第04講指數(shù)與指數(shù)函數(shù)

目錄

01考情透視?目標(biāo)導(dǎo)航............................................................2

02知識(shí)導(dǎo)圖?思維引航............................................................3

03考點(diǎn)突破?題型探究............................................................4

知識(shí)點(diǎn)1：指數(shù)及指數(shù)運(yùn)算.......................................................................4

知識(shí)點(diǎn)2:指數(shù)函數(shù).............................................................................5

解題方法總結(jié)...................................................................................5

題型一：指數(shù)鬲的運(yùn)算..........................................................................6

題型二：指數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用..................................................................6

題型三：指數(shù)函數(shù)過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題....................................................................8

題型四：比較指數(shù)式的大小......................................................................8

題型五：解指數(shù)方程或不等式....................................................................9

題型六：指數(shù)函數(shù)的最值與值域問(wèn)題..............................................................9

題型七：指數(shù)函數(shù)中的恒成立問(wèn)題...............................................................10

題型八：指數(shù)函數(shù)的綜合問(wèn)題...................................................................12

04真題練習(xí)?命題洞見(jiàn)...........................................................13

05課本典例?高考素材...........................................................14

06易錯(cuò)分析?答題模板...........................................................15

答題模板1:指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的值域問(wèn)題..........................................................15

答題模板2：指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)問(wèn)題..........................................................16

考情透視.目標(biāo)導(dǎo)航

考點(diǎn)要求考題統(tǒng)計(jì)考情分析

從近五年的高考情況來(lái)看，指數(shù)運(yùn)算

2023年新高考1卷第4題，

與指數(shù)函數(shù)是高考的一個(gè)重點(diǎn)也是一個(gè)基

5分

本點(diǎn)，常與幕函數(shù)'二次函數(shù)、對(duì)數(shù)函

(1)指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì)2023年乙卷第4題，5分

數(shù)、三角函數(shù)綜合，考查數(shù)值大小的比較

(2)指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)2022年甲卷第12題，5分

和函數(shù)方程問(wèn)題.在利用指數(shù)函數(shù)的圖像

2020年新高考II卷第11

與性質(zhì)應(yīng)用上，體現(xiàn)了邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)

題，5分

算素養(yǎng).

復(fù)習(xí)目標(biāo)：

(1)理解有理數(shù)指數(shù)幕的含義，了解實(shí)數(shù)指數(shù)幕的意義，掌握指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì).

(2)通過(guò)實(shí)例，了解指數(shù)函數(shù)的實(shí)際意義，會(huì)畫(huà)指數(shù)函數(shù)的圖象.

(3)理解指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、特殊點(diǎn)等性質(zhì)，并能簡(jiǎn)單應(yīng)用.

「（根式的定義］（般地，如果x"=a,那么x叫做。的〃次方根，其中記麗）

當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí),正數(shù)的〃次方根是一個(gè)正數(shù)，負(fù)數(shù)的〃次方根是一個(gè)負(fù)薪二）

Y根式的性質(zhì)

當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，止數(shù)的〃次方根有兩個(gè)，它們互為相反數(shù).

指數(shù)是顯運(yùn)算（）中的一個(gè)參數(shù)，。為底數(shù)，〃為指數(shù),

一（指數(shù)的概念/“=0

指數(shù)位于底數(shù)的右上角，幕運(yùn)算表示指數(shù)個(gè)底數(shù)相乘.

指數(shù)及指數(shù)運(yùn)算），（正整數(shù)指數(shù)鬲）

一（零指數(shù)厚）

Y有理數(shù)指數(shù)用的分類(lèi)

Y負(fù)整數(shù)指數(shù)幕）

〔｛o的正分?jǐn)?shù)指數(shù)幕等于0,0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)幕沒(méi)有意義.

mnm

aa=a\a>^trn,iieQ)

<⑷）”=「（心0,肛〃￡心

1（有理數(shù)指數(shù)幕的慢質(zhì)）一

(ab)n=ambm(a>Q,b>Q,meQ)

=若(。>0,〃1,〃￡2))

指數(shù)函數(shù)的概念—（2.般地，函數(shù)丁=叫。>0,比"1）叫做指數(shù)函數(shù)

指數(shù)與指數(shù)函數(shù)

(1。)

1

指數(shù)函數(shù)的圖五>

*1。）

O1X

域七值域（0,+8）

a°=1,即時(shí)"0j，=1，圖象都經(jīng)過(guò)（0,1）點(diǎn)

即\=1時(shí)等于底數(shù)。

指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)當(dāng)0<0<1時(shí)”v<0時(shí),a、>l;x>0時(shí),0<丁<1

當(dāng)°>1時(shí),x<0時(shí)時(shí),a、>l

當(dāng)0<a<l時(shí)，在定義域上是單調(diào)減函數(shù)

當(dāng)0>1時(shí)，在定義域上是單調(diào)增函數(shù)

v________________/

既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)

老占突硒?力理慳宙

知識(shí)固本

知識(shí)點(diǎn)1:指數(shù)及指數(shù)運(yùn)算

(1)根式的定義：

一般地，如果尤"=q，那么x叫做。的〃次方根，其中(〃>1,〃eN*)，記為赤，〃稱(chēng)為根指數(shù)，a

稱(chēng)為根底數(shù).

(2)根式的性質(zhì)：

當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，正數(shù)的〃次方根是一個(gè)正數(shù)，負(fù)數(shù)的〃次方根是一個(gè)負(fù)數(shù).

當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，正數(shù)的"次方根有兩個(gè)，它們互為相反數(shù).

(3)指數(shù)的概念：指數(shù)是幕運(yùn)算罐①片0)中的一個(gè)參數(shù)，〃為底數(shù)，〃為指數(shù)，指數(shù)位于底數(shù)的右上角,

塞運(yùn)算表示指數(shù)個(gè)底數(shù)相乘.

(4)有理數(shù)指數(shù)幕的分類(lèi)

“個(gè)

①正整數(shù)指數(shù)幕“-,“*、；②零指數(shù)累=1(a/0);

a=a-a-a--a(nE.N)\7

③負(fù)整數(shù)指數(shù)幕=』(awO，〃eN*)；④0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)幕等于0，0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)幕沒(méi)有意義.

(5)有理數(shù)指數(shù)塞的性質(zhì)

①a%"=6r+"(a>0，加，②(屋)〃二罐機(jī)，〃wQ)；

?{ab)m=ambm(a>0b>0?meg);^=〃?(〃>()，m9〃sQ)?

【診斷自測(cè)】化簡(jiǎn)下列各式:

2

(1、-2.5

(1)0.064)

\7

小03b2

(2)(11V_11(a>0,b>0=_____

aI分

I)

(3設(shè)￡+/=3，貝1JX+%T的值為

知識(shí)點(diǎn)2：指數(shù)函數(shù)

y二屋

0<<2<1a>\

圖

1:上）

象

0|1*o\

性①定義域尺，值域（。，+8）

質(zhì)②a°=l,即時(shí)x=0,y=l,圖象都經(jīng)過(guò)（0，1）點(diǎn)

③優(yōu)=a,即x=l時(shí)，V等于底數(shù)。

④在定義域上是單調(diào)減函數(shù)在定義域上是單調(diào)增函數(shù)

⑤x<0時(shí)，ax>1;x>0時(shí)，xvO時(shí)，0<優(yōu)<1;%>0時(shí)，ax>1

0<，v1

⑥既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)

【診斷自測(cè)】若指數(shù)函數(shù)/。）=優(yōu)（〃>0且。31）在［-1,1］上的最大值為2,則々=

解題方法總結(jié)

1、指數(shù)函數(shù)常用技巧

（1）當(dāng)?shù)讛?shù)大小不定時(shí)，必須分和兩種情形討論.

⑵當(dāng)0<”1時(shí)，尤f(wàn)+oo，y-0；4的值越小，圖象越靠近，軸，遞減的速度越快.

當(dāng)。>1時(shí)工一+/，丫一0；。的值越大，圖象越靠近y軸，遞增速度越快.

（3）指數(shù)函數(shù)y=優(yōu)與y=（-）A的圖象關(guān)于V軸對(duì)稱(chēng).

a

題型一：指數(shù)幕的運(yùn)算

Y1丫2

【典例1-1】己知，,=a(。*0且“力：),則41=___.(結(jié)果用。表示)

x-+x+l2x4+x2+l

2

【典例1-2](1)楣「+(0.1尸+(2印3-100兀。；

11

(2)已知x+y=ll,xy=9,求無(wú)？+*的值.

d+y2

【方法技巧】

(1)靈活運(yùn)用指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行指數(shù)運(yùn)算，根式形式需要化為分?jǐn)?shù)指數(shù)基形式去求解.

(2)運(yùn)算的最終結(jié)果不能同時(shí)含有根號(hào)和分?jǐn)?shù)指數(shù)，也不能既有負(fù)指數(shù)又有分母.

【變式1-1](多選題)已知a+a-=3,下列結(jié)論正確的是()

A.a2+a2=7B.a3+a3=18

1_1

c-辰+”=±百

【變式1-2】已知函數(shù)〃x)=f^(xeR).

⑴求證/(x)+/(l-x)為定值；

⑵若數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式為(加為正整數(shù)，?=1,2,L,加)，求數(shù)列｛%｝的前加項(xiàng)和S.；

題型二：指數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用

【典例2』】已知a>°且“八則函數(shù)廣噫(川)與廣5+1在同一直角坐標(biāo)系中的圖象大致是

A.B.

【典例2-2］（2024?黑龍江?二模）已知函數(shù)y=a+6的圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，且無(wú)限接近直線y=2,但

又不與該直線相交，則必=（）

A.-1B.-2C.-4D.-9

【方法技巧】

對(duì)于有關(guān)指數(shù)型函數(shù)的圖象問(wèn)題，一般是從最基本的指數(shù)函數(shù)的圖象入手，通過(guò)伸縮、平移、對(duì)稱(chēng)等

變換得到，當(dāng)。＞1時(shí)，指數(shù)函數(shù)丁=優(yōu)的圖像呈上升趨勢(shì)；當(dāng)0＜。＜1時(shí)，指數(shù)函數(shù)丁=優(yōu)的圖像呈下

降趨勢(shì).

【變式2-1］已知X］,%是方程2*+x=10,log2X+x=10的兩個(gè)根，則%+々=

【變式2-2］（2024?高三?山西?期末）已知函數(shù)+6的圖象經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，且當(dāng)x趨向于

正無(wú)窮大時(shí)，了（冷的圖象無(wú)限接近于直線1=2,但又不與該直線相交，則。=

【變式2-3】直線＞=3。與函數(shù)＞=,+|-1|（“＞0且的圖像有兩個(gè)公共點(diǎn)，則”的取值范圍是

【變式2-4］設(shè)方程勺+x-5=0的解為小巧，方程既:+2=0的解為尤3,尤4,則

題型三：指數(shù)函數(shù)過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題

【典例3-1]（2024?高三?河北?期末）已知函數(shù)》=優(yōu)一2+3（°>0,且ab1）的圖象恒過(guò)定點(diǎn)A,若點(diǎn)A在

21

直線如+幾>=2上，其中相>0,〃〉0,則一+一的最小值為_(kāi)____.

m3n

【典例3-2】函數(shù)〃力=優(yōu)+1+2（a>0且"1）的圖象恒過(guò)定點(diǎn)仙〃），則m+〃等于.

【方法技巧】

y=ax+m+n恒過(guò)定點(diǎn)（~m,"+1）.

【變式3-1】已知函數(shù)y=2a"2-3（a>0且"1）的圖象恒過(guò)定點(diǎn)尸，則點(diǎn)尸的坐標(biāo)為

【變式3-2]（2024?山東濟(jì)寧?一模）已知函數(shù)且awl）的圖象過(guò)定點(diǎn)A,且點(diǎn)A在直線

Q3

M+2孫=8（相>0,〃>0）上，貝I]-----------的最小值是

mn2m

【變式3-3】函數(shù)y=一2（a>0且awl）,無(wú)論“取何值，函數(shù)圖像恒過(guò)一個(gè)定點(diǎn)，則定點(diǎn)坐標(biāo)為

題型四：比較指數(shù)式的大小

【典例4-1】（2024?云南?二模）若q=2"-2,b=6T,c=21則（）

A.b>a>cB.c>a>bC.a>b>cD.a>c>b

【典例4-2】（2024?河南?模擬預(yù)測(cè)）若a,beR,則“a”堤"3。-3“>2〃-2。”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【方法技巧】

比較大小問(wèn)題，常利用函數(shù)的單調(diào)性及中間值法.

21二

【變式4-1]（2024?遼寧?一模）設(shè)。=—,b=2—e3,c=l-e3則（）

3

A.a<b<cB.c<b<a

C.b<c<aD.a<c<b

【變式4-2］已知9"=8,加=10"-9,九=8￡1-7,則（）

A.m>O>nB.m>n>0C.n>m>0D.n>O>m

3

【變式4-3］（2024?陜西?模擬預(yù)測(cè)）設(shè)。=0.9,6=sin—,c=e~°,9,則（）

4

A.a<b<cB.b<a<cC.c<a<bD.b<c<a

題型五：解指數(shù)方程或不等式

【典例5-1］（多選題）甲、乙兩人解關(guān)于x的方程2，+力2-，+°=0,甲寫(xiě)錯(cuò)了常數(shù)b,得到的根為x=-2

17

或X=log21,乙寫(xiě)錯(cuò)了常數(shù)C,得到的根為x=0或％=1,則下列是原方程的根的是（）

A.x=—lB.x=lC.x=0D.x=2

【典例5-2］（2024?河北邯鄲?一模）不等式10,-6,-3,發(fā)的解集為.

【方法技巧】

利用指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)解題.對(duì)于形如$3=6,afM>b,〃⑶<6的形式常用“化同底”轉(zhuǎn)化，再利用

指數(shù)函數(shù)單調(diào)性解決；或用“取對(duì)數(shù)”的方法求解.形如瞪+3優(yōu)+。=0或j+8優(yōu)+施（0）的形式，可借

助換元法轉(zhuǎn)化二次方程或二次不等式求解.

【變式5-1］不等式9*-4X3*M+27<0的解集為—.

（工）,（）的兩個(gè)實(shí)數(shù)解，則%+%=—.

【變式5-2】若看巧為方程”a>l

9國(guó)+9巧

【變式5-3】已知士和％是方程9"-3，+2+3=0的兩根，則------

+x2

題型六：指數(shù)函數(shù)的最值與值域問(wèn)題

a

【典例6-1］（2024?高三?云南楚雄?期末）已知奇函數(shù)/（x）="+W在［-M］上的最大值為1，則

【典例6-2】(2024?高三?江蘇鎮(zhèn)江?開(kāi)學(xué)考試)設(shè)函數(shù)〃x)=2，+(p-1>2一、是定義域?yàn)镽的偶函數(shù).

⑴求P的值；

⑵若g(x)=f(2x?2k-(2'-2一，)在[1,+8)上最小值為T(mén),求左的值.

【方法技巧】

指數(shù)函數(shù)的最值與值域問(wèn)題通常利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解決.

【變式6-1]已知函數(shù)〃力=，a>0,且“1,若函數(shù)在[0,2]上的最大值比最小值大聯(lián)

\-x+a,x>\,2

則a的值為.

【變式6-2】已知函數(shù)〃力=加-2x+b(aw0)在x=l處取得最小值0.

(1)求。，匕的值；

⑵g(x)=/區(qū)，求函數(shù)y=g(2,-1),xe的最小值與最大值及取得最小值與最大值時(shí)對(duì)應(yīng)的x直

X1

題型七：指數(shù)函數(shù)中的恒成立問(wèn)題

【典例7-1】已知函數(shù)/。)=-彳2+3尤+5,g(x)=2'+a,若X/%e[0,2],川e[2,3],使得/(占卜8值)，則

實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

【典例7-2】(2024?高三?河北衡水?開(kāi)學(xué)考試)已知函數(shù)=3>0)是奇函數(shù)，且/⑴=看

⑴求。，上的值；

⑵若Vxe[l,2],不等式〃2x)+時(shí)(力20恒成立，求加的取值范圍.

【方法技巧】

已知不等式能恒成立求參數(shù)值(取值范圍)問(wèn)題常用的方法：

(1)函數(shù)法：討論參數(shù)范圍，通常借助函數(shù)單調(diào)性求解；

(2)分離參數(shù)法：首先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的最值或值域問(wèn)題加以解決；

(3)數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)的

圖象，再利用數(shù)形結(jié)合的方法來(lái)解決.

【變式7-1](2024?高三?山東棗莊?開(kāi)學(xué)考試)已知函數(shù)/■(同=底9'-3，，若存在非零實(shí)數(shù)%,使得

=成立，則實(shí)數(shù)加的取值范圍是.

【變式7-2](2024?高三?陜西商洛?期中)已知函數(shù)/(力=加-2依+b(a>0)在區(qū)間[0,3]上有最小值

2和最大值10.

⑴求。，6的值；

⑵設(shè)g(x)=//,若不等式g(2)+h2X"在xc[T0]上恒成立，求實(shí)數(shù)％的取值范圍.

【變式7-3】已知定義在R上的函數(shù)了⑴滿足：對(duì)任意都有/(x+y)=/(x)+/(y),且當(dāng)尤>0時(shí),

/(x)>0,于也")+/(4l+1-8x-2x)>0對(duì)任意xe[T2]恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是—.

【變式7-4】已知函數(shù)/(力=就+(1-機(jī))](a>0,且。工1)是奇函數(shù)，且過(guò)點(diǎn)11，/.

(1)求實(shí)數(shù)相和a的值；

⑵設(shè)g(x)=log,[2^+20—/⑴](V*1),是否存在正實(shí)數(shù)使關(guān)于X的不等式g⑺<0對(duì)

xe[2,log25卜恒成立，若存在，求出/的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

題型八：指數(shù)函數(shù)的綜合問(wèn)題

——6x—5,x<0,

【典例8-1】已知函數(shù)〃x)=門(mén)丫，八若關(guān)于X的方程[〃尤)了+(2"-1)〃彳)+/-a=0有5個(gè)不

——1,x>0.

同的實(shí)數(shù)根，則。的取值范圍為.

【典例8-2]若函數(shù)三(a,beR)是定義在R上的奇函數(shù)，且/(7儂2)+/(1-%)>〃0)對(duì)任意

xeR恒成立，則優(yōu)的取值范圍為.

【方法技巧】

指數(shù)函數(shù)常與其他函數(shù)形成復(fù)合函數(shù)問(wèn)題，解題時(shí)要清楚復(fù)合的層次，外層是指數(shù)函數(shù)還是內(nèi)層是指

數(shù)函數(shù)，其次如果涉及到定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性等問(wèn)題，則要按復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)規(guī)律求解.

【變式8-1】已知函數(shù)〃x)=e=er,則不等式的解集為.

【變式8-2](2024?高三?湖北?期中)已知/(力=屋”-2/是定義域?yàn)镽的奇函數(shù).

⑴函數(shù)g(x)=a2、+a0_2/(x),xe[0,2],求g(x)的最小值.

(2)是否存在幾>0,使得對(duì)xe[-2,一日恒成立，若存在，求之的取值范圍；若不存在，說(shuō)明

理由.

【變式8-3]我們知道，函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)圖形的充要條件是函數(shù)y=/(x)為

奇函數(shù)，有同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)尸(。⑼成中心對(duì)稱(chēng)圖形的充要條件是函

數(shù)y=/(x+a)-人為奇函數(shù).根據(jù)這一結(jié)論，解決下列問(wèn)題.

2

已知函數(shù)〃x)=1T聲.

(1)證明：函數(shù)/⑺的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,1)對(duì)稱(chēng)；

⑵若/(4)+“20-1)>2,求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

.a—1

【變式8?4】(2024?河南平頂山?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(%)=1———(。>0且awl)為定義在R上的奇

a+1

函數(shù)

(1)利用單調(diào)性的定義證明：函數(shù)〃盼在R上單調(diào)遞增；

(2)若關(guān)于x的不等式/("￡-D+/(2-777X)>0恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；

⑶若函數(shù)g(x)=妙(x)-3,有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

【變式8-5】已知函數(shù)y=/(%)的表達(dá)式為/(%)=9'-2a.3,+3.

⑴若a=l,xe[0,l],求函數(shù)y=f(x)的值域;

(2)當(dāng)無(wú)e[-1,1]時(shí)，求函數(shù)y=f(x)的最小值/1(a)；

(3)對(duì)于(2)中的函數(shù)/z(“)，是否存在實(shí)數(shù)祖，〃，同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件：(i)n>m>3；(ii)當(dāng)”(。)的

定義域?yàn)閇加,川，其值域?yàn)閇〃/，1];若存在，求出孤〃的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

1.(2023年高考全國(guó)甲