高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)基礎(chǔ)知識

集合與常用邏輯用語

集合

1.，合的含義與表示

(1)了解集合的含義，體會元素與集合的從屬關(guān)系.

(2)能用自然語言、圖形語言、集合語言(列舉法或描述法)描述不同的具體問題.

2.集合間的基本關(guān)系

(1)理解集合之間包含與相等的含義，能識別給定集合的子集.

(2)在具體情境中，了解全集與空集的含義.

3.集合的基本運算

(1)理解兩個集合的并集與交集的含義，會求兩個簡單集合的并集與交集.

(2)理解在給定集合中一個子集的補集的含義，會求給定子集的補集.

(3)能使用韋恩(Venn)圖表達集合間的基本關(guān)系及集合的基本運算.

常用邏輯用語

(1)理解命題的概念.

⑵了解“若夕，則q”形式的命題及其逆命題、否命題與逆否命題，會分析四種命題的相

互關(guān)系.

(3)理解必要條件、充分條件與充要條件的含義.

(4)了解邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”“且”“非”的含義.

(5)理解全稱量詞與存在量詞的意義.

(6)能正確地對含有一個量詞的命題進行否定.

第一講集合

知識能力解讀

知能解讀(一)集合的基本概念及表示方法

1集合的概念

一般地，我們把研究對象統(tǒng)稱為元素，把一些元素組成的總體叫做集合，簡稱集.通常

用大寫字母幺，8,C,…表示.集合中的每個對象叫做這個集合的元素.通常用小寫字

母a,b,c,…表示.

2.集合中元素的三個特征

⑴確定性

設(shè)Z是一個給定的集合，。是某一具體的對象，則。是/的元素，或者不是Z的元素,

兩種情況必有一種且只有一種成立.這個特性常用來判斷涉及的總體能否構(gòu)成集合.

(2)互異性

集合中的元素必須是互異的，也就是說，對于一個給定的集合，它的任何兩個元素都是

不同的.即集合中的元素不重復(fù)，兩個或兩個以上的相同元素都認為是一個元素，在用列舉

法表示時也只能寫一個.例如方程V+2x+1=0的解組成的集合必須寫成

Z=｛-1｝.這個特性常被用來判斷集合的表示是否正確，或用來求集合中的未知元素.

(3)無序性

集合中的元素不考慮順序，對于元素相同而排列次序不同的集合認為是相同的集合.例

如集合(1,2,3,4｝與集合｛4,3,2,1｝是相同的集合.這個特性常用來判斷兩個集合的關(guān)系.

3.集合的分類

(1)集合可以根據(jù)它含有的元素的個數(shù)分為兩類：含有有限個元素的集合叫做有限集，

含有無限個元素的集合叫做無限集.

(2)不含任何元素的集合叫做空集，記作0.

注意：①空集中沒有任何元素.要區(qū)分0和｛0｝,集合｛0｝中有1個元素0,而。中沒

有任何元素，兩者有著本質(zhì)的不同.

②空集在實際問題中是實實在在存在的，如在實數(shù)范圍內(nèi)方程M+1=0的解集和不等

式1+1<0的解集都是空集.

4.集合的表示方法

⑴列舉法

把集合的元素一一列舉出來，并用花括號括起來表示集合的方法.

使用列舉法時，需注意以下幾點：

①元素間用分隔號“，”；②元素不重復(fù)；③元素?zé)o順序；④對于含較多元素的集合，

如果構(gòu)成該集合的元素有明顯規(guī)律，可用列舉法，但是必須把元素間的規(guī)律顯示清楚后才能

用省略號.

如：從1到100的所有整數(shù)組成的集合可以表示為｛1,2,3,…,100｝.

(2)描述法

用集合所含元素的共同特征表示集合的方法稱為描述法，即其中豎線

“I”左邊表示集合中的代表元素，右邊表示集合中元素滿足的條件.

如：所有的直角三角形的集合可以表示為｛x|x是直角三角形｝.

(3)圖示法

為了形象地表示集合，我們常常畫一條封閉的曲線，用它的內(nèi)部來表示一個集合.如

圖所示，表示集合｛1,3,5,8｝.

5.常用數(shù)集的符號

為了書寫方便，我們規(guī)定常見的數(shù)集用特定的字母表示，下面是幾種常見的數(shù)集的表示

方法，請牢記.

數(shù)集自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實數(shù)集復(fù)數(shù)集

符號NN+或N*ZQRC

知能解讀(二)集合間的基本關(guān)系

、、表示文字語言符號語言

關(guān)於、

相等集合A與集合B中的所有元素都相AjB,B=A=A=B

同

子集集合A中任意一個元素都是集合B/鼠5或534

中的元素

真子集集合A中任意一個元素均為集合BZUB或BYA

中的元素，且集合B中至少有一個元

素不是集合A中的元素

空集空集是任何集合的子集，是任何非空0^A,0U5（5^0）

集合的真子集

提示：①“e”是表示集合中的元素與集合關(guān)系的符號，而“之”與“U”是表示兩

個集合間包含和真包含關(guān)系的符號，在書寫時應(yīng)注意區(qū)分.

②幺口3有兩種情況：2=8和2。8.

若幺。5,則8中至少存在一個元素不屬于

知能解讀(三)集合與集合間的運算

集合運算|自然語言描述符號表示Venn圖表示

并集一般地，由所有屬于集合/或A\3B={x\xGA,5

屬于集合8的元素組成的集合，

或X￡5}0)B⑷

稱為集合/與5的并集，記作

A\JB,讀作“4并3”.(B顧

交集一般地，由屬于集合/且屬于4nB={x\xeA,

集合5的所有元素組成的集合，

且X￡B}

稱為幺與8的交集，記作

A[}B,讀作“A交B”.0?

全集與補(1)一般地，如果一個集合含有.4={x\xGU,且

集我們所研究問題中涉及的所有

xA}回

元素,那么就稱這個集合為全集，

通常記作U.

(2)對于一個集合A,由全集UO

中不屬于幺的所有元素組成的回

集合稱為集合A相對于全集U

的補集，簡稱為集合幺的補集，

記作.

2.集合中常用的運算性質(zhì)

(1)若/口8,BA,則2=8；若幺口8,BjC,則ZqC.

(2)0qZ；若Zw0,則0UZ.

⑶幺口幺=幺，AC\B=BC\A,AQ0=0.

(4)AUA=A,ZU5=5UZ,A\J0=A.

⑸/n.N)=。，ZU.N)=U.

⑹(/riB)屋/1(ZUB).

(7.(ZU5)=?力?可，■(NUB)=?力?8).

(8)若/口8,則Zn8=Z,A\3B=B,反之變成立.

知能解讀(四)有限集的子集個數(shù)公式

設(shè)有限集/中有〃個元素，則/的子集有2"個，其中真子集的個數(shù)為2"-1,非空子

集的個數(shù)為2"-1,非空真子集的個數(shù)為2"-2.

解題方法薈萃

I.數(shù)學(xué)思想方法

思想方法(一)分類討論思想

它是根據(jù)數(shù)學(xué)對象本質(zhì)屬性的相同點和不同點確定劃分標(biāo)準(zhǔn)，進行分類，然后對每一類

分別求解，并綜合得出答案的一種數(shù)學(xué)思想.在劃分中要求始終使用同一標(biāo)準(zhǔn)，這個標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)

該是科學(xué)的、合理的，要滿足無重復(fù)、無遺漏、最簡的原則.

(二)數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合的解題方法，就是把數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系和幾何圖形結(jié)合起來進行探索分析

的思維方法.其實質(zhì)就是將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀圖形結(jié)合起來，抽象思維和形象思維結(jié)合

起來，使抽象問題具體化，復(fù)雜問題簡單化，通過“數(shù)”和“形”的聯(lián)系與轉(zhuǎn)化，化難為易，

增強直觀性，從而使問題得到解決.數(shù)形結(jié)合包含兩重意義：⑴以形助數(shù)(2)以數(shù)解形.所

謂“以形助數(shù)”就是將待研究的代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為研究其對應(yīng)的幾何圖形，通過幾何圖形的直

觀性尋找原問題的解題思路，從而獲解；所謂“以數(shù)解形”就是借助代數(shù)計算等確定幾何圖

形的某些屬性.

(三)補集思想

（四）分析法

（五洌舉法

（六）Venn圖法

II.解題規(guī)律技巧

（一）集合語言與集合思想在解題中的應(yīng)用

（二）利用數(shù)軸解決集合間的關(guān)系問題

（三）集合中元素的“三性”及應(yīng)用

（四）點集運算轉(zhuǎn)化處理

in.易混易錯辨析

（一）因沒有弄清集合的代表元素而導(dǎo)致錯誤

（二）勿忘空集防“陷阱”

高考命題研究

縱觀近幾年高考試題，集合部分以考查基礎(chǔ)知識為主，涉及集合的概念、集合間的基本

關(guān)系、集合的基本運算等.核心考點是集合的交集、并集和補集運算，既有列舉法表示的集

合，又有描述法表示的集合，有時還會與不等式、函數(shù)、方程等知識結(jié)合，題型為選擇題或

填空題，難度不大.

高考熱點（一）集合的基本概念

（二）集合間的基本關(guān)系的判定與應(yīng)用

（三）集合的基本運算

（四）集合中的新定義題

附錄常用公式定理

i.常用符號

e-----屬于e------不屬于

c——包含于U——真包含于

?！琘——真包含

U——不包含于U——不包含

0——空集符號=——集合相等符號

n——交集符號u——并集符號

H—補集符號

u一—全集符號

N——自然數(shù)集z——整數(shù)集

N+（N*）——正整數(shù)集Q——有理數(shù)集

R——實數(shù)集，Q--無理數(shù)集

C——復(fù)數(shù)集eZ}----奇數(shù)集

（x|x=2n,neZ}----偶數(shù)集

2.常用公式

AC\A=AAQ0=0AC\U=A

A\JA=AA\J0=AA\JU=U

■(Zn5)=.Z)U.5).(ZUBb.Rn.B)

3.常用定理

傳遞性：若集合ZqB,BjC,則若集合幺。8,5UC,則NUC.

第二講常用邏輯用語

知識能力解讀

知能解讀（一）四種命題及其關(guān)系

1.命題的定義

用語言、符號或式子表達的，可以判斷真假的陳述句稱為命題.其中判斷為真的語句叫

做真命題，判斷為假的語句叫做假命題.

例如：“3是12的約數(shù)”“0.5是整數(shù)”都是命題.

說明：（1）并不是任何語句都是命題.一般來說，疑問句、祈使句、感嘆句等都不是命

一題.（2）一個命題，一般可以用小寫英文子母表示，如p,q,r,….

2.四種命題

對于兩個命題，如果一個命題的條件和結(jié)論，分別是另一個命題的結(jié)論和條件，那么我

們把這樣的兩個命題叫做互逆命題.其中一個命題叫做原命題，另一個命題叫做原命題的逆

命題.

一個命題的條件和結(jié)論恰好是另一個命題的條件的否定和結(jié)論的否定，這樣的兩個命題

叫做互否命題.把其中一個命題叫做原命題，另一個命題就叫做原命題的否命題.

一個命題的條件和結(jié)論恰好是另一個命題的結(jié)論的否定和條件的否定，這樣的兩個命題

叫做互為逆否命題.把其中的一個命題叫做原命題，那么另一個命題就叫做原命題的逆否命

題.

3.表示形式

一般地，用p和q分別表示原命題的條件和結(jié)論，用「p和」q分別表示p和q的否定,

于是四種命題的形式就是：

原命題：若p,則q；逆命題：若q,則夕；否命題：若可，則「q；逆否命題：若

—iq,則—7?.

4.四種命題的關(guān)系

四種命題的關(guān)系如圖所示：

點撥：互為逆否的兩個命題的真假性相同，互逆或互否的兩個命題的真假性沒有關(guān)

系.

（二）充分條件、必要條件、充要條件

定義從集合觀點看

若pnq，則P是q的充分條件若集合尸口0,則。是0的充分條件

若q=>p,則夕是q的必要條件若集合。口尸，則尸是。的必要條件

若夕=>q且q幺p,則夕是q的充分

若集合尸U0,則尸是。的充分不必要條件

不必要條件

若q=>P且p幺q,則夕是q的必要

若集合尸丫0,則尸是。的必要不充分條件

不充分條件

若pQq,則夕是q的充分必要條件若集合尸=0,則尸是0的充分必要條件

若p幺q,q幺p,則夕是夕的既不若集合尸且。。尸，則尸是。的既不充

充分也不必要條件分也不必要條件

說明：由上表可知，判斷充分條件、必要條件、充要條件時應(yīng)采用以下方法：（1）確定

條件?是什么，結(jié)論q是什么；（2）嘗試從條件推結(jié)論，如果夕nq,則充分性成立，p是

q的充分條件（3）再考慮從結(jié)論推條件，如果qnp,則夕是q的必要條件，必要性成立;

（4）證明命題的條件是充要的，則既要證明充分性又要證明必要性.

（三）邏輯聯(lián)結(jié)詞：“或”“且”“非”

（1）或：聯(lián)結(jié)兩個命題?，q,得到新命題P或q.記作夕vq.

(2)且：聯(lián)結(jié)兩個命題夕，q,得到新命題P且q.記作夕Aq.

(3)非：對一個命題?全盤否定，得到新命題非p.記作

(四)真值表

(五)命題的否定與否命題

(1)命題的否定只否定命題的結(jié)論，它和原命題真假相反；而否命題是既否定條件，又

否定結(jié)論，它和原命題的真假性無關(guān).

(2)寫“非夕”或否命題時，必須使用否定詞語對正面敘述的詞語進行否定.因此掌握

常見的正面敘述詞語以及它們的否定同語卜分必要，具《本列表如下：

正面詞語等于(=)大于(>)小于(<)能是都(全)是

否定詞語不等于(W)不大于(W)不小于(2)不能不是不都(全)是

正面詞語至多一個至少有一個至多n個p或q夕且q

否定詞語至少兩個一個也沒有至少〃+1個非夕且非q非p或非q

(3)命題“2人已”與"prq”的否定

①「(P八4)=(/”(「1)；②「(Pvq)=(/)△(「1)?

(六)量詞與命題

1.全稱量詞

短語“所有”在陳述中表示所述事物的全體，邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號

“V”表示.

2.全稱命題

含有全稱量同的命題，叫做全稱命題.全稱命題就是形如“對M中的所有x,有夕(x)

成立”的命題，用符號簡記為VxeM,p(x).

3.存在量詞

短語“有一個”或“有些”或“至少有一個”在陳述中表示所述事物的個體或部分，邏

輯中通常叫做存在量詞，并用符號“三”表示.

4.特稱命題(存在性命題)

含有存在量詞的命題，叫做特稱命題(存在性命題)，用符號簡記為三毛€河,夕(/).

5.全稱命題與特稱命題的否定

命題命題的否定

VXGM,—

全稱命題的否定是特稱命題，特稱命題的否定是全稱命題.

解題方法薈萃

I.數(shù)學(xué)思想方法

思想方法(一)轉(zhuǎn)化與化歸思想

在處理問題時，把待解決或難解決的問題，通過某種轉(zhuǎn)化過程，歸結(jié)為一類已經(jīng)解決或

較易解決的問題，最終解決問題，這就是轉(zhuǎn)化與化歸思想.轉(zhuǎn)化后的新問題與原問題實質(zhì)一

樣時，這樣的轉(zhuǎn)化我們叫它等價轉(zhuǎn)化.

(二)數(shù)形結(jié)合思想

（三）分類討論思想

（四）反證法

（1）反證法是常用的間接證法之一.它的實質(zhì)是當(dāng)證明“若夕，則q”感到困難時，改

證命題“若夕，則不成立.

（2）反證法證題的步驟：第一步，假設(shè)結(jié)論的反面成立；第二步，從這個假設(shè)出發(fā)，推

理論證，得出矛盾；第三步，由矛盾判定假設(shè)不成立，從而肯定結(jié)論正確.由于反證法是很

有用的方法，所以應(yīng)當(dāng)學(xué)會使用反證法來證明用直接法證明感到困難的問題，在立體兒何中

經(jīng)常使用這種方法.證明否定形式的命題也經(jīng)常用反證法.

II.解題規(guī)律技巧

規(guī)律技巧（一）應(yīng)用互為逆否命題的等價性解題

由于原命題與它的逆否命題等價，即具有相同的真假性，在直接證明原命題有困難時，

可以考慮證明與它等價的逆否命題，這種方法是間接證明命題的方法.

（二）利用集合關(guān)系判斷充要條件

設(shè)與夕相應(yīng)的集合為Z=,與4相應(yīng)的集合為3=｛七（必，則有如下結(jié)論

（1）若2口8,則夕是q的充分條件，若則夕是q的充分不必要條件；

（2）若BJ幺,則夕是q的必要條件，若則夕是q的必要不充分條件；

（3）若A=B,則P與q互為充要條件（也稱等價條件）；

（4）若且5。幺，則P既不是q的充分條件，也不是q的必要條件.

（三）全稱命題與特稱命題的真假判定方法

要判定全稱命題是真命題，必須對限定集合M中的每一個元素x

驗證p（x）成立；若要判定全稱命題“VxeM,p（x）是假命題，只要能找出某一個

x=x0&M,使得夕（與）不成立即可（舉反例法）.

要判定一個特稱命題是真命題，只要在限定集合M中，能找到一個x=%,使得P（與）

成立即可；如果在集合M中，使P（x）成立的元素不存在，那么這個特稱命題是假命題.

II.易混易錯辨析

易混易錯（一）分不清條件的充分性與必要性而致誤

在利用充分條件、必要條件解題時，常因弄反條件的充分性與必要性致錯.

（二）對命題的否定與否命題區(qū)別不清而致誤

命題的否定只否定命題的結(jié)論，不否定命題的條件，而否命題既要否定命題的結(jié)論，又

要否定命題的條件.

高考命題研究

命題、邏輯聯(lián)結(jié)詞與充要條件在高考中的考查，以命題的基本概念及充要條件為主，重

點考查命題真假的判定、充要條件的判定，考題多為選擇題.另外，高考中這部分知識也可

以和其他知識如函數(shù)、方程、不等式、數(shù)列、解析幾何等相結(jié)合在知識交匯點處命制綜合性

大題，以考查學(xué)生分析問題和解決問題的能力.

全稱命題、特稱命題的否定及其真假判斷也是高考的熱點.

高考熱點（一）命題的四種形式與關(guān)系及