重慶市第一中學校2025屆高三上學期開學考試數(shù)學試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.已知集合4={刈。。2(2萬-1)<1},B={%||<2X<2},則4UB=()

A.[x|<x<1]B.[x\x<|]

C.[x|-1<x<1]D,{x|-1<x<1}

2.若幕函數(shù)/(%)=(蘇一爪-5)爐一恒在(0,+8)上單調(diào)遞減，則實數(shù)小的值為()

A.-3B.-2C.2D.3

3.子曰：“工欲善其事，必先利其器.”這句名言最早出自于《論語?衛(wèi)靈公》此名言中的“善其事”是

“利其器”的()

A,充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.已知定義在R上的函數(shù)人%)滿足/(%)—2/(—x)=e5則曲線y=/(久)在點(0)(0))處的切線斜率為()

11

A.-1B.—C.-D.1

5.已知函數(shù)y=f(%)的部分圖象如圖所示，則/(%)的解析式可能為()

3cos九汽+1「(2X—1)%3「2X+lcosx

XxXX

A.2x+2-x2+2~C2+1D-2-1-

6.已知函數(shù)/(%)=sin%+%3—q%是定義在R上的增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是()

A.(-00,1)B.(-ooj]C.(-00,2)D.(-00,2]

7.已知函數(shù)/(%)的定義域為R,且/(2%-1)的圖象關于直線％=1對稱，/(3%+2)是奇函數(shù)，則下列選項中

值一定為0的是()

A./g)B./(2024)C./(I)Dj(|)

8.若存在實數(shù)a,使得關于％的不等式+l)e%](a%-ln%)〈。在(0,+8)上恒成立，則實數(shù)m的取值

范圍是()

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A.：個^^3B.(1)C."I,Ix)D.(l1,1、)

二、多選題：本題共3小題，共15分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。

9.若正實數(shù)久,y滿足2x+y=1,則下列說法正確的是()

A.孫有最大值為(B.1+2有最小值為6+4避

C.4x2+*有最小值為9D.x(y+1)有最大值為寺

10.已知函數(shù)/(x)=ln久-2T-1,則下列說法正確的是()

A"。)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞增

B/。。920242025)4-/(/0520252024)=2

C.若/(a)=^-bln2,a6(0,1),b6(0,+<?),則a-2&=l

D.函數(shù)/(幻有唯一零點

11.定義在(。,+8)上的可導函數(shù)/0)滿足了「。)+2；^(久)=111%,若/(e)=0,則下列說法正確的是()

A.函數(shù)/(久)在X=e2處取得極大值

B.f(log3^>/(ZO^45)>/(|)

C.過原點可以作2條直線與曲線y=/(x)相切

D.若/(x)+|<e2x-nt在(0,+8)上恒成立，則實數(shù)ni的取值范圍是(一8,2]

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.若函數(shù)f(%)=ex+2/(0)cosx,則尸(0)=.

13.已知某次數(shù)學期末試卷中有8道四選一的單選題，學生小萬能完整做對其中4道題，在剩下的4道題中，

有3道題有思路，還有1道完全沒有思路，有思路的題做對的概率為|,沒有思路的題只能從4個選項中隨機

選一個答案.若小萬從這8個題中任選1題，則他做對的概率為.

14.已知函數(shù)/(x)=e*—2,g(x)=e2x—aex+a+24(a6R),用min{m,"}表示m,n中較小者,若函數(shù)九(x)

=min{f(x),g(X)}有三個零點，則實數(shù)a的取值范圍是.

四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題12分)

已知定義在(—1力)上的奇函數(shù)/⑴=Igf葺.

(1)求實數(shù)a,6的值：

(2)若f(x)在O，n)上的值域為(-1,+8),求實數(shù)小刀的值.

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16.(本小題12分)

甲、乙兩名同學進行乒乓球比賽，規(guī)定：每一局比賽中獲勝方記1分，失敗方記0分，沒有平局.首先獲得

4分者獲勝，比賽結束.假設每局比賽甲獲勝的概率都是*

(1)求比賽結束時恰好打了5局的概率：

(2)若甲以2:1的比分領先時，記X表示到結束比賽時還需要比賽的局數(shù)，求X的分布列及期望.

17.(本小題12分)

已知函數(shù)/'(x)=Klnx+ax+b在x=e-3時取得極值，且滿足/(1)=1.

(1)求函數(shù)/(%)的解析式；

(2)若存在實數(shù)x>0,使得質(zhì)>f(x+1)成立，求整數(shù)k的最小值.

18.(本小題12分)

已知橢圓：［+<=1的右焦點F與拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點重合.

qD

(1)求拋物線c的方程：

(2)已知P為拋物線C上一個動點，直線Ii：x=-1,12：x+y+3=o,求點P到直線Z/2的距離之和的最小

值；

(3)若點。是拋物線C上一點(不同于坐標原點。)，/是A。。尸的內(nèi)心，求“。F面積的取值范圍.

19.(本小題12分)

如果函數(shù)?(久)的導數(shù)F'(x)=f(x),可記為兩德三/式蹄懿若f(x)N0,則闋朗一弼購)-?頸的表

示曲線y=/(%)，x=a,x=b以及久軸圍成的曲邊梯形”的面積(其中aVb).

(1)若F(%)=且F(l)=l,求F(%)；

(2)當0<aV翔，證明：a-cosa<cosxdx；

iiin

(3)證明：1+'+§+???+1>ln(7l+1)+2(n+l)(neN*).

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參考答案

l.c

2.D

3.X

4.C

5.4

6.B

7.B

8.D

9.ABC

10.AC

11.AD

12.1

13.||或0.78125

14.(12,28)

15.解：(1)由于—l+b=0,故b=l,

/(x)=IgfW，由f(%)=lg?嗅為奇函數(shù)得

fC)+f⑴=]g/+igf^=i§aX)aTx)=0，

故里辭需=1，解得。=1或一K舍)，

故。=b=1;

(2)/Q)=館日>-1，故L，

又一1<x<1,

Q

解得一1<x<—,

故,rm=-l.,n=—9.

16.解：(1)第一種情況：比賽結束時恰好打了5局且甲獲勝,

則概率為P1=Cig)3X《X弓=第；

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第二種情況：比賽結束時恰好打了5局且乙獲勝，

貝°概率為P2=Ci(l-1)3X(X(1-1)=2；

所以比賽結束時恰好打了5局的概率為尸=P1+P2=4+黑=券.

(2)???甲隊以2:1的比分領先，.?.甲隊目前的戰(zhàn)績兩勝一負，

接下去的比賽局數(shù)最少的情況是甲隊取得兩勝結束比賽，

局數(shù)最多的情況是接下來的前三局甲隊一勝兩負，必須進行第四局才能結束比賽,

X的可能取值為2,3,4,

又P(X=2)=(|)2=小

P(X=3)=須|)?)(|)+C削尸=攝+/

P(X=4)=Cix(|)2x|=1,

隨機變量X的分布列為：

X234

412

P

939

E(x)=2x1+3x|+4x|-^,即X的數(shù)學期望為京

17.解:⑴由題意知/(%)=+aX+b的定義域為(0,+8),/z(x)=Inx+1+a,

由于函數(shù)f(%)=x\nx+a%+b在x=e'時取得極值，且滿足f(l)=1,

故1(?-3)=-3+1+a=0,且/(I)=a+b=1,

解得a=2,b=-1,則/(%)=In%+3,

經(jīng)驗證函數(shù)/(%)在％=?-3時取得極小值，適合題意

故/(%)=x\nx+2%—1；

(2)由題意存在實數(shù)久＞0,使得質(zhì)＞/(%+1)成立，

即k＞更+D1n(x+1)+2x+1恒成立

X

人,、(x+l)ln(x+1)+2%+1、八l，/、%—1—ln(x+1).、

令g(%)=-------------------,%＞0,則1Th“(%)=-----------e(0,+oo),

令h(x)=x-l-ln(x+1),貝!=1—17=0在(。+8)上恒成立，

X~r1.，十人

故九(%)=x-l-ln(x+1)在(0+8)單調(diào)遞增，

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又h(2)=l-ln3<0,/i(3)=2-ln4>0,

故存在唯一的x()e(2,3)使得無(久0)=0,即為-1=In。。+1),

則當0(尤<x()時，h(x)<0,即g'Q)<0,當x>久()時，h(x)>0,即g'(x)>0,

所以g(x)在(0,&)上單調(diào)遞減，在(久°,+8)上單調(diào)遞增，

故g(x)min=9(孫)=(工。+1"+1)+2益+1=(X。+1)(刈-1)+2益+1=祀+2,

第0%0

故k>Xo+2,結合xo6(2,3),得劭+26(4,5),故整數(shù)k的最小值為5.

18.解：(1)由題可知，橢圓右焦點坐標為(1,0),拋物線焦點坐標為§,0)

所以］=l=p=2,

所以拋物線方程為*=4%,

⑵

由題可知，。為拋物線準線，所以點P到A的距離等于點P到焦點(1,0)的距離??；

聯(lián)立，+yX+3=o^y2+4y+12=°n(y+2)2+8=。,

顯然無實數(shù)根，故直線％與拋物線相離，記點P到12的距離為42,

所以心+d2的最小值為焦點(1,0)到直線/2：x+y+3=。的距離為法中=2

⑶

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設點力（Xo，y。），已知點0（0,0）,F（1,O）

所以ADOF的面積S，OOF=||yob

設△DOF的內(nèi)切圓半徑為r,

則有S,/0F=10F|r;S，/DF，DF|r；S，/0D=J?！?

所以S./”:S,/DF：S./OD：S.DOF=|0F|:|DF|:|0D|:（|0F|+\DF\+|0D|）,

、\OF\11

S

所以SA/OF=\0F\+\DF\+\0D\ADOF=J就+羽+汽0+1+1X'IyoI，

因為點。是拋物線C上一點（不同于坐標原點。），

所以配=*，yo*o-

q

]

所以S，IOF=&+2二。+1+1X打01=搦+羽+苧+2X301，

__________2__________

經(jīng)整理得：S“OF=Jy：+i6+|yol+島，

構造函數(shù)/（%）=J/+16+%+%%＞0）,

1O

得廣（%）=j；與-豆+L

1O

顯然/'（%）=j+與-殺+1單調(diào)增，

令/⑺=在1_e+1=0,解得久=竽，

所以當xe（o,竽）時，f（X）＜0,外均單調(diào)遞減；

當xe（￥，+8）時，r（x）＞0,/（X）單調(diào)遞增；

所以/（%）?/（竽）=苧，

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所以53=信€(0,中.

19.解：(1)因為得)'=%,所以設尸(x)=：+C,

又F⑴=1,代入上式可得F⑴=%1C=1,解得。=右1

所以F(%)=苧+2

(2)因為產(chǎn)(%)=fcosxdx=sinx+C,所以后cosxdx=sina—sin