第第頁(yè)專題4.5函數(shù)的應(yīng)用（二）-重難點(diǎn)題型精講1．函數(shù)的零點(diǎn)(1)函數(shù)零點(diǎn)的概念：對(duì)于一般函數(shù)y=f(x)，我們把使f(x)=0的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn).即函數(shù)的零點(diǎn)就是使函數(shù)值為零的自變量的值.(2)函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解的關(guān)系函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn)就是方程f(x)=0的實(shí)數(shù)解，也就是函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸的公共點(diǎn)的橫坐標(biāo).所以方程f(x)=0有實(shí)數(shù)解函數(shù)y=f(x)有零點(diǎn)函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸有公共點(diǎn).(3)幾種常見(jiàn)函數(shù)的零點(diǎn)①二次函數(shù)的零點(diǎn)一元二次方程SKIPIF1<0+bx+c=0(a≠0)的實(shí)數(shù)根也稱為函數(shù)y=SKIPIF1<0+bx+c(a≠0)的零點(diǎn).②正比例函數(shù)y=kx(k≠0)僅有一個(gè)零點(diǎn)0.③一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)僅有一個(gè)零點(diǎn)SKIPIF1<0.④反比例函數(shù)y=SKIPIF1<0(k≠0)沒(méi)有零點(diǎn).⑤指數(shù)函數(shù)y=(a>0,且a≠1)沒(méi)有零點(diǎn).⑥對(duì)數(shù)函數(shù)y=SKIPIF1<0(a>0,且a≠1)僅有一個(gè)零點(diǎn)1.⑦冪函數(shù)y=,當(dāng)a>0時(shí),僅有一個(gè)零點(diǎn)0;當(dāng)a≤0時(shí),沒(méi)有零點(diǎn).2．函數(shù)零點(diǎn)存在定理(1)函數(shù)零點(diǎn)存在定理：如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且有f(a)f(b)<0，那么，函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)，即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，這個(gè)c也就是方程f(x)=0的解.(2)函數(shù)零點(diǎn)存在定理的幾何意義：在閉區(qū)間[a,b]上有連續(xù)不斷的曲線y=f(x)，且曲線的起始點(diǎn)(a,f(a))與終點(diǎn)(b,f(b))分別在x軸的兩側(cè)，則連續(xù)曲線與x軸至少有一個(gè)交點(diǎn).3．二分法(1)二分法的定義：對(duì)于在區(qū)間[a,b]上圖象連續(xù)不斷且f(a)f(b)<0的函數(shù)y=f(x)，通過(guò)不斷地把它的零點(diǎn)所在區(qū)間一分為二，使所得區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法.(2)區(qū)間的中點(diǎn)：一般地，我們把x=SKIPIF1<0稱為區(qū)間(a,b)的中點(diǎn).(3)用二分法求方程的近似解：用二分法求方程的近似解：先找一個(gè)包含根的區(qū)間，然后多次將包含根的區(qū)間一分為二，直至根落在要求的區(qū)間內(nèi)，即用區(qū)間中點(diǎn)SKIPIF1<0將區(qū)間(a,b)一分為二，從而得到兩個(gè)區(qū)間(a,SKIPIF1<0)和(SKIPIF1<0,b)，其中一個(gè)區(qū)間一定包含根，如若f(a)<0，f(SKIPIF1<0)>0，我們便知區(qū)間(a,SKIPIF1<0)包含根，如圖，不斷重復(fù)上述步驟，根最終落在要求的區(qū)間內(nèi).(4)用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的近似值的步驟給定精確度SKIPIF1<0，用二分法求函數(shù)y=f(x)零點(diǎn)SKIPIF1<0的近似值的一般步驟如下：1.確定零點(diǎn)SKIPIF1<0的初始區(qū)間[a,b]，驗(yàn)證f(a)f(b)<0.2.求區(qū)間(a,b)的中點(diǎn)c.3.計(jì)算f(c)，并進(jìn)一步確定零點(diǎn)所在的區(qū)間：(1)若f(c)=0(此時(shí)SKIPIF1<0=c)，則c就是函數(shù)的零點(diǎn)；(2)若f(a)f(c)<0(此時(shí)SKIPIF1<0∈(a,c))，則令b=c；(3)若f(c)f(b)<0(此時(shí)SKIPIF1<0∈(c,b))，則令a=c.4.判斷是否達(dá)到精確度SKIPIF1<0：若|a-b|<SKIPIF1<0，則得到零點(diǎn)近似值a(或b)；否則重復(fù)步驟2~4.【題型1求函數(shù)的零點(diǎn)】【方法點(diǎn)撥】(1)代數(shù)法：根據(jù)零點(diǎn)的定義，解方程f(x)=0，它的實(shí)數(shù)根就是函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn).(2)幾何法或性質(zhì)法：若方程f(x)=0的解不易求出，可以根據(jù)函數(shù)y=f(x)的性質(zhì)及圖象求出零點(diǎn).例如，已知f(x)是定義在R上的減函數(shù)，且f(x)為奇函數(shù)，求f(x)的零點(diǎn)；因?yàn)閒(x)是奇函數(shù)，那么由奇函數(shù)的性質(zhì)可知f(0)=0，因?yàn)閒(x)是定義在R上的減函數(shù)，所以不存在其他的x使f(x)=0，從而y=f(x)的零點(diǎn)是0.【例1】函數(shù)fx=logA．10 B．9 C．（10，0） D．（9，0）【變式1-1】若32是函數(shù)fx=2x2A．1 B．2 C．（1，0） D．（2，0）【變式1-2】函數(shù)y=x2?4x+3A．（1，0） B．（1，3）C．1和3 D．（1，0）和（3，0）【變式1-3】函數(shù)f(x)的零點(diǎn)與函數(shù)g(x)=4x+2x?2的零點(diǎn)之差的絕對(duì)值不超過(guò)0.25A．f(x)=4x?1 B．f(x)=C．f(x)=4x?1?1【題型2函數(shù)零點(diǎn)存在定理的應(yīng)用】【方法點(diǎn)撥】確定函數(shù)的零點(diǎn)(方程的根)所在的區(qū)間時(shí)，通常利用函數(shù)零點(diǎn)存在定理將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為判斷區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值是否異號(hào).【例2】函數(shù)fx=6A．0，1 B．1，2 C．【變式2-1】函數(shù)f(x)=2x+3xA．0 B．1 C．2 D．3【變式2-2】函數(shù)y=lnx?2A．(1e,1)C．(2,e) 【變式2-3】若函數(shù)f(x)=?x2+(k?1)x+1?k在區(qū)間(?1,0)和(0,2)上各有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)kA．12,1 B．1,32 C．【題型3利用圖象交點(diǎn)來(lái)處理函數(shù)零點(diǎn)（方程的根）問(wèn)題】【方法點(diǎn)撥】函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題可看成與函數(shù)圖象有關(guān)的問(wèn)題的行生與升華，研究此類問(wèn)題除二分法外，多采用數(shù)形結(jié)合法，把方程的根的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題，解題時(shí)要準(zhǔn)確把握各類函數(shù)的性質(zhì)，畫(huà)出函數(shù)簡(jiǎn)圖，準(zhǔn)確找到交點(diǎn)所在的位置.【例3】函數(shù)f(x)=lnx?xA．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【變式3-1】已知函數(shù)fx=e?x+3,x≤0lnx,x>0A．24,25 B．24,25 C．21,25 D．21,25【變式3-2】已知函數(shù)fx=2x,0?x?1,ln?x,x<0,若關(guān)于A．[2,4] B．(22,4] C．[2,3] 【變式3-3】已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且f(x+1)是偶函數(shù)，當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f(x)=?log2(x+1)．若關(guān)于x的方程f(x)+f(xA．16,15 B．16,【題型4用二分法確定函數(shù)零點(diǎn)（方程的根）所在的區(qū)間】【方法點(diǎn)撥】根據(jù)二分法的步驟進(jìn)行求解，即可確定.【例4】方程x3?2x2+3x?6=0A．?2,1上 B．52,4上 C．1,74上【變式4-1】用二分法求函數(shù)f(x)=x+lgx?2的零點(diǎn)，可以取的初始區(qū)間是（A．(0,1) B．(1,2) C．【變式4-2】在用“二分法”求函數(shù)f(x)零點(diǎn)近似值時(shí)，若第一次所取區(qū)間為[?2,6]，則第三次所取區(qū)間可能是（

）A．[?2,?1] B．[?1,1] C．[2,4] D．[5,6]【變式4-3】在用二分法求方程3x+3x﹣8=0在（1，2）內(nèi)近似根的過(guò)程中，已經(jīng)得到f(1)<0,f(1.5)>0,f(1.25)<0，則方程的根落在區(qū)間（

）A．（1，1.25） B．（1.25，1.5） C．（1.5，2） D．不能確定【題型5用二分法求方程的近似解】【方法點(diǎn)撥】由函數(shù)的零點(diǎn)與相應(yīng)方程根的關(guān)系，我們可用二分法來(lái)求方程的近似解，即對(duì)于求形如f(x)=g(x)的方程的近似解，可以通過(guò)移項(xiàng)轉(zhuǎn)化為求形如F(x)=f(x)-g(x)=0的方程的近似解，然后按照用二分法求函數(shù)F(x)零點(diǎn)近似值的步驟求解.【例5】若函數(shù)fx=xx11.51.251.3751.3125f－10.875－0.29690.2246－0.05151則方程x3?x?1=0的一個(gè)近似根（誤差不超過(guò)0.05）為（A．1.375 B．1.34375 C．1.3125 D．1.25【變式5-1】若函數(shù)f(x)=x3+x2f(1)=?2f(1.5)=0.625f(1.25)≈?0.984f(1.375)≈?0.260f(1.4375)≈0.162A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5【變式5-2】若函數(shù)fx=x3+ffffffA．1.5 B．1.25 C．1.375 D．1.4375【變式5-3】函數(shù)f(x)的一個(gè)正數(shù)零點(diǎn)附近的函數(shù)值用二分法逐次計(jì)算，參考數(shù)據(jù)如下：f1=?2

ff1.375=?0.260

f那么方程的一個(gè)近似解（精確度為0.1）為（

）A．1.5 B．1.25 C．1.41 D．1.44【題型6用二分法求函數(shù)的近似值】【方法點(diǎn)撥】用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的近似值的步驟往往比較煩瑣，一般借助表格，利用表格可以清晰地表示逐步縮小零點(diǎn)所在區(qū)間的過(guò)程，有時(shí)也利用數(shù)軸來(lái)表示這一過(guò)程.【例6】某同學(xué)用二分法求函數(shù)fx=2x+3x?7的零點(diǎn)時(shí)，計(jì)算出如下結(jié)果：fA．1.4065是滿足精度為0.01的近似值.B．1.375是滿足精度為0.1的近似值C．1.4375是滿足精度為0.01的近似值D．1.25是滿足精度為0.1的近似值【變式6-1】用二分法研究函數(shù)fx=x5+8x3A．0,0.5，f0.125 B．0,0.5，C．0.5,1，f0.75 D．0,0.5，【變式6-2】已知函數(shù)fxx10.50.750.6250.5625f0.6321?0.10650.27760.0897?0.007那么函數(shù)fx的一個(gè)零點(diǎn)的近似值（精確度為0.01）為（

A．0.55 B．0.57 C．0.65 D．0.7【變式6-3】用二分法求函數(shù)fx的一個(gè)正實(shí)數(shù)零點(diǎn)時(shí)，經(jīng)計(jì)算，f0.54<0，f0.72>0，fA．0.68 B．0.72 C．0.7 D．0.6專題4.5函數(shù)的應(yīng)用（二）-重難點(diǎn)題型檢測(cè)一．選擇題1．函數(shù)f(x)=x+2的零點(diǎn)為（

）A．2 B．1 C．0 D．?22．下列圖像表示的函數(shù)中能用二分法求零點(diǎn)的是（

）A．B．C．D．3．用二分法求函數(shù)fx=x3+x2?2x?2的一個(gè)零點(diǎn)的近似值（誤差不超過(guò)0.1）時(shí)，依次計(jì)算得到如下數(shù)據(jù)：A．已經(jīng)達(dá)到對(duì)誤差的要求，可以取1.4作為近似值B．已經(jīng)達(dá)到對(duì)誤差的要求，可以取1.375作為近似值C．沒(méi)有達(dá)到對(duì)誤差的要求，應(yīng)該接著計(jì)算fD．沒(méi)有達(dá)到對(duì)誤差的要求，應(yīng)該接著計(jì)算f4．用二分法研究函數(shù)fx=x3+2x?1的零點(diǎn)時(shí)，第一次計(jì)算，得f0<0，fA．1 B．?1 C．0.25 D．0.755．若函數(shù)f(x)=ax+b(a≠0)的零點(diǎn)為2，則函數(shù)g(x)=bx2?axA．0，?12 B．0，12 C．0，26．若函數(shù)fxx11.51.251.3751.3125f（x）-10.875-0.29690.2246-0.05151那么方程x3A．1.3 B．1.32 C．1.4375 D．1.257．已知一元二次方程x2+mx+3=0m∈Z有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1，x2，且0<A．-4 B．-5 C．-6 D．-78．已知定義在R上的函數(shù)fx的圖像連續(xù)不斷，若存在常數(shù)λ∈R，使得f(x+λ)+λf(x)=0對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x恒成立，則稱fx是“回旋函數(shù)”．若函數(shù)fx是“回旋函數(shù)”，且λ=2，則fxA．至多有2022個(gè)零點(diǎn) B．至多有1011個(gè)零點(diǎn)C．至少有2022個(gè)零點(diǎn) D．至少有1011個(gè)零點(diǎn)二．多選題9．若函數(shù)f(x)的圖像在R上連續(xù)，且f(1)>0，f(2)<0，f(3)<0，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,2)上有且只有1個(gè)零點(diǎn)B．函數(shù)f(x)在區(qū)間(2,3)上一定沒(méi)有零點(diǎn)C．函數(shù)f(x)在區(qū)間(2,3)上可能有零點(diǎn)D．函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,3)上至少有1個(gè)零點(diǎn)10．設(shè)f(x)=2x+3x?7，某學(xué)生用二分法求方程fx011.251.3751.43751.52f?6?2?0.87?0.280.020.333若依據(jù)此表格中的數(shù)據(jù)，則得到符合要求的方程的近似解可以為（

）A．1.31 B．1.38 C．1.43 D．1.4411．下列說(shuō)法正確的是（

）A．已知方程ex=8?x的解在k,k+1B．函數(shù)fx=x2C．函數(shù)y=3x，y=logD．用二分法求方程3x+3x?8=0在x∈1,2內(nèi)的近似解的過(guò)程中得到f1<0，f12．已知f(x)=logaA．函數(shù)f(B．存在實(shí)數(shù)m使得函數(shù)g(C．當(dāng)m∈[1,+∞)時(shí)，函數(shù)D．當(dāng)m∈(-∞,0)∪三．填空題13．函數(shù)fx=x?5+ex的零點(diǎn)所在區(qū)間為n,n+1n∈Z，則n=14．根據(jù)下表，用二分法求函數(shù)f(x)=x3?3x+1在區(qū)間(1,2)上的零點(diǎn)的近似值（精確度0.1）是f（1）=-1f（2）=3f（1.5）=-0.125f（1.75）=1.109375f（1.625）=0.41601562f（1.5625）=0.1271972615．已知函數(shù)fx=2x?a+1,x≤0lnx,x>0，函數(shù)y=fx?b有四個(gè)不同的零點(diǎn)x1，x2，x3，16．對(duì)