浙江省浙南名校聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期返校聯(lián)考數(shù)學(xué)

試卷

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.已知集合/={x[0<x<l},2=；]，則/UB=()

A.Q-l]B.&,+?>]C.(0,+動D.(ojj

2.是“x>l”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件

3.若直線a不平行于平面e,且則下列結(jié)論成立的是().

A.。內(nèi)的所有直線與。是異面直線B.。內(nèi)不存在與。平行的直線

C.a內(nèi)存在唯一一條直線與°平行D.&內(nèi)的所有直線與a都相交

4.已知關(guān)于x的函數(shù)y=ln(x-a)在[1,2]上單調(diào)遞增，則實數(shù)。的取值范圍是()

A.a<\B.a<2C.a>1D.

5.已知點(diǎn)尸(3,1)是角。終邊上的一點(diǎn)，則cos2a的值為()

3434

A.—B.—C.一一D.

5555

6.已知卜|"卜1,|2〃+可=后，貝Ui在否上的投影向量為()

A^37*口-x/31C3]

A.—bB.-------bC.—bD.

224

7.四名同學(xué)各擲骰子5次，分別記錄每次骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù).根據(jù)四名同學(xué)的統(tǒng)計結(jié)果，可

以判斷出一定沒有出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6的是()

A.平均數(shù)為3,中位數(shù)為2B.平均數(shù)為2,方差為2.4

C.中位數(shù)為3,眾數(shù)為2D.中位數(shù)為3,方差為2.8

8.設(shè)函數(shù)〃x)=^sin(ox+°)-l(o>0),若對于任意實數(shù)0J(x)在區(qū)間上至少2

個零點(diǎn)，至多有3個零點(diǎn)，則。的取值范圍是()

A.gjB.[4,5)C.820

D.35T

試卷第1頁，共4頁

二、多選題

9.下列選項中說法正確的是（）

A.必然事件和不可能事件相互獨(dú)立

B.若數(shù)據(jù)看,馬,％的方差$2=0,則所有的多?=1,2,…㈤都相同

C.若P（/）>0,尸（8）>0,則事件48相互獨(dú)立與43互斥不能同時成立

D.數(shù)據(jù)再,馬，…,血的方差是V，數(shù)據(jù)%,為，…。"的方差是學(xué)，若%=2當(dāng)+1,貝

s；=2s：+l

10.已知a/,ceR,且/+/+/=3,以下說法正確的是（）

A.。也c中至少有一個不大于1B.ab+bc+ca<3

C.（ac+bc）1m*=2D.若a+6+c=0,貝Uc?加

II.已知平行六面體48。-44GA的棱長均為1,NDAB=NA[AB=ZA[AD=60。,E『分

別是棱3c和GA的中點(diǎn)，尸是上的動點(diǎn)，則下列說法正確的是（）

A.A、C=6

B.若4P=1■尸G，則4尸〃面EFC

C.若4?=3尸。，則4CL面瓜,

D.若M是線段4。的中點(diǎn)，N是線段跖上的動點(diǎn)，則MP+PN的最小值是述

三、填空題

12.已知2=（1+評-1,則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第象限.

13.甲乙丙三位同學(xué)之間相互踢建子.假設(shè)他們相互間傳遞建子是等可能的，并且由甲開始

傳，則經(jīng)過3次傳遞后，建子仍回到甲處的概率為.

14.已知函數(shù)/（x）=x-&-3x+3,若對于V%e{y|y=/（x）,x22}（i=l,2,…，江不等式

￡%>2024%恒成立，則正整數(shù)〃的最小值為.

Z=1

試卷第2頁，共4頁

四、解答題

15.在V48c中，角4民C所對的邊分別為。,6,c,且=c-6cos/

⑴求角3的大?。?/p>

(2)若c=6,6=1,求V48c的面積.

16.已知函數(shù)/(x)=/(/+ax+6)的圖象關(guān)于直線x=l對稱.

(1)求的值；

(2)求函數(shù)/(x)的最小值.

17.今年6月我校進(jìn)行了一次數(shù)學(xué)競賽選拔考試.從參加考試的同學(xué)中，選取50名同學(xué)將

其成績分成六組:第1組［40,50),第2組［50,60),第3組［60,70),第4組［70,80),第5組

［80,90),第6組［90,100］,得到頻率分布直方圖(如下圖)，觀察圖形中的信息，回答下列

問題：

.頻率

T組距

0.030-----------

0.026\—1~~I

0.020--

O10

OO8

OO6

o405060708090100成績（分）

(1)從頻率分布直方圖中，估計第65百分位數(shù)是多少；

(2)己知學(xué)生成績評定等級有優(yōu)秀、良好、一般三個等級，其中成績不小于90分時為優(yōu)秀等

級.若從成績在［80,100］的學(xué)生中，隨機(jī)抽取2人，求所抽取的2人中至少有1人成績優(yōu)秀

的概率.

18.如圖，三棱錐尸-4BC,NC=90。,/C=2C,E,F分別是4B,JBC的中點(diǎn)，且

Vp-ABC=4，S&PEF=3.

試卷第3頁，共4頁

⑴求點(diǎn)B到平面PEF的距離；

(2)若面PEF1面ABC,求平面PAC與平面PEF夾角的余弦值.

19.已知正實數(shù)集/={q,。2,…,％}，定義：4={。巧|%，0/€4}稱為A的平方集.記"(/)為

集合A中的元素個數(shù).

⑴若/={1,2,3,4},求集合4和〃(/)；

⑵若"(1)=2016,求"(⑷1m”；

⑶求證：”(42”2〃(4)-1,并指出取等條件.

試卷第4頁，共4頁

參考答案:

題號12345678910

答案CBBABDBBABCABD

題號11

答案ACD

1.C

【分析】由并集的概念即可直接得答案.

【詳解】因為/={x[0<x<l},3="|力』，

所以2口5=(0,+8).

故選：C.

2.B

【分析】根據(jù)充分必要條件的定義，分別證明充分性，必要性，從而得出答案.

【詳解】由2、>1可得x>0,{x|x)l}<={x|x)O),

則2*>1是x>1的必要不充分條件，

故選：B.

3.B

【分析】根據(jù)直線和平面的位置關(guān)系對選項進(jìn)行分析，從而確定正確答案.

【詳解】設(shè)aClc=A,

A選項，&內(nèi)過A點(diǎn)的直線與。共面，所以A選項錯誤.

D選項，&內(nèi)，不過A點(diǎn)的直線與。異面，所以D選項錯誤.

BC,若存在6ua,6〃a,則由于

所以。〃a,這與已知矛盾，所以B選項正確，C選項錯誤.

故選：B

4.A

【分析】由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與定義域列不等式即可求得答案.

【詳解】由于了=ln(x-a)在工2]上單調(diào)遞增，

答案第1頁，共14頁

所以X—〃〉0在[1,2]上恒成立，即。<1,

故選：A.

5.B

【分析】由三角函數(shù)的定義結(jié)合二倍角的余弦公式即可求解答案.

【詳解】因為尸(3,1)是e終邊上一點(diǎn)，所以cosa=^^=%，

V32+l210

294

cos2a=2cosa-l=2x-----1,

105

故選：B.

6.D

【分析】根據(jù)題意，利用向量數(shù)量積的運(yùn)算法則，以及投影向量的計算方法，即可求解.

【詳解】由同=斗1,忸+%亞,

可得|2。+川=4a+b+4〃0=4+1+4。力=2,解得4包=一^

a-bb37

則￡在各上的投影向量為利一利=-^/

故選：D.

7.B

【分析】根據(jù)題意舉出特例，結(jié)合中位數(shù)，眾數(shù)，平均數(shù)以及方差公式，即可得出答案.

【詳解】對于A,當(dāng)投擲骰子出現(xiàn)結(jié)果為1,1,2,5,6時，滿足平均數(shù)為3,中位數(shù)為2,

可以出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6,故A錯誤；

對于B,若平均數(shù)為2,且出現(xiàn)6點(diǎn)，則方差$2>：(6-2)2=3.2>2.4,

則平均數(shù)為2,方差為2.4時，一定沒有出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6,故B正確；

對于C,當(dāng)投擲骰子出現(xiàn)結(jié)果為2,2,3,4,6時，滿足中位數(shù)為3,眾數(shù)為2,可以出現(xiàn)

點(diǎn)數(shù)6,故C錯誤；

對于D,當(dāng)投擲骰子出現(xiàn)結(jié)果為1,2,3,3,6時，滿足中位數(shù)為3,

平均數(shù)為了=：(1+2+3+3+6)=3,

方差為S?=1[(1-3)2+(2-3)2+(3-3)2+(3-3)2+(6-3>]=2.8,

可以出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6,故D錯誤；

故選：B.

答案第2頁，共14頁

8.B

jr3兀

【分析】原問題轉(zhuǎn)化為》=sin￡在區(qū)間-(o+cp—co+cp上至少2個，至多有3個，，使

_44_

>=sin/=",求。取值范圍，數(shù)形結(jié)合判斷滿足條件區(qū)間長度，由此建立關(guān)于。的不等式,

2

解出即可.

【詳解】令/(x)=0,則sin(0x+°)=,令t=cox+(p,則sin/=^^,

jr3冗

則原問題轉(zhuǎn)化為歹=5足￡在區(qū)間-CO+(p,—-(D+(p上至少2個，至多有3個，，使得

_44_

y=sin/=,求Q得取值范圍，

2

作出y=sinf與>=也的圖象，如圖所示,

2

由圖知，滿足條件的最短區(qū)間長度為當(dāng)-；=2兀，最長區(qū)間長度為乎-2==,

44442

_(3兀、(兀)5兀ee

：.2TI<\-G)+(p\-\—co+(p\<—,解得4W0<5.

故選：B.

9.ABC

【分析】由必然事件與不可能事件的概念即可判斷A；由方差公式即可判斷B；根據(jù)互斥事

件概率加法公式和獨(dú)立事件的概率乘法公式，結(jié)合尸+尸(可-尸(ZcB)推導(dǎo)

可判斷C；由方差的性質(zhì)即可判斷D.

【詳解】必然事件是一定會發(fā)生的事件且概率為1,不可能事件是一定不會發(fā)生的事件且概

率為0,又它們的交事件的概率為0,故相互獨(dú)立，所以A正確；

若一=&一可2+(x「可2+…+(%—,2句,則王=馬一..=匕="故B正確；

n

若事件A,B互斥成立，則尸尸(4)+尸(團(tuán)，又尸(Nu3)=尸(4)+尸(3)-尸(NcB),

所以有P(/c3)=0,

若事件A,8相互獨(dú)立，則有尸(/C8)=尸(⑷尸(0>0,矛盾，

答案第3頁，共14頁

故事件A,3相互獨(dú)立與事件A,8互斥不能同時成立，C正確;

若數(shù)據(jù)西,無2,…，%的方差是T，%=25+1,則數(shù)據(jù)外,%，…，兒的方差是sj=4s；,故D錯

誤；

故選：ABC.

10.ABD

【分析】利用假設(shè)法可以判斷A,利用基本不等式的性質(zhì)可判斷B,由

a2+b2+c2=(a2+^c2)+(b2+|c2)>2}-孑+2j#=四(℃+6<?)可以判斷

C,c?=(一6一。)2=r+/+2仍42,2+/)可以判斷口.

【詳解】對于A,若〃，于c均大于1,那么口+如+/>3,矛盾,

所以0,瓦c中至少有一?個不大于I,A正確.

g工0,,a2+b2b2+c2c2+a2,

對十B,ab+bc+ca<--------+----------+---------=3,

222

當(dāng)且僅當(dāng)“。=6=。=1”時,等號成立口正確.

對于C,

a2+b2+c2=(a2+-1c2)+(b2+|c2)>2^2■^c2+2'.#=41{ac+bc\

所以:ac+beW迪，當(dāng)且僅當(dāng)/=/=j即°=方=且,c="時，等號成立,C錯誤.

2-2422

對于D,c2=(一6—a?=+/+2ab<2^b2+a2],

c2<2(3-c2),.'.3c246

，即-V2<c<V2,B!Jc<V2,D正確.

故選：ABD.

11.ACD

【分析】A選項，在VN2C,△4OC中依次使用余弦定理即可解得&C；

B選項，假設(shè)4尸//平面EFC成立，由線面平行的性質(zhì)可知4尸//CG,由平行線分線段成

11

比例可知GH=]PG我出全等三角形V4力=vCHC,，可得AP=CXH=-PG；

c選項，分別證明MCLEPHC，瓦"由線面垂直的判定可得4C,平面E/V；

D選項，找出全等三角形VM〃=VOPN,可知當(dāng)血尸+PN最小時，故OP+PN最小，故此時

OPN三點(diǎn)共線，利用余弦定理求ON的長度即〃P+PN的最小值.

答案第4頁，共14頁

【詳解】由題設(shè)可知，平行六面體N2CD-44G〃的六個面均為一個角是60。的菱形，連接

在菱形/244，/。馬4中易得45=4。=1,又。為2。中點(diǎn)，則，

在直角三角形4。2中有AQ=用=泊=F,

在V/3C中，由余弦定理可得/C2=AB2+BC2-2/B/C-cosN/BC,解得ZC=>A，則

/。21

在△404中，由余弦定理得cos/4O/=II=彳,則

2/04。3

cosZAQC=-cosZAlOA=—,

在△，℃中，余弦定理可得4c2=4。2+。。2一24。?。。85/4。。，解得4。=0，A正

確；

連接好交4G于G,連接CG交于〃，由于E,尸分別是棱和G2的中點(diǎn)，

可得EF11B\D\,EF=|BR,

答案第5頁，共14頁

則有GG=；4G，故4G=3C]G,

若4P//平面EFC,4PU平面平面MCc平面4片GA=CG,則4P//CG,故

GH=：PG,

易得VA,PA=VCHCt，故AP=CXH=^PCX，與題設(shè)不符，B錯誤；

設(shè)/q與4c交于點(diǎn)。2,連接Q耳，因為分別是aG，qq的中點(diǎn)，則OQ"/EP,

在菱形4GC8中易得4c=1,則gc=481,

又。2是4c中點(diǎn)，則4C_L&耳，則4CLEP,

過點(diǎn)。作C7//AD,使C/=AD,連接"，易得BD//EF,

解得4/=G,又A、C=6,ci—1,則4廣=+er?,

則4C_LC7,XCI//BD//EF,則4C_LEF,

因為EPIE尸=E,E產(chǎn)u平面EFP,EPu平面EFP,

二4。，面EFP,C正確；

由平行六面體的對稱性可得VMP/=VOPA，則MP=OP,

當(dāng)MP+PN最小時，可知OP+PN最小，故此時O,尸,N三點(diǎn)共線,

此時易得N為所的中點(diǎn)，

答案第6頁，共14頁

由B選項可知&N=3C、N，又AG=6,貝1J4N=詈,

在△/0N中，由余弦定理可得ON?=4N2+4O2-24N-4OCOS/M40,

解得ON=28故MP+尸N的最小值是￡1,D正確.

44

故選：ACD.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：空間中的最值問題，一般情況下會利用轉(zhuǎn)化到同一個平面內(nèi)，將其化簡

為代數(shù)類問題解決往往比較容易.

12.二

【分析】先由復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算化簡，再結(jié)合復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)的坐標(biāo)表示可直接得答案.

【詳解】由題意得z=(l+if-l=T+2i,故復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)為(-1,2),

故對應(yīng)點(diǎn)位于第二象限.

故答案為：二

13.-/0.25

4

【分析】列舉法求古典概型的概率即可.

【詳解】人

設(shè)甲乙丙分別為1,2,3,列樹狀圖得

3次傳遞基本事件是8種，滿足條件的基本事件是2種,

答案第7頁，共14頁

21

所以1

故答案為：;

4

14.3037

【分析】先利用定義判定函數(shù)/（X）在［2,+8）上的單調(diào)遞增，得到當(dāng)XN2時，/（x）＞o；

并利用分子實數(shù)化變形和不等式放縮得到xz2時，進(jìn)而得到乂的取值范圍是

然后利用不等式恒成立的意義得到（〃-l）xl22024xg,從而求得〃的取值范圍，得

到〃的最小值.

【詳解］設(shè)24再ex2，則/（%2）-/（再）=X2--3/+3-再+-3再+3

-=x

XV7^2-3x2+3=^X2--|j+-||-j2?

同理yjx；-3再+3＞Xj——,

??Jx；-3X2+3+"x；-3再+3一（工2+再一3）〉0,

...d_W）匹弓三荷-3狂一（%+%一3）＞0,即-/（不）＞0,

J%2-3%+3+Jx；-3再+3

.?"（x）在［1,+⑹上單調(diào)遞增，

又..當(dāng)時，

???/?（2）=0,?X22/（x）＞o;

又W2時，/（x）=x-7X2-3X+3=x-（：-緘+鼻=——3x-3

x+A/X2—3x+3x+Vx2—3x+3

3

.?.x22時，/（%）＜—,

答案第8頁，共14頁

且當(dāng)X趨近于y時，/（X）無限趨近于|,

：乂€制了=/卜）,工訓(xùn)（，=1,2廣.,〃），，乂的取值范圍是0,；［,

3

為使不等式%+%+L+%_招2024%恒成立，必須且只需（"-1）X122024XQ=3036,

.,.”23037,.,.正整數(shù)”的最小值為3037,

故答案為：3037.

【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：本題難點(diǎn)在于利用分子有理化方法進(jìn)行恒等變形，并利用放縮法得到有

關(guān)不等關(guān)系，進(jìn)而證明函數(shù)的單調(diào)性和求得函數(shù)的值域.

兀

15.（D-

（2）立或也

24

【分析】（1）方法一：利用正弦定理結(jié)合和差公式化簡即可求得2值；方法二：利用余弦

定理結(jié)合三角函數(shù)的基本關(guān)系式能得B值；

（2）方法一：由余弦定理化簡可得結(jié)果；方法二：由正弦定理化簡結(jié)合三角形的面積公式

可得答案.

【詳解】（1）方法一,.,Gasin5=c—bcos4

/.GsiMsinS=sinC-sioScosZ

/.VSsin^sin5=sin（4+5）-sinBcosZ

BPGsinZsinS=sinScosZ+cos5siiL4-sin5cosZ

得：tanS=

3

:.B=-

6

722_2

方法二：MasinB=c-b-----———

2bc

得?/2y/3acsinB=c2+a2-b2

BP,/\Z3siri5=cosB

得：tan5=

3

答案第9頁，共14頁

(2)由余弦定理得："a2+3-2a.C?昱.

2

得：a2-3a+2=0

，。=1或。=2

方法二：由正弦定理：，—二二匕

sin30。sinC

.「百

，sinC=——

2

；,C=-^C=—

33

.O11/?6心o111.2兀G

/.S——xlx73——S——x1x1xsin———?

22234

(2)0

【分析】(1)方法一：由函數(shù)的對稱性可得/@)=/(2-尤)，展開可得參數(shù)a,b的值;

方法二：將原問題轉(zhuǎn)化為/'(x+1)為偶函數(shù)，再化簡可得參數(shù)值;

(2)將原式化為/(x)=[x(尤-2,，再結(jié)合換元法與二次函數(shù)的性質(zhì)即可得最小值.

【詳解】(1)方法一：f(x)=/(2-x),代入展開得

尤4+ax3+bx2=x4-(a+8)x3+(6a+Z>+24)x2-(12a+4b+32)x+8a+46+16,

ci——a—8

b=6。+b+24a=-4

由等式恒成立,,解得

0=-12a—46—326=4

0=8a+46+16

方法二：

/(x+l)=(X+I)2[(x+l)2+〃(％+l)+b]

=x"+(a+4)+(3a+6+5)*+(3a+2b+4)X+“+ZJ+1

答案第10頁，共14頁

、=

因為小z+1)為偶函數(shù),則5f4+t九z-0+聯(lián)?！獾茫踓li-4.

(2)/(%)=x2任_4%+4)=［X(X-2)F,

設(shè)，=x(x-2),則,=(x—1)2一12一1,

:.y=t2>0,

，函數(shù)/(x)取得最小值為0,當(dāng)且僅當(dāng)x=0或x=2的時取到.

17.(1)73

【分析】(1)首先確定第65百分位數(shù)位于［70,80),設(shè)其為x,由0.56+(x-70)x0.03=0.65

可求得結(jié)果；

(2)根據(jù)頻率分布直方圖計算出第五組和第六組的人數(shù)，利用列舉法列舉出所有可能的基

本事件，并確定滿足題意的基本事件個數(shù)，根據(jù)古典概型概率公式可求得結(jié)果.

【詳解】(1)???成績在［40,70)的頻率為(0.01+0.026+0.02)x10=0.56,成績在［40,80)的頻

率為0.56+0.03x10=0.86,

?..第65百分位數(shù)位于［70,80),設(shè)其為x,

則0.56+(尤-70)*0.03=0.65,解得：x=73,二第65百分位數(shù)為73.

(2)第5組的人數(shù)為：50x0.008x10=4人，可記為4民。,。；

第6組的人數(shù)為：50x0.006x10=3人，可記為。也c；

則從中任取2人，有(43),(4C),(4。),(4〃)，(46),(4c),(瓦c),(瓦。)，。,0),

(8,6),(5,c),(C,D),(C,a),(C,b),(C,c),(D,a),(D,b),(D,c),(a,b),(a,c),

(瓦c),共21種情況；

其中至少1人成績優(yōu)秀的情況有：(4。)，(4b),(4c),(B,a),(B,b),(C,a),

(C,b),(C,c),(D,a),(D,b),(D,c),(a,b),(a,c),(6,c),共15種情況；

答案第11頁，共14頁

二至少1人成績優(yōu)秀的概率尸=號=二.

217

18.(1)1

嗚行

【分析】(1)利用等體積法，由/TBC=4/.EFB=4,解得：VP_EFB=\,進(jìn)而能得點(diǎn)B到平

面PE萬的距離；

(2)解法一：作尸A/_LEF,PN1AC,則尸M_L/,PN_L/,貝!JZMPN是平面PAC與平面PEF

所成的一個平面角，再求解即可；

解法二：建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法進(jìn)行求解.

【詳解】⑴由題可得VP_ABC=%叩=4,解得：VP_EFB=1,

由^P-EFB=^B-EFP=個i￡FP',解得：4=1，

所以，點(diǎn)3到平面PEF的距離為1.

(2)解法一：(幾何法)

’面尸跖1面N8C

面尸跖c面A8C=EF

由‘3C_LEF'

BCu面/8C

^>BC1^PEF.結(jié)合第1問，可得：BF=\.

AC/IEF

由<E