函數(shù)及其應用一、單選題1．（2024·聊城市·山東聊城一中高三一模）果農(nóng)采摘水果，采摘下來的水果會漸漸失去簇新度．已知某種水果失去簇新度h與其采摘后時間t（天）滿意的函數(shù)關系式為．若采摘后10天，這種水果失去的簇新度為10%，采摘后20天，這種水果失去的簇新度為20%．那么采摘下來的這種水果在多長時間后失去50%簇新度（已知，結果取整數(shù)）（）A．23天 B．33天 C．43天 D．50天【答案】B【解析】依據(jù)題設條件先求出、，從而得到，據(jù)此可求失去50%簇新度對應的時間.【詳解】，故，故，令，∴，故，故選：B.2．（2024·遼寧沈陽市·高三一模）技術的數(shù)學原理之一是聞名的香農(nóng)公式:.它表示:在受噪聲干擾的信道中，最大信息傳遞速度取決于信道帶寬，信道內信號的平均功率，信道內部的高斯噪聲功率的大小，其中叫做信噪比.當信噪比較大時，公式中真數(shù)中的可以忽視不計.假設目前信噪比為若不變更帶寬，而將最大信息傳播速度提升那么信噪比要擴大到原來的約（）A．倍 B．倍 C．倍 D．倍【答案】D【解析】依據(jù)題意可得，，兩式聯(lián)立，再利用對數(shù)函數(shù)的單調性求解.【詳解】由條件可知，設將最大信息傳播速度提升那么信噪比要擴大到原來的倍，則，所以，即，所以，解得，故答案為：D3．（2024·廣東廣州市·高三一模）2024年11月10日，我國“奮斗者”號載人深潛器在馬里亞納海溝勝利坐底，下潛深度達到驚人的，創(chuàng)建了我國載人深潛的新記錄.當“奮斗者”號下潛至某一深度時，處于其正上方海面處的科考船用聲吶裝置向“奮斗者”號放射聲波.已知聲波在海水中傳播的平均速度約為，若從發(fā)出至回收到聲波所用時間為，則“奮斗者”號的實際下潛深度約為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】可得聲波從海面?zhèn)鞯健皧^斗者”號的時間為3s，即可求出實際下潛深度.【詳解】可得聲波從海面?zhèn)鞯健皧^斗者”號的時間為，則“奮斗者”號的實際下潛深度約為.故選：B.4．（2024·全國高三專題練習（理））溶液酸堿度是通過計算的，的計算公式為，其中表示溶液中氫離子的濃度，單位是摩爾/升，人體血液的氫離子的濃度通常在之間，假如發(fā)生波動，就是病理現(xiàn)象，那么，正常人體血液的值的范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】按題設所給公式求相應的值即可.【詳解】依題意，，因此，正常人體血液的值的范圍是．故選:D．5．（2024·江蘇鹽城市·高三二模）在流行病學中，基本傳染數(shù)是指每名感染者平均可傳染的人數(shù)．當基本傳染數(shù)高于時，每個感染者平均會感染一個以上的人，從而導致感染這種疾病的人數(shù)量指數(shù)級增長．當基本傳染數(shù)持續(xù)低于時，疫情才可能漸漸消散．廣泛接種疫苗可以削減疾病的基本傳染數(shù)．假設某種傳染病的基本傳染數(shù)為，個感染者在每個傳染期會接觸到個新人，這人中有個人接種過疫苗(稱為接種率)，那么個感染者新的傳染人數(shù)為．已知新冠病毒在某地的基本傳染數(shù)為了使個感染者傳染人數(shù)不超過，該地疫苗的接種率至少為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意列不等式，即可求出結果.【詳解】由題意可得：故選：C.6．（2024·全國高三專題練習）函數(shù)的大致圖象為A． B．C． D．【答案】A【解析】將函數(shù)表達式化為，由函數(shù)奇偶性得到BC不正確，再由特別值得到最終結果.【詳解】因為是奇函數(shù)解除，且當時，.故答案為A.7．（2024·山東煙臺市·高三一模）已知是定義在上的奇函數(shù)，，當時，，則（）A． B．是的一個周期C．當時， D．的解集為【答案】D【解析】由是定義在上的奇函數(shù)、可得的最小正周期是4，即可推斷A、B的正誤，然后可得時，，然后結合條件可推斷C、D的正誤.【詳解】因為是定義在上的奇函數(shù)，所以所以，所以所以的最小正周期是4，故B錯誤，故A錯誤因為當時，，是定義在上的奇函數(shù)所以當時，，當時，，，故C錯誤因為當時，，的最小正周期是4，所以的解集為，故D正確故選：D8．（2024·江蘇常州市·高三一模）若則滿意的x的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】按或0，，和四種狀況，分別化簡解出不等式，可得x的取值范圍．【詳解】①當或0時，成立；②當時，，可有，解得；③當且時，若，則，解得若，則，解得所以則原不等式的解為，故選：B9．（2024·山東濱州市·高三一模）定義在上的函數(shù)滿意，且，時，都有，則（）A． B．C． D．【答案】B【解析】由題意可知函數(shù)為奇函數(shù)，且函數(shù)在上單調遞增，比較自變量的大小，利用函數(shù)的單調性即可求解.【詳解】，時，都有，所以函數(shù)在上單調遞增，又函數(shù)滿意，所以函數(shù)為奇函數(shù)，且，所以在上單調遞增，，又，，則，所以.故選：B10．（2024·山東青島市·高三一模）若，不等式的解集為（）A． B．C． D．【答案】A【解析】分和兩種狀況分別求解，再求并集即可.【詳解】當時，當時，綜上不等式的解集為故選：A.11．（2024·山東濟寧市·高三一模）已知，，，則（）A． B． C． D．【答案】B【解析】依據(jù)正弦函數(shù)，指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調性，分別判定的范圍，即可得出結果.【詳解】由知：，則；由知：，則；由知：，則，所以；故選：B.12．（2024·全國高三專題練習）已知，則（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意知，依據(jù)各選項并結合對應函數(shù)的區(qū)間單調性，即可推斷指對數(shù)式的大小關系.【詳解】由題意知：，而，∴在定義域內單調減，故，則B錯誤；，故A錯誤；在第一象限的單調遞增知，故C錯誤；定義域內單調遞減，即，故D正確；故選：D13．（2024·全國高三專題練習）在一次數(shù)學試驗中，某同學運用圖形計算器采集到如下一組數(shù)據(jù)：在以下四個函數(shù)模型（為待定系數(shù)）中，最能反映函數(shù)關系的是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】在坐標系中畫出點，依據(jù)點的特征進行推斷即可.【詳解】依據(jù)點在坐標系中的特征可以知道，當自變量每增加1時，y的增加是不相同的，所以不是線性增加，解除A；由圖象不具有反比例函數(shù)特征，解除B；因為自變量有負值，解除C；當自變量增加到3時，y增加的許多，所以符合指數(shù)的增加特征，D正確，故選：D.14．（2024·山東棗莊市·高三二模）已知函數(shù)則（）A． B． C． D．【答案】A【解析】先分析出時的周期性，然后依據(jù)周期性以及已知條件將問題轉化為計算的值，由此求解出結果.【詳解】當時，因為，所以，所以是周期為的函數(shù)，所以，又因為，所以，故選：A.結論點睛：周期性常用的幾個結論如下：（1）對時，若或（）恒成立，則是的一個周期；（2）對時，若或或（）恒成立，則是的一個周期；（3）若為偶函數(shù)，其圖象又關于對稱，則是以為一個周期的周期函數(shù)；（4）若為奇函數(shù)，其圖象又關于對稱，則是以為一個周期的周期函數(shù).15．（2024·遼寧鐵嶺市·高三一模）若關于的方程有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是（）．A． B．C． D．【答案】D【解析】將方程，轉化為，在同一坐標系中作出函數(shù)與的圖象，利用數(shù)形結合法求解.【詳解】方程，即為，因為方程有兩個不相等的實數(shù)根，所以函數(shù)與的圖象有兩不同的交點，在同一坐標系中作出函數(shù)與的圖象如圖所示：由圖象知：當直線過點時，，當直線與半圓相切時，圓心到直線的距離等于半徑，即，解得，所以實數(shù)的取值范圍是，故選：D．16．（2024·山東煙臺市·高三一模）某工廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過濾后排放，過濾過程中廢氣的污染物含量(單位：)與時間(單位：)間的關系式為，其中為正常數(shù).假如肯定量的廢氣在前的過濾過程中污染物被消退了那么污染物削減到最初含量的還須要經(jīng)過多長時間？(結果四舍五入取整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：)（）A． B． C． D．【答案】B【解析】先由已知條件建立方程求得，再代入模型中求得時間得選項.【詳解】由已知得，方程兩邊取自然對數(shù)得，所以，設污染物削減到最初含量的須要經(jīng)過t小時，則，兩邊取自然對數(shù)得，解得，所以還須要經(jīng)過個小時的時間使污染物削減到最初含量的，故選：B.17．（2024·山東濱州市·高三一模）定義在上的偶函數(shù)滿意，當時，，設函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)），則與的圖象全部交點的橫坐標之和為（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】D【解析】依據(jù)已知條件求出的周期，利用周期性和偶函數(shù)作出在區(qū)間的圖象，以及的圖象，數(shù)形結合即可求解.【詳解】因為滿意，所以圖象關于直線對稱，因為是上的偶函數(shù)，所以圖象關于直線對稱，所以的周期為，的圖象關于直線對稱，由時，，作出圖象如圖和的圖象由圖知與的圖象在區(qū)間有四個交點，設交點橫坐標分別為，且，，所以，所以與的圖象全部交點的橫坐標之和為，故選：D18．（2024·山東德州市·高三一模）設函數(shù)，其中，若存在唯一整數(shù)，使得，則的取值范圍是（）．A． B． C． D．【答案】C【解析】由原不等式可得，分兩種狀況探討，求出不等式的解，依據(jù)解集在唯一整數(shù)即可求解.【詳解】由可得，化簡得，當時，，故當時，恒成立，故不存在唯一整數(shù)，使得成立，當時，令，解得且，所以的解為，若存在唯一整數(shù)，則，解得，故選：C19．（2024·山東日照市·高三一模）如圖所示，單位圓上肯定點與坐標原點重合．若單位圓從原點動身沿軸正向滾動一周，則點形成的軌跡為（）A．

B．

C．D．【答案】A【解析】分析當單位圓向軸正向滾動個單位長度時的縱坐標，由此推斷出點形成的軌跡.【詳解】如圖所示，記為圓上的三個四等分圓周的點，由題意可知：圓是逆時針滾動的，因為圓的周長為，所以，且圓上點的縱坐標最大值為，當圓逆時針滾動單位長度時，此時的相對位置互換，所以的縱坐標為，解除BCD，故選：A.20．（2024·山東青島市·高三一模）已知為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，若當時，，則（）A． B．0 C．1 D．2【答案】C【解析】由得，為偶函數(shù)得關于對稱，故周期為4，則問題可解．【詳解】為奇函數(shù)，且關于原點對稱①∵時，∴，∴∴時，∵為偶函數(shù)關于軸對稱．則關于對稱②由①②可知∴，∴．∴，∴周期為4，，故選：C．21．（2024·江蘇省天一中學高三二模）定義在上的函數(shù)滿意，且為奇函數(shù)，則的圖象可能是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】依據(jù)為奇函數(shù)，得到函數(shù)關于中心對稱，解除，計算解除，得到答案.【詳解】為奇函數(shù)，即，函數(shù)關于中心對稱，解除.，解除.故選：.22．（2024·遼寧沈陽市·高三一模）已知函數(shù)分別是定義在上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且，若函數(shù)有唯一零點，則正實數(shù)的值為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】首先利用方程組的方法分別求函數(shù)和的解析式，令，利用導數(shù)分析函數(shù)的單調性，以及極值點，利用函數(shù)有唯一的零點，可知微小值，利用平移可知，求正實數(shù)的值.【詳解】由已知條件可知由函數(shù)奇偶性易知令，為偶函數(shù).當時，，單調遞增，當時，單調遞減，僅有一個微小值點圖象右移一個單位，所以僅在處有微小值，則函數(shù)只有一個零點，即，解得，故選：A23．（2024·全國高三專題練習）高斯是德國聞名的數(shù)學家，近代數(shù)學奠基者之一，享有“數(shù)學王子”的美譽，用其名字命名的“高斯函數(shù)”：設用表示不超過的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，也稱取整函數(shù)，例如：.已知，則函數(shù)的值域為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】利用常數(shù)分別法將原函數(shù)解析式化為，然后分析函數(shù)的值域，再依據(jù)高斯函數(shù)的含義確定的值域.【詳解】，當時，，則，故，故；但時，，則，故，；綜上所述，函數(shù)的值域為.故選：C.【點睛】本題考查新定義函數(shù)及函數(shù)值域求解問題，解答本題的關鍵在于依據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質分析清晰的值域，然后確定的值域.24．（2024·全國高三專題練習）設是上的奇函數(shù)，且在上是減函數(shù)，又，則不等式的解集是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】分析出函數(shù)在、上的單調性，以及，化簡得出，結合圖象可得出關于實數(shù)的不等式組，由此得出原不等式的解集.【詳解】因為是上的奇函數(shù)，則，由于函數(shù)在上是減函數(shù)，則該函數(shù)在上也為減函數(shù)，，則，作出函數(shù)的大致圖象如下圖所示：由，可得，由，可得或，此時；由，可得或，解得.因此，不等式的解集是.故選：B.【點睛】方法點睛：利用函數(shù)的奇偶性與單調性求解抽象函數(shù)不等式，要設法將隱性劃歸為顯性的不等式來求解，方法是：（1）把不等式轉化為；（2）推斷函數(shù)的單調性，再依據(jù)函數(shù)的單調性把不等式的函數(shù)符號“”脫掉，得到詳細的不等式（組），但要留意函數(shù)奇偶性的區(qū)分.二、多選題25．（2024·廣東深圳市·高三一模）已知函數(shù)，若，則下列不等式肯定成立的有（）A． B．C． D．【答案】BD【解析】確定函數(shù)是增函數(shù)，然后比較自變量的大小后可得正確選項．【詳解】易知是上的增函數(shù)，時，成立，成立，BD肯定成立；與的大小關系不確定，A不肯定成立；同樣與的大小關系也不確定，如時，，C也不肯定成立．故選：BD．26．（2024·全國高三專題練習）已知函數(shù)，則下列結論正確的是（）A．是偶函數(shù) B．是增函數(shù)C．最小值是2 D．最大值是4【答案】AC【解析】依據(jù)函數(shù)的奇偶性，均值不等式及特值法求解即可.【詳解】的定義域為,關于原點對稱，又，所以函數(shù)為偶函數(shù)，所以函數(shù)在R上不是增函數(shù)，故A正確B錯誤；又，當且僅當，即時等號成立，故C正確；當時，，故D錯誤.故選：AC27．（2024·廣東汕頭市·高三一模）已知定義在R上的奇函數(shù)，滿意，當時，，若函數(shù)，在區(qū)間上有10個零點，則m的取值可以是（）A．3.8 B．3.9 C．4 D．4.1【答案】AB【解析】由對稱性和奇偶性得出函數(shù)是周期函數(shù)，作出函數(shù)和的圖象，由圖象視察得兩個函數(shù)圖象有10個交點時，的范圍．【詳解】是奇函數(shù)，則，又，，令得，即，所以是周期函數(shù)，周期為2，又是上的奇函數(shù)，所以，，所以，，作出和的圖象，其中的周期是，如圖，由圖可知時，從點，10個交點依次為，點是第11個交點，，設點橫坐標為，明顯，，，因此，所以，于是，，即，所以可取，，時至少有11個零點，故選：AB．28．（2024·山東日照市·高三一模）已知，，則（）A． B．C． D．【答案】BC【解析】依據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質可推斷AB正誤，由不等式的基本性質可推斷CD正誤.【詳解】由可得，同理可得，因為時，恒有所以，即，故A錯誤B正確；因為，所以，即，由不等式性質可得，即，故C正確D錯誤.故選：BC三、填空題29．（2024·山東濟寧市·高三一模）已知函數(shù)，則______．【答案】【解析】依據(jù)分段函數(shù)解析式，代入即可求解.【詳解】由，得；故答案為：.30．（2024·山東棗莊市·高三二模）寫出一個圖象關于直線對稱且在上單調遞增的偶函數(shù)______.【答案】【解析】取，再驗證其奇偶性、對稱性、單調性即可.【詳解】如，，即為偶函數(shù)由，當時，關于直線對稱由得，則由余弦函數(shù)的性質可知，函數(shù)在上單調遞增故答案為：31．（2024·山東日照市·高三一模）若函數(shù)在區(qū)間上的最大值是最小值的倍，則______.【答案】【解析】分析函數(shù)在區(qū)間上的單調性，可得出關于實數(shù)的等式，由此可解得實數(shù)的值.【詳解】，所以，函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，由已知條件可得，，，解得.故答案為：.32．（2024·遼寧鐵嶺市·高三一模）趙先生打算通過某銀行貸款5000元，然后通過分期付款的方式還款．銀行與趙先生約定：每個月還款一次，分12次還清全部欠款，且每個月還款的錢數(shù)都相等，貸款的月利率為，則趙先生每個月所要還款的錢數(shù)為______元．（精確到元，參考數(shù)據(jù)）【答案】【解析】本題首先可設每一期所還款數(shù)為元，然后結合題意列出每期所還款本金，并依據(jù)貸款5000元列出方程，最終借助等比數(shù)列前項和公式進行計算即可得出結果.【詳解】設每一期所還款數(shù)為元，因為貸款的月利率為，所以每期所還款本金依次為、、、、，則，即，，，，小明每個月所要還款約元，故答案為：.33．（2024·浙江高二期末）已知y=f(x)的圖象關于坐標原點對稱，且對隨意的x∈R，f(x+2)=f(-x)恒成立，當時，f(x)=2x，則f(2024)=_____________.【答案】【解析】由已知條件推出函數(shù)的周期，利用函數(shù)的周期和奇偶性求值即可．【詳解】y=f(x)的圖象關于坐標原點對稱，則又，可得，即的周期為故答案為：34．（2024·山東高三專題練習）設函數(shù)，若，則___________.【答案】【解析】先求出，再分和兩種狀況，把代入函數(shù)中列方程可求出的值【詳解】∵，∴.當時，即時，，則，與相沖突，應舍去.當，即時，，則，即，滿意時.故答案為：.35．（2024·廣東深圳市·高三一模）已知函數(shù)的圖象關于y軸對稱，且與直線相切，則滿意上述條件的二次函數(shù)可以為_______.【答案】（答案不唯一）．【解析】關于軸對稱，函數(shù)為偶函數(shù)，可以設，然后由它與直線相切可求得的關系，取特別可得結論．【詳解】因為二次函數(shù)的圖象關于y軸對稱，所以可設，由得，所以，即．取，，則，（答案不唯一）．故答案為：（答案不唯一）．36．（2024·全國高三專題練習）若函數(shù)滿意：（1）對于隨意實數(shù)，當時，都有；（2），則___________.(答案不唯一，寫出滿意這些條件的一個函數(shù)即可)【答案】型的都對【解析】本題屬于開放性題，只需填寫符合題意的答案即可，依題意可以推斷函數(shù)在上單調遞增，又，（且，）即可得解；【詳解】解：對于隨意實數(shù)，，當時，都有，說明該函數(shù)在上單調遞增，又對數(shù)函數(shù)滿意運算性質：，故可選一個遞增的對數(shù)函數(shù)：．故答案為：．37．（2024·山東高三專題練習）已知函數(shù)在上的最大值是6，則實數(shù)的值是___________.【答案】或【解析】對進行分類探討，結合函數(shù)的單調性和最值，求得的值.【詳解】不妨設的定義域為，當時，，，不符合題意.當時，設，在區(qū)間上遞增，值域為，即.即.，而，，在上為增函數(shù)，故要使函數(shù)在上的最大值是6，則或，所以或.故答案為：或38．（2024·山東棗莊市·高三二模）2024年11月23日國務院扶貧辦確定的全國832個貧困縣全部脫貧摘帽，脫貧攻堅取得重大突破、為了使扶貧工作接著推向深化，2024年某原貧困縣對家庭狀況較困難的農(nóng)夫實行購買農(nóng)資實惠政策.（1）若購買農(nóng)資不超過2000元，則不賜予實惠；（2）若購買農(nóng)資超過2000元但不超過5000元，則按原價賜予9折實惠；（3）若購買農(nóng)資超過5000元，不超過5000元的部分按原價賜予9折實惠，超過5000元的部分按原價賜予7折實惠.該縣家境較困難的一戶農(nóng)夫預購買一批農(nóng)資，有如下兩種方案：方案一：分兩次付款購買，實際付款分別為3150元和4850元；方案二：一次性付款購買.若實行方案二購買這批農(nóng)資，則比方案一節(jié)約______元.【答案】700【解析】依據(jù)方案一先推斷出兩次實際付款元與元對應的原價，然后依據(jù)兩次的原價可計算出方案二的實際付款，由此可計算出所節(jié)約的錢.【詳解】因為且，所以實際付款元對應的原價為元，又因為，所以實際付款元對應的原價大于元，設實際付款元對應的原價為元，所以，解得，所