū)1=3〃—4且〃eN*），則下列說法正確的是（

A.。2+。4=5，且％一。］=2

B.若數列｛%｝的前16項和為540,則%=6

第3頁/共6頁

D.當"是奇數時，an+2=("+1),"+1)+%

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知點廠是拋物線C:/=2眇(夕〉0)的焦點，。為坐標原點，若以少為圓心，|尸。|為半徑的圓與

直線Gx->+6=0相切，則拋物線C的方程為.

14.已知定義在［2加-1,加+4］上的奇函數/(x),當x>0時，/(x)=3x-L則/(⑼的值為

_??_V2b_

15.已知扇b是非零向量，同=1,(a+bjla,2在b方向上的投影向量為一~相,同，貝爪團―6|=

16.定義在—1，0'0,3上的奇函數/⑴的導函數為了(X)，且當xe0,］卜寸,

/'(X)tanx-/(x)>0,則不等式/(x)sinx的解集為.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.某同學進行投籃訓練，已知該同學每次投籃投中的概率均為

2

(1)求該同學進行三次投籃恰好有兩次投中的概率；

(2)若該同學進行三次投籃，第一次投中得1分，第二次投中得1分，第三次投中得2分，記X為三次

總得分，求X的分布列及數學期望.

18.在單位圓上的三點B,C構成的銳角AA8C中，內角N,B,C所對的邊分別為

凡b,c,sin2c-sin2/=(V2sinC-sin5)sinS?

(1)求Q；

(2)求67—c的取值范圍.

19.設各項均不為零的數列｛%｝的前〃項和為S,,4=2,且2瘋='%?%+］(〃eN*).

(1)求數列｛4｝的通項公式；

(2)令,當“最大時，求〃的值.

20.如圖，直三棱柱48C-481cl中，點。，￡分別為棱44、的中點，

第4頁/共6頁

AE1AXBX,AB=AC=AA1=4.

(1)設過4D,￡三點的平面交81cl于尸，求鏟的值；

FCi

(2)設8在線段8c上，當的長度最小時，求點〃到平面4DE的距離.

21.已知二元關系/(x,y)=(2x+y)2—(x+2y)2+ay2+b,曲線E：/(xj)=0,曲線E過點

C(2,0),￡>(4,6),直線/：x=l,若。為/上的動點，4,8為E與x軸的交點，且點N在點3的左側,

與K的另一個交點為。與E的另一個交點為N.

(1)求a,6；

(2)求證：直線VN過定點.

22.已知函數/(%)=a(Inx)2-2xInx+2x+4a>0.

(1)討論〃x)的單調性；

⑵若l<aWe2,2a+b<0,證明：/⑴只有一個零點.

第5頁/共6頁

昆明市第一中學2024屆高中新課標高三第四次一輪復習檢測

數學試卷

本試卷共4頁，22題.全卷滿分150分.考試用時120分鐘.

注意事項：

1.答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼

在答題卡上的指定位置.

2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.寫

在試卷、草稿紙和答題卡的非答題區(qū)域均無效.

3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區(qū)域內.寫在試卷、草稿

紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.

4.考試結束后，請將本試卷和答題卡一并上交.

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的.

L若復數z滿足Z（2+I）=T,則z在復平面內對應的點位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

【答案】C

【解析】

【分析】本題可根據復數的除法法則得出z=-2i,即可得出結果.

55

【詳解】因為z（2+i）=-i,

-i-i（2-i）12.

所以z=17T=（2+i）（2T）=_y_不'

則Z對應的點為（一二,一]],在第三象限，

故選：C.

2.若抄｝=｛》辰2-4x+l=o｝（a,beR）,則a+b等于（）

88T1

B昵C.一D.一或一

-I554

【答案】B

第1頁/共22頁

【解析】

【分析】由題意可知小―4%+1=0只有一個實數根，討論。=0和叱0,由根的判別式可得答案.

【詳解】?.,抄｝=k辰2_4x+l=o｝（°/eR）,‘辦2-4》+1=0只有一個實數根.

當（2=0時，｛'｝=｛；｝，止匕時a+/?=；；

當QWO時，A=16-4a=0,所以Q=4,此時6

2

1919

Q+Z?=4H—=—.故6=一或a+Z>=1.

2242

故選：B.

22

3.直線5x—3了=0是雙曲線0一匕=1伍〉0）的一條漸近線，則。=（）

a25

A.9B.5C.4D.3

【答案】D

【解析】

【分析】由雙曲線的一條漸近線，列方程求。的值.

22

【詳解】直線5x—3〉=0是雙曲線=—2=1（?！?）的一條漸近線，

a25

由直線5x—3y=0的斜率為*,得9=*,所以a=3.

3a3

故選：D.

4.某款廚房用具中的香料收納罐的實物圖如圖1所示，該幾何體為上、下底面邊長分別為8cm,6cm的正

四棱臺，若棱臺的高為3cm,忽略收納罐的厚度，貝!1該香料收納罐的容積為（）

里百

圖1圖2

1483

A.—cm3B.74cm3C.148cm3D.298cm3

【答案】C

【解析】

第2頁/共22頁

【分析】根據棱臺的體積公式，計算求值，即得答案.

【詳解】由題意可知，該香料收納罐的容積為:、3義仔+62+斤W）=148cm3.

故選：C.

5.某校高三年級有500人，一次數學考試的成績X服從正態(tài)分布N。10,100）.估計該校高三年級本次考

試學生數學成績在120分以上的有（）

參考數據：若X?NJ。，，則尸（〃一cr<XV〃+<7）=0.6827,尸（〃一2cr<X<〃+2cr）=0.9545,

尸（〃—3b<X<〃+3b）=0.9973.

A.75人B.77人C.79人D.81人

【答案】C

【解析】

【分析】X?N（110,100）,P（X〉120）=l-0+,由概率計算人數即可.

【詳解】X?N（110,100）,〃=110,o-=10,

因為P（〃-cr<X<〃+cr）=0.6827,

所以尸（X〉120）J一尸（11°一1°；旌11°+1°）=1一°，27川586,

所以數學成績在12。分以上的人數約為500x0.1586779人.

故選：C.

6.埃拉托斯特尼是古希臘亞歷山大時期著名的地理學家，他最出名的工作是計算了地球（大圓）的周長：

如圖，在賽伊尼，夏至那天中午的太陽幾乎正在天頂方向（這是從日光直射進該處一井內而得到證明的）.

同時在亞歷山大城（該處與賽伊尼幾乎在同一子午線上），其天頂方向與太陽光線的夾角測得為7.2。.因太

陽距離地球很遠，故可把太陽光線看成是平行的.已知駱駝一天走100個視距段，從亞歷山大城到賽伊尼

須走50天.一般認為一個視距段等于157米，則埃拉托斯特尼所測得地球的周長約為（）

第3頁/共22頁

A.37680千米B.39250千米C.41200千米D.42192千米

【答案】B

【解析】

【分析】首先讀懂題意，根據比例關系，即可求解地球周長.

【詳解】由亞歷山大城到賽伊尼走100x50=5000,則地球大圓周長的視距段為x,

則二得250000個視距段，

360x

則地球的周長為250000x157=39250000米=39250千米.

故選：B

7.已知a=log26,b=log37,c=log59，則下列判斷正確的是()

A.c<b<aB.b<c<aC.a<b<cD.a<c<b

【答案】A

【解析】

3

【分析】取中間值一,2,利用對數函數單調性比較可得.

2

【詳解】因為a=log26>log24=2,

23

2

b=log37>log33=-,且b=log37<log39=2,

23

c=log59<log552="

所以c<6<a.

故選：A.

8.已知定義在R上的函數/(x)=ei—ei+x,則不等式/(x—1)+/(2—2x)?2的解集為()

第4頁/共22頁

A.(-oo,-l]B.(-℃,1]c.[-1,1]D.[l,+oo)

【答案】A

【解析】

【分析】分析得到函數〃x)關于點(1,1)中心對稱，且在R上單調遞增，列不等式求解集即可.

【詳解】由于/(x)=e1—e-+x—1+1,

令/=x-l,則g?)=e'-e-'+f,

因為y=e'在R上單調遞增，y=e-'在R上單調遞減，

y=—e-'在R上單調遞增，＞=/在R上單調遞增，

所以g?)=e'-十+/在R上單調遞增，

又因為g(/)=e'-e-'+f定義域為R,關于原點對稱，

又g(_/)=e-'_e'_/=_(e'——'+/)=_g(。，

所以g")為奇函數，關于(0,0)對稱，

所以〃x)關于點(1,1)中心對稱，且在R上單調遞增，

即/(2-m)+/(m)=2,

由/(x-1)+/(2—2x)22可得/(x-1)22—/(2-2x)=f(2x),

貝1Jx-122x,得x〈T,

故選：A.

【點睛】關鍵點睛：本題主要考查了利用函數的對稱性和單調性求解不等式，解題的關鍵是函數性質的靈

活應用.

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有

多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.某校1500名學生參加數學競賽，隨機抽取了40名學生的競賽成績(單位：分)，成績的頻率分布直方

圖如圖所示，貝I()

第5頁/共22頁

B.估計這40名學生的競賽成績的第60百分位數為

75

C.估計這40名學生的競賽成績的眾數為80D.估計總體中成績落在［60,70）內的學生人數為225

【答案】AD

【解析】

【分析】先根據頻率之和為1可得。=0.005,進而可求每組的頻率，再結合統(tǒng)計相關知識逐項分析判斷即

可.

【詳解】由10x(2a+3a+7a+6a+2a)=l,可得。=0.005,故A正確;

前三個矩形的面積和為10x（2a+3（7+7a）=0.6,

所以這40名學生的競賽成績的第60百分位數為80,故B錯誤;

由成績的頻率分布直方圖易知，這40名學生的競賽成績的眾數為75,故C錯誤;

總體中成績落在［60,70）內的學生人數為3axl0xl500=225,故D正確.

故選：AD

10.如圖，點N,B,C,M,N是正方體的頂點或所在棱的中點，則滿足兒W〃平面N8C的有（）

第6頁/共22頁

【答案】AD

【解析】

【分析】結合線面的位置關系以及線面平行的判定定理確定正確選項.

【詳解】對于A,連接￡￡),由下圖可知MN//OE//NC,平面NBC，ZCu平面N8C,所以

MN//平面ABC,A正確.

對于B,設〃是EG的中點，A是。尸的中點，由下圖，結合正方體的性質可知，AB//NH,

MN//AH//BC,/W7/C",故六邊形肱陽C8N為正六邊形，所以A,B,C,H,N,M六點共面,

B錯誤.

對于C,如下圖所示，根據正方體的性質可知MV//Z。，由于平面N8C,所以上WN平面

ABC,所以C錯誤.

對于D,設/C0|NE=。，由于四邊形/ECN是矩形，所以。是NE中點，由于8是九化中點，所以

MN//BD,

由于跖VN平面Z8C，平面N8C,所以VN//平面Z8C,D正確.

第7頁/共22頁

故選：AD.

11.直線x+y+2=0分別與x軸，V軸交于43兩點，點尸在曲線c：［=+上,貝！U4SP

的面積可能是（）

A.V2B.2C.5D.9

【答案】BC

【解析】

【分析】化簡C的方程并確定出對應圖象，然后根據到直線的距離結合求解出A48尸面積的取值

范圍，由此可判斷出正確選項.

【詳解】因為直線x+y+2=0分別與x軸，V軸交于48兩點,

所以/(-2,0),5(0,-2),則|幽=2&,

又因為點尸在曲線C：y=J—%2+2亞X上,

所以點尸在半圓（x—正『+/=2（y20）上，

圓心c（夜,o）到直線x+歹+2=o的距離為&=l^2l=1+72.

點（0,0）到直線x+y+2=Q的距離為4=1=收，

第8頁/共22頁

所以點尸到直線x+y+2=0的距離的范圍是[J5,1+2行],

-2V2xV2272x（1+272）1

所以△4BP的面積取值范圍是一--,---------------即[2,4+j2],所以BC正確，

故選：BC.

12.已知數列｛%｝滿足4+1+（—1廣＜%_1=3〃—4（〃》2且〃eN*），則下列說法正確的是（）

A.。2+。4=5,且。3-％=2

B.若數列｛4｝的前16項和為540,則q=6

C.數列｛4｝的前4左（左eN*）項中的所有偶數項之和為6k2-k

D.當n是奇數時，as="++%

【答案】ACD

【解析】

【分析】A選項，賦值法求解即可；B選項，先得到出“2+。2左=3（2左+1）—4=6左—1,求出數列｛4｝的

前16項和中偶數項之和，從而得到前16項和中奇數項之和，賦值法得到%w=3/-左+4,從而得到

%5+%3+a”+。9+%+%+%+a1=392+8%=448,求出答案；C選項，在B選項的基礎上得到

。2加+2+。2加=6加-1,從而利用等差數列求和公式求解；D選項，在B選項基礎上得到%左+1=3左2_后+4,

令〃=2左—1可得答案.

【詳解】A選項，。什1+（-1）〃一1?%_]=3〃一4中，令〃=2得。3-％=3x2—4=2,

令〃=3得。4+。2=3乂3—4=5,A正確；

+a

B選項，an+l+（—I）”〔?%_]=3〃-4中，令〃=2左+1得出左+2ik=3（2左+1）—4=6左一1,

所以。4+%=6x1—1=5,必+。6=6x3—1=17,。12+40=6x5—1=29,

。16+%4=6x7—1=41,

相加得的+。4+。6+。8+。10+。12+。14+。16=5+17+29+41—92,

因為數列｛%｝的前16項和為540,所以前16項和中奇數項之和為540-92=448,

第9頁/共22頁

H1

%+i+（-l）-a“_i=3〃一4中，令n=2k得au+l-alk_x=3x2左一4=6左一4,

所以。2A：+i=6k—4+。2后一1=6k—4+6（k—1）—4+a2k=???=6k—4+6（k—1）—4+,,,+6x1—4+%

左（1+左）

=6x-----4k+4=3k9—k+%,

故％5+%3+/i+。9+%+%+。3+。1—3x72—7+〃]+3X62—6+%+,?,+3xI2—1+6+%

=392+8%=448,

解得a、=7,B錯誤；

C選項，由B選項可知。2加+2+42加=6加一1,

｛4｝的前4M后eN*）項中的共有偶數項球項，故最后兩項之和為。妹.2+%"=6（2左—1）一1,

所以數列｛4｝的前4M左eN*）項中的所有偶數項之和為

/、左（5+12左一7）7十“

%+/+,??+。4左一2+a4k—5+11H--F62k—1）—1=------------=6k-k,C正確；

〃+]

D選項，由B選項可知〃2左+1=3左之一左+%,令n=2k-1,則左=——,

w+12

故〃_3x（）〃+l+a-5+1Q+1）

取?！?2-Jx------+^i------------+%

故當"是奇數時，an+2=+++0,口正確.

故選：ACD

【點睛】當遇到4+2-4=/（〃）時，數列求通項公式或者求和時，往往要分奇數項和偶數項，這類題目

的處理思路可分別令"=2左-1和"=2左，用累加法進行求解.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知點廠是拋物線=2py（p〉0）的焦點，。為坐標原點，若以少為圓心，|尸。|為半徑的圓與

直線Gx-y+6=0相切，則拋物線C的方程為.

【答案】X2=8J

【解析】

【分析】根據題意知拋物線方程C：f=2眇（夕〉0）的焦點/[o,]）,利用點少到直線

第10頁/共22頁

Gx-y+6=0的距離為怛。|列出方程，解得夕=4,從而求解.

【詳解】由題意知拋物線C：必=2眇（夕〉0）的焦點小切，

又因為點尸到直線瓜—y+6=0的距離為歸。|,

所以：U2+6\|_p,又因為：p>0,解得：2=4,

a=-/二一

43+12

則拋物線。的方程為：x2=8j.

故答案為：x2=8j.

14.已知定義在［2加—1,加+4］上的奇函數〃x）,當x>0時，/（x）=3￥-l,則“加）的值為

【答案】-2

【解析】

【分析】根據奇函數定義域關于原點對稱，結合奇函數的性，質運用代入法進行求解即可.

【詳解】因為函數/a）是定義在［2加-1,加+4］上的奇函數，

所以有（2加-1）+（加+4）=0,得以=-1,

所以/（—1）=一/⑴=一（3-1）=一2.

故答案為：-2

-II/_V2b_

15.已知行力是非零向量，同=1,e+b）D,2在b方向上的投影向量為一萬-,利，則團―們=

【答案】V5

【解析】

【分析】同=1,由得屋3=—1，￡在B方向上的投影向量為—-旌可得忖=血，再

由歸_/得卜一..

【詳解】已知扇B是非零向量，同=1,

第11頁/共22頁

由(〃+b)_La,有++a%=0,可得73=-1，

—41ba-b41|一|「

Z在B方向上的投影向量為一-丁詞，則有慟二一~T9得小也，

由卜=忖+R|-2a-b-5,所以卜_囚二君.

故答案為：V5

16.定義在[一|?,o]D[o,|■]上的奇函數/&)的導函數為了'(X),且當xe[o,]]時,

/'(x)tanx—/(>)〉0,則不等式/(x)<2/[6]sinx的解集為.

【答案】[多用U[詞

【解析】

【分析】構造函數尸(x)=」魚，通過研究尸(X)的奇偶性與單調性求解不等式.

smx

【詳解】令尸(乃=/也，因為"X)是定義在(―g,o]u[o,g]上的奇函數，

sinxI2Jv2J

sm(-x)-smxsmx

所以廠(%)為偶函數.

當xe吟時，sinx>0,cosx>0,

由已知f\x)tanx-/(x)>0,

所以F，(x)=八x)sin1/(x)cosx==八X)fanx-/(x))>0,

sinxsinx

則尸(x)在［ogj上單調遞增，

/(7)

6

由f(x)<sinx可化為<

sinx.兀

sm—

6

71

即F(x)<，得0<x<一；

6

第12頁/共22頁

當sinx<0,則小立〉——乙，

I2，smxsin.)

jr

即F(x)>F(——),

6

由F(x)為偶函數，則尸(x)在(q,0)上單調遞減,

,口兀71

得——<X<——,

26

所以不等式/(%)<2/^—sinx的解集為［一耳廠.

故答案為:［多用U〔詞?

【點睛】關鍵點點睛本題解題關鍵是構造函數E(x)=/地并發(fā)現尸(X)是偶函數，通過研究其單調性來

sinx

解不等式，特別要注意分段討論，因為sinx的符號不能確定.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.某同學進行投籃訓練，已知該同學每次投籃投中的概率均為

2

(1)求該同學進行三次投籃恰好有兩次投中的概率；

(2)若該同學進行三次投籃，第一次投中得1分，第二次投中得1分，第三次投中得2分，記X為三次

總得分，求X的分布列及數學期望.

【答案】(1)93

O

(2)分布列見解析，2

【解析】

【分析】(1)應用獨立事件概率乘積公式計算即可；

(2)應用獨立事件概率乘積公式結合對立事件的概率公式計算概率，寫出分布列計算數學期望即得；

【小問1詳解】

記該同學進行三次投籃恰好有兩次投中為事件“B”，

…/小1111111113

則尸(5)=-x—x——I——X—x——I——X—X—=—.

—2222222228

【小問2詳解】

設事件4,幺2,4分別表示第一次投中，第二次投中，第三次投中,

第13頁/共22頁

根據題意可知X=0,1,2,3,4.

故尸（x=o）=尸（刁尸（4）尸（4）=；

O

尸（X=1）=尸（4）尸（4）尸（4）+尸（4）尸（4）尸（4）=；,

尸（x=2）=尸（4）尸（4）尸（4）+尸（刁尸仁）尸（4）=；

尸（x=3）=尸（⑷尸（4）尸（4）+尸（書尸（a）尸（4）=；,

尸（X=4）=尸（4）尸（4）尸（4）=3*3；=.

所以于x的分布列為:

X01234

]_j_]_

P

84448

X的數學期望E(X)=0X!+1X』+2XL+3XL+4X1=2.

84448

18.在單位圓上的三點/,B,C構成的銳角448C中，內角4,B,C所對的邊分別為

a,Z）,c,sin2c-sin2^=（VlsinC-sin8）sin8.

（1）求a；

（2）求J%—°的取值范圍.

【答案】（1）V2

（2）（0,V2）

【解析】

【分析】（1）根據條件，利用正弦定理，角轉邊得到°2+戶一/=①~再結合余弦定理，即可得到

TT

A=-,由外接圓半徑及正弦定理求出結果.

4

（2）根據條件，利用正弦定理邊化為角，根據兩角差的正弦公式，利用余弦函數的性質及角的范圍，可求

出結果.

【小問1詳解】

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由sin2C-sin24=(asinC-sin8)sin8及正弦定理得：c2-a2=41bc-b2

212

+仝曰方申工田汨Ab+c—ay[2bcV2

由COS%=----------=-----=---

2bc2bc2

TT

又因為0</<兀，所以4二一

4

因為ANBC外接圓半徑為1,a=2siih4=.

【小問2詳解】

bc

因為A4BC的外接圓半徑A=l,所以=2,

sin8sinC

所以b=2siaS,c-2sinC,

所以y/2b—c-2V2sin5—2sinC—2V2sin(——C)—2sinC=2cosC+2sinC—2sinC=2cosC，

0<C<-

9TT冗

又因為448C為銳角三角形，即；，故一<C<一,

八c3?！肛?2

0<B=----C<—

I42

6

所以0<cosC<=，所以0<2cosC(行，

2

所以0<J2—c<J5，即、區(qū)―c的取值范圍是(0,、歷).

19.設各項均不為零的數列｛4,｝的前"項和為5"，%=2,且2A/^=?4+1(〃eN*).

(1)求數列｛4｝的通項公式；

(2)令,當“最大時，求”的值.

(10)

【答案】(1)%=2〃

(2)9或10

【解析】

【分析】(1)利用公式%=S”-S.T，求得數列｛的“T｝是首項為2,公差為4的等差數列，數列是

首項為4,公差為4的等差數列，可求數列｛%｝的通項公式；

b>b.

(2)，最大時，則J尸,列不等式求”的值.

\bn,

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【小問1詳解】

%=2,且2=J，"〃+1*N).

則有％〉°，4S，=%?%,

當〃=1時，/=E=,所以。2=4,

當時，an=Sn-Sn_x=^^-^^,所以4M—%T=4,

則數列｛。2“一1｝是首項為2,公差為4的等差數列，所以的“一1=2+4("—1)=2(2〃-1),

數列缶2〃｝是首項為4,公差為4的等差數列，所以出"=4+4(〃—1)=2(2〃)，

所以％=2n.

【小問2詳解】

由己知得：b=a-｛^\=2〃(21,4=2,4=以，bx<b2,4不是最大項,

"“(10)(10)5225

設數列｛4｝的最大項為bn(?>2),貝U：J,

也地+i

即：22(〃—1)[\]且?2(〃+1)[[],解得9W〃V10,

所以年最大時，”的值為9或10.

20.如圖，直三棱柱4BC-481cl中，點。，E分別為棱44、CC；的中點,

AE1AXBVAB=AC=AAX=4.

第16頁/共22頁

（1）設過D,￡三點的平面交耳G于尸，求右7的值;

（2）設X在線段上，當。〃的長度最小時，求點〃到平面4DE的距離.

【答案】（1）2

⑵也

21

【解析】

B.F

【分析】（1）先將平面4DE延展，在圖中表示出4尸和尸C，根據三角形相似即可求出于不的值；

（2）由題意可以建立空間直角坐標系，根據垂線段最短，確定〃的位置，由點到平面的距離的向量表示公

DH^n

式d=即可求出點”到平面ADE的距離.

【小問1詳解】

如圖延長/。交84于尸，連接PE交片G于/，

如圖所示：

因為。為棱4片的中點，DBX\\AB,且?；?/p>

所以凡是星的中點，即PB{=BB{=2CXE,

因為「四||GE,

PB.B.F-

所以△尸8rs△AEC/,所以號=合=2.

。［心rCj

【小問2詳解】

第17頁/共22頁

由題知M1平面ABC,則441±AB,

因為4用〃45,且所以48_L4E,所以481平面幺。。/1，

所以481ZC,如圖所示，以A為原點，AC,AB,44］分別為x,夕，z軸正方向建立空間直角坐

標系，

所以2（0,0,0）,￡>（0,2,4）,￡（4,0,2）,5（0,4,0）,C（4,0,0）,設H（x,4—x,0）,（0<x<4）,

AD=（0,2,4）,AE=（4,0,2）,

因為。〃最短，所以。XLBC,

所以麗?就=(x,2—x,—4>(4,—4,0)=8x—8=0,解得x=l,

所以8(1,3,0),則麗=(1,1,-4),

-,、n-AD=02y+4z=0

設平面的法向量〃=(x/,z),貝卜_.即《

n-AE=04x+2z=0

所以3=(1,4,—2),

~DH^iri+r4+(-4)X(-2)13A/21

所以點H到平面ADE的距離d=/+42+(1

問21

21.已知二元關系/(xj)=(2x+y>—(x+2歹y+”2+b,曲線￡：/(xj)=0,曲線E過點

C（2,0）,￡>（4,6）,直線/：x=l,若0為/上的動點，A,2為E與x軸的交點，且點/在點3的左側,

。/與￡的另一個交點為03與E的另一個交點為N.

（1）求。，b；

（2）求證：直線VN過定點.

第18頁/共22頁

【答案】(1)。=2,6=-12

(2)證明見解析

【解析】

【分析】(1)由題意將/(2,0)=0,/(4,6)=0代入方程/(x,#=0運算可得解;

6mt3/—12

(2)設的y："U=x+/,與曲線E方程聯立，由韋達定理可得%+%=，=,由

3~m2~-173m2~-17

A,Q,M三點共線，由3,。，N三點共線，列式消元運算可求得/的值，得證.

【小問1詳解】

由題意知，/(2,0)=0,/(4,6)=0,代入方程(2x+y)2—(x+2y『+ay2+b=o,

42—4+6=0

可得

(2x4+6)2-(4+2x6)2+36a+Z)=0,

解得a=2,b=—12.

【小問2詳解】

22

由(1)可知(2x+y)2—(x+2yy+2y2—12=0,整理得曲線E：亍—會=1,

設心：叼=X+/,”區(qū),必)，N(x2,y2),2(1,Jo),

得°機2機步+

由題意知4-2,0),8(2,0),聯立〈3X^=12，—I)/_63/-12=0,

6mt