山東省部分學校2025屆新高三上學期開學聯(lián)合教學質量檢測數(shù)

學試卷

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.若集合M={T2,3},N={T0,2,5},則（）

A.{-1,2}B.{-1,2,3}C.{-1,0,2,5}D.{-1,0,2,3,5}

2.在等比數(shù)列{0“}中，若。|=1,%=4,則。2a3=（）

A.2B.±2C.4D.±4

3.若非零向量凡不滿足|叫+則G+25在B方向上的投影向量為（）

1r一3--

A.—bB.bC.~bD.2b

4.已知點尸是直線冽=0上的動點，由點尸向圓O:，+/=i引切線，切點分別為MN

且N〃PN=90。，若滿足以上條件的點夕有且只有一個，則根=（）

A.72B.±72C.2D.±2

5.若兩個正實數(shù)x,y滿足4x+y=2盯，且不等式》+?</一加有解，則實數(shù)用的取值范

圍是（）

A.{ml-1<m<2}B.{加加<一1或加>2}

C.{m|-2<m<l}D.{加I加<一2或冽〉1}

6.（/—%的的展開式中//的系數(shù)為（）

A.30B.-30C.20D.-20

7.設函數(shù)小）=瓜皿8+夕）-1（。>0）,若對于任意實數(shù)0J（x）在區(qū)間py上至少2

個零點，至多有3個零點，則。的取值范圍是（）

A.[河B.[4,5）C.卜,小。.「司

8.已知函數(shù)/（x）=4，+（a-2）x2'-有4個不同的零點，則”的取值可以為（）

A.-3B.-2C.-eln2D.0

試卷第1頁，共4頁

二、多選題

9.已知復數(shù)Z”Z2的共軟復數(shù)分別為北,以，則下列命題為真命題的有（）

A.z1+z2=z1+z2B.卜<2|=卜卜歸2|

C.若Z]-Z2>0,則Z]>ZzD.若Z]Z2=0,則Z]=0或Z2=0

10.如圖，已知二面角a-1-/3的棱/上有4B兩點，Cea,ACVI,Dw(3,

A.直線AB與CD所成角的余弦值為45°

B.二面角a-1-p的大小為60°

C.三棱錐A-BCD的體積為28

D.直線CD與平面B所成角的正弦值為"

4

11.甲箱中有3個黃球、2個綠球，乙箱中有2個黃球、3個綠球（這10個球除顏色外，大小

、形狀完全相同），先從甲箱中隨機取出2個球放入乙箱，記事件/,B,C分別表示事件“取

出2個黃球”，“取出2個綠球”，“取出一黃一綠兩個球”，再從乙箱中摸出一球，記事件。

表示摸出的球為黃球，則下列說法不正確的是（）

A.A,3是對立事件B.事件3,。相互獨立

C.P⑵嗦D.尸

三、填空題

12.甲，乙兩人組成的“夢隊”參加籃球機器人比賽，比賽分為自主傳球，自主投籃2個環(huán)節(jié)，

其中任何一人在每個環(huán)節(jié)獲勝得2分，失敗得0分，比賽中甲和乙獲勝與否互不影響，各環(huán)

3

節(jié)之間也互不影響.若甲在每個環(huán)節(jié)中獲勝的概率都為:，乙在每個環(huán)節(jié)中獲勝的概率都為

4

P,且甲，乙兩人在自主傳球環(huán)節(jié)得分之和為2的概率為“夢隊”在比賽中得分不低于6

分的概率為.

試卷第2頁，共4頁

13.如圖，在四面體中，SA=SC=4i,AB=BC=&,AC=2￡,SB=43,則該四

面體的外接球體積為.

22

14.已知點P是雙曲線C：?-%=l(“>0力>0)右支上一點，耳、片分別為雙曲線C的左、

——1―?3——

右焦點，△尸片鳥的內切圓與x軸相切于點N,若PN=1PFI「PF2,則雙曲線C的離心率

為.

四、解答題

15.已知數(shù)列｛?！ǎ氖醉棡椋?；,且滿足。,+1+4。"+4-%=0.

數(shù)列，為等差數(shù)列;

(1)證明:

⑵設數(shù)列；的前n項和為S”,求數(shù)列｛(-I)"S,｝的前n項和.

16.已知V48c的內角內B,C的對邊分別為a,b,c,fecosC+ccosB=2?cos^.

(1)求角4

(2)若VABC中BC邊上中線AD的長度為3,求VABC面積的最大值.

17.如圖，四棱錐S-4BCD中，底面/BCD是矩形，SA=AD=2,AB=2垃,SC=4,

M是S3的中點，MC1BD.

⑴證明：SN_L平面/2C。；

試卷第3頁，共4頁

(2)若點P是棱SC上的動點，直線NP與平面/MC所成角的正弦值為叵，求II的值.

10SC

18.已知片、月分別為橢圓C：W+g=l(a>6>0)的左、右焦點，點尸(壁,1)在橢圓C上,

ab3

且A甲岑的垂心為〃(短尸3).

33

(1)求橢圓。的方程；

⑵設A為橢圓C的左頂點，過點用的直線/叫橢圓C于。、E兩點，記直線/￡的斜

率分別為K，k2,若%+七=一;，求直線/的方程.

⑶設d是從橢圓中心到橢圓在點0處切線的距離，當。在橢圓上運動時,判斷屋刷。閭是

否為定值.若是求出定值，若不是說明理由.

19.若函數(shù)/(x)在上存在者,尤2(。<玉<馬<勾，使得/'(%)=\"?一〃"),

b—a

4(工2，則稱/(x)是［?；厣系摹半p中值函數(shù)”，其中西,工2稱為/(X)在［凡句上

b-a

的中值點.

⑴判斷函數(shù)/卜)=/-3/+1是否是［-1,3］上的“雙中值函數(shù)”，并說明理由；

⑵己知函數(shù)/(x)=gx2-xlnx-“x,存在機>〃>0,使得/(刃)=［(〃)，且/'(x)是［〃,回上

的“雙中值函數(shù)”，%,%是/'(x)在［凡詞上的中值點.

①求。的取值范圍；

②證明：x,+x2>a+2.

試卷第4頁，共4頁

參考答案:

題號12345678910

答案DCCDBDBAABDABD

題號11

答案ABD

1.D

【分析】根據(jù)并集運算求解即可.

【詳解】因為M={T2,3},N={T,0,2,5},所以MuN={-l,0,2,3,5}.

故選：D.

2.C

【分析】由等比數(shù)列的性質計算即可.

【詳解】由于{0}是等比數(shù)列，且q=1,%=4,

所以a2a3=%%=4,

故選：C.

3.C

【分析】利用向量的模長關系可得濟在=-3同2,再由投影向量的定義即可求出結果.

【詳解】根據(jù)題意同=B+用可得同2=忖+.，

所以同2=同2+2,石+歸『，

又向量1,3為非零，則展3=-，可,

則。+25在B方向上的投影向量為邑也1口=土竺型石；-2+2加-=3^

WW麻I甲2

故選：C.

4.D

【分析】連接。/,ON,結合圓的切線性質可推得點尸在以點。為圓心，啦為半徑的圓C上,

再由題意可知該圓與直線x-y-機=0相切，利用點到直線的距離公式，即可求得答案.

【詳解】連接。M,CW,則9_LOM,RV_LCW.

答案第1頁，共16頁

又NMPN=90°,OM=ON,所以四邊形MPN。為正方形，尸。卜拒|。叫=五,

于是點尸在以點。為圓心，血為半徑的圓C上.

又由滿足條件的點尸有且只有一個，則圓C與直線尤-夕-加=0相切,

所以點O到直線x-y-加=0的距離d=V2,.hl=V2,解得m=+2.

故選：D.

5.B

【分析】根據(jù)題意，利用基本不等式求得,+/最小值，把不等式、+%〃"，〃有解’轉

化為不等式/一皿＞2,即可求解.

14

【詳解】由兩個正實數(shù)滿足4x+y=2盯，得一+—=2,

xy

L+2I4X

則尤+臺>—=2,

~2〔Yy4xJ

4xv

當且僅當一=六，即y=4x=4時取等號，

y4x

又由不等式x+」＜/-加有解，可得加2-%＞2,解得〃2＜-1或加＞2,

4

所以實數(shù)加的取值范圍為{嗣"7＜-1或機＞2}.

故選：B.

6.D

【分析】根據(jù)展開式的每一項的生成過程，結合組合數(shù)公式，即可求解.

【詳解】從5個含有丁,一的括號中，其中1個括號中取一個括號中取-x,3個括號

中取y,乘在一起構成dK這一項，

這一項為C〉工2?C；?(-X)?C；?V=-20/。，所以dy3的系數(shù)為-20.

故選：D

7.B

答案第2頁，共16頁

TT-SJT

【分析】原問題轉化為>=sin，在區(qū)間;口+夕,丁G+9上至少2個，至多有3個K使

_44_

V=sin%=①，求g取值范圍，數(shù)形結合判斷滿足條件區(qū)間長度，由此建立關于。的不等式,

2

解出即可.

【詳解】令/（x）=。，則sin（Gx+°）=,令則sin/=^^,

Jr37r

則原問題轉化為》=sin/在區(qū)間-co（p,--cD+（p上至少2個，至多有3個K使得

4+4

>=4型=包，求0得取值范圍,

2

故選：B.

8.A

【分析】轉化為方程（2'+應優(yōu)-2尤）=0有4個不同的根，且方程2-2x=0的2個根為

%=1/2=2,從而方程2'+辦=0有2個不同的根，且。片-2,進一步轉化為函數(shù)了=2,與

函數(shù)了=一辦的圖象有兩個交點，利用導函數(shù)與切線斜率的關系求解.

【詳解】由題意可得方程（23+"）（2,-2x）=0有4個不同的根.

方程2工-2x=0的2個根為占=1,X2=2,

所以方程2工+辦=0有2個不同的根，且。3-2,

即函數(shù)了=2,與函數(shù)了=-依的圖象有兩個交點.

當直線了=-依與函數(shù)了=2,的圖象相切時，設切點為（％,2工。），

答案第3頁，共16頁

因為廣2/2,所以p=:墨解得Xo=_L=I*=_eln2.

要使函數(shù)歹=2、與函數(shù)>=-辦的圖象有兩個交點，只需直線V=-辦的斜率大于eln2,

即一〃>eIn2=>a<-eIn2.

設g(x)=^^(x>0),則g'(尤)=e(l：nx),

XX

由l—lnx〉O=>O<x<e,l-lnx<0X>e,

所以g(x)在(O，e)上單調遞增，在(e,+8)單調遞減，

所以g(x)的最大值為g(e)=L

所以C<1neln2<2n-eln2>-2.

2

故。的取值范圍為-2)u(-2,-eIn2),

故選：A.

9.ABD

【分析】設4=4+6也=。+力，則z=。-例/2=c-di,逐項計算可判斷每個選項的正確

性.

【詳解】設4=a+bi/2=c+di且,貝!|馬=〃一風為=。一片，

zx+z2=a+b\+c+d\=a+c+(b+d)\,z1+z2=a+c-(b+d)i

所以Z]+z2=〃+c—(b+d)i,所以4+z2=Z]+z2,故A正確；

z^z2=(〃+bi)(c+di)=(ac-bd)+(Zc+ad)i

|zj,^2J~y](ac—bd)2+{be+ad)?=Na2c?+b2d?+62c?+a2d?

2222

=y]a+b^c+d=|ZjI-Iz2p故B正確；

當4=l+2i/2=2i時，滿足為-22=1>0,但不能得出2]>22，故C錯誤;

答案第4頁，共16頁

因為z/2=(ac—bd)+(be+ad)i=0,

ac-bd=Q

所以故D正確.

bc+ad=0

故選：ABD.

10.ABD

【分析】根據(jù)異面直線所成角、二面角、線面角定義，在圖形中作出直線與CO所成角、

二面角的平面角、直線。與平面所成角，結合已知條件計算判斷各項正誤.

【詳解】過點A作AE//BD,且AE=BD,連接CE,DE,如圖,

則四邊形ABDE是平行四邊形，即DEHAB且DE=AB,

NCDE是直線AB與CD所成角或其補角，

因為AC11,BD1.1,貝IjDELAE,DE1AC,

而AEoAC=A,AE,ACCL平面AEC,

所以DEL平面AEC,CEu平面AEC,所以DEICE,

則cos/CDE=2=里=叵,所以/CDE=45°,故A正確；

CDCD2

因為BDll,即AELI,又AC11,則/CAE是二面角a-l-p的平面角,

又CE=DE=2,結合AE=AC=2,即AACE是等邊三角形，

所以ZCAE=60°,故B正確；

因為DEL平面AEC,DEa/3,則平面平面AEC,

在平面AEC內過點C作CO1AE于點O,于是得C。，平面

0,CO=%AC=出,

11n

而=-AB-BD=2,VA^CD=VC3fO，ABD=:故C不正確；

連接DO,因為C。，平面P，則NCDO是直線CD與平面。所成角，

sinNCDO=辿=4=任,故D正確.

CD2V24

故選：ABD

答案第5頁，共16頁

11.ABD

【分析】由互斥事件及獨立事件的概念可判斷A,B項，由條件概率公式及全概率公式可判

斷C,D項.

【詳解】對于A,事件48不能同時發(fā)生，但能同時不發(fā)生，故8是互斥事件，但不

是對立事件，故A錯誤；

對于B,事件3發(fā)生與否，影響事件。，所以事件8,。不是相互獨立事件，故B錯誤；

對于C,尸（0=尸（⑷尸（。⑷+尸（8）尸（D忸）+尸（C）P（0C）

_C；C；砥c；C；C；C；16

__?-I------------------------I----------------------------------------故C正確;

C；C；ClC；CjC；35,

P1Q

對于D,尸（CO）=尸（C）尸故D錯誤.

故選：ABD

【分析】根據(jù)相互獨立事件的概率乘法公式即可求解.

【詳解】若甲，乙兩人在自主傳球環(huán)節(jié)得分之和為2,則甲乙兩人中一個人成功一個人失敗,

31S2

故概率為1（1-2）+?=丘，故,=§，

“夢隊”在比賽中得分不低于6分，則至少要贏3次，故概率為

12

X—X—+

33

故答案為:|2

9

13.一%/4.5萬

2

【分析】可根據(jù)四面體的棱長利用線面垂直的判定定理求得?平面45C,再利用正弦定

3

理求得VZBC的外接圓半徑為氏=不，再利用勾股定理確定該四面體的外接球球心。的位置

計算出該球半徑，即可求出該四面體的外接球體積.

【詳解】取4。的中點為。，連接SAAD,如下圖所示：

答案第6頁，共16頁

又SA=SC=4i,AB=BC=yj~6,/c=班可知50，/C,3D，NC,

且SD=C,BD=2；

又SDC\BD=D,且SZ),8Ou平面S2Z),

所以/C_L平面S8Z),

取AD的中點為E,連接SE,又SB=6,可得SELAD，且S￡=也；

又SEu平面SB。，所以/C_LSE,

又4CCBD=D,4C,3￡)u平面/BC,

所以S￡,平面45C；

在NABC中AB=BC=a,AC=24i,可知sin/=處=二="；

ABV63

￡=?=3=2R3

設V/3C的外接圓半徑為A,可得sin/一而一，解得火=:；

3

易知VNBC的外接圓圓心。必在直線上，設OD=x,

則/+后2=露，解得X=：，即可得。為DE的中點，

又因為SE，平面ABC,所以該四面體的外接球球心O'一定在過0且平行于SE的直線上,

設。。'=/?,外接球半徑為R,

所以(SE+O'O)2+(；J=O'O2+R2,即(后+/;『+；=『+：,解得0。=〃=0；

3

因此該四面體的外接球球心。與V/5C的外接圓圓心。重合，此時

2

所以該四面體的外接球體積為/=2兀.

3⑴2

9

故答案為：

3

【點睛】關鍵點點睛：本題關鍵在于利用正弦定理求得V/8C的外接圓半徑并確定圓

2

答案第7頁，共16頁

心位置，以此能確定該四面體的外接球球心O'的位置進而求得外接球半徑，即可得出該四

面體的外接球體積.

14.2

【分析】結合圓的切線的性質利用雙曲線的定義，可得出N|=c+a,再由麗=:兩+：電

可得忸進而由閨M列方程可求離心率.

【詳解】直線尸片,尸區(qū)分別與內切圓的切點為M,。，如圖所示：

'PM\=\PQ\

由切線的性質可得FXM\=\FXN,

F2Q\=\F2N

由雙曲線的定義可得|尸耳|一|尸段=2%BP\PM\+\FXM\-(\PQ\+17^0|)=2a,

所以閨MT月Q|=2a,即國rN|=2a,

又閨N|+困N|=2c,因此閨N|=c+a.

設麗=/曬，則麗=兩+不=兩+/而=可+/巧-所)=(―fF.+tPF^,

^PN=-PFl+-PF2,因此t建.于是6N=彳片￡,即忸叫=丁，

3c

所以由山N|=c+a=1c,可得：=2,即e=2.

故答案為：2.

15.(1)證明見解析

J/+%〃為偶數(shù)

⑷"一為奇數(shù)

【分析】(1)將遞推數(shù)列變形，結合等差數(shù)列的定義，即可證明;

答案第8頁，共16頁

(2)由(1)的結果可知S.，再分別討論“為奇、偶的兩種情況(-1)"S”的前〃項和.

【詳解】⑴因為%+4。,+］。"-%=0,%=；，

若=°，貝與q=|■矛盾，

所以%。產(chǎn)°，所以。“-%+1=乜%+1，

所以」-=4,因為％=［,所以一=2,

%+1an2%

所以數(shù)列是以首項為2,公差為4的等差數(shù)列.

(2)由(1)知,=2+("-1>4=4〃-2,

an

2+4n2n

數(shù)歹1J［工］的前?項和為Sn=(-)=2n2,

［a?\2

所以(-1)"y=2.(-1)“,

設數(shù)列｛(-1)"1｝的前〃項和為北，

當n為偶數(shù)時北=2[-F+2?-32+---(?-1)2+H2],

因為〃2-(〃_1)2=2〃-1,

所以<=213+7H--1-(2"-1)]=2----------=(〃+)=h+)>

當“為奇數(shù)時，〃-1為偶數(shù).

22

Tn=Tn_x+2?(-1)〃〃2=(〃_1)〃_2n=-n-n,

在“J"+〃，〃為偶數(shù)

所以小為奇數(shù)

71

16.(1)/=§

(2)373

【分析】(1)根據(jù)正弦定理邊角互化和三角函數(shù)恒等變換可求解；

(2)通過向量的運算和基本不等式性質和三角形面積公式可求得面積的最大值.

【詳解】(1)由題意知6cosC+ccosB=2acosN,

答案第9頁，共16頁

由正弦定理=—=.c得,sin5cosC+sinCeos8=2sinZcos4,

sinAsinBsinC

所以5畝（5+。）=25出4恒54，

又因/+5+。=兀，貝1]5+。=兀一4,

所以sin(5+C)=sin(兀一/)=sin/=2sin/cosA,

因/為V/BC的內角，所以sin/wO,

由sin/=2sinAcosA得cosA=—,則/、.

（2）因40是V48c中BC邊上中線,

—?1—?1.

則4D=-48+—ZC,

22

^2AD=AB+AC-所以［2而「=|次+%j,

則,麗2=畫+2網(wǎng)同卜os/+阿，

所以36=〃+/+23bc，

所以6c412,當且僅當6=。時，等號成立.

故S^ABC-sin/=^~bc<3y/3,即VABC面積的最大值為3百.

⑵;

【分析】（1）取的中點N,連接MN,CN,推導出8。工平面CW,再利用線面垂直的

性質定理結合勾股定理逆定理可證得結論成立；

（2）以點/為坐標原點，建立空間直角坐標系，設原=2豆，其中0WXW1,求出平面4A/C

的一個法向量的坐標，利用空間向量法可得出關于彳的方程，解出4的值，即可得解.

【詳解】（1）取N2的中點N,連接MN,CN,BD與CN交于Q點,

答案第10頁，共16頁

在底面矩形ABCD中，易知tanZDBC=—■=6=tanZBNC=—,

BCBN

所以ZBNC=ZDBCnBDLCN,

因為MC_LBD,拉cnNC=C,MC、NCu平面CW,

所以BD上平面CW,

因為跖Vu平面CW,所以

易知MNIISA,所以8D_L&4,

22

由題意可知/C2+=12=SC-SA,

所以S/_L/C,而NC,2。相交，且NC,ADu平面48CD,

所以S/_L平面48C。；

(2)由上可知&4_L40,SA1AB,ABLAD,

以點/為坐標原點，建立如下圖所示的空間直角坐標系,

則4（0,0,0）、5（0,0,2）、〃2,2后,0）、3（0,2拒,0）、

設平面NMC的法向量為記=（x,y,z）,則就=（2,2板,0）,^57=（0,72,1）,

mAC=1x+1y/2y=0=/l

則_仁，取X=亞，貝!］玩="-1,收，

m?AE=y/2y+z=0

設爐=2五=4（2,2后,一2）=（2九2四，一22）,其中0W/W1,

則萬=萬+豆=（0,0,2）+（22,2^2,-22）=俾,2伍2-22）,

答案第11頁，共16頁

因為直線/尸與平面/MC所成角的正弦值為畫,

10

?一?\m-AP\|2V2(l-2V30

貝ljcosAP,m\=-——1=^-=——―-----,

11\ffi\\AP\V5-A/1622-82+410

1sp1

解得人"即正=4

22

18.(1)—+21=1

43

⑵7x-y-7=0

(3)是定值12

【分析】(1)根據(jù)題意，得到不〃，尸耳，利用直線斜率求得。的值，再借助于橢圓上的點

和a,6,c的數(shù)量關系即可求出a,b,即得橢圓方程；

22

(2)先證明過橢圓C:J+4=l,(機>”>0)上一點。(%,%)的切線方程為岑+岑=1,

mnmn

7121

計算原點到切線的距離d=石打了，由橢圓的第二定義得=5民+4|和

|空|=-4|,對相|°百|\QF21化簡計算即得.

【詳解】(1)設百(-c,0),乙(c,0),由△甲岑的垂心為〃(手,_令知片”，咚

_5

al945

故凝—原尸2=5^---云石—=也化簡得，飛"-/=§，解得c=L

---+C------C

33

又因點尸(半,1)在橢圓。上，則《+，=1，

241廠

因/=/_],故得+=1,解得°=2/=石，

9aa-1

22

故橢圓C的方程為土+匕=1.

43

(2)

答案第12頁，共16頁

如圖,由（1）知，如-2,0）,工（1,0）,若直線/的斜率不存在,

由對稱性可得，左+履=0,不合題意;

若直線/的斜率為左，貝!1/的方程為>

y=k(x-Y)

由，x1v2消去》得，(4/+3)X2-8/X+4F-12=0,①

——+—=1

[43

8/4k2-12

顯然A>0,設。（無1，必）,￡（均％）,則占+工2=4左2+3，*/一4后z+3

y2_k(xt-1)[k(x2-1)皂+1-二

于是，kx+k2==后（1一

演+2x2+2玉+2x2+2玉+2x2+2,

8k2

3(+4)

=k[2——3(占+0+4)_4左2+3

]=k[2解得,k=7,

4/7216k2

再入2+2(匹+X2)+4

4F+J+4p+3

則直線/的方程為7x7-7=0.

22

（3）先來證明過橢圓C:二+5=1,（加>”>0）上一點。（%,%）的切線方程為耳+理=1.

mnmn

由橢圓c：=+^=i,可得，4=i-^

mnnm

當V>0時,

1x0

No

n

???切線方程為y-No

222222

整理為：nx0x+myoy=my1+nx1=mn,

兩邊同時除以溫得:滬季=1.

答案第13頁，共16頁

同理可證：為<0時，切線方程也為其+嘩=1.

mn

當先=0時，切線方程為X=土優(yōu)滿足竺+理=1.

mn

綜上,過橢圓上一點0(%,%)的切線方程為考+理=1.

mn

依題意，設橢圓上的點。(X。,%),則過點0(%/。)的切線方程為苦+竽=1,

即3%尤+4%了-12=0,原點到切線的距離為

7121212

—----------------------—1-—------------------

1J9x；+16y；板+4（12-3年）擲-3"

則凰=同理|°用=；上一

由橢圓的第二定義，卜aJx0+4|,4|,

則|。用|。用=#；-同=；(167；),

故屋|0月||。用=^\x；(16-幻=12為定值.