20232024學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中模擬考試（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項(xiàng)：1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2．回答第Ⅰ卷時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3．回答第Ⅱ卷時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。4．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第Ⅰ卷一、單項(xiàng)選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的．1．（2223高二下·北京·期中）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出函數(shù)的定義域，利用函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系可求得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，，因?yàn)椋煽傻?，因此，函?shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是.故選：D.2．（2324高三下·北京·開(kāi)學(xué)考試）已知，則（

）A． B．2 C．4 D．12【答案】B【分析】利用賦值法，即令，即可求得答案.【詳解】由于，故令，即得，即，故選：B3．（2024·北京·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，則（

）A．4 B．6 C．10 D．12【答案】B【分析】利用等差數(shù)列的基本量，求得首項(xiàng)和公差，再求即可.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題可得，解得，則.故選：B.4．（2024·湖南·二模）2024年春節(jié)期間，某單位需要安排甲、乙、丙等五人值班，每天安排1人值班，其中正月初一、二值班的人員只安排一天，正月初三到初八值班人員安排兩天，其中甲因有其他事務(wù)，若安排兩天則兩天不能連排，其他人員可以任意安排，則不同排法一共有（

）A．792種 B．1440種 C．1728種 D．1800種【答案】B【分析】分類討論甲是否安排在初一或初二兩種情況，結(jié)合平均分組分配法分別考慮兩種情況的安排種數(shù)，從而利用分類加法計(jì)數(shù)原理即可得解.【詳解】當(dāng)甲安排在初一或初二時(shí)，再安排一人在初二或初一，則有種排法，再利用平均分組分配法將初三到初八分配給剩下的3人，有種排法，所以一共有種排法；當(dāng)甲不安排在初一或初二時(shí)，安排兩人在初一或初二，有種排法，不考慮甲兩天不能連排的情況，有種排法，其中甲兩天連排的排法有種，故初三到初八的值班安排有種排法，所以一共有種排法；綜上可知共有種不同排法.故選：B.5．（2223高三上·北京·階段練習(xí)）“楊輝三角”是中國(guó)古代數(shù)學(xué)文化的瑰寶之一，最早出現(xiàn)在中國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝于1261年所著的《詳解九章算法》一書(shū)中.如圖，若在“楊輝三角”中從第2行右邊的1開(kāi)始按“鋸齒形”排列的箭頭所指的數(shù)依次構(gòu)成一個(gè)數(shù)列：1，2，3，3，6，4，10，5，…，則此數(shù)列的前20項(xiàng)的和為（

）A．350 B．295 C．285 D．230【答案】C【分析】利用分組求和法和組合數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可【詳解】記此數(shù)列的前20項(xiàng)的和為，則，故選：C.6．（2324高三上·北京順義·期末）設(shè)，，，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】令，利用導(dǎo)數(shù)求得的單調(diào)性，再轉(zhuǎn)化即可得解.【詳解】令，則，所以當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，因?yàn)?，，，而，所以，?故選：A.7．（2021高二下·北京·期末）函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，得，即，求得函數(shù)在上的最大值，從而得出實(shí)數(shù)k的取值范圍.【詳解】解：，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以在恒成立，即，即，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，所以，故，即.故選：D.8．（2324高二下·北京豐臺(tái)·階段練習(xí)）若偶函數(shù)定義域?yàn)樵谏系膱D象如圖所示，則不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)判斷出函數(shù)圖象在y軸左側(cè)的情況，然后結(jié)合導(dǎo)數(shù)的意義，不難求出等式的解集．【詳解】由圖可知：在區(qū)間上單調(diào)遞增，則在區(qū)間上．又由為偶函數(shù)．則在區(qū)間上單調(diào)遞減，則在區(qū)間上．由可得在區(qū)間上，．在區(qū)間上，．在區(qū)間上，．在區(qū)間上，．故不等式的解集為,,故選：B．9．（2024·北京石景山·一模）中國(guó)民族五聲調(diào)式音階的各音依次為：宮、商、角、徵、羽，如果用這五個(gè)音，排成一個(gè)沒(méi)有重復(fù)音的五音音列，且商、角不相鄰，徵位于羽的左側(cè)，則可排成的不同音列有（

）A．18種 B．24種 C．36種 D．72種【答案】C【分析】先排宮、徽、羽三個(gè)音節(jié)，然后商、角兩個(gè)音階插空即可求解.【詳解】解：先將宮、徽、羽三個(gè)音節(jié)進(jìn)行排序，且徽位于羽的左側(cè)，有，再將商、角插入4個(gè)空中的2個(gè)，有，所以共有種．故選：C．10．（2324高二上·北京海淀·期末）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，則下列結(jié)論中正確的是（

）A． B．C．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和為 D．?dāng)?shù)列是遞增數(shù)列【答案】D【分析】先利用求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再依次判斷各選項(xiàng)即可.【詳解】由題意可知，當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，，則，即，顯然，，所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，當(dāng)時(shí)仍成立，，AB說(shuō)法錯(cuò)誤；令，則，，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，C說(shuō)法錯(cuò)誤；令，則，又由可得，所以數(shù)列是遞增數(shù)列，D說(shuō)法正確；故選：D第Ⅱ卷二、填空題：本題共5小題，每小題5分，共25分．11．（2324高二下·山東青島·階段練習(xí)）若展開(kāi)式中前3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和等于79，則展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)為．【答案】【分析】根據(jù)題設(shè)條件列出方程，求得，再判斷二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)為項(xiàng)，利用通項(xiàng)公式化簡(jiǎn)計(jì)算即得.【詳解】依題意，，解得或（舍去），即二項(xiàng)式的展開(kāi)式有13項(xiàng)，最中間的項(xiàng)為第7項(xiàng)，也是二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)，即故答案為：.12．（2024·四川瀘州·二模）若函數(shù)有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【答案】【分析】利用導(dǎo)數(shù)說(shuō)明函數(shù)的單調(diào)性，即可求出函數(shù)的最大值，依題意只需，即可求出參數(shù)的取值范圍.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋?，所以?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，又時(shí)，時(shí)，又函數(shù)有零點(diǎn)，所以，即，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：13．（2324高三下·湖北·階段練習(xí)）已知數(shù)列中，，，，則的前項(xiàng)和．【答案】【分析】取倒可得，判斷是等差數(shù)列，即可求解，進(jìn)而根據(jù)裂項(xiàng)相消法求和即可.【詳解】由可得，所以是等差數(shù)列，且公差為2，所以，故，所以，所以故答案為：14．（2324高二下·重慶·階段練習(xí)）如圖所示給五個(gè)區(qū)域涂色，現(xiàn)有四種顏色可供選擇，要求每一個(gè)區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域所涂顏色不同，則不同的涂色方法有．【答案】72【分析】對(duì)進(jìn)行分類，再利用分步計(jì)數(shù)原理，進(jìn)行求解.【詳解】分兩種情況：①A，C不同色，先涂A有4種，C有3種，E有2種，B，D有1種，有種；②A，C同色，先涂A，C有4種，再涂E有3種，B，D各有2種，有種．故不同的涂色方法有種．故答案為：7215．（2324高二下·廣東深圳·階段練習(xí)）已知函數(shù)，過(guò)點(diǎn)可作條與曲線相切的直線，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【分析】設(shè)切點(diǎn)為，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，結(jié)合點(diǎn)在切線上，可得，令，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，作出其圖象，將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線與的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合，即可求得答案.【詳解】依題意可設(shè)切點(diǎn)為，由，可得，則切線的斜率為，故切線方程為，因?yàn)辄c(diǎn)在切線上，故，即，令，則，當(dāng)或時(shí)，，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，則的極小值為，極大值為；且當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)x趨向于負(fù)無(wú)窮時(shí)，無(wú)限接近于0，當(dāng)x趨向于正無(wú)窮時(shí)，趨向于負(fù)無(wú)窮，由此可作出圖象如圖：由題意可知過(guò)點(diǎn)可作條與曲線相切的直線，即需直線與的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，結(jié)合圖象可知需，即實(shí)數(shù)的取值范圍是故答案為：三、解答題：本題共6小題，共85分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．16．（2324高二下·北京懷柔·開(kāi)學(xué)考試）已知(1)求的值；(2)求的值；(3)求的展開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù).【答案】(1)16(2)41(3)7【分析】（1）直接由二項(xiàng)式定理即可得解；（2）分別令，得兩個(gè)式子，將它們相加即可求解；（3）根據(jù)的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，即可列式求解.【詳解】（1）.（2）令，可得，令，可得，兩式相加除以2，可得（3）直接根據(jù)的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，可得的展開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)為17．（2223高二下·北京東城·期末）某學(xué)校舉行男子乒乓球團(tuán)體賽，決賽比賽規(guī)則采用積分制，兩支決賽的隊(duì)伍依次進(jìn)行三場(chǎng)比賽，其中前兩場(chǎng)為男子單打比賽，第三場(chǎng)為男子雙打的比賽，每位出場(chǎng)隊(duì)員在決賽中只能參加一場(chǎng)比賽.某進(jìn)入決賽的球隊(duì)共有五名隊(duì)員，現(xiàn)在需要提交該球隊(duì)決賽的出場(chǎng)陣容，即三場(chǎng)比賽的出場(chǎng)的隊(duì)員名單.(1)一共有多少種不同的出場(chǎng)陣容？(2)若隊(duì)員A因?yàn)榧夹g(shù)原因不能參加男子雙打比賽，則一共有多少種不同的出場(chǎng)陣容？【答案】(1)60(2)36【分析】（1）根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，先安排前兩場(chǎng)比賽人員，再安排第三場(chǎng)的比賽人員；（2）從隊(duì)員A上場(chǎng)和不上場(chǎng)來(lái)分類，分別求解，再利用分類加法原理可得答案.【詳解】（1）出場(chǎng)陣容可以分兩步確定：第1步，從5名運(yùn)動(dòng)員中選擇2人，分別參加前兩場(chǎng)男單比賽，共有種；第2步，從剩下的3名運(yùn)動(dòng)員中選出兩人參加男雙比賽，共有種，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，不同的出場(chǎng)陣容種數(shù)為.（2）隊(duì)員A不能參加男子雙打比賽，有兩類方案：第1類方案是隊(duì)員A不參加任務(wù)比賽，即除了隊(duì)員A之外的4人參加本次比賽，只需從4人中選出兩人，分別取參加前兩場(chǎng)單打比賽，共有種，剩余人員參加雙打比賽；第2類方案是隊(duì)員A參加單打比賽，可以分3個(gè)步驟完成：第1步，確定隊(duì)員A參加的是哪一場(chǎng)單打比賽，共2種；第2步，從剩下4名隊(duì)員中選擇一名參加另一場(chǎng)單打比賽，共4種；第3步，從剩下的3名隊(duì)員中，選出兩人參加男雙比賽，共有種，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，隊(duì)員A參加單打比賽的不同的出場(chǎng)陣容有種；根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，隊(duì)員A不參加男子雙打比賽的不同的出場(chǎng)陣容種數(shù)為.18．（2024·北京海淀·一模）已知函數(shù).(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)存在最大值，求的取值范圍.【答案】(1)的減區(qū)間為，增區(qū)間為(2)【分析】（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，得到，再求出和對(duì)應(yīng)的取值，即可求出結(jié)果；（2）令，對(duì)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性間的關(guān)系，求出的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而得出在上取值范圍，從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成成立，構(gòu)造函數(shù)，再利用的單調(diào)性，即可求出結(jié)果.【詳解】（1）易知定義域?yàn)?，因?yàn)椋?，由，得到，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）令，則，由（1）知，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，所以在時(shí)取得最大值，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在存在最大值的充要條件是，即，令，則恒成立，所以是增函數(shù)，又因?yàn)?，所以的充要條件是，所以的取值范圍為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)晴：本題的關(guān)鍵在于第（2）問(wèn)，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性得到時(shí)，，從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成，構(gòu)造函數(shù)，再利用的單調(diào)性來(lái)解決問(wèn)題.19．（2324高二上·北京通州·期末）設(shè)數(shù)列為公差不為零的等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為，再?gòu)臈l件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)符合題目要求的條件作為已知，完成下列問(wèn)題．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．條件①：且;條件②：且；條件③：且．注：如果選擇的條件不符合要求，得0分；如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．【答案】(1)選擇條件①：，不合題意；選擇條件②：；選擇條件③：(2)選擇條件②：；選擇條件③：.【分析】（1）選①，利用等差數(shù)列的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為首項(xiàng)和公差的方程組，求出公差不符合題意，選②，③利用等差數(shù)列的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為首項(xiàng)和公差的方程組，求出首項(xiàng)和公差即可求出通項(xiàng)公式.（2）將第一問(wèn)結(jié)論代入，再利用裂項(xiàng)相消即可求出結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為d．選擇條件①：且，解得，不合題意．選擇條件②：且，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式得解得．所以等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為．選擇條件③：且，由等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式得解得．所以等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為．（2）選擇條件②：因?yàn)?，所以，．選擇條件③：因?yàn)?，所以．所以?0．（2024·北京門(mén)頭溝·一模）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)當(dāng)時(shí)，求的極值；(3)當(dāng)時(shí)，判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)，無(wú)極小值(3)當(dāng)時(shí)有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)無(wú)零點(diǎn)【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可求出切線的斜率，從而求出切線方程；（2）求出函數(shù)的定義域與導(dǎo)函數(shù)，即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出極值；（3）依題意可得，令，則判斷的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，即判斷的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)說(shuō)明的單調(diào)性，求出，再令，，利用導(dǎo)數(shù)說(shuō)明的單調(diào)性，即可求出，從而得解.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，則，，所以，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為.（2）函數(shù)的定義域?yàn)?，且，令，則，因?yàn)?，所以恒成立，所以在上單調(diào)遞減，即在上單調(diào)遞減，又，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在處取得極大值，無(wú)極小值.（3）令，即，因?yàn)?，所以，令，所以判斷的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，即判斷的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，又，，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，令，，則，因?yàn)?，所以，所以在上單調(diào)遞減，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以當(dāng)時(shí)有一個(gè)零點(diǎn)，即有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)無(wú)零點(diǎn)，即無(wú)零點(diǎn)，綜上可得當(dāng)時(shí)有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)無(wú)零點(diǎn).【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第三問(wèn)的關(guān)鍵是首先將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，利用導(dǎo)數(shù)求出，再構(gòu)造函數(shù)，.21．（2324高三上·北京海淀·階段練習(xí)）已知函數(shù)(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(3)若對(duì)任意的實(shí)數(shù)，函數(shù)與直線總相切，則稱函數(shù)為“恒切函數(shù)”．當(dāng)時(shí)，若函數(shù)是“恒切函數(shù)”，求證：．【答案】(