第2章平面解析幾何初步（A）(時(shí)間：120分鐘滿分：160分)一、填空題(本大題共14小題，每小題5分，共70分)1．如果直線ax＋2y＋2＝0與直線3x－y－2＝0平行，則系數(shù)a的值為_(kāi)_______．2．下列敘述中不正確的是________．①若直線的斜率存在，則必有傾斜角與之對(duì)應(yīng)；②每一條直線都有唯一對(duì)應(yīng)的傾斜角；③與坐標(biāo)軸垂直的直線的傾斜角為0°或90°；④若直線的傾斜角為α，則直線的斜率為tanα．3．若三點(diǎn)A(3,1)，B(－2，b)，C(8,11)在同一直線上，則實(shí)數(shù)b等于________．4．過(guò)點(diǎn)(3，－4)且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線的方程是____________．5．設(shè)點(diǎn)A(2，－3)，B(－3，－2)，直線過(guò)P(1,1)且與線段AB相交，則l的斜率k的取值范圍是_______________________________________________________________________．6．已知直線l1：ax＋4y－2＝0與直線l2：2x－5y＋b＝0互相垂直，垂足為(1，c)，則a＋b＋c的值為_(kāi)_______．7．過(guò)點(diǎn)Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(7,3)))與B(7,0)的直線l1與過(guò)點(diǎn)(2,1)，(3，k＋1)的直線l2和兩坐標(biāo)軸圍成的四邊形內(nèi)接于一個(gè)圓，則實(shí)數(shù)k等于________．8．已知圓C：x2＋y2－4x－5＝0，則過(guò)點(diǎn)P(1,2)的最短弦所在直線l的方程是____________．9．已知直線l與直線y＝1，x－y－7＝0分別相交于P、Q兩點(diǎn)，線段PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1，－1)，那么直線l的斜率為_(kāi)_______．10．在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，點(diǎn)B是點(diǎn)A(1,2,3)在坐標(biāo)平面yOz內(nèi)的正射影，則OB＝________．11．若直線y＝kx＋1與圓x2＋y2＋kx－y－9＝0的兩個(gè)交點(diǎn)恰好關(guān)于y軸對(duì)稱，則k＝________．12．若x∈R，eq\r(y)有意義且滿足x2＋y2－4x＋1＝0，則eq\f(y,x)的最大值為_(kāi)_______．13．直線x－2y－3＝0與圓(x－2)2＋(y＋3)2＝9交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，則△EOF(O是原點(diǎn))的面積為_(kāi)_______．14．從直線x－y＋3＝0上的點(diǎn)向圓x2＋y2－4x－4y＋7＝0引切線，則切線長(zhǎng)的最小值為_(kāi)_______．二、解答題(本大題共6小題，共90分)15．(14分)已知△ABC的頂點(diǎn)是A(－1，－1)，B(3,1)，C(1,6)．直線l平行于AB，且分別交AC，BC于E，F(xiàn)，△CEF的面積是△CAB面積的eq\f(1,4)．求直線l的方程．16．(14分)已知直線l經(jīng)過(guò)直線2x＋y－5＝0與x－2y＝0的交點(diǎn)．若點(diǎn)A(5,0)到l的距離為3，求直線l的方程．17．(14分)已知△ABC的兩條高線所在直線方程為2x－3y＋1＝0和x＋y＝0，頂點(diǎn)A(1,2)．求(1)BC邊所在的直線方程；(2)△ABC的面積．18．(16分)求圓心在直線y＝－4x上，且與直線l：x＋y－1＝0相切于點(diǎn)P(3，－2)的圓的方程．19．(16分)三角形ABC中，D是BC邊上任意一點(diǎn)(D與B，C不重合)，且AB2＝AD2＋BD·DC．求證：△ABC為等腰三角形．20．(16分)已知坐標(biāo)平面上點(diǎn)M(x，y)與兩個(gè)定點(diǎn)M1(26,1)，M2(2,1)的距離之比等于5．(1)求點(diǎn)M的軌跡方程，并說(shuō)明軌跡是什么圖形；(2)記(1)中的軌跡為C，過(guò)點(diǎn)M(－2,3)的直線l被C所截得的線段的長(zhǎng)為8，求直線l的方程．第2章平面解析幾何初步(A)答案1．－6解析當(dāng)兩直線平行時(shí)有關(guān)系eq\f(a,3)＝eq\f(2,－1)≠eq\f(2,－2)，可求得a＝－6．2．④3．－9解析由kAB＝kAC得b＝－9．4．4x＋3y＝0或x＋y＋1＝0解析當(dāng)截距均為0時(shí)，設(shè)方程為y＝kx，將點(diǎn)(3，－4)，代入得k＝－eq\f(4,3)；當(dāng)截距不為0時(shí)，設(shè)方程為eq\f(x,a)＋eq\f(y,a)＝1，將(3，－4)代入得a＝－1．5．k≥eq\f(3,4)或k≤－4解析如圖：kPB＝eq\f(3,4)，kPA＝－4，結(jié)合圖形可知k≥eq\f(3,4)或k≤－4．6．－4解析垂足(1，c)是兩直線的交點(diǎn)，且l1⊥l2，故－eq\f(a,4)·eq\f(2,5)＝－1，∴a＝10．l：10x＋4y－2＝0．將(1，c)代入，得c＝－2；將(1，－2)代入l2：得b＝－12．則a＋b＋c＝10＋(－12)＋(－2)＝－4．7．3解析由題意知l1⊥l2，∴kl1·kl2＝－1．即－eq\f(1,3)k＝－1，k＝3．8．x－2y＋3＝0解析化成標(biāo)準(zhǔn)方程(x－2)2＋y2＝9，過(guò)點(diǎn)P(1,2)的最短弦所在直線l應(yīng)與PC垂直，故有kl·kPC＝－1，由kPC＝－2得kl＝eq\f(1,2)，進(jìn)而得直線l的方程為x－2y＋3＝0．9．－eq\f(2,3)解析設(shè)P(x,1)則Q(2－x，－3)，將Q坐標(biāo)代入x－y－7＝0得，2－x＋3－7＝0．∴x＝－2，∴P(－2,1)，∴kl＝－eq\f(2,3)．10．eq\r(13)解析易知點(diǎn)B坐標(biāo)為(0,2,3)，故OB＝eq\r(13)．11．0解析將兩方程聯(lián)立消去y后得(k2＋1)x2＋2kx－9＝0，由題意此方程兩根之和為0，故k＝0．12．eq\r(3)解析x2＋y2－4x＋1＝0(y≥0)表示的圖形是位于x軸上方的半圓，而eq\f(y,x)的最大值是半圓上的點(diǎn)和原點(diǎn)連線斜率的最大值，結(jié)合圖形易求得最大值為eq\r(3)．13．eq\f(6\r(5),5)解析弦長(zhǎng)為4，S＝eq\f(1,2)×4×eq\f(3,\r(5))＝eq\f(6\r(5),5)．14．eq\f(\r(14),2)解析當(dāng)圓心到直線距離最短時(shí)，可得此時(shí)切線長(zhǎng)最短．d＝eq\f(3\r(2),2)，切線長(zhǎng)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(2),2)))2－12)＝eq\f(\r(14),2)．15．解由已知得，直線AB的斜率k＝eq\f(1,2)，因?yàn)镋F∥AB，所以直線l的斜率也為eq\f(1,2)，因?yàn)椤鰿EF的面積是△CAB面積的eq\f(1,4)，所以E是CA的中點(diǎn)，由已知得，點(diǎn)E的坐標(biāo)是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(5,2)))，直線l的方程是y－eq\f(5,2)＝eq\f(1,2)x，即x－2y＋5＝0．16．解方法一聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y－5＝0，,x－2y＝0))得交點(diǎn)P(2,1)，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)l的方程為y－1＝k(x－2)，即kx－y＋1－2k＝0，∴eq\f(|5k＋1－2k|,\r(k2＋1))＝3，解得k＝eq\f(4,3)，∴l(xiāng)的方程為y－1＝eq\f(4,3)(x－2)，即4x－3y－5＝0．當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線x＝2也符合題意．∴直線l的方程為4x－3y－5＝0或x＝2．方法二經(jīng)過(guò)兩已知直線交點(diǎn)的直線系方程為(2x＋y－5)＋λ(x－2y)＝0，即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0，∴eq\f(|52＋λ－5|,\r(2＋λ2＋1－2λ2))＝3，即2λ2－5λ＋2＝0，解得λ＝2或eq\f(1,2)，∴直線l的方程為4x－3y－5＝0或x＝2．17．解(1)∵A點(diǎn)不在兩條高線上，由兩條直線垂直的條件可設(shè)kAB＝－eq\f(3,2)，kAC＝1．∴AB、AC邊所在的直線方程為3x＋2y－7＝0，x－y＋1＝0．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋2y－7＝0,x＋y＝0))得B(7，－7)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋1＝0,2x－3y＋1＝0))得C(－2，－1)．∴BC邊所在的直線方程2x＋3y＋7＝0．(2)∵BC＝eq\r(117)，A點(diǎn)到BC邊的距離d＝eq\f(15,\r(13))，∴S△ABC＝eq\f(1,2)×d×BC＝eq\f(1,2)×eq\f(15,\r(13))×eq\r(117)＝eq\f(45,2)．18．解由于過(guò)P(3，－2)垂直于切線的直線必定過(guò)圓心，故該直線的方程為x－y－5＝0．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y－5＝0，,y＝－4x，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝－4，))故圓心為(1，－4)，r＝eq\r(1－32＋－4＋22)＝2eq\r(2)，∴所求圓的方程為(x－1)2＋(y＋4)2＝8．19．證明作AO⊥BC，垂足為O，以BC邊所在的直線為x軸，為OA所在的直線為y軸，建立直角坐標(biāo)系，如右圖所示．設(shè)A(0，a)，B(b,0)，C(c,0)，D(d,0)，因?yàn)锳B2＝AD2＋BD·DC，所以，由兩點(diǎn)間距離公式可得b2＋a2＝d2＋a2＋(d－b)·(c－d)，即－(d－b)(b＋d)＝(d－b)(c－d)，又d－b≠0，故－b－d＝c－d，即c＝－b，所以△ABC為等腰三角形．20．解(1)由題意，得eq\f(M1M,M2M)＝5．eq\f(\r(x－262＋y－12),\r(x－22＋y－12))＝5，化簡(jiǎn)，得x2＋y2－2x－2y－23＝0．即(x－1)2＋(y－1)2＝25．∴點(diǎn)M的軌跡方程是(x－1)2＋(y－1)2＝25，軌跡是以(1,1)為圓心，以5為半徑的圓．(2)當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，l：x＝－2，此時(shí)所截得的線段的長(zhǎng)為2eq\r(52－32)＝8，∴l(xiāng)：x＝－2符合題意．當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)l的方