吉林省長春市文曲星名校2025屆數(shù)學(xué)高一上期末聯(lián)考模擬試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．設(shè)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件2．如圖，在正方體中，分別為的中點(diǎn)，則異面直線與所成的角等于A. B.C. D.3．在三棱柱中，各棱長相等，側(cè)棱垂直于底面，點(diǎn)是側(cè)面的中心，則與平面所成角的大小是（）A. B.C. D.4．已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，若成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.5．集合用列舉法表示是（）A. B.C. D.6．已知函數(shù)，若實(shí)數(shù)滿足，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.7．已知集合，且，則的值可能為（）A. B.C.0 D.18．函數(shù)在區(qū)間上的最大值為2，則實(shí)數(shù)的值為A.1或 B.C. D.1或9．設(shè)函數(shù)，若，則A. B.C. D.10．平行四邊形中，若點(diǎn)滿足，，設(shè)，則A. B.C. D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．函數(shù)的定義域是______________．12．已知函數(shù)，，若對任意的，都存在，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_________.13．已知函數(shù)若關(guān)于的方程有5個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍為___________.14．設(shè)常數(shù)使方程在閉區(qū)間上恰有三個(gè)不同的解，則實(shí)數(shù)的取值集合為________，_______15．設(shè)某幾何體的三視圖如圖所示（單位：m），則該幾何體的體積為________16．直線關(guān)于定點(diǎn)對稱的直線方程是_________三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．如圖，四棱錐的底面是菱形，，平面，是的中點(diǎn).（1）求證：平面平面；（2）棱上是否存在一點(diǎn)，使得平面？若存在，確定的位置并加以證明；若不存在，請說明理由.18．已知（1）當(dāng)時(shí)，解關(guān)于的不等式；（2）當(dāng)時(shí)，解關(guān)于的不等式19．已知函數(shù).（1）在給定的坐標(biāo)系中，作出函數(shù)的圖象；（2）寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（不需要證明）；（3）若函數(shù)的圖象與直線有4個(gè)交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.20．某公司為了解宿州市用戶對其產(chǎn)品的滿意度，從宿州市，兩地區(qū)分別隨機(jī)調(diào)查了40個(gè)用戶，根據(jù)用戶對產(chǎn)品的滿意度評分，得到地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布直方圖（如圖）和地區(qū)的用戶滿意度評分的頻數(shù)分布表（如表1）滿意度評分頻數(shù)2814106表1滿意度評分低于70分滿意度等級不滿意滿意非常滿意表2（1）求圖中的值，并分別求出，兩地區(qū)樣本用戶滿意度評分低于70分的頻率（2）根據(jù)用戶滿意度評分，將用戶的滿意度分為三個(gè)等級（如表2），將頻率看作概率，從，兩地用戶中各隨機(jī)抽查1名用戶進(jìn)行調(diào)查，求至少有一名用戶評分滿意度等級為“滿意”或“非常滿意”的概率.21．如圖，在中，為邊上的一點(diǎn)，，且與的夾角為.（1）設(shè)，求，的值；（2）求的值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、B【解析】分別求出兩個(gè)不等式的的取值范圍，根據(jù)的取值范圍判斷充分必要性.【詳解】等價(jià)于，解得：；等價(jià)于，解得：，可以推出，而不能推出，所以是的必要不充分條件，所以“”是“”的必要不充分條件故選：B2、B【解析】取的中點(diǎn)，則由三角形的中位線的性質(zhì)可得平行且等于的一半，故或其補(bǔ)角即為異面直線與所成的角．設(shè)正方體的棱長為1，則，，故為等邊三角形，故∠EGH=60°考點(diǎn)：空間幾何體中異面直線所成角．【思路點(diǎn)睛】本題主要考查異面直線所成的角的定義和求法，找出兩異面直線所成的角，是解題的關(guān)鍵，體現(xiàn)了等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．取的中點(diǎn)，由三角形的中位線的性質(zhì)可得或其補(bǔ)角即為異面直線與所成的角．判斷為等邊三角形，從而求得異面直線與所成的角的大小3、C【解析】如圖，取中點(diǎn)，則平面，故，因此與平面所成角即為，設(shè)，則，，即，故，故選:C.4、A【解析】由增函數(shù)的性質(zhì)及定義域得對數(shù)不等式組，再對數(shù)函數(shù)性質(zhì)可求解【詳解】不等式即為，∵函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，∴，即，解得，∴實(shí)數(shù)的取值范圍是，選A【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的單調(diào)性應(yīng)用，考查解函數(shù)不等式，解題時(shí)除用函數(shù)的單調(diào)性得出不等關(guān)系外，一定要注意函數(shù)的定義域的約束，否則易出錯(cuò)5、D【解析】解不等式，結(jié)合列舉法可得結(jié)果.【詳解】.故選：D6、D【解析】由題可得函數(shù)關(guān)于對稱，且在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，進(jìn)而可得，即得.【詳解】∵函數(shù)，定義域?yàn)?，又，所以函?shù)關(guān)于對稱，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，故函數(shù)單調(diào)遞增，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，由可得，，解得，且.故選：D.7、C【解析】化簡集合得范圍，結(jié)合判斷四個(gè)選項(xiàng)即可【詳解】集合，四個(gè)選項(xiàng)中，只有，故選：C【點(diǎn)睛】本題考查元素與集合的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題8、A【解析】化簡可得，再根據(jù)二次函數(shù)的對稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系，結(jié)合正弦函數(shù)的值域分情況討論即可【詳解】因，令，故，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減所以，此時(shí)，符合要求；當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減故，解得舍去當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增所以，解得，符合要求；綜上可知或故選：A.9、A【解析】由的函數(shù)性質(zhì)，及對四個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷【詳解】因?yàn)?，所以函?shù)為偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，又因?yàn)?，所以，即，故選擇A【點(diǎn)睛】本題考查冪函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，要求熟記幾種類型的冪函數(shù)性質(zhì)10、B【解析】畫出平行四邊形，在上取點(diǎn)，使得，在上取點(diǎn)，使得，由圖中幾何關(guān)系可得到，即可求出的值，進(jìn)而可以得到答案【詳解】畫出平行四邊形，在上取點(diǎn)，使得，在上取點(diǎn)，使得，則，故，，則.【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量的線性運(yùn)算，考查了平面向量基本定理的應(yīng)用，考查了平行四邊形的性質(zhì)，屬于中檔題二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】根據(jù)表達(dá)式有意義列條件，再求解條件得定義域.【詳解】由題知，，整理得解得.所以函數(shù)定義域是.故答案為：.12、##a≤【解析】時(shí)，，原問題.【詳解】∵，，∴，∴，即對任意的，都存在，使恒成立，∴有.當(dāng)時(shí)，顯然不等式恒成立；當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不成立.綜上，.故答案為：.13、【解析】根據(jù)函數(shù)的解析式作出函數(shù)的大致圖像，再將整理變形，然后將方程的根的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題解決.【詳解】由題意得，即或，的圖象如圖所示，關(guān)于的方程有5個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則或，解得，故答案為：14、①.②.【解析】利用輔助角公式可將問題轉(zhuǎn)化為在上直線與三角函數(shù)圖象的恰有三個(gè)交點(diǎn)，利用數(shù)形結(jié)合可確定的取值；由的取值可求得的取值集合，從而確定的值，進(jìn)而得到結(jié)果.【詳解】，方程的解即為在上直線與三角函數(shù)圖象的交點(diǎn)，由圖象可知：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，直線與三角函數(shù)圖象恰有三個(gè)交點(diǎn)，即實(shí)數(shù)的取值集合為；，或，即或，此時(shí)，，，.故答案為：；.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查與三角函數(shù)有關(guān)的方程根的個(gè)數(shù)問題，解決方程根的個(gè)數(shù)的基本思路是將問題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，從而利用數(shù)形結(jié)合的方式來進(jìn)行求解.15、4【解析】根據(jù)三視圖確定該幾何體為三棱錐，由題中數(shù)據(jù)，以及棱錐的體積公式，即可求出結(jié)果.【詳解】由三視圖可得：該幾何體為三棱錐，由題中數(shù)據(jù)可得：該三棱錐的底面是以為底邊長，以為高的三角形，三棱錐的高為，因此該三棱錐的體積為：.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查由幾何體的三視圖求體積的問題，熟記棱錐的結(jié)構(gòu)特征，以及棱錐的體積公式即可，屬于基礎(chǔ)題型.16、【解析】先求出原直線上一個(gè)點(diǎn)關(guān)于定點(diǎn)的對稱點(diǎn)，然后用對稱后的直線與原直線平行【詳解】在直線上取點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)為過與原直線平行的直線方程為，即為對稱后的直線故答案為：三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)見解析(2)點(diǎn)為的中點(diǎn)【解析】（1）證面面垂直，可先由線面垂直入手即，進(jìn)而得到面面垂直；（2）通過構(gòu)造平行四邊形，得到線面平行．解析：（1）連接，因?yàn)榈酌媸橇庑危?所以為正三角形.因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn),所以,因?yàn)槊?，∴，因?yàn)?，?所以.又,所以面⊥面.（2）當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，∥面.事實(shí)上，取的中點(diǎn),的中點(diǎn)，連結(jié)，，∵為三角形的中位線，∴∥且，又在菱形中，為中點(diǎn)，∴∥且，∴∥且，所以四邊形平行四邊形.所以∥，又面，面，∴∥面，結(jié)論得證.點(diǎn)睛：這個(gè)題目考查了線面平行的證明，線面垂直的證明．一般證明線面平行是從線線平行入手，通過構(gòu)造平行四邊形，三角形中位線，梯形底邊等，找到線線平行，再證線面平行．證明線線垂直也可以從線面垂直入手．18、（1）或；（2）答案不唯一，具體見解析.【解析】（1）先因式分解，進(jìn)而解出的范圍，進(jìn)而結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求得答案；（2）設(shè)，然后因式分解，進(jìn)而討論a的取值范圍求出t的范圍，最后結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求得答案.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，若可得或，即解集為或【小問2詳解】令，不等式轉(zhuǎn)化為①當(dāng)時(shí)，不等式解集為；②當(dāng)時(shí)，不等式解集為或；③當(dāng)時(shí)，不等式解集為；④當(dāng)時(shí)，不等式解集為或.綜上所述，當(dāng)時(shí)，解集為；當(dāng)時(shí)，解集為或；當(dāng)時(shí)，解集為；當(dāng)時(shí)，解集為或.19、（1）圖象見解析；（2）單調(diào)增區(qū)間為；單調(diào)減區(qū)間是為；（3）.【解析】（1）分段依次作出圖象即可；（2）看圖寫出單調(diào)區(qū)間即可；（3）作出直線圖象，數(shù)形結(jié)合得到實(shí)數(shù)的取值范圍即可.【詳解】解：（1）作圖如下：（2）看圖可知函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為；（3）如圖，若函數(shù)的圖象與直線有4個(gè)交點(diǎn)，則需.所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.20、（1）；地區(qū)樣本用戶滿意度評分低于70分的頻率為；地區(qū)樣本用戶滿意度評分低于70分的頻率為（2）【解析】（1）由頻率和等于1計(jì)算可求得，進(jìn)而計(jì)算低于70分的頻率即可得出結(jié)果.（2）由（1）可知，記從地區(qū)隨機(jī)抽取一名用戶評分低于70分的事件記為，則；可以記從地區(qū)隨機(jī)抽取一名用戶評分低于的事件記為，則，由對立事件的概率公式計(jì)算即可得出結(jié)果.【小問1詳解】根據(jù)地區(qū)的頻率直方圖可得，解得所以地區(qū)樣本用戶滿意度評分低于70分的頻率為地區(qū)樣本用戶滿意度評分低于70分的頻率為【小問2詳解】根據(jù)用樣本頻率可以估計(jì)總體的頻率，可以記從地區(qū)隨機(jī)抽取一名用戶評分低于70分的事件記為，則；可以記從地區(qū)隨機(jī)抽取一名用戶評分低于的事件記為，則易知事件和事件相互獨(dú)立，則事件和事件相互獨(dú)立，記事件“至少有一名用戶評