知識點一復數(shù)的概念

【基礎指數(shù)框架】

1.形如z=a+沅（a、beR）的數(shù)叫復數(shù)，其中，為虛數(shù)單位，a、〃分別為復數(shù)z的實部和虛部；

2.對于復數(shù)z=a+4（a、beR）,當且僅當b=0時為實數(shù)，當且僅當。=/?=0時為實數(shù)0,當6/0時為虛數(shù)，

當。=0且5/0時為純虛數(shù)；

3.平面直角坐標系可用來表示復平面，x軸稱為實軸，y軸稱為虛軸.實軸上的點都表示實數(shù)，除原點外虛軸上的

點都表示虛數(shù)；

4.復數(shù)z=a+初（a、beR）與復平面上的點（a,6）一—對應；

5.復數(shù)z=a+沅（a、beR）與平面向量方-對應.OZ的模稱為復數(shù)z=a+初（a、beH）的模或絕對值，記

作忖或,+沅|,Bp|z|=|a+Z?z|=-Ja+bi；

6.對于復數(shù)z=a+加（a、beR）,a—次稱為復數(shù)z的共朝復數(shù)，記作已

【例題分析】

例1.（2024春?鐵東區(qū)校級月考）復數(shù)z=2（cos匹+isin匹）虛部是（）

33

A.石B.1C.sin—D.cos—

33

例2.（2024春?和平區(qū)校級月考）已知復數(shù)2=（4+2?）（1-。為純虛數(shù)，則實數(shù)a=（）

17

A.--B.--C.2D.-2

23

例3.（2024?香坊區(qū)校級四模）已知，是虛數(shù)單位，若（a+2i）（l-i）為純虛數(shù)，則實數(shù)a的值為（）

A.0B.1C.2D.-2

例4.（2024春?臺州期中?多選）在復平面內(nèi)，下列說法正確的是（）

A.-i2=-1

B.（-02=-1

C.若a>b,貝!Ja+i>6+i

D.若復數(shù)z滿足z2<0,貝Uz是虛數(shù)

例5.（2024?開封模擬?多選）已知復數(shù)z=a+i,z?=1+初（其中i是虛數(shù)單位，a,beR）,若yz?為純虛數(shù),

則（）

A.a—b=OB.a+b=OC.ab^—1D.ab^l

【變式訓練】

1.（2024春?浦東新區(qū)校級月考）已知i為虛數(shù)單位，則復數(shù)z=（1-2）的實部為—.

2.（2024春?忻城縣校級期中）復數(shù)z=3-2阻為虛數(shù)單位）的虛部為（）

A.2B.-2C.2;D.-2z

3.（2024?新鄉(xiāng)三模）已知2=（1-3，）（。+好（4€火）為純虛數(shù)，貝！U=（）

A.3B.-3C.-D.--

33

4.（2024春?重慶期中?多選）下列命題中，真命題為（）

A.復數(shù)z=a+次為純虛數(shù)的充要條件是a=O

B.復數(shù)z=l-3，的共輾復數(shù)為彳=1+3，

C.復數(shù)z=1-31的虛部為-3

D.復數(shù)&z=l+i,貝!|z2=i

5.（2024春?興化市期中?多選）對于復數(shù)2=〃+砥a,6eR）,則下列結論中錯誤的是（）

A.若a=O,則a+次為純虛數(shù)B.若z=3-2,，貝!Ja=3,6=2

C.若6=0,則a+次為實數(shù)D.若。=人=0,貝Uz不是復數(shù)

知識點二復數(shù)的四則運算

【基礎指數(shù)框架】

1.對于復數(shù)為二%+［，（％、仄eR）,Z2=%+仇，（%、仇仁火）

(1)4+Z2=(%+%)+(4+4)，；21-Z2=(%-%)+([；

(2)Z]?22=(％+[，)(%+/?2，)=勾〃2+〃也，+12妙+4”2/=(%。2一瓦1琦+(01b2+%[)，；

Z1_ax+b{i_(%+3)(。2—d，)_。1。2-磔2?+她'一姑2『_(%%+結2)+(。24一%卜)，

z2a2+b2i(a2+包，)(。2一4，)a；-b；i2。2+02

【例題分析】

1.(2024?新高考I)若二=l+i,貝Uz=()

z—1

A.-1-zB.-1+zC.1-zD.1+z

2.（2024?北京）若復數(shù)z滿足三=-1-i,則z=（）

i

A.-1-zB.-1+zC.1-zD.1+z

3.(2024?甲卷)設z=y/2i,貝!|z?Z=()

A.—iB.1C.-1D.2

4.(2024?甲卷)設z=5+3則i(2+z)=()

A.10zB.2iC.10D.-2

5.(2023?新高考U)在復平面內(nèi)，（l+3i）（3-z）對應的點位于（)

A.第一象限B.第二象限c.第三象限D(zhuǎn).第四象限

已矢Dz=」-L,則z-N

6.(2023?新高考I)=()

2+2，

A.—iB.iC.0D.1

7

7.（2024?上海）已知虛數(shù)z,其實部為1,且z+4二雙加￡尺），則實數(shù)加為

z

8.（2023?天津）已知，?是虛數(shù)單位，化簡士區(qū)的結果為

2+3,

【變式訓練】

1.（2023?北京）在復平面內(nèi)，復數(shù)z對應的點的坐標是（-1,若），貝。z的共軟復數(shù)2=()

A.1+拒iB.1—y/3iC.-1+A/3ZD.-1-73/

2.(2023?甲卷)若復數(shù)(a+i)(l-))=2,awR,貝Ua=()

A.-1B.0C.1D.2

3.(2023?乙卷)|2+/+2『|=()

A.1B.2C.A/5D.5

4.(2022?浙江)已知a,beR,a+3i=(6+)(i為虛數(shù)單位)，則()

A.a=l9b=—3B.a=—1,b=3C.a=—1,b=—3D.a=1,b=3

5.(2022?北京)若復數(shù)z滿足3z=3—今，則|z|=()

A.1B.5C.7D.25

6.(2022?甲卷)若z=—l+7^,則~^—=()

zz—1

n1G

A.-1+后B.-1-A/3ZC.—Z

3333

7.(2022?新高考I)若i(l-z)=l,貝!]z+5=()

A.-2B.-1C.1D.2

8.(2022?乙卷)已知z=l—2i,且z+aN+/=O,其中“，6為實數(shù),則()

A.a=l9b=—2B.a=—lfb=2C.a=l9b=2D.a=—1,b=—2

知識點三復數(shù)的幾何應用、代數(shù)應用與周期性

【基礎指數(shù)框架】

1.在復數(shù)范圍內(nèi)解二次方程

對于二次方程ox2+Zzx+c=O（awO）,A=Z?2-4-ac,x=~—色^

若△＜（）,則石==招.，,如F=@.

2.周期性：若neN,則產(chǎn)=1；產(chǎn)』；z4,,+2=-l；z4,!+3=-z.

3.幾何意義：設zwC,則滿足|z-z/=7%的點Z的集合表示的圖形為以馬為圓心，半徑為陽的圓.

【例題分析】

例1.(2023?乙卷)設2=2：，貝|]2=()

l+z2+z5

A.l-2zB.l+2iC.2-iD.2+z

例2.（2024?安康模擬）若z滿足z（l+i）=2尸-產(chǎn)2、z對應的點Z關于原點對稱的點為ZL則Z，對應的/為（）

.31.R31.?31.n31.

22222222

例3.（2024?襄城區(qū)校級模擬）已知復數(shù)2=3。+411電是虛數(shù)單位，O&R）,貝1」|2-1-，|的最小值是（）

A.72B.72-1C.72+1D.1

例4.（2024?吉林四模）已知復數(shù)z滿足|z+2|+|z-2|=6,則復數(shù)z在復平面內(nèi)所對應的點的軌跡為（）

A.線段B.圓C.橢圓D.雙曲線

例5.（2024?陽泉三模）已知2+i是實系數(shù)方程無2+/-4=0的一個復數(shù)根，貝U/2+q=（）

A.-9B.-1C.1D.9

例6.（2024?江蘇模擬）已知i（z'是虛數(shù)單位）是方程尤②+ax+Z?=O（a,beK）的根，則（)

A.a-\-b=\B.a—b=lC.a+b=OD.a—b=O

【變式訓練】

5(1+/)

1.(2023?甲卷)

(2+0(2-0-)

A.-1B.1C.1-/D.1+z

2.（2024?邵陽模擬）已知復數(shù)z滿足:z（l+0=z2024-f,其中i是虛數(shù)單位,則|z|的值為（）

A.近B.1C.2D.4

3.（2024?全國二模）已知復數(shù)z滿足|z-4+5i|=l,貝!]z在復平面內(nèi)對應的點位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

4.（2024?泰州模擬）若復數(shù)Z滿足|z-l|=|z+",則|z-l|的最小值為（）

B,也

A.-C.1D.y/2

22

已知4，Z2為方程f-4元+13=0的兩個虛根，則二十二二（

5.（2024?廣東模擬）)

14|\z21

A?若萬B.而C.夢D.--713

13

6.（2024?棗莊模擬）已知復數(shù)3+2i是方程/+依+13=0的一個根，貝！）實數(shù)。=（)

A.-5B.5C.-6D.6

知識點四復數(shù)的三角表示

【基礎指數(shù)框架】

1.復數(shù)的三角表示

一般地，任何一個復數(shù)z=a+初都可以表示成「(cosO+isin，)的形式.其中，r是復數(shù)z的模；。是以x軸

的非負半軸為始邊，向量&所在射線(射線0Z)為終邊的角，叫做復數(shù)之z=a+沅的輻角.r(cos6?+zsin6>)

叫做復數(shù)2=。+次的三角表示式，簡稱三角形式.為了與三角形式區(qū)分開來，a+初叫做復數(shù)的代數(shù)表示式，簡

稱代數(shù)形式.(任何一個不為零的復數(shù)輻角有無數(shù)多個，且相差2》的整數(shù)倍，我們規(guī)定在范圍內(nèi)的輻

角。的值為輻角的主值，記為argz).

2.復數(shù)乘、除的三角表示及其幾何意義：對于復數(shù)Zi=/](cosa+isinq),Z2=^(cos%+，sing)

(1)Zj-z2=i\r2[cos(^+g)+isin(a+2)]；

(2)—=—[cos(^-)+zsin(^-)].

Z

2丫2

【例題分析】

例1.(2023?全國?高一專題練習)以下不滿足復數(shù)工-小的三角形式的是()

2

A.B.cos+isinTJ

1171

C.D.cos+isin

例2.（2023?江蘇?高一專題練習）復數(shù)z=Ti化成三角形式，正確的是（

/3兀..3兀1（3兀..3兀1

A.41cos—+isin—IB.-41cos—+isin—I

/3K..3兀）（3兀..3兀）

C.41cos--isin—ID.-41cos--isin—I

例3.(2022秋?內(nèi)蒙古赤峰?高二?？计谀?歐拉公式e，=cosx+isinx(其中i為虛數(shù)單位，xeR)將指數(shù)函

數(shù)的定義域擴大到復數(shù)，建立了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關聯(lián)，在復變函數(shù)論中占有非常重要的地位，被譽為數(shù)學

中的天橋.依據(jù)歐拉公式，則(

A.e疝=0B.e日為實數(shù)

eri1

D.復數(shù)9對應的點位于第三象限

g+i

例4.（2023春?全國?高一專題練習）計算：8（cos240°+isin240°）-2（cos1500-isin150°）.

【變式訓練】

1.（2023?高二課時練習）復數(shù)一i的三角形式是（）

71..71c..廠37r..3%c71（7l\

AA.cos----ism—B.sm^+icosTrC.cos—+isin-D.cos—+isin-----

2222212）

2.（2022春?江西南昌?高一校考期中）復數(shù)僅inlO°+，coslO］（sinlO°+，coslO。）的三角形式是（）

A.sin30°+，cos30°B.cos1600+zsin160°

C.cos30°+，sin30°D.sin1600+zcos160°

3.（2023春?全國?高三校聯(lián)考階段練習）任何一個復數(shù)z=a+歷（。*eR）都可以表示成

z=r（cos6+isine）（r20,6eR）的形式，通常稱之為復數(shù)的三角形式.法國數(shù)學家棣莫弗發(fā)現(xiàn)：

nn

［rCcos^+isin0）］=r（cosnd+isinnd\neZ）,我們稱這個結論為棣莫弗定理.則］（1-后嚴2=（）

A.1C._22022D.i

4.（2023春?全國?高一專題練習）計算:

C兀??兀/、1173.兀..兀)

(1)3(cos^-+isin^x2cos——ism—1xcos----ism—I

66⑵一5+萬166

7

知識點五以復數(shù)為背景的綜合計算

【例題分析】

例1.（2024?山東模擬?多選）已知zrZ?為方程x?+2x+3=0的兩根，貝U（）

A.|Zj-^|=2A/2B.-+—=

Z]z23

C.IZjI+1z21=2括D.z、一z?=z、一z?

例2.（2024春?深圳月考?多選）已知復數(shù)4，z2,下列結論正確的有（）

A.若Z]-Z2>0,則Z]>z2

B.若z；=z；,貝！J|z"=|Z]|

C.若復數(shù)Z2滿足IZ2-2i|=3,則Z2在復平面內(nèi)對應的點的軌跡為圓

D.若％=T+3i是關于x的方程+px+q=O（p,q￡R）的一個根，貝ljp=8

例3.（2024春?耒陽市期中?多選）若復數(shù)z=2+，，則下列命題是真命題的是（）

A.z-z=5

C.行i|二|z|

D.若z是關于x的方程d+mx+n=0（m,nGR）的根，則加=一20

例4.