2024-2025學(xué)年湖南省岳陽市平江縣頤華高級(jí)中學(xué)高三（上）入學(xué)

皿「，、憶\__IX、/A

數(shù)學(xué)試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求

的。

1.集合4={1,2,3,4,5,9},B={對(duì)口6⑷，則金(AC8)=()

A.{1,4,9}B.{3,4,9}C.{1,2,3}D.{2,3,5}

2.已知向量出3滿足|初=1,|五+2百|(zhì)=2,且@一2為)1孔貝:)|=().

A.iB.年C.苧D.1

3.已知曲線C：x2+y2=16(y>0),從C上任意一點(diǎn)P向％軸作垂線PP',P'為垂足，則線段PP'的中點(diǎn)M的

軌跡方程為().

2“22”2

7r+>1(>>。)B.rR/(y>0)

C境+9=10>。)D.g+^=l(y>0)

4.函數(shù)f(x)=-x2+(ex-e-x)sinx在區(qū)間［—2.828］的大致圖像為()

5.設(shè)函數(shù)/（久）=sin（s+今在區(qū)間（0,兀）恰有三個(gè)極值點(diǎn)、兩個(gè)零點(diǎn)，則3的取值范圍是（）

片）第C.（5|]D.片卷

6.已知正數(shù)a,b滿足工+￡=1,若不等式a+b之一/+4%+18-m對(duì)任意實(shí)數(shù)%恒成立，則實(shí)數(shù)ni的取

ab

值范圍是（）

A.[3,+oo）B.（-8,3]C.（-8,6]D.[6,+oo）

co

7.已知正三棱臺(tái)ABC—的體積為學(xué)AB=6,4出=2,肌4/1與平面ABC所成角的正切值為（）

%+1,%〈0

,_11八，若關(guān)于％的方程f2(%)+(TH-4)/(%)+2(2-Tn)=0有五個(gè)不同的實(shí)數(shù)

f1%一二I，%>u

根，則實(shí)數(shù)小的取值范圍是（

A.[1,3)B.(0,2)C.[1,2)D.(0,1)

二、多選題：本題共3小題，共15分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。

9.已知數(shù)列｛5｝的通項(xiàng)公式為廝=（n+2）?切，則下列說法正確的是（

A.%=2是數(shù)列｛&J的最小項(xiàng)B.是數(shù)列｛冊(cè)｝的最大項(xiàng)

C.的是數(shù)列｛。九｝的最大項(xiàng)D.當(dāng)n>5時(shí)，數(shù)列｛。九｝遞減

10.點(diǎn)。在△ABC所在的平面內(nèi)，則以下說法正確的有（）

A.若U1+赤+瓦=0,則點(diǎn)。為△ABC的重心

B若初,嗡一景=蘇（贏-翻=°，則點(diǎn)。為△ABC的垂心

C.若（瓦5+OB）-AB=（OB+OCy~BC=0,則點(diǎn)。為△4BC的外心

D.若瓦？==瓦一瓦?，則點(diǎn)。為△力8c的內(nèi)心

11.設(shè)函數(shù)/（X）=2/—3a久2+1,則（）

A.當(dāng)a>1時(shí)，/（x）有三個(gè)零點(diǎn)

B.當(dāng)a<0時(shí)，x=0是/。）的極大值點(diǎn)

C.存在a,b使得久=b為曲線y=f（久）的對(duì)稱軸

D.存在a使得點(diǎn)為曲線y=/（乃的對(duì)稱中心

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知復(fù)數(shù)z滿足（2z+3）i=3z,貝ijz=.

13.在邊長為1的正方形A8CD中，點(diǎn)E為線段CD的三等分點(diǎn)，CE=扣已F為線段BE上的動(dòng)點(diǎn)，G為4F中

點(diǎn)，則赤?前的最小值為.

14.有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1、2、3、4、5、6,從中不放回地隨機(jī)抽取3次，每次取1個(gè)球.記ni表

示前兩個(gè)球號(hào)碼的平均數(shù)，記"表示前三個(gè)球號(hào)碼的平均數(shù)，則機(jī)與n差的絕對(duì)值不超過：的概率是

四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題12分)

為了解某地初中學(xué)生體育鍛煉時(shí)長與學(xué)業(yè)成績的關(guān)系，從該地區(qū)29000名學(xué)生中抽取580人，得到日均體

育鍛煉時(shí)長與學(xué)業(yè)成績的數(shù)據(jù)如下表所示：

時(shí)間范圍

[0,0.5)[0.5,1)[1,1.5)[1.5,2)[2,2.5)

學(xué)業(yè)成績

優(yōu)秀5444231

不優(yōu)秀1341471374027

(1)該地區(qū)29000名學(xué)生中體育鍛煉時(shí)長不少于1小時(shí)的人數(shù)約為多少？

(2)估計(jì)該地區(qū)初中學(xué)生日均體育鍛煉的時(shí)長(精確到02).

⑶是否有95%的把握認(rèn)為學(xué)業(yè)成績優(yōu)秀與日均體育鍛煉時(shí)長不小于1小時(shí)且小于2小時(shí)有關(guān)?

16.(本小題12分)

記AABC的內(nèi)角2,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知扁=告

⑴若C=與，求B；

(2)求處交的最小值.

17.(本小題12分)

已知四棱錐P—4BCD,AD//BC,AB=BC=1,AD=3,DE=PE=2,E是力。上一點(diǎn)，PE1AD.

P

bC

(1)若尸是PE中點(diǎn)，證明：BF〃平面PCD.

(2)若力B1平面PED,求平面P4B與平面PCD夾角的余弦值.

18.(本小題12分)

已知函數(shù)/(久)=(1—ax)ln(l+x)—x.

(1)當(dāng)a=-2時(shí)，求/'(x)的極值；

(2)當(dāng)x>0時(shí)，/(%)>0,求a的取值范圍.

19.(本小題12分)

已知雙曲線C：/一y2=爪>0),點(diǎn)P](5,4)在C上，k為常數(shù)，0<k<l,按照如下方式依次構(gòu)點(diǎn)

40=2,3,...),過B1T作斜率為k的直線與C的左支交于點(diǎn)Qn_i，令4為冊(cè)_1關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)，記心的坐

標(biāo)為(%n，%)

(1)若k=",求七，月；

(2)證明：數(shù)列口”-%｝是公比為巖的等比數(shù)列；

L—K

(3)設(shè)立為△匕Pn+iPn+2的面積，證明：對(duì)任意的正整數(shù)n，Sn=sn+1.

參考答案

l.D

2.5

3.2

4.B

5.C

6.D

7.B

8.C

9.BCD

10.AC

11.AD

9.

12--f

1313

13--

18

141

42+3+1+137+40+27

15.解：(1)580人中體育鍛煉時(shí)長大于1小時(shí)人數(shù)占比P=25

58058,

該地區(qū)29000名初中學(xué)生中體育鍛煉時(shí)長大于1小時(shí)的人數(shù)約為29000x||=12500；

(2)該地區(qū)初中學(xué)生鍛煉平均時(shí)長約為

1x[1|X0.5X(5+134)+l+oSX(4+147)+1+15X(42+137)+15+2X(3+40)+2+25x(1+

27)］嗎。0.9%；

(3)由題意可得2x2列聯(lián)表,

口，2)其他總數(shù)

優(yōu)秀455095

不優(yōu)秀177308485

①提出零假設(shè)Ho：成績優(yōu)秀與日均體育鍛煉時(shí)長不小于1小時(shí)且小于2小時(shí)無關(guān),

②確定顯著性水平a=0.05,P(72>3,841)?0.05,

7

⑸y2_______580x(45x308—177x5°)__________?

J4—(45+50)x(177+308)x(45+177)x(50+308)?'

④否定零假設(shè)，即學(xué)業(yè)成績優(yōu)秀與日均體育鍛煉時(shí)長不小于1小時(shí)且小于2小時(shí)有關(guān).

、(即x.xmC0Si4sin2B2sinBcos5sinB

16.解：(1)因?yàn)椤?—―=——k=-5，

''1+7siTnAl+7coTs2B2cos,BcosB

即sinB=cosAcosB—sinAsinB=cosQ4+8)=—cost'=

而O<8<3所以8=3

L6

(2)由(1)知，sinB=-cosC>0,所以］<C<?r,0<B<|,

而sinB=—cost=sin(C—1)，

所以C=(+B,即有力='—2B,所以Be(0,*C6&引，

grpta2+Z)2_sin2A+sin2B_cos22B+l—cos2B

c2si712ccos2B

2

CSBB廣孫沖

=(2°2-)2=COS2+_5>2/8-5=4A<2-5.

cos^B4Bcos^B

當(dāng)且僅當(dāng)4cos2^=且COS,BG1),即COS2B=苧時(shí)取等號(hào)，

COS"\Z7L

所以包要的最小值為-5.

CL

17.解：⑴

取PD的中點(diǎn)為S,接SF,SC,貝|SF〃ED,SF=尹-1。=1,

而ED〃BC,ED=2BC,故SF〃BC,SF=BC,故四邊形SF8C為平行四邊形,

故BF“SC,而BFC平面PCD,SCu平面PCD,

所以BF〃平面PCD.

(2)

因?yàn)镋D=2,故AE=1,i^AE//BC,AE=BC,

故四邊形AECB為平行四邊形，故CE//4B,所以CE1平面P4D,

而PE,EDu平面P力D,^CE1PE,CE1ED,而PE1ED,

故建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

購4(0,-1,0),B(l,-1,0),C(l,0,0),D(0,2,0),P(0,0,2),

貝同=(0,—1,—2),而=(1,-1,-2),PC=(1,0,—2),4=(0,2,—2),

設(shè)平面P4B的法向量為沅=(x,y,z),

則由也”=0可得已;2z；0取記=(0,一2,1),

(m-PB=0kx-y-2z=0

設(shè)平面PCD的法向量為元=(a,6,c),

則耶?里=0可得得J2：=0取元=(),

<-n-PD=0(2b-2c=0

/—>—、

4故4rcos<m,"=酈m-n祠=后—1訴=一V~3,0

故平面P4B與平面PCD夾角的余弦值為尊

18.解：(1)當(dāng)a=-2時(shí)，f(%)=(1+2x)ln(l+%)-%,

故(Q)=21n(l+尤)+黑—1=21n(l+%)一擊+1,

因?yàn)閥=21n(l+x),y=一擊+1在(一1,+8)上為增函數(shù)，

故尸(%)在(—1,+8)上為增函數(shù)，而((0)=0,

故當(dāng)一1<x<0時(shí),f'(x)<0,當(dāng)x>0時(shí)，-(%)>0,

故/(%)在x=。處取極小值且極小值為/(0)=0,無極大值.

(2)f(%)=—aln(l+久)+;—1=_aln(l+x)—,x>0,

設(shè)s(久)=—aln(l+x)—,x>0,

人」S^x)=--西淳=出壽一=--(i+工)2'

當(dāng)?！匆?，時(shí)，s'(x)>0,故s(%)在(0,+8)上為增函數(shù)，

故s(%)>s(0)=0,即—(%)>0,

所以/(%)在［o,+8)上為增函數(shù)，故/(%)>f(o)=o.

當(dāng)—2<。<0時(shí)，當(dāng)0V<V—2°+工時(shí),s^x)<0,

2a

故s(x)在(0,-券)上為減函數(shù)，故在(0,-誓)上s(x)<s(0),

即在(0尸等)上尸⑺<0即f(x)為減函數(shù),

故在(0,—亨)上/(無)</(0)=0,不合題意，舍.

當(dāng)Q>0,此時(shí)s'(%)<0在(0,+8)上恒成立,

同理可得在(0,+8)上f(%)v/(0)=0恒成立，不合題意，舍;

1

綜上，ci<-

19廨：(1)點(diǎn)尸式5,4)在雙曲線C：%2-y2=m(m>0)±,

771=52—42=9,

直線PiQi的方程為y-4=|(x-5),即久-2y+3=0

聯(lián)立tm，解瞰二3或仁：(舍),

則點(diǎn)Qi(—3,0),點(diǎn)P2(3,0),

%2=3/2=5

(2)%(/,%)關(guān)于丫軸的對(duì)稱點(diǎn)是Qn-1(-Xn，%)，

而吃.1(%1-1，%1-1)，而P?T，Qn-1都在同一條斜率為左的直線上,

???%n_iHfn%=k,

xnxn—1

.n2一謚=9,①

?：PnT，Qn-1都在雙曲線上二.2

Xn，-1一a1=9,

①一②nOn一久n-l)On+^n-1)=(%一為-1)(%+7n-l)>

而%-yn-i=—kQn+xn-i)③，Xn-xn_r=-k(yn+yn-i)④,

?-③今引一%一(Xn-1-7n-l)=k(Kn—%)+k(xn_r-打一力

xnyn_i+k

(1-k)(xn-yn)=(1+/c)(xn-i-yn-i)>x

n-l-yn-l1-k

即數(shù)列｛%—%｝是公比為巖的等比數(shù)歹!I?

(3)要證=S九+1，即證S^p71Pzi+]Pn+2=^△pn+1pn+2pn+3?等價(jià)于P九+iP?i+2//分P九+3,

記力=---