2024-2025學(xué)年北京市育才學(xué)校高三下學(xué)期模擬考試（1）數(shù)學(xué)試題試卷

考生須知：

1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色

字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。

2.請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。

3.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.設(shè)機(jī)，”是兩條不同的直線，戊，是兩個(gè)不同的平面，給出下列四個(gè)命題：①若"〃/〃，mL（3,則“J_〃；

②若根〃a,m〃夕，則M/萬；③若加J_a,nila,貝！④若mlIa,mYf3,則。_L〃；其中真命題的個(gè)

數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

2.已知a=（1,3）,Z?=（2,2）,c=（〃,一1）,若（a-c）J_Z?,則九等于（）

A.3B.4C.5D.6

3.已知平面ABCD,平面ADEN,ABLAD,COLAD,且AB=3,AD=CD=6,ADEb是正方形，在正方形

ADEF內(nèi)部有一點(diǎn)〃，滿足與平面ADEF所成的角相等，則點(diǎn)"的軌跡長度為（）

44

A.—B.16C.-71D.87r

33

4.已知數(shù)列｛4｝的前幾項(xiàng)和為S“，且(S“+1)(S〃+2+1)=(S〃M+1)2(〃WN*),6=1,4=2,則S"=()

A.—------LB.2C.2〃—1D.2+1

2~

5.設(shè)。，尻CER且，>〃，則下列不等式成立的是()

,io11b

A.c—a<c—bB.ac2>be1C.—<—D.一<14

aba

QI。

6.已知a=ln班，b=e-，c=—?jiǎng)t。，b,。的大小關(guān)系為()

8

A.a>b>cB.a>c>bC.b>c>aD.b>a>c

7.下列函數(shù)中，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱的為()

B./(x)=+2%+V7-2x,xe[-1,2]

ex+e

C./(x)=sin8xD.7(%)=--

8.把函數(shù)，(x)=sin2x的圖象向右平移3個(gè)單位，得到函數(shù)g(x)的圖象.給出下列四個(gè)命題

①g(x)的值域?yàn)?0/

TT

②g(x)的一個(gè)對(duì)稱軸是x

③g(x)的一個(gè)對(duì)稱中心是

④g(x)存在兩條互相垂直的切線

其中正確的命題個(gè)數(shù)是()

A.1B.2C.3D.4

9.如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積()

A.6+2A/3B.6+2應(yīng)C.4+472D.4+46

10.設(shè)非零向量a,b，c,滿足出1=2,\a\=\,且匕與a的夾角為。，則‘1|=6”是“6=三”的().

A.充分非必要條件B.必要非充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

11.如圖，棱長為1的正方體A3CD-A4GR中，P為線段A片的中點(diǎn)，分別為線段A￡和棱片G上任意

一點(diǎn)，則的最小值為()

C.73D.2

12.定義在R上的函數(shù)〃x)=x+g(x),g(x)=-2x—2+g(—2—%),若/'(x)在區(qū)間上為增函數(shù)，且存在

-2<r<0,使得/(。)?/⑺<。.則下列不等式不一定成立的是()

A.f(t2+t+l)>fB./(-2)>0>/(Z)

c./a+2)>/a+i)D.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.如圖，某地一天從614時(shí)的溫度變化曲線近似滿足函數(shù)y=Asin(ox+0)+b,則這段曲線的函數(shù)解析式為

14.運(yùn)行下面的算法偽代碼，輸出的結(jié)果為S=

S-0

FortFrom1To10Step1

s—s+—?—

Ki+D

EniFbr

PrintS

y>x

15.已知實(shí)數(shù)X,y滿足2x—y20,則z=」一的最大值為____.

_x+2

無+y<5

16.某地區(qū)連續(xù)5天的最低氣溫(單位：。C)依次為8,-4,-1,0,2,則該組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)已知函數(shù)/(x)=x?-6x+41nx

(1)求AM單調(diào)區(qū)間和極值;

(2)若存在實(shí)數(shù)a,b,c(O<a<Z?<c),使得/(a)=門也)=/(c),求證：c—a<2

18.(12分)已知二階矩陣一-，矩陣屬于特征值的一個(gè)特征向量為,屬于特征值一的

一個(gè)特征向量為一.求矩陣-.

二:=?~

19.(12分)如圖，點(diǎn)。是以為直徑的圓。上異于4、3的一點(diǎn)，直角梯形BCDE所在平面與圓。所在平面垂

直，ADEIIBC,DCLBC,DE=-BC=2,AC=CD=3.

—2

(1)證明：EO//平面AC。；

(2)求點(diǎn)E到平面ABD的距離.

20.(12分)已知｛4｝是等差數(shù)列，滿足%=3,4=12,數(shù)列也｝滿足4=4,仇=20,且也—%｝是等比數(shù)

列.

(1)求數(shù)列｛?！埃鸵玻耐?xiàng)公式；

(2)求數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和.

21.(12分)2019年6月，國內(nèi)的5G運(yùn)營牌照開始發(fā)放.從2G到5G,我們國家的移動(dòng)通信業(yè)務(wù)用了不到20年的時(shí)

間，完成了技術(shù)上的飛躍，躋身世界先進(jìn)水平.為了解高校學(xué)生對(duì)5G的消費(fèi)意愿，2019年8月，從某地在校大學(xué)生中

隨機(jī)抽取了1000人進(jìn)行調(diào)查，樣本中各類用戶分布情況如下：

用戶分類預(yù)計(jì)升級(jí)到5G的時(shí)段人數(shù)

早期體驗(yàn)用戶2019年8月至2019年12月270人

中期跟隨用戶2020年1月至2021年12月530人

后期用戶2022年1月及以后200人

我們將大學(xué)生升級(jí)5G時(shí)間的早晚與大學(xué)生愿意為5G套餐支付更多的費(fèi)用作比較，可得出下圖的關(guān)系(例如早期體驗(yàn)

用戶中愿意為5G套餐多支付5元的人數(shù)占所有早期體驗(yàn)用戶的40%).

人數(shù)占比

(1)從該地高校大學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，估計(jì)該學(xué)生愿意在2021年或2021年之前升級(jí)到5G的概率；

(2)從樣本的早期體驗(yàn)用戶和中期跟隨用戶中各隨機(jī)抽取1人，以X表示這2人中愿意為升級(jí)5G多支付10元或10

元以上的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(3)2019年底，從這1000人的樣本中隨機(jī)抽取3人，這三位學(xué)生都已簽約5G套餐，能否認(rèn)為樣本中早期體驗(yàn)用戶

的人數(shù)有變化？說明理由.

22.(10分)已知函數(shù)/(%)=Zsin?%+2Gsinxcosx-l,xeR.

(1)求大好的單調(diào)遞增區(qū)間;

A

(2)AASC內(nèi)角A、B、。的對(duì)邊分別為。、b、c,若/(耳)=1且A為銳角，〃=3,sinC=2sinBf求△ABC的面積.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.C

【解析】

利用線線、線面、面面相應(yīng)的判定與性質(zhì)來解決.

【詳解】

如果兩條平行線中一條垂直于這個(gè)平面，那么另一條也垂直于這個(gè)平面知①正確；當(dāng)直線加

平行于平面a與平面夕的交線時(shí)也有相〃mlIp,故②錯(cuò)誤；若加，則機(jī)垂直平面

a內(nèi)以及與平面e平行的所有直線，故③正確；若加〃a,則存在直線/ua且機(jī)/〃，因

為,所以/，/?,從而故④正確.

故選：C.

本題考查空間中線線、線面、面面的位置關(guān)系，里面涉及到了相應(yīng)的判定定理以及性質(zhì)定理，是一道基礎(chǔ)題.

2.C

【解析】

先求出a-c=(1-〃,4),再由(a-c)J_Z?,利用向量數(shù)量積等于0,從而求得〃.

【詳解】

由題可知a—c=(l—〃,4),

因?yàn)?a—c)，6,所以有(1—”)x2+2x4=0,得〃=5,

故選：C.

該題考查的是有關(guān)向量的問題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有向量的減法坐標(biāo)運(yùn)算公式，向量垂直的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)題目.

3.C

【解析】

根據(jù)與平面ADEF所成的角相等，判斷出"0=240,建立平面直角坐標(biāo)系，求得"點(diǎn)的軌跡方程，由

此求得點(diǎn)M的軌跡長度.

【詳解】

由于平面A3CD，平面ADEF,且交線為AO,AB±AD,CD±AD,所以AB,平面ADEF,CD,平面ADEF.

所以NBMA和NCMD分別是直線MB,與平面ADE尸所成的角，所以=所以

tanZBM4=tanZOWD,即任=絲，所以上ZD=2A".以A為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系如下圖所示，貝I

AMMD

A(0,0),0(6,0),設(shè)〃(國y)(點(diǎn)"在第一象限內(nèi))，由Affi>=2AM得=432,即

(%-6)2+/=4(%2+/),化簡得(％+2)2+/=42,由于點(diǎn)"在第一象限內(nèi)，所以4點(diǎn)的軌跡是以G(—2,0)為

圓心，半徑為4的圓在第一象限的部分.令尤=0代入原的方程，解得y=±2g,故"(0,26),由于G4=2,所以

JFTT47r

ZHGA=-,所以點(diǎn)M的軌跡長度為一x4=—.

333

故選：C

本小題主要考查線面角的概念和運(yùn)用，考查動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的求法，考查空間想象能力和邏輯推理能力，考查數(shù)形結(jié)合

的數(shù)學(xué)思想方法，屬于難題.

4.C

【解析】

根據(jù)已知條件判斷出數(shù)列｛S“+l｝是等比數(shù)列，求得其通項(xiàng)公式，由此求得s“.

【詳解】

由于(S〃+1)(S“+2+1)=(S.M+1)2(〃WN*),所以數(shù)列｛S“+l｝是等比數(shù)列，其首項(xiàng)為1+1=卬+1=2,第二項(xiàng)為

4

52+1=6+4+1=4,所以公比為,=2.所以S“+l=2",所以S“=2"—1.

故選：C

本小題主要考查等比數(shù)列的證明，考查等比數(shù)列通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題.

5.A

【解析】

A項(xiàng)，由a>6得至,則c-a<c-b,故A項(xiàng)正確；

B項(xiàng)，當(dāng)c=0時(shí)，該不等式不成立，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；

C項(xiàng)，當(dāng)。=1,6=-2時(shí)，1〉—工，即不等式!〈工不成立，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；

2ab

bb

D項(xiàng)，當(dāng)Q=—l,匕=—2時(shí)，一二2〉1,即不等式一<1不成立，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.

aa

綜上所述，故選A.

6.D

【解析】

構(gòu)造函數(shù)/(x)=g,利用導(dǎo)數(shù)求得/(%)的單調(diào)區(qū)間，由此判斷出a,"c的大小關(guān)系.

X

【詳解】

依題意，得”=in^=也，b=e-1=—,c=迎上=度.令/(x)=史，所以r(x)=主段.所以函數(shù)f(x)

3e88xx

在(0,e)上單調(diào)遞增，在(e,+co)上單調(diào)遞減.所以"(x)]1mx=/(0)=工=人，且/⑶>/(8),即a>c,所以Z?>a>c.

e

故選：D.

本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，考查對(duì)數(shù)式比較大小，屬于中檔題.

7.D

【解析】

圖象關(guān)于y軸對(duì)稱的函數(shù)為偶函數(shù)，用偶函數(shù)的定義及性質(zhì)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行判斷可解.

【詳解】

圖象關(guān)于y軸對(duì)稱的函數(shù)為偶函數(shù)；

-xX

A中，XGR=-/w,故/(x)=為奇函數(shù);

J(-X)2+1Vx2+1

B中，/(x)=j7+2x+J7-2x的定義域?yàn)閇-1,2],

不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故為非奇非偶函數(shù);

C中，由正弦函數(shù)性質(zhì)可知，/(x)=sin8%為奇函數(shù)；

。中，xeR且xwO,/(T)=e,故/(x)=,邛”為偶函數(shù).

(—X)X

故選：D.

本題考查判斷函數(shù)奇偶性.判斷函數(shù)奇偶性的兩種方法:

⑴定義法：對(duì)于函數(shù)/Xx)的定義域內(nèi)任意一個(gè)X都有/(x)=-/(-X),則函數(shù)/(尤)是奇函數(shù)；都有/(X)=A(-X),

則函數(shù)了(元)是偶函數(shù)

(2)圖象法：函數(shù)是奇(偶)函數(shù)。函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)(V軸)對(duì)稱.

8.C

【解析】

由圖象變換的原則可得g(x)="1cosf2x-^j+1,icosf2x-^je[-1,1]可求得值域；利用代入檢驗(yàn)法判斷②③;

對(duì)g(x)求導(dǎo)，并得到導(dǎo)函數(shù)的值域,即可判斷④.

【詳解】

由題,/(x)=sin2X=1-c°s2x,

則向右平移二個(gè)單位可得11

'g(x)——cos2f+—

22

cos12x—[-1,1],.-.g(x)的值域?yàn)閇0,1],①錯(cuò)誤；

TTTTJT

當(dāng)x=一時(shí),2》——=0,所以X=一是函數(shù)g(x)的一條對(duì)稱軸，②正確;

12612

JTIT7T\7C1I

當(dāng)％=工時(shí),2%一：=彳,所以g(x)的一個(gè)對(duì)稱中心是|③正確；

362\31)

g'(x)=sinl2x-^je［一1』］,則3xp%2eR,g'。)=-1,g'C/)=1,使得g'(x1Ag'?)=-1,則g(無)在x=%和

x=%處的切線互相垂直，④正確.

即②③④正確，共3個(gè).

故選:C

本題考查三角函數(shù)的圖像變換，考查代入檢驗(yàn)法判斷余弦型函數(shù)的對(duì)稱軸和對(duì)稱中心，考查導(dǎo)函數(shù)的幾何意義的應(yīng)用.

9.C

【解析】

畫出幾何體的直觀圖，利用三視圖的數(shù)據(jù)求解幾何體的表面積即可.

【詳解】

解：幾何體的直觀圖如圖，是正方體的一部分，P-ABC,

正方體的棱長為2,

該幾何體的表面積：

—X2X2H—X2X2H—x2x2\/2H—x2x2"\/2=4+4\/2.

2222

故選C.

本題考查三視圖求解幾何體的直觀圖的表面積，判斷幾何體的形狀是解題的關(guān)鍵.

10.C

【解析】

利用數(shù)量積的定義可得。，即可判斷出結(jié)論.

【詳解】

解：\b-a\=A/3>b~+a2-1a?b=3>22+1-2x2x1xcos

171

解得cos8=—,6e[0,乃],解得6=—,

23

二“It-三|=百”是“夕=g”的充分必要條件.

故選：C.

本題主要考查平面向量數(shù)量積的應(yīng)用，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

11.D

【解析】

取AC中點(diǎn)E，過以作板，面AgG，，可得△/“N為等腰直角三角形，由AAPMMAAEM，可得=

5

當(dāng)時(shí)，MN最小，由MF=JMN，故

2

（亞、

2PM+42MN=2PM+—MN=2（EM+MF）＞2AAl=2,即可求解.

I2J

【詳解】

取AC中點(diǎn)E，過以作詆，面A/iG，，如圖:

貝IJAAPMMAAEM，故PM=EM,

而對(duì)固定的點(diǎn)"，當(dāng)時(shí)，MN最小.

此時(shí)由板，面AB]G，，可知AMFN為等腰直角三角形，MF=—MN，

2

故2PM+叵MN=2PM+—MN=2^EM+MF)>2AA[=2.

2

IJ

故選：D

本題考查了空間幾何體中的線面垂直、考查了學(xué)生的空間想象能力，屬于中檔題.

12.D

【解析】

根據(jù)題意判斷出函數(shù)的單調(diào)性，從而根據(jù)單調(diào)性對(duì)選項(xiàng)逐個(gè)判斷即可.

【詳解】

由條件可得/(_2_x)=_2_x+g(_2__x)=_2_x+g(x)+2x+2=g(x)+x=/(x)

函數(shù)關(guān)于直線x=-1對(duì)稱；

?/。)在-1,+8)上單調(diào)遞增，且在—2<f<0時(shí)使得/⑼?/⑺<0；

又'/(-2)=/(0)

../(0<0,/(-2)=/(0)>0,所以選項(xiàng)3成立；

3||1

t2+t+2——=(Z+—)2+—>0,/+/+i比—禺對(duì)稱軸選，

2242

1

.?.可得/(9/+。+1)>/(5),二選項(xiàng)4成立；

Q+3)2-Q+2)2=2f+5>0,.-.U+3|>|r+2|,二可知/+2比/+1離對(duì)稱軸遠(yuǎn)

.-./(?+2)>f(r+l),選項(xiàng)。成立；

-2<r<0,.?."+2)2-Q+iy=2/+3符號(hào)不定，.-.It+2\,|f+l|無法比較大小,

.?"(r+l)>/(r)不一定成立.

故選：D.

本題考查了函數(shù)的基本性質(zhì)及其應(yīng)用，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

3"

13.y=10sm-x-\---+--20,xw[6/4]

?(84

【解析】

根據(jù)圖象得出該函數(shù)的最大值和最小值,可得A=皿一5,b豈空土式畫，結(jié)合圖象求得該函數(shù)的最小正周期T,

22

可得出。=彳「，再將點(diǎn)(10,20)代入函數(shù)解析式，求出9的值，即可求得該函數(shù)的解析式.

【詳解】

由圖象可知，Jmax=30,ymin=10,,A=2s空/包=io,b==20,

27r7i

從題圖中可以看出，從614時(shí)是函數(shù)丁=人5近(5+0)+6的半個(gè)周期，則7=2x04-6)=16,J.CD----——.

T8

jr3冗)7[

又可*10+夕=2?+2左》,keZ,得0=彳+2左乃(左￡Z),取0=7，

....,.(兀3萬

所以丁=1051111區(qū)]+彳+20,xe[6,14].

’2皿生+用+20,

故答案為:xe[6,14].

本題考查由圖象求函數(shù)解析式，考查計(jì)算能力，屬于中等題.

10

14.——

11

【解析】

模擬程序的運(yùn)行過程知該程序運(yùn)行后計(jì)算并輸出S的值，用裂項(xiàng)相消法求和即可.

【詳解】

模擬程序的運(yùn)行過程知,該程序運(yùn)行后執(zhí)行:

1111

S=-------\~+-------+???+

1x22733x410x11

1

TT

10

11

故答案為:石■

本題考查算法語句中的循環(huán)語句和裂項(xiàng)相消法求和;掌握循環(huán)體執(zhí)行的次數(shù)是求解本題的關(guān)鍵;屬于基礎(chǔ)題.

,10

15.—

11

【解析】

畫出不等式組表示的平面區(qū)域，將目標(biāo)函數(shù)理解為點(diǎn)(x,y)與(-2,0)構(gòu)成直線的斜率，數(shù)形結(jié)合即可求得.

【詳解】

不等式組表示的平面區(qū)域如下所示:

510

數(shù)形結(jié)合可知，當(dāng)且僅當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過點(diǎn)3

3'5時(shí)，斜率取得最大值,

10

yio

故Z的最大值為彳心一=7T

-+211

3

故答案為：—■

本題考查目標(biāo)函數(shù)為斜率型的規(guī)劃問題，屬基礎(chǔ)題.

16.4

【解析】

先求出這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，再求出這組數(shù)據(jù)的方差，由此能求出該組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差.

【詳解】

解：某地區(qū)連續(xù)5天的最低氣溫(單位：。C)依次為8,-4,-1，0,2,

平均數(shù)為：1(8-4-1+0+2)=1,

,該組數(shù)據(jù)的方差為：

52=1[(8-1)2+(^1-1)2+(-1-1)2+(0-1)2+(2-1)2]=16,

,該組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為1.

故答案為：1.

本題考查一組數(shù)據(jù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差的求法，考查平均數(shù)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差的定義等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)

題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(1)xe(0,l)u(2,+?)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，xe(l,2),,函數(shù)單調(diào)遞減，1⑴,1141n2—8;)(x)111ax—5；⑵見

解析

【解析】

(1)求出函數(shù)的定義域與導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，即可得到函數(shù)的極值；

(2)易得加^(41112—8,—5)且0<0<1</7<2<0,要證明0—“<2,即證0<2+0,即證/(。)=/9)</3+2),

即/(?+2)—/(a+2)>0對(duì)Vae(0,1)恒成立，構(gòu)造函數(shù)

g(x)=f(x+2)—/(%),xe(0,l),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值，即可得證；

【詳解】

解：(1)因?yàn)?6x+41nx定義域?yàn)?0,+8),

所以/'(x)=2(x—D(x—2),

X

.?.xe(0,l)o(2,4w)Ht,f'(x)>Q,即/(%)在(0,1)和(2,茁)上單調(diào)遞增，當(dāng)xe(l,2)時(shí)，f'(x)<0,即函數(shù)

/(九)在(1,2)單調(diào)遞減，

所以/(%)在尤=2處取得極小值，在x=1處取得極大值；

，小)極小值=/(2)=41n2-8,/⑴極大值=/(D=-5；

(2)易得加e(41n2-8,-5),0<?<l<b<2<c,

要證明c—a<2,即證c<2+a,即證/(c)=/(a)<f(a+2)

即證f(a+2)-/(a+2)>0對(duì)Vae(0,1)恒成立，

令g(x)=/(x+2)—/(x),xe(O,l),

貝ug,(x)=r(x+2)—r(%)=RD；-3］〉0

x+2x

令，(x)>0,解得l〉x〉6-1，即g(x)在(6-1,1)上單調(diào)遞增；

令g'(x)<0,解得0<x(百—1,即g(x)在(0,3—1)上單調(diào)遞減；

則g(x)在》=逐-1取得極小值，也就是最小值，

gCO疝n=g志-1)=4>/3-12+41n(73+l)-41n(V3-l)>4?—12+4Ine—4(出-2)=0從而結(jié)論得證.

本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，屬于

中檔題.

18.

【解析】

運(yùn)用矩陣定義列出方程組求解矩陣二

【詳解】

由特征值、特征向量定義可知，二二

即「,,得一-,

匕匕］匕二；1

同理可得3二+二二=」二解得口=7D=J'_,.因此矩陣r.

本題考查了由矩陣特征值和特征向量求矩陣，只需運(yùn)用定義得出方程組即可求出結(jié)果，較為簡單

19.(1)見解析；(2)小亙

41

【解析】

(1)取的中點(diǎn)證明。四〃4。,9//。,則平面0加石〃平面40則可證EO//平面ACD.

(2)利用VETBD=匕-EBD，AC是平面BED的高，容易求.SABOE=goExCZ)=gx2x3=3,再求SABD,則點(diǎn)E

到平面MD的距離可求.

【詳解】

解:(1)如圖：

D

取BC的中點(diǎn)“，連接OM、ME.

在，ABC中，。是AB的中點(diǎn)，M是的中點(diǎn)，

OM〃^。，^。2平面初立^加匚平面項(xiàng)。，故AC〃平面￡MO

在直角梯形3CDE中，DECB,且DE=CM,

四邊形MCDE是平行四邊形，，石M〃CD,同理CD〃平面EMO

又CDcAC=C,故平面EMO〃平面ACD,

又?EOu平面EMO,EO//平面ACD.

（2）QAB是圓。的直徑，點(diǎn)。是圓。上異于4、3的一點(diǎn)，

:.AC±BC

又：平面5CDE，平面ABC,平面BCDEc平面ABC=BC

二.AC_L平面3CDE,

可得AC是三棱錐A-BDE的高線.

在直角梯形3CDE中，SABDE=DExCD=^x2x3=3.

?九

設(shè)E到平面ABD的距離為h,則VE_ABD=VA_EBD,即1S^BD=gS&EBD-AC

由已知得AB=5,BD=5,AD=342,

iA13741

由余弦定理易知：cosZABD=—,則SAAM

O?/AADU=-AB-BDsinZABD=——

22

解得叵，即點(diǎn)E到平面加的距離為g叵

4141

6國

故答案為:

41

考查線面平行的判定和利用等體積法求距離的方法，是中檔題.

3

/1

20.(1)an—3n(n-1,2,),bn=3n+2'~(n=1,2,)；(2)—n(n+1)+2"-1

【解析】

試題分析：(1)利用等差數(shù)列，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式先求得公差和公比，即得到結(jié)論；(2)利用分組求和法，由等差數(shù)

列及等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可求得數(shù)列也)前n項(xiàng)和.

試題解析：

(I)設(shè)等差數(shù)列｛an｝的公差為d,由題意得

-a4_al-12-3T

H.'.an=ai+(n-1)d=ln

33

設(shè)等比數(shù)列｛bn-an｝的公比為q,則

b4~a<20-12

q-■■=8,/.q=2,

b「J”3

n1=nn1

.>.bn-an=(bi-ai)q'2-1,bn=ln+2

(II)由(I)知bn=ln+2n-i,:數(shù)列｛In｝的前n項(xiàng)和為米(n+1),

1-on

數(shù)列｛2n-1｝的前n項(xiàng)和為1x2_二=2。-1,

1-2

3

...數(shù)列｛bn｝的前n項(xiàng)和為；=—n(n+1)+211-1

2

考點(diǎn)：1.等差數(shù)列性質(zhì)的綜合應(yīng)用；2.等比數(shù)列性質(zhì)的綜合應(yīng)用；1.數(shù)列求和.

21.(1)0.8(2)詳見解析(3)事件。雖然發(fā)生概率小，但是發(fā)生可能性為0.02,所以認(rèn)為早期體驗(yàn)用戶沒有發(fā)生

變化，詳見解析

【解析】

(1)由從高校大學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，該學(xué)生在2021年或2021年之前升級(jí)到5G,結(jié)合古典擷型的概率計(jì)算公式，

即可求解；

(2)由題意X的所有可能值為01,2,利用相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算公式，分別求得相應(yīng)的概率，得到隨機(jī)變量的分

布列，利用期望的公式，即可求解.

(3)設(shè)事件。為“從這1000人的樣本中隨機(jī)抽取3人，這三位學(xué)生都已簽約5G套餐”，得到七概率為P(。)，即可得

到結(jié)論.

【詳解】

(1)由題意可知，從高校大學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，該學(xué)生在2021年或2021年之前升級(jí)到5G的概率估計(jì)為樣本中早

期體驗(yàn)用戶和中期跟隨用戶的頻率，即---------=0.8.

1000

(2)由題意X的所有可能值為0,L2,

記事件A為“從早期體驗(yàn)用戶中隨機(jī)抽取1人，該學(xué)生愿意為升級(jí)5G多支付10元或10元以上”,

事件3為“從中期跟隨用戶中隨機(jī)抽